পরাবৃত্ত (Parabola)

অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q.4.(i)\) \(y^2=4x\) পরাবৃত্তের উপর \((1, 2)\) একটি বিন্দু।
\((a)\) \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত পরাবৃত্তের উপর এমন একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার ভুজ কটির দ্বিগুণ।
\((c)\) \(x^2=8y\) পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+y+1=0\) সরলরেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \((a) x-y+1=0 ;\) \((b) \ P(16, 8) ;\) \((c) \ x-y+2=0\) ।

\(Q.4.(ii)\) \(y=2x+1\) রেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((a)\) \(a\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) a=2, \left(\frac{1}{2}, 2\right)\)।
উত্তরঃ \((b) (2, 0), 8, x+2=0\)।
উত্তরঃ \((c) (-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)।

\(Q.4.(iii)\)
\((1)\) \(x^2+4y-4=0\)।
\((2)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px\) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর ।
\((b) \ (1)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c) \ (2)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ বের কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\) একক। \((b) A(0, 1), S(0, 0), x=0, y-2=0 \) । \((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0, x-y+2=0, \sqrt{2}\)

\(Q.4.(iv)\) \(y^2=4ax\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) \(‍y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) রেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয় ।
উত্তরঃ \((a) Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-2\); \((b) \frac{4}{3}, S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)।

\((v)\) \(y^2=8x\) একটি কনিকের সমীকরণ।
\((a)\) কনিকের সংজ্ঞা দাও। ইহা কি আকারের কনিক কারণসহ ব্যাখ্যা দাও।
\((b)\) প্রদত্ত কনিকের উপরোস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(8\) ; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((b) (6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\) । \((c) y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)।

অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q.4.(i)\)
\(y^2=4x\) পরাবৃত্তের উপর \((1, 2)\) একটি বিন্দু।
\((a)\) \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত পরাবৃত্তের উপর এমন একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ভুজ কটির দ্বিগুণ।
\((c)\) \(x^2=8y\) পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+y+1=0\) সরলরেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \((a) x-y+1=0 ;\) \((b) \ P(16, 8) ;\) \((c) \ x-y+2=0\) ।

সমাধানঃ

\(Q.4.(i).(a)\)
ধরি,straight3
\(y^2=4x …..(1)\)
\((1, 2)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2=m(x-1)…….(2)\) | \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow m(x-1)=y-2\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{y-2}{m}\)
\(\Rightarrow x=\frac{y-2}{m}+1 ……(3)\)
\((3)\) হতে \(\)-এর মান \( (1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=4\left(\frac{y-2}{m}+1\right)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4y-8}{m}+4\)
\(\Rightarrow my^2=4y-8+4m\)
\(\Rightarrow my^2-4y+8-4m=0\) যা \(y\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(y\)-এর দুইটি মান আছে, শর্তমতে এই মানদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore (-4)^2=4.m(8-4m)\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 16=4.m.4(2-m)\)
\(\Rightarrow 16=16m(2-m)\)
\(\Rightarrow 1=m(2-m)\) | উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 1=2m-m^2\)
\(\Rightarrow m^2-2m+1=0\)
\(\Rightarrow (m-1)^2=0\)
\(\Rightarrow m-1=0\)
\(\therefore m=1\)
\(m=1, (2)\)-এ বসিয়ে,
\(y-2=1(x-1)\)
\(\Rightarrow x-1=y-2\)
\(\Rightarrow x-1-y+2=0\)
\(\therefore x-y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.4.(i).(b)\)
শর্তমতে,straight3
বিন্দুটি \(P(2\alpha, \alpha)\)
এই বিন্দুটি \((1)\) নং পরেবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore \alpha^2=4.2\alpha\)
\(\Rightarrow \alpha^2=8\alpha\)
\(\therefore \alpha=8\) | উভয় পার্শে \(\alpha\) ভাগ করে।
\(\therefore \) বিন্দুটি \(P(2.8, 8)\)
\(\Rightarrow P(16, 8)\)
\(Q.4.(i).(c)\)
ধরি,
\(y^2=8x ……(1)\)
\(x+y+1=0 ……(2)\)
\((2)\) নং রেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ……(3)\)| \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x+k=y\)
\(\therefore y=x+k\)
\((3)\) হতে প্রাপ্ত \(y=x+k\), \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((x+k)^2=8x\) straight3
\(\Rightarrow x^2+2kx+k^2=8x\)
\(\Rightarrow x^2+2kx+k^2-8x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2(k-4)x+k^2=0\) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে।
শর্তমতে, \(x\)-এর এই মানদ্বয় সমান হবে। যেহেতু \((3)\) নং সরলরেখা \((1)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \{2(k-4)\}^2=4.1.k^2\)| \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\therefore 4(k-4)^2=4k^2\)
\(\Rightarrow (k-4)^2=k^2\) | উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow k^2-8k+16=k^2\)
\(\Rightarrow k^2-8k+16-k^2=0\)
\(\Rightarrow -8k+16=0\)
\(\Rightarrow -8k=-16\)
\(\Rightarrow k=\frac{-16}{-8}\)
\(\therefore k=2\)
\(k=2\) এই মান \((3)\) -এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0\)
\(\therefore x-y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

