পরাবৃত্ত (Parabola)

অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.3.(i)\) \(y^2=9x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P\) বিন্দুর কটি \(12\) হলে, ঐ বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ সিঃ,বঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(18\frac{1}{2}\)একক।

\(Q.3.(ii)\) \(y^2=4(x-2)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \((2, 0) , (3, 0)\)।

\((iii)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)

\(Q.3.(iv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((3, 2)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(5y^2=3x+11\)।

\(Q.3.(v)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((-2, 1)\) , \((1, 2)\) এবং \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উত্তরঃ \(5y^2-21y+2x+20=0\)।

\(Q.3.(vi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 5)\) , \((-2, 11)\) এবং \((-4, 21)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(x^2-2y-4x+10=0\)।

\(Q.3.(vii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) ও \((3, -3)\) ।
উত্তরঃ \(y^2-2y-8x+9=0, y^2-2y+8x-39=0\)।

\(Q.3.(viii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) ।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)।

\(Q.3.(ix)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=7\), এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৯,২০০৫,২০০৩] উত্তরঃ \((x-4)^2=-16(y-3), 16\)।

\(Q.3.(x)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((0, 0)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুতে অবস্থান করে। পরাবৃত্তটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[সিঃ ২০১১,চঃ ২০১০;যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x+y+10=0, (x-2y)^2-40x-20y-100=0 \)।

\(Q.3.(xi)\) যে, পরাবৃত্তের শীর্ষ \((2, 3)\) বিন্দুতে এবং নাভিলম্বের সমীকরণ \(x=4\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর। নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=8(x-2), (4, 7), (4, -1)\)

\(Q.3.(xii)\) \((2, 5)\) বিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((0, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
[সিঃ ২০১২,২০০৫; চঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2)\)।

\(Q.3.(xiii)\) \((y-2)^2=5(x-1)\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(\frac{25}{4} \) উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \((6, 7), (6, -3)\)।

\(Q.3.(xiv)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(32 \) বর্গ একক।

\(Q.3.(xv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের ঋনাত্মক প্রান্তবিন্দু এবং নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y+3=0 \)।

\(Q.3.(xvi)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0 \)।

\(Q.3.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 0)\) ও \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x^2-8x-32y+16=0\)।

\(Q.3.(xviii)\) \(x^2=-6ay\) পরাবৃত্তটি \((9, 4)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{81}{4}, \left(0, \frac{81}{16}\right)\)।

\(Q.3.(xix)\) \(x+2y-2=0\) সরলরেখাটি যে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব এবং যার উপকেন্দ্র \((-6, -6)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2x-y)^2+104x+148y-124=0\)।

\(Q.3.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((2, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=12(x-2); (b) (x-2)^2=12(y+3)\)।

\(Q.3.(xxi)\)একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) একক।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=4(x-4); (b) (x-4)^2=4(y+3)\)।

\(Q.3.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটি \(2x^2+2y^2-4x+12y-1=0\) বৃত্তের কেন্দ্রগামী হলে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{9}{4}, 0\right); 9\)।

\(Q.3.(xxiii)\) দেখাও যে, \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তস্থ \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক জ্যা-এর সমীকরণ \((y-y_1)(y-y_2)=y^2-4ax \)।

অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.3\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.3.(i)\) \(y^2=9x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P\) বিন্দুর কটি \(12\) হলে, ঐ বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ সিঃ,বঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(18\frac{1}{2}\)একক।

সমাধানঃ

ধরি, straight3
\(y^2=9x ………(1)\)
দেওয়া আছে, \(P\) বিন্দুর কটি \(12\)
বিন্দুটির ভুজ \(x\) হলে, বিন্দুটি \(P(x, 12)\)
\(P\) বিন্দুটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore 12^2=9x\)
\(\Rightarrow 144=9x\)
\(\Rightarrow 9x=144\)
\(\Rightarrow x=\frac{144}{9}\)
\(\therefore x=16\)
\(\therefore P(16, 12)\)
এখানে,
\((1)\)-এর ক্ষেত্রে,
\(4a=9\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{9}{4}\)
\(\therefore (1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{9}{4}, 0\right)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(16-\frac{9}{4})^2+(12-0)^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{64-9}{4})^2+(12)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{3025}{16}+144}\)
\(=\sqrt{\frac{3025+2304}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{5329}{16}}\)
\(=\frac{73}{4}\)
\(=18\frac{1}{4}\) একক।

\(Q.3.(ii)\) \(y^2=4(x-2)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \((2, 0) , (3, 0)\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, straight3
\(y^2=4(x-2)\)
\(\Rightarrow Y^2=4X ……(1)\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y\)
এখানে,
\(4a=4\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=1\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=0\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(2, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=1, y=0\)
\(\Rightarrow x=1+2, y=0\)
\(\therefore x=3, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(3, 0)\)

