পরাবৃত্ত (Parabola)

অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

নিচের পরাবৃত্তগুলির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, অক্ষের সমীকরণ এবং নিয়ামক রেখা বা দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \(y^2=9x\)
উত্তরঃ \((0, 0) , \left(\frac{9}{4}, 0\right)\), \(9, 4x-9=0, y=0, 4x+9=0\)

\(Q.1.(i).(c)\) \(x^2+4x+2y=0\)
[ বঃ ২০০৮ ] ।
উত্তরঃ \((-2, 2) , \left(-2, \frac{3}{2}\right)\), \(2, 2y-3=0, x+2=0, 2y-5=0\)

\(Q.1.(i).(e)\) \( y^2=8x-8y\)
[ কুঃ ২০০০ ] ।
উত্তরঃ \((-2, -4); (0, -4)\); \(8; x=0; y+4=0; x+4=0 \)

\(Q.1.(i).(g)\) \(y^2=4y+4x-8\)
[ কুঃ ২০০১; যঃ ২০০৭ ] ।
উত্তরঃ \((1, 2) ; (2, 2)\); \( 4; x-2=0; y-2=0; x=0 \)

\(Q.1.(i).(i)\) \(y^2=4y+4x-16\)
[ যঃ ২০০৫ ] ।
উত্তরঃ \((3, 2) ; (4, 2)\); \( 4; x-4=0; y-2=0; x-2=0\)

\(Q.1.(i).(k)\) \(y^2=6x\)
। উত্তরঃ \((0, 0); \left(\frac{3}{2}, 0\right)\); \(6; 2x-3=0; y=0; 2x+3=0\)

\(Q.1.(i).(m)\) \(y^2=-8x\)
। উত্তরঃ \((0, 0); (-2, 0); 8\); \( x+2=0; y=0; x-2=0\)

\(Q.1.(i).(o)\) \((y-2)^2=8(x-4)\)
[ ঢাঃ ২০০২ ] ।
উত্তরঃ \((4, 2) ; (6, 2)\); \(8; x-6=0; y-2=0, x-2=0 \)

\(Q.1.(i).(q)\) \(5x^2+15x-10y-4=0\)
[ কুঃ ২০১১,২০০৪;সিঃ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০০৮;রাঃ ২০০৭;মাঃ ২০০২ ] ।
উত্তরঃ \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8}); \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{8}\right)\); \( 2; 8y+9=0; 2x+3=0, 8y+17=0 \)
\(Q.1.(i).(b)\) \(x^2=-12y\)
উত্তরঃ \((0, 0) , (0, -3)\), \( 12, y+3=0, x=0, y-3=0\)

\(Q.1.(i).(d)\) \(y^2+8x-2y-23=0\)
[ ঢাঃ ২০০০; কুঃ ২০০৬ ] ।
উত্তরঃ \((3, 1); (1, 1)\); \(8; x-1=0; y-1=0; x-5=0 \)

\(Q.1.(i).(f)\) \((y-1)^2=4(x-2)\)
[ ঢাঃ ২০০২ ] ।
উত্তরঃ \((2, 1) , (3, 1)\), \(4, x-3=0; y-1=0; x-1=0\)

\(Q.1.(i).(h)\) \(x^2+4y-4=0\)
[ রাঃ ২০০৪ ] ।
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0)\); \(4; y=0; x=0; y-2=0\)

\(Q.1.(i).(j)\) \(x^2+2y-8x+7=0\)
। উত্তরঃ \(\left(4, \frac{9}{2}\right); (4, 4)\); \(2; y-4=0; x-4=0; y-5=0 \)

\(Q.1.(i).(l)\) \(x^2=-6y\)
। উত্তরঃ \((0, 0); \left(0, -\frac{3}{2}\right)\); \(6; 2y+3=0; x=0; 2y-3=0\)

\(Q.1.(i).(n)\) \(x^2=-8y\)
। উত্তরঃ \((0, 0); (0, -2)\); \(8; y+2=0; x=0; y-2=0\)

\(Q.1.(i).(p)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\)
[ ঢাঃ ২০০২ ] ।
উত্তরঃ \((-3, 2) ; \left(-\frac{13}{6}; 2\right); \frac{10}{3}\); \(6x+13=0; y-2=0, 6x+23=0 \)