\(Q.4.(ii)\)
\(y=2x+1\) রেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((a)\) \(a\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) a=2, \left(\frac{1}{2}, 2\right)\)।
উত্তরঃ \((b) (2, 0), 8, x+2=0\)।
উত্তরঃ \((c) (-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.4.(ii).(a)\)
ধরি,straight3
\(y=2x+1 ……..(1)\)
\(y^2=4ax ……..(2)\)
\((1)\) হতে \(y\)-এর মান \((2)\)-এ বসিয়ে,
\((2x+1)^2=4ax\)
\(\Rightarrow 4x^2+4x+1-4ax=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4(a-1)x+1=0 ……(3)\)
যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে।
শর্তমতে, \(x\)-এর এই মানদ্বয় সমান হবে। যেহেতু \((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \{-4(a-1)\}^2=4.4.1\)| \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 16(a-1)=16\)
\(\Rightarrow a-1=1\) | উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a=1+1\)
\(\therefore a=2\)
\(a=2, (3)\)-এ বসিয়ে,
\(4x^2-4(2-1)x+1=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4.1.x+1=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4x+1=0\)
\(\Rightarrow (2x-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x=1\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
\((1)\) হতে,
\(y=2\times \frac{1}{2}+1\)
\(\Rightarrow y=1+1\)
\(\therefore y=2\)
\(\therefore\) স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{1}{2}, 2\right)\)
\(Q.4.(ii).(b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত, \(a=2\)straight3
পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow S(2, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4.2|\)
\(=|8|\)
\(=8\) একক।
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+a=0\)
\(\Rightarrow x+2=0\)
\(Q.4.(ii).(c)\)
ধরি,
\(3y^2-10x-12y-18=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{10}{3}x-4y-6=0\) | উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4-\frac{10}{3}x-6=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}x+10\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)\)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{10}{3}X ……..(1)\) যেখানে, \(X=x+3, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=\frac{10}{3}\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{10}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{5}{3\times 2}\)
\(\therefore a=\frac{5}{6}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)locus4
\(\Rightarrow x+3=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, 2)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{6}-3, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{5-18}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=-\frac{13}{6}, y=2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{13}{6}, 2\right)\)
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-2=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{6}-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{-5-18}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-23}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{23}{6}\)
\(\Rightarrow 6x=-23\)
\(\Rightarrow 6x+23=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(6x+23=0\)