\(Q.3.(iii)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)

সমাধানঃ

ধরি, straight3
\(3y^2-10x-12y-18=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{10}{3}x-4y-6=0\) | উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4-\frac{10}{3}x-6=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}x+10\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)\)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{10}{3}X ……..(1)\) যেখানে, \(X=x+3, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=\frac{10}{3}\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{10}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{5}{3\times 2}\)
\(\therefore a=\frac{5}{6}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, 2)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{6}-3, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{5-18}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=-\frac{13}{6}, y=2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{13}{6}, 2\right)\)
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-2=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{6}-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{-5-18}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-23}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{23}{6}\)
\(\Rightarrow 6x=-23\)
\(\Rightarrow 6x+23=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(6x+23=0\)

\(Q.3.(iv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((-2, 1)\) , \((3, 2)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উত্তরঃ \(5y^2=3x+11\)।

সমাধানঃ

\(Q.3.(v)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((-2, 1)\) , \((1, 2)\) এবং \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উত্তরঃ \(5y^2-21y+2x+20=0\)।

সমাধানঃ

শর্তমতে,straight3
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ……..(1)\) | অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x=ay^2+by+c\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((-2, 1)\) , \((1, 2)\) এবং \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore -2=a.1^2+b.1+c\)
\(\Rightarrow -2=a.1+b+c\)
\(\Rightarrow a+b+c=-2 …..(2)\)
আবার,
\(\therefore 1=a.2^2+b.2+c\)
\(\therefore 1=a.4+2b+c\)
\(\therefore 4a+2b+c=1 …..(3)\)
আবার,
\(\therefore -1=a.3^2+b.3+c\)
\(\therefore -1=a.9+3b+c\)
\(\therefore 9a+3b+c=-1 …..(4)\)
\((3)\)-\((2)\)-এর সাহায্যে
\(4a+2b+c-a-b-c=1+2\)
\(3a+b=3 …….(5)\)
\((4)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে
\(9a+3b+c-4a-2b-c=-1-1\)
\(5a+b=-2 …….(6)\)
আবার,
\((6)\)-\((5)\)-এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 5a+b-3a-b=-2-3\)
\(\Rightarrow 2a=-5\)
\(\Rightarrow a=-\frac{5}{2}\)
\((6)\)-এর সাহায্যে
\(5a+b=-2 \)
\(\Rightarrow b=-2-5a \)
\(\Rightarrow b=-2-5\times -\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow b=-2+\frac{25}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{-4+25}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{21}{2}\)
\((2)\)-এর সাহায্যে
\(a+b+c=-2\)
\(\Rightarrow c=-2-a-b\)
\(\Rightarrow c=-2+\frac{5}{2}-\frac{21}{2}\)
\(\Rightarrow c=\frac{-4+5-21}{2}\)
\(\Rightarrow c=\frac{-20}{2}\)
\(\Rightarrow c=-10\)
\(a, b, c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore x=-\frac{5}{2}.y^2+\frac{21}{2}.y-10\)
\(\Rightarrow 2x=-5y^2+21y-20\) | উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x+5y^2-21y+20=0\)
\(\Rightarrow 5y^2-21y+2x+20=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(vi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 5)\) , \((-2, 11)\) এবং \((-4, 21)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(x^2-2y-4x+10=0\)।