\(Q.1.(i).(r)\) \((x-4)^2=-4(y-5)\)
। উত্তরঃ \((4, 5) ; (4, 4); 4\); \( y-4=0; x-4=0; y-6=0 \)
\(Q.1.(ii)\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \((2, -3)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(4x+3y+1=0, 3x-4y-43=0\)

\(Q.1.(iii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র \((-8, -2)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x-y=9\) ।
[ ঢাঃ ২০০০, ২০১০; কুঃ ২০০০,২০০৭; রাঃ ২০০১,২০০৪,২০০৬; সিঃ২০০১,২০০৪যঃ২০০৬।]
উত্তরঃ \( (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)।

\(Q.1.(iv)\) \((1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(3x+4y=1\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। এর অক্ষেরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০০,২০০৫; বঃ,চঃ,কুঃ ২০০৫; ঢাঃ,বঃ ২০০১,২০০৪;রাঃ,সিঃ২০০২;ঢাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((4x-3y)^2-44x-42y+49=0, 4x-3y-1=0\)।

\(Q.1.(v)\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+y+1=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[কুঃ,ঢাঃ ২০০৩; ঢাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \((x-y)^2+2x-6y+3=0, x-y+2=0, \sqrt{2}\)।

\(Q.1.(vi)\) \((1, -3)\) \(5x^2+30x+2y+59=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০১,২০০৬,২০১০;সিঃ২০০২;চঃ ২০০৬,২০০৯ ]
উত্তরঃ \( (-3, -7), \left(-3, \frac{71}{10}\right) ,\frac{2}{5}, x+3=0, 10y+69=0\) ।

\(Q.1.(vii)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৭;চঃ২০০২;সিঃ২০০৯;যঃ২০০৪]
উত্তরঃ \(3x+4y+25=0\)।

\(Q.1.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+1=0\) রেখাটি পরাবৃত্তকে এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।

\(Q.1.(ix)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(y^2-10y+8x-7=0\)।

\(Q.1.(x)\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(6\) ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০০; ঢাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \((4, \pm 4\sqrt{2})\)।

\(Q.1.(xi)\) \(y^2=4px\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয়।
[ রাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৫; সিঃ ২০০১,২০০৭;যঃ২০০২;কুঃ২০০৩;দিঃ২০০৯।]
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}, \left(\frac{1}{3}, 0\right), 3x+1=0\)।

\(Q.1.(xii)\) \(y=2x+2\) রেখাটি \(y^{2}=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে, তবে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16\)।

\(Q.1.(xiii)\) এমন একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং দিকাক্ষ \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।

\(Q.1.(xiv)\) একটি পরাবৃত্তের দিকাক্ষ \(2x+y=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, -1)\) পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2-4xy-50x+125=0\)।

\(Q.1.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-c=0\) এবং উপকেন্দ্র \((a, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত । পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \( y^2=(a-c)(2x-a-c)\)।

\(Q.1.(xvi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-6, -3)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, 1)\) ।
[ চঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \( (x-y)^2+38x+26y+41=0\)।

\(Q.1.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
[ সিঃ২০৩; ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।

\(Q.1.(xviii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(Y\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।

\(Q.1.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের একটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় যা \(x+2y-1=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(4x-2y+3=0\)।

\(Q.1.(xx)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( y=2x \)।

\(Q.1.(xxi)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় ও শীর্ষবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y\pm 2x=0\)

\(Q.1.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right); 8\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(x^2=4(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[সিঃ, চঃ ২০০১১;বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮,২০০৪ ]
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0) y-2=0\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(y^{2}=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right); 8\)

\(Q.1.(xxv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের যে বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\)।

\(Q.1.(xxvi)\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র মূলবিন্দু এবং \(2x+y-1=0\) রেখাকে নিয়ামক রেখা ধরে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-2y)^2+4x+2y-1=0, x-2y=0\)

\(Q.1.(xxvii)\) \((2, 0)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+2=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৮ ;মাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(y^2=8x\)।

\(Q.1.(xxviii)\) \((0, -4)\) উপকেন্দ্র এবং \(y-4=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৮ ;মাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(x^2=-16y\)।

\(Q.1.(xxix)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[ ঢাঃ ২০১১,২০০৮;দিঃ ২০১১;রাঃ,সিঃ ২০০৯কুঃ,চঃ ২০০৮;বঃ২০০৭,২০০৪ ]
উত্তরঃ \( 3x+4y+25=0\)।
1 2 3 4 5 6