পরাবৃত্ত (Parabola)

অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.3.(i)\) \(y^2=9x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P\) বিন্দুর কটি \(12\) হলে, ঐ বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ সিঃ,বঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(18\frac{1}{2}\)একক।

\(Q.3.(ii)\) \(y^2=4(x-2)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \((2, 0) , (3, 0)\)।

\((iii)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)

\(Q.3.(iv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((3, 2)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(5y^2=3x+11\)।

\(Q.3.(v)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((-2, 1)\) , \((1, 2)\) এবং \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উত্তরঃ \(5y^2-21y+2x+20=0\)।

\(Q.3.(vi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 5)\) , \((-2, 11)\) এবং \((-4, 21)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(x^2-2y-4x+10=0\)।

\(Q.3.(vii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) ও \((3, -3)\) ।
উত্তরঃ \(y^2-2y-8x+9=0, y^2-2y+8x-39=0\)।

\(Q.3.(viii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) ।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)।

\(Q.3.(ix)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=7\), এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৯,২০০৫,২০০৩] উত্তরঃ \((x-4)^2=-16(y-3), 16\)।

\(Q.3.(x)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((0, 0)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুতে অবস্থান করে। পরাবৃত্তটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[সিঃ ২০১১,চঃ ২০১০;যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x+y+10=0, (x-2y)^2-40x-20y-100=0 \)।

\(Q.3.(xi)\) যে, পরাবৃত্তের শীর্ষ \((2, 3)\) বিন্দুতে এবং নাভিলম্বের সমীকরণ \(x=4\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর। নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=8(x-2), (4, 7), (4, -1)\)

\(Q.3.(xii)\) \((2, 5)\) বিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((0, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
[সিঃ ২০১২,২০০৫; চঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2)\)।

\(Q.3.(xiii)\) \((y-2)^2=5(x-1)\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(\frac{25}{4} \) উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \((6, 7), (6, -3)\)।

\(Q.3.(xiv)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(32 \) বর্গ একক।

\(Q.3.(xv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের ঋনাত্মক প্রান্তবিন্দু এবং নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y+3=0 \)।

\(Q.3.(xvi)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0 \)।

\(Q.3.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 0)\) ও \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x^2-8x-32y+16=0\)।

\(Q.3.(xviii)\) \(x^2=-6ay\) পরাবৃত্তটি \((9, 4)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{81}{4}, \left(0, \frac{81}{16}\right)\)।

\(Q.3.(xix)\) \(x+2y-2=0\) সরলরেখাটি যে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব এবং যার উপকেন্দ্র \((-6, -6)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2x-y)^2+104x+148y-124=0\)।

\(Q.3.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((2, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=12(x-2); (b) (x-2)^2=12(y+3)\)।

\(Q.3.(xxi)\)একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) একক।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=4(x-4); (b) (x-4)^2=4(y+3)\)।

\(Q.3.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটি \(2x^2+2y^2-4x+12y-1=0\) বৃত্তের কেন্দ্রগামী হলে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{9}{4}, 0\right); 9\)।

\(Q.3.(xxiii)\) দেখাও যে, \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তস্থ \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক জ্যা-এর সমীকরণ \((y-y_1)(y-y_2)=y^2-4ax \)।
1 2 3 4 5 6

Leave a Reply