\(Q.4.(iii)\)
\((1)\) \(x^2+4y-4=0\)।
\((2)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px\) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর ।
\((b) \ (1)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c) \ (2)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ বের কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\) একক। \((b) A(0, 1), S(0, 0), x=0, y-2=0 \) । \((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0, x-y+2=0, \sqrt{2}\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(iii).(a)\)
ধরি,straight3
\(y^2=12px ……….(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((2, -1)\) বিন্দুগামী ।
\(\therefore (-1)^2=12p.2\)
\(\Rightarrow 1=24p\)
\(\Rightarrow 24p=1\)
\(\therefore p=\frac{1}{24}\)
\(p\)-এর মান \( (1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=12\times \frac{1}{24}\times x\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{1}{2}x …..(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{1}{2}\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{1}{8}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য , \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{8}|\)
\(=|\frac{1}{2}|\)
\(=\frac{1}{2}\) একক।
\(Q.4.(iii).(b)\)
ধরি, locus4
\(x^2+4y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2=-4y+4\)
\(\Rightarrow x^2=-4(y-1)\)
\(\therefore X^2=-4Y ……..(1)\) যেখানে, \(X=x, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=-4\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{4}{4}\)
\(\therefore a=-1\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(0, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=1-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( x=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-1=-(-1)\)
\(\Rightarrow y-1=1\)
\(\Rightarrow y-1-1=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y-2=0\)
\(Q.4.(iii).(c)\)
দেওয়া আছে,straight3
উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\)
এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+y+1=0 ….(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) | \(P\) হতে নিয়ামকের লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{(x+y+1)^2}{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 2(x+1)^2+2(y-1)^2=(x+y+1)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+4x+2+2y^2-4y+2=x^+y^2+1+2xy+2x+2y\)
\(\Rightarrow 2x^2+4x+2+2y^2-4y+2-x^-y^2-1-2xy-2x-2y=0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+2x-6y+3=0\)
\(\therefore (x-y)^2+2x-6y+3=0\)
অক্ষরেখা নিয়ামক রেখার উপর লম্ব, তাই \((1)\)-এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 …….(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(S(-1, 1)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore -1-1+k=0\)
\(\Rightarrow -2+k=0\)
\(\therefore k=2\)
\(k\)-এর মান \(\)-এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0 \) যা অক্ষের সমীকরণ ।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য=উপকেন্দ্র হতে নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্বের দ্বিগুণ।
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=2\frac{|-1+1+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(=2\frac{|1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=2\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}.\sqrt{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\)

\(Q.4.(iv)\)
\(y^2=4ax\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) \(‍y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) রেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয় ।
উত্তরঃ \((a) Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-2\); \((b) \frac{4}{3}, S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)।

সমাধানঃ

\(Q.4.(iv).(a)\)
দেওয়া আছে,straight3
\(‍y^2-4y-4x+16=0\)
\(‍\Rightarrow y^2-4y+4-4x+12=0\)
\(‍\Rightarrow (y-2)^2=4x-12\)
\(‍\Rightarrow (y-2)^2=4(x-3)\)
\(‍\therefore Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-2\)
ইহাই পরাবৃত্তের নির্ণেয় আদর্শ আকার।

\(Q.4.(iv).(b)\)
ধরি,
\(y^2=4ax …….(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore (-2)^2=4a.3\)
\(\Rightarrow 4=12a\) straight3
\(\Rightarrow 12a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{12}\)
\(\therefore a=\frac{1}{3}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(= |4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{3}|\)
\(=|\frac{4}{3}|\)
\(=\frac{4}{3}\) একক।
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)
\(Q.4.(iv).(c)\) দেওয়া আছে,
\(lx+my+n=0\)
\(\Rightarrow my=-lx-n\)
\(\therefore y=-\frac{lx+n}{m}\)
\(y\)-এর এই মান \((b)\) হতে প্রাপ্ত \((1)\) নং পরাবৃত্তে বসিয়ে,
\(\left(-\frac{lx+n}{m}\right)^2=4ax\)straight3
\(\Rightarrow \frac{(lx+n)^2}{m^2}=4ax \)
\(\Rightarrow (lx+n)^2=4am^2x \)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx+n^2=4am^2x \)
\(\Rightarrow l^2x^2-4am^2x+2lnx+n^2=0 \)
\(\therefore l^2x^2-2(2am^2-ln)x+n^2=0 \) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে। শর্তমতে এই মানদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore \{-2(2am^2-ln)\}^2=4.l^2.n^2 \) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(2am^2-ln)^2=4l^2n^2 \)
\(\Rightarrow (2am^2-ln)^2=l^2n^2 \) | উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow (2am^2-ln)^2=(ln)^2 \)
\(\Rightarrow 2am^2-ln=\pm ln \)
\(\Rightarrow 2am^2-ln=ln \) | ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2am^2=ln+ln \)
\(\Rightarrow 2am^2=2ln \)
\(\Rightarrow am^2=ln \) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore ln=am^2 \)
\((Showed)\)