সমাধানঃ

শর্তমতে,straight3
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ……..(1)\) | অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y=ax^2+bx+c\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((4, 5)\) , \((-2, 11)\) এবং \((-4, 21)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 5=a.4^2+b.4+c\)
\(\Rightarrow 5=a.16+4b+c\)
\(\Rightarrow 16a+4b+c=5 …..(2)\)
আবার,
\(\therefore 11=a.(-2)^2+b.(-2)+c\)
\(\therefore 11=a.4-2b+c\)
\(\therefore 4a-2b+c=11 …..(3)\)
আবার,
\(\therefore 21=a.(-4)^2+b.(-4)+c\)
\(\therefore 21=a.16-4b+c\)
\(\therefore 16a-4b+c=21 …..(4)\)
\((2)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে
\(16a+4b+c-4a+2b-c=5-11\)
\(12a+6b=-6\)
\(2a+b=-1 …….(5)\) | উভয় পার্শে \(6\) ভাগ করে।
\((4)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে
\(16a-4b+c-4a+2b-c=21-11\)
\(12a-2b=10\)
\(6a-b=5 …….(6)\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
আবার,
\((6)\)+\((5)\)-এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 6a-b+2a+b=5-1\)
\(\Rightarrow 8a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{8}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\((6)\)-এর সাহায্যে
\(6a-b=5 \)
\(\Rightarrow 6a-5=b \)
\(\Rightarrow b=6a-5 \)
\(\Rightarrow b=6.\frac{1}{2}-5 \)
\(\Rightarrow b=3-5 \)
\(\Rightarrow b=-2 \)
\((2)\)-এর সাহায্যে
\(16a+4b+c=5\)
\(\Rightarrow c=5-16a-4b\)
\(\Rightarrow c=5-16\times \frac{1}{2}-4\times -2\)
\(\Rightarrow c=5-8+8\)
\(\Rightarrow c=5\)
\(a, b, c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore y=\frac{1}{2}.x^2+(-2).x+5\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{2}.x^2-2x+5\)
\(\Rightarrow 2y=x^2-4x+10\) | উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+10=2y\)
\(\Rightarrow x^2-2y-4x+10=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(vii)\) এরুপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) ও \((3, -3)\) ।
উত্তরঃ \(y^2-2y-8x+9=0, y^2-2y+8x-39=0\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \(L(3, 5)\) ও \(\acute L(3, -3)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S, L\acute L\)-এর মধ্যবিন্দু।
\(S\left(\frac{3+3}{2}, \frac{5-3}{2}\right)\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{6}{2}, \frac{2}{2}\right)\)
\(\therefore S(3, 1)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের তথা \(L\acute L\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{3-3}=\frac{y-5}{5+3}\) | \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow 8(x-3)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0\) যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
অর্থাৎ উপকেন্দ্রিক লম্ব \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল। তাহলে পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল হবে।
ধরি,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(a+\alpha, \beta)\)
অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha) ……..(1)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(|4a|=L\acute L=|5+3|\)
\(\Rightarrow |4a|=|8|\)
\(\Rightarrow |4a|=8\)
\(\Rightarrow 4a=\pm 8\)
\(\Rightarrow a=\pm \frac{8}{4}\)
\(\therefore a=\pm 2\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(3, 1)\)
\(\therefore a+\alpha=3, \beta=1\)
\(\Rightarrow \alpha=3-a, \beta=1\)
\(\Rightarrow \alpha=3-2, \beta=1\) | যখন, \(a=2\)
\(\Rightarrow \alpha=1, \beta=1\)
\(\therefore A(1, 1)\)
আবার,
\(\Rightarrow \alpha=3+2, \beta=1\) | যখন, \(a=-2\)
\(\Rightarrow \alpha=5, \beta=1\)
\(\therefore A(5, 1)\)
এখন,
\(\alpha, \beta\)-এর মান \(\)-এ বসিয়ে,
\(\therefore (y-1)^2=4.2.(x-1)\) | যখন, \(a=2, \alpha=1, \beta=1\)
\(\Rightarrow (y-1)^2=8(x-1)\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1=8x-8\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1-8x+8=0\)
\(\Rightarrow y^2-2y-8x+9=0\)
আবার,
\(\therefore (y-1)^2=4.(-2).(x-5)\) | যখন, \(a=-2, \alpha=5, \beta=1\)
\(\Rightarrow (y-1)^2=-8(x-5)\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1=-8x+40\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1+8x-40=0\)
\(\Rightarrow y^2-2y+8x-39=0\)
নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ, \(y^2-2y-8x+9=0, y^2-2y+8x-39=0\)

\(Q.3.(viii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) ।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.3.(ix)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=7\), এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৯,২০০৫,২০০৩]
উত্তরঃ \((x-4)^2=-16(y-3), 16\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(y-7=0 …….(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(4, 3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+k=0 …….(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(4, 3)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 4+k=0\)
\(\Rightarrow k=-4\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-4=0 ……..(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore Z(4, 7)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+4}{2}, \frac{\beta+7}{2}\right)\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(4, 3)\)
\(\therefore A\left(\frac{\alpha+4}{2}, \frac{\beta+7}{2}\right)\Rightarrow A(4, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+4}{2}=4, \frac{\beta+7}{2}=3\)
\(\Rightarrow \alpha+4=8, \beta+7=6\)
\(\Rightarrow \alpha=8-4, \beta=6-7\)
\(\Rightarrow \alpha=4, \beta=-1\)
\(\therefore S(4, -1)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(4, -1)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(y-7=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\frac{|y-7|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\frac{|y-7|}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\frac{|y-7|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\frac{|y-7|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=|y-7|\)
\(\Rightarrow (x-4)^2+(y+1)^2=(y-7)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-4)^2=(y-7)^2-(y+1)^2\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=(y-7-y-1)(y-7+y+1)\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=-8(2y-6)\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=-8.2(y-3)\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=-16(y-3)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\(4a=-16\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|-16|\)
\(=16\) একক।

