বৃত্ত-২ (Circle-Two)

অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.2.(i)\) একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের একটি \((2, -4)\) এবং অপরটি মূলবিন্দু; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। এ বৃত্তে যে স্পর্শকদ্বয় প্রদত্ত ব্যাসের সমান্তরাল তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x+4y=0; 2x+y\pm 5=0\)।

\(Q.2.(ii)\) \((-4, 3)\) এবং \((8, -2)\) বিন্দু দুইটি কোন বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে ঐ বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু মূলবিন্দুতে অবস্থিত। উত্তরঃ \(4x+y=0 \)।

\(Q.2.(iii)\) \((2, -5)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি মূ্লবিন্দুগামী। ঐ বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমণ কর যে, মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ \(2x-5y=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+10y=0 \); \(x^{2}+y^{2}+2x=0 \)।

\(Q.2.(iv)\) \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট যে বৃত্তটি \(2x+y=9\) রেখাকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমাণ কর যে প্রদত্ত রেখাটি \(4(x^2+y^2)-4x-24y+17=0\) বৃত্তেরও একটি স্পর্শক।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।

\(Q.2.(v)\) \(x^2+y^2=81\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((-2, 3)\) ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১২; যঃ, দিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0 \)।

\(Q.2.(vi)\) \(x^{2}+y^{2}=16\)বৃত্তের জ্যা \((-2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0\)।

\(Q.2.(vii)\) \(y=2x\) যদি \(x^2+y^2-10x=0\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যা কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৮; যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।

\(Q.2.(viii)\) \(3x-4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করলে \(\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 32, -8 \)।

\(Q.2.(ix)\) \(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ঢাঃ, যঃ ২০১১ ; রাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=4, (2, 0) \)।

\(Q.2.(x)\) \(3x+cy=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=2, -\frac{1}{6} \)।

\(Q.2.(xi)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1 \) হয়।
[চঃ ২০১০; কুঃ, রাঃ ২০১৩ ]

\(Q.2.(xii)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০১০; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \( x+2y=10, x-2y=10 \)।

\(Q.2.(xiii)\) \(x^2+y^2=13\) বৃত্তের যে বিন্দুতে কটি \(2\), উক্ত বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০০৮]
উত্তরঃ \( 2y\pm 3x=13 \)।

\(Q.2.(xiv)\) \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) বৃত্তের পরিধিস্থ \((6, -6)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-3y-42=0, 3x+4y+6=0 \)।

\(Q.2.(xv)\) মূলবিন্দু হতে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\), বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৬, ২০১০ ;চঃ, যঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0 \)।

\(Q.2.(xvi)\) \((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-4x=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, 4x+3y+2=0; 1 \)।

\(Q.2.(xvii)\) দেখাও যে, \(12x+5y-4=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-8y+9=0\)বৃত্তের একটি স্পর্শক; এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-12y+33=0 \)।

\(Q.2.(xviii)\) মূলবিন্দুগামী একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ব্যাস \(2y=3x\) এবং একটি স্পর্শক \(2x+3y+13=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2x+3y=0 \)।

\(Q.2.(xix)\) \(2x+3y-5=0\) রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষ থেকে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( 4 \)।

\(Q.2.(xx)\) \((3, -1)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী বৃত্ত \(X\)অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। মূলবিন্দু দিয়ে গমনকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ, কুঃ ২০১২;সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4x+2y+4=0; 4x+3y=0 \)।

\(Q.2.(xxi)\) \(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক পরস্পর লম্ব ।
1 2 3 4 5