\(Q.4.(v)\)
\(y^2=8x\) একটি কনিকের সমীকরণ।
\((a)\) কনিকের সংজ্ঞা দাও। ইহা কি আকারের কনিক কারণসহ ব্যাখ্যা দাও।
\((b)\) প্রদত্ত কনিকের উপরোস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(8\) ; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((b) (6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\) । \((c) y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.4.(v).(a)\)
কনিকঃ কোন কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্বদূরত্বের অনুপাত একটি ধ্রুবক , তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে কনিক বলা হয়।straight3
প্রদত্ত কনিকটি একটি পরাবৃত্ত। কারণ ইহা পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(y^2=4ax\) এর অনুরূপ।
যার ,
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=-a\)
অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=a\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(Q.4.(v).(b)\)
ধরি,
\(y^2=8x ……..(1)\)
এখানে,
\(4a=8\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{8}{4}\)
\(\Rightarrow a=2\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(2, 0)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে, straight3
\(PS=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=8\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-0)^2=8^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=64\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+4-64=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-60=0\)
\(\Rightarrow x^2+8x-4x-60=0\) | \((1)\) -এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow x^2+4x-60=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4.1.(-60)}}{2.1}\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান, \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{16+240}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{256}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm 16}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4+16}{2}, \frac{-4-16}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{12}{2}, \frac{-20}{2}\)
\(\Rightarrow x=6, -10\)
\(\therefore x=6, x\ne -10\)
\(x=6\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=8.6\)
\(\Rightarrow y^2=48\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{48}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{3\times 16}\)
\(\therefore y=\pm 4\sqrt{3}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\) ।
\(Q.4.(v).(c)\)
দেওয়া আছে,straight3
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)
\(L\acute L\)-এর মধ্যবিন্দু হবে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{-2-2}{2}, \frac{2-4}{2}\right)\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{-4}{2}, \frac{-2}{2}\right)\)
\(\therefore S(-2, -1)\)
\(\because L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)-এর ভুজ অভিন্ন তাই \(L\acute L\) তথা উপকেন্দ্রিক লম্ব \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
ফলে পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
ধরি, পরাবৃত্তের শীর্ষ \(A(\alpha, \beta)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha) ……(1)\) |
অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)

\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(|4a|=|2+4|=6\) | উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)-এর কটি দ্বয়ের অন্তর।
\(\Rightarrow |4a|=6\)
\(\Rightarrow 4a=\pm 6\)
\(\Rightarrow a=\pm \frac{6}{4}\)
\(\therefore a=\pm \frac{3}{2}\)
এখন,
\(S(a+\alpha, \beta)\Rightarrow S(-2, -1)\)
\(\Rightarrow a+\alpha=-2, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=-2-a, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=-2-\frac{3}{2}, \beta=-1\) | যখন, \(a=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-4-3}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-7}{2}, \beta=-1\)
\(\therefore \alpha=-\frac{7}{2}, \beta=-1\)
আবার,
\(\Rightarrow \alpha=-2+\frac{3}{2}, \beta=-1\) | যখন, \(a=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-4+3}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-1}{2}, \beta=-1\)
\(\therefore \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1\)
\(a, \alpha, \beta\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((y+1)^2=4\times \frac{3}{2}\times \left(x+\frac{7}{2}\right)\) | যখন, \(a=\frac{3}{2},\alpha=-\frac{7}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=6\left(\frac{2x+7}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=3(2x+7)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1=6x+21\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1-6x-21=0\)
\(\therefore y^2+2y-6x-20=0\)
আবার,
\((y+1)^2=4\times -\frac{3}{2}\times \left(x+\frac{1}{2}\right)\) | যখন, \(a=-\frac{3}{2},\alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-6\left(\frac{2x+1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-3(2x+1)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1=-6x-3\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1+6x+3=0\)
\(\therefore y^2+2y+6x+4=0\)
\(\therefore\) পরাবৃত্তের সমীকরণ, \( y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)

1 2 3 4 5 6

Please comment on the Article