\(Q.3.(x)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((0, 0)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুতে অবস্থান করে। পরাবৃত্তটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[সিঃ ২০১১,চঃ ২০১০;যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x+y+10=0, (x-2y)^2-40x-20y-100=0 \)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(-2, -1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়।
অক্ষরেখার সমীকরণ, \(\frac{x-0}{0+2}=\frac{y-0}{0+1}\) | \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow x=2y\)
\(\Rightarrow x-2y=0\)
\(\therefore x-2y=0 ……(1)\)
ইহাই অক্ষের সমীকরণ।
আবার,
ধরি, অক্ষরেখা এবং নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\).
এখন,
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x+0}{2}, \frac{y+0}{2}\right)\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(-2, -1)\)
\(\therefore A\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)\Rightarrow A(-2, -1)\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}=-2, \frac{y}{2}=-1 \)
\(\Rightarrow x=-4, y=-2 \)
\(\therefore Z(-4, -2)\)
নিয়ামক রেখার অক্ষরেখার উপর লম্ব।
\(\therefore (1)\) -এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ……(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(Z(-4, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 2.(-4)+(-2)+k=0\)
\(\Rightarrow -8-2+k=0\)
\(\Rightarrow -10+k=0\)
\(\therefore k=10\)
\(k=10\)-এর এই মাণ \( (2)\) -এ বসিয়ে,
\(2x+y+10=0\)
ইহাই নির্ণেয় নিয়ামক রেখার সমীকরণ।
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(2x+y+10=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|2x+y+10|}{\sqrt{2^2+1^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|2x+y+10|}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|2x+y+10|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{(2x+y+10)^2}{5}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2=(2x+y+10)^2\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2=4x^2+y^2+100+4xy+20y+40x\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-4x^2-y^2-100-4xy-20y-40x=0\)
\(\Rightarrow x^2-4xy+4y^2-40x-20y-100=0\)
\(\Rightarrow (x-2y)^2-40x-20y-100=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xi)\) যে, পরাবৃত্তের শীর্ষ \((2, 3)\) বিন্দুতে এবং নাভিলম্বের সমীকরণ \(x=4\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর। নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=8(x-2), (4, 7), (4, -1)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
পরাবৃত্তের শীর্ষ \((2, 3)\)
নাভিলম্বের সমীকরণ \(x-4=0 ….(1)\) যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
অক্ষরেখা নাভিলম্বের উপর লম্ব, ফলে অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-3)^2=4a(x-2) ……(2)\) |
অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু হতে নাভিলম্বের লম্ব দূরত্ব \(=a\)
\(\therefore a=\frac{|2-4|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{|-2|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{2}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{2}{1}\)
\(\therefore a=2\)
\(a=2\)-এর এই মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\((y-3)^2=4.2.(x-2)\)
\(\therefore (y-3)^2=8(x-2) ….(3)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমিকরণ,
আবার,
\((1)\) হতে \(x=4, (3)\)-এ বসিয়ে,
\((y-3)^2=8(4-2)\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=8.2\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=16\)
\(\Rightarrow y-3=\pm \sqrt{16}\)
\(\Rightarrow y=3\pm 4\)
\(\Rightarrow y=3+4, 3-4\)
\(\Rightarrow y=7, -1\)
\(\therefore\) নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \( (4, 7), (4, -1)\)

\(Q.3.(xii)\) \((2, 5)\) বিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((0, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
[সিঃ ২০১২,২০০৫; চঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2)\)।

সমাধানঃ

শর্তমতে, straight3
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ……(1)\) | অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল ।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b}{2a}=0, -\frac{b^2-4ac}{4a}=2\) | দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) ।
\(\Rightarrow b=0, b^2-4ac=-8a\)
\(\Rightarrow 0^2-4ac=-8a\) | \(\because b=0\) ।
\(\Rightarrow -4ac=-8a \)
\(\Rightarrow c=\frac{-8a}{-4a} \)
\(\therefore c=2\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 5=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 5=4a+2.0+2\) \(\because b=0, c=2\) ।
\(\Rightarrow 4a+2=5\)
\(\Rightarrow 4a=5-2\)
\(\Rightarrow 4a=3\)
\(\therefore a=\frac{3}{4}\)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\frac{3}{4}.x^2+0.x+2\)
\(\Rightarrow y=\frac{3}{4}.x^2+0+2\)
\(\Rightarrow 4y=3x^2+8\)
\(\Rightarrow 3x^2+8=4y\)
\(\Rightarrow 3x^2=4y-8\)
\(\therefore 3x^2=4(y-2)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xiii)\) \((y-2)^2=5(x-1)\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(\frac{25}{4} \) উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \((6, 7), (6, -3)\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
\((y-2)^2=5(x-1)……..(1)\)
\(Y^2=5X ……..(2)\) যেখানে, \(X=x-1, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=5\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{5}{4}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{5}{4}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=1+\frac{5}{4}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{4+5}{4}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}, y=2\)
\(\therefore S\left(\frac{9}{4}, 2\right)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^2+(y-2)^2}=\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{9}{4}\right)^2+(y-2)^2=\left(\frac{25}{4}\right)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}+(y-2)^2=\frac{625}{16}\)
\(\Rightarrow 16x^2-72x+81+16(y-2)^2=625\)
\(\Rightarrow 16x^2+16(y-2)^2-72x+81-625=0\)
\(\Rightarrow 16x^2+16(y-2)^2-72x-544=0\)
\(\Rightarrow 16x^2+16\times 5(x-1)-72x-544=0\) | \((1)\)-এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 16x^2+80(x-1)-72x-544=0\)
\(\Rightarrow 16x^2+80x-80-72x-544=0\)
\(\Rightarrow 16x^2+8x-624=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+x-78=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.2.(-78)}}{2.2}\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান, \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{1+624}}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{625}}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm 25}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1+25}{4}, \frac{-1-25}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{24}{4}, \frac{-26}{4}\)
\(\therefore x=6, x\ne \frac{-26}{4}\)
\(x=6\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\((y-2)^2=5.5\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=25\)
\(\Rightarrow y-2=\pm \sqrt{25}\)
\(\Rightarrow y=2\pm 5\)
\(\Rightarrow y=2+5, 2-5\)
\(\therefore y=7, -3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((6, 7), (6, -3) \) ।

\(Q.3.(xiv)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(32 \) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(y^2=16x ……(1)\)
\((1)\)-এর শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
এখানে,
\(4a=16\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{16}{4}\)
\(\therefore a=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x=4 …..(2)\)
\((2)\) হতে \(x\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=16.4\)
\(\Rightarrow y^2=64\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{64}\)
\(\therefore y=\pm 8\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(4, 8), \acute L(4, -8)\)
\(\therefore \triangle AL\acute L=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 4 \ \ \ \ \ \ 4 \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ 8 \ -8 \ \ 0\end{array}\right|\) | কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(0-0)+(-32-32)+(0-0)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-64+0\}\)
\(=\frac{1}{2}\times -64\)
\(=-32\)
\(=32\) বর্গ একক। | \(\because \triangle \ne -ve\)

\(Q.3.(xv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের ঋনাত্মক প্রান্তবিন্দু এবং নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y+3=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(y^2=12x ……(1)\)
এখানে,
\(4a=12\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{4}\)
\(\therefore a=3\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x=3 …..(2)\)
\((2)\) হতে \(x\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=12.3\)
\(\Rightarrow y^2=36\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{36}\)
\(\therefore y=\pm 6\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের ঋনাত্মক প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(\acute L(3, -6)\)
নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z(-a, 0)\)
\(\Rightarrow Z(-3, 0)\)
\(\therefore Z\acute L\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x+3}{-3-3}=\frac{y-0}{0+6}\) | \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+3}{-6}=\frac{y}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{x+3}{-1}=y\)
\(\Rightarrow x+3=-y\)
\(\therefore x+y+3=0\)
ইহাই নির্ণেয় রেখার সমীকরণ ।

\(Q.3.(xvi)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0 \)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)
\(L\acute L\)-এর মধ্যবিন্দু হবে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{-2-2}{2}, \frac{2-4}{2}\right)\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{-4}{2}, \frac{-2}{2}\right)\)
\(\therefore S(-2, -1)\)
\(\because L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)-এর ভুজ অভিন্ন তাই \(L\acute L\) তথা উপকেন্দ্রিক লম্ব \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
ফলে পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
ধরি, পরাবৃত্তের শীর্ষ \(A(\alpha, \beta)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha) ……(1)\) |
অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)

\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(|4a|=|2+4|=6\) | উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)-এর কটি দ্বয়ের অন্তর।
\(\Rightarrow |4a|=6\)
\(\Rightarrow 4a=\pm 6\)
\(\Rightarrow a=\pm \frac{6}{4}\)
\(\therefore a=\pm \frac{3}{2}\)
এখন,
\(S(a+\alpha, \beta)\Rightarrow S(-2, -1)\)
\(\Rightarrow a+\alpha=-2, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=-2-a, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=-2-\frac{3}{2}, \beta=-1\) | যখন, \(a=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-4-3}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-7}{2}, \beta=-1\)
\(\therefore \alpha=-\frac{7}{2}, \beta=-1\)
আবার,
\(\Rightarrow \alpha=-2+\frac{3}{2}, \beta=-1\) | যখন, \(a=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-4+3}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-1}{2}, \beta=-1\)
\(\therefore \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1\)
\(a, \alpha, \beta\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((y+1)^2=4\times \frac{3}{2}\times \left(x+\frac{7}{2}\right)\)| যখন, \(a=\frac{3}{2},\alpha=-\frac{7}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=6\left(\frac{2x+7}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=3(2x+7)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1=6x+21\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1-6x-21=0\)
\(\therefore y^2+2y-6x-20=0\)
আবার,
\((y+1)^2=4\times -\frac{3}{2}\times \left(x+\frac{1}{2}\right)\)| যখন, \(a=-\frac{3}{2},\alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-6\left(\frac{2x+1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-3(2x+1)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1=-6x-3\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1+6x+3=0\)
\(\therefore y^2+2y+6x+4=0\)
\(\therefore\) পরাবৃত্তের সমীকরণ, \( y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)

\(Q.3.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 0)\) ও \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x^2-8x-32y+16=0\)।

সমাধানঃ

শর্তমতে, straight3
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ……(1)\) | অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল ।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b}{2a}=x, -\frac{b^2-4ac}{4a}=0\) | দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((x, 0)\) যা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow b^2=4ac …..(2)\) | \(\because b=0\) ।
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((4, 0)\) ও \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 0=a.4^2+b.4+c\)
\(\Rightarrow 0=a.16+4b+c\)
\(\therefore 16a+4b+c=0 ……(3)\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{2}=a.0^2+b.0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=a.0+0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=c\)
\(\therefore c=\frac{1}{2}\)
\(c\)-এর এই মান \((3)\)-এ বসিয়ে,
\(16a+4b+\frac{1}{2}=0 \)
\(\Rightarrow 32a+8b+1=0 \) | উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 32a=-8b-1 \)
\(\Rightarrow a=-\frac{8b+1}{32} …….(4)\)
\((2)\) নং সমীকরণে \(a, c\)-এর মান বসিয়ে,
\(b^2=4\times -\frac{8b+1}{32}\times \frac{1}{2}\) | \(\because a=-\frac{8b+1}{32}, c=\frac{1}{2}\).
\(\Rightarrow b^2=-\frac{8b+1}{8}\times \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow b^2=-\frac{8b+1}{16}\)
\(\Rightarrow 16b^2=-(8b+1)\)
\(\Rightarrow 16b^2=-8b-1\)
\(\Rightarrow 16b^2+8b+1=0\)
\(\Rightarrow (4b+1)^2=0\)
\(\Rightarrow 4b+1=0\)
\(\Rightarrow 4b=-1\)
\(\therefore b=-\frac{1}{4}\)
\((4)\)-এর সাহায্যে,
\(a=-\frac{8\times -\frac{1}{4}+1}{32}\) | \(\because b=-\frac{1}{4}\).
\(\Rightarrow a=-\frac{-2+1}{32}\)
\(\Rightarrow a=-\frac{-1}{32}\)
\(\therefore a=\frac{1}{32}\)
\(a, b, c\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(y=\frac{1}{32}.x^2-\frac{1}{4}.x+\frac{1}{2}\) | \(\because a=\frac{1}{32}, b=-\frac{1}{4}, c=\frac{1}{2}\).
\(\Rightarrow 32y=x^2-8x+16\) | উভয় পার্শে \(32\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2-8x+16=32y\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16-32y=0\)
\(\Rightarrow x^2-8x-32y+16=0\)
\(\therefore x^2-8x-32y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xviii)\) \(x^2=-6ay\) পরাবৃত্তটি \((9, 4)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{81}{4}, \left(0, \frac{81}{16}\right)\)।

সমাধানঃ

ধরিstraight3
\(x^2=-6ay……(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((9, 4)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 9^2=-6a.4\)
\(\Rightarrow 81=-24a\)
\(\Rightarrow 24a=-81\)
\(\therefore a=-\frac{81}{24}\)
\(a\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(x^2=-6\left(-\frac{81}{24}\right)y\)
\(\therefore x^2=\frac{81}{4}y ……(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{81}{4}\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{81}{16}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{81}{16}|\)
\(=|\frac{81}{4}|\)
\(=\frac{81}{4}\) একক।
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, a)\)
\(\therefore S(0, \frac{81}{16})\)

\(Q.3.(xix)\) \(x+2y-2=0\) সরলরেখাটি যে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব এবং যার উপকেন্দ্র \((-6, -6)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (2x-y)^2+104x+148y-124=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x+2y-2=0 ……..(1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার উপর লম্ব হবে।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(2x-y+k=0 ……..(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((2)\) নং সরলরেখা \(S(-6, -6)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore -12+6+k=0\)
\(\therefore -6+k=0\)
\(\Rightarrow k=6\)
\(k=6, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(2x-y+6=0 ……..(3)\) যা অক্ষরেখার সমীকরণ,
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দু হবে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\)
\((1)+(3)\times 2\)-এর সাহায্যে,
\(\therefore x+2y-2+4x-2y+12=0 \)
\(\Rightarrow 5x+10=0 \)
\(\Rightarrow 5x=-10 \)
\(\therefore x=-2 \)
\((3)\) হতে,
\(2x+6=y\)
\(\Rightarrow y=2x+6\)
\(\Rightarrow y=2.(-2)+6\)
\(\Rightarrow y=-4+6\)
\(\Rightarrow y=2\)
\(\therefore A(-2, 2)\)
অক্ষরেখা এবং নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু হবে \(A(-2, 2)\)
\(\therefore \left(\frac{x-6}{2}, \frac{y-6}{2}\right)\Rightarrow A(-2, 2)\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{x-6}{2}=-2, \frac{y-6}{2}=2\)
\(\Rightarrow x-6=-4, y-6=4\)
\(\Rightarrow x=-4+6, y=4+6\)
\(\Rightarrow x=2, y=10\)
\(\therefore Z(2, 10)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল রেখা হবে পরাবৃত্তের দিকাক্ষ।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x+2y+k=0 ……..(4)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখা \(Z(2, 10)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 2+2.10+k=0 \)
\(\Rightarrow 2+20+k=0 \)
\(\Rightarrow 22+k=0 \)
\(\Rightarrow k=-22 \)
\(k=-22, (4)\) -এ বসিয়ে,
\(x+2y-22=0 ……..(5)\) যা পরাবৃত্তের দিকাক্ষ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1^2+2^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x+6)^2+(y+6)^2=\frac{(x+2y-22)^2}{5}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5\{(x+6)^2+(y+6)^2\}\)\(=(x+2y-22)^2\)
\(\Rightarrow 5(x^2+12x+36+y^2+12y+36)\)\(=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x\)
\(\Rightarrow 5(x^2+y^2+12x+12y+72)\)\(=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2+60x+60y+360-x^2-\)\(4y^2-484-4xy+88y+44x=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4xy+y^2+104x+148y-124=0\)
\(\Rightarrow (2x-y)^2+104x+148y-124=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

বিকল্প পদ্ধতিঃ

ধরি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\)
শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব রেখা \(x+2y-2=0 ……..(1)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার সমান্তরাল হবে।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x+2y+k=0 ……..(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) -এর লম্ব দূরত্ব, উপকেন্দ্র হতে \((1)\) -এর লম্ব দূরত্বের সমান।
\(\frac{|k+2|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|-6-12-2|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+2|}{\sqrt{1+4}}=\frac{|-20|}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+2|}{\sqrt{5}}=\frac{20}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow |k+2|=20\)
\(\Rightarrow k+2=\pm 20\)
\(\Rightarrow k=\pm 20-2\)
\(\Rightarrow k=20-2, k=-20-2\)
\(\Rightarrow k\ne 18, k=-22\)
\(k=-22, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(x+2y-22=0 ……..(3)\) যা দিকাক্ষের সমীকরণ,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1^2+2^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x+6)^2+(y+6)^2=\frac{(x+2y-22)^2}{5}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5\{(x+6)^2+(y+6)^2\}\)\(=(x+2y-22)^2\)
\(\Rightarrow 5(x^2+12x+36+y^2+12y+36)\)\(=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x\)
\(\Rightarrow 5(x^2+y^2+12x+12y+72)\)\(=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2+60x+60y+360-x^2\)\(-4y^2-484-4xy+88y+44x=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4xy+y^2+104x+148y-124=0\)
\(\Rightarrow (2x-y)^2+104x+148y-124=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((2, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(12\) একক।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=12(x-2); (b) (x-2)^2=12(y+3)\)।

সমাধানঃ

\(Q.3.(xx).(a)\)
শর্তমতে, straight3
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ……(1)\) |
অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{a}\)

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{a}=12\)
\(\Rightarrow 12a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{12}\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b^2-4ac}{4a}=2, -\frac{b}{2a}=-3, \) | দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((2, -3)\) ।
\(\Rightarrow b^2-4ac=-8a, b=6a\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=-8a, b=6\times \frac{1}{12}\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=-8a, b=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow (\frac{1}{2})^2-4\times \frac{1}{12}\times c=-8\times \frac{1}{12}\) | \(\because a=\frac{1}{12}, b=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{4}-\frac{1}{3}c=-\frac{2}{3} \)
\(\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow \frac{3+8}{12}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow \frac{11}{12}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow \frac{11}{12}\times 3=c \)
\(\Rightarrow c=\frac{11}{4}\)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(x=\frac{1}{12}.y^2+\frac{1}{2}.y+\frac{11}{4}\)
\(\Rightarrow 12x=y^2+6y+33\)
\(\Rightarrow 12x=y^2+6y+9+24\)
\(\Rightarrow 12(x-2)=(y+3)^2\)
\(\therefore (y+3)^2=12(x-2)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xx).(b)\)
শর্তমতে, straight3
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ……(1)\) |
অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{a}\)

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{a}=12\)
\(\Rightarrow 12a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{12}\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b}{2a}=2, -\frac{b^2-4ac}{4a}=-3, \) | দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((2, -3)\) ।
\(\Rightarrow b=-4a, b^2-4ac=12a\)
\(\Rightarrow b=-4\times \frac{1}{12}, b^2-4ac=12a\)
\(\Rightarrow b=-\frac{1}{3}, b^2-4ac=12a\)
\(\Rightarrow (-\frac{1}{3})^2-4\times \frac{1}{12}\times c=12\times \frac{1}{12}\) | \(\because a=\frac{1}{12}, b=-\frac{1}{3}\) ।
\(\Rightarrow \frac{1}{9}-\frac{1}{3}c=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}-1=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow \frac{1-9}{9}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow -\frac{8}{9}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow -\frac{8}{9}\times 3=c \)
\(\Rightarrow c=-\frac{8}{3}\)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\frac{1}{12}.x^2-\frac{1}{3}.x-\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow 12y=x^2-4x-32\)
\(\Rightarrow 12y=x^2-4x+4-36\)
\(\Rightarrow 12y+36=x^2-4x+4\)
\(\Rightarrow 12(y+3)=(x-2)^2\)
\(\therefore (x-2)^2=12(y+3)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xxi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) একক।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=4(x-4); (b) (x-4)^2=4(y+3)\)।

সমাধানঃ

\(Q.3.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটি \(2x^2+2y^2-4x+12y-1=0\) বৃত্তের কেন্দ্রগামী হলে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{9}{4}, 0\right); 9\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(y^2=4ax ……(1)\)
\(2x^2+2y^2-4x+12y-1=0\)
\(x^2+y^2-2x+6y-\frac{1}{2}=0 ……(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=6, c=-\frac{1}{2}\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=3, c=-\frac{1}{2}\)
\((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (1, -3)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((1, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (-3)^2=4a.1\)
\(\Rightarrow 9=4a\)
\(\Rightarrow 4a=9\)
\(\Rightarrow a=\frac{9}{4}\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{9}{4}, 0\right)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{9}{4}|\)
\(=|9|\)
\(=9\) একক।

\(Q.3.(xxiii)\) দেখাও যে, \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তস্থ \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক জ্যা-এর সমীকরণ \((y-y_1)(y-y_2)=y^2-4ax \)।

সমাধানঃ

ধরি, straight3
\(y^2=4ax ………(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুগামী।
\(y^2_1=4ax_1 ………(2)\)
\(y^2_2=4ax_2 ………(3)\)
\((2)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে,
\(y^2_1-y^2_2=4a(x_1-x_2)\)
\(\Rightarrow (y_1-y_2)(y_1+y_2)=4a(x_1-x_2)\)
\(\Rightarrow \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{4a}{y_1+y_2} ……..(4)\)
এখন,
\((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\) | \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{x-x_1} ………(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) হতে,
\(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{4a}{y_1+y_2}\)
\(\Rightarrow (y-y_1)(y_1+y_2)=4a(x-x_1)\)
\(\Rightarrow yy_1+yy_2-y^2_1-y_1y_2=4ax-4ax_1\)
\(\Rightarrow yy_1+yy_2-y^2_1-y_1y_2=4ax-y^2_1\) | \(\because y^2_1=4ax_1\)
\(\Rightarrow yy_1+yy_2-y_1y_2=4ax\)
\(\Rightarrow -yy_1-yy_2+y_1y_2=-4ax\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow y^2-yy_1-yy_2+y_1y_2=y^2-4ax\) | উভয় পার্শে \(y^2\) যোগ করে।
\(\Rightarrow y(y-y_1)-y_2(y-y_1)=y^2-4ax\)
\(\therefore (y-y_1)(y-y_2)=y^2-4ax\)
(Showed)

1 2 3 4 5 6

Please comment on the Article