উপবৃত্ত (Ellipse)

ENGLISH VERSION

এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • উপবৃত্তের সংজ্ঞা।
  • উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ।
  • উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন।
  • উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামক।
  • উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাওক্ষ।
  • কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ।
  • উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয়।
  • উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয়।
  • উপকেন্দ্র, উৎকেন্দ্রিকতা ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ দেওয়া থাকলে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়।
  • উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব ও এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়।
  • উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হতে এর বিভিন্ন অংশ চিহ্নিত করণ।
  • উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব দুইটির সমষ্টি, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান ।
  • \((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ, যার অক্ষ দুইটি স্থানাংকের অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল ।
  • উপবৃত্ত বিষয়ক সমস্যা ও তার সমাধান।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং তার সমাধান

উপবৃত্ত

Ellipse

straight3
উপবৃত্তঃ কোনো কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি এবং ঐ স্থির রাশিটির মান \(1\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর, তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে উপবৃত্ত বলা হয়। উক্ত স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলা হয়, এবং ইহাকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে \(1 > e > 0\) হবে ।
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত উপবৃত্তের সর্ববৃহত রেখাংশ \(A\acute A\) কে বৃহৎ অক্ষ (Major axis) বলা হয়। বৃহদাক্ষের লম্ব দ্বিখন্ডক রেখাংশ \(B\acute B\) কে ক্ষুদ্র অক্ষ (Minor axis) বলা হয়। অক্ষদ্বয়ের মিলিত বিন্দু \(C\) কে কেন্দ্র এবং বৃহদাক্ষের প্রান্ত বিন্দু দুইটিকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।

উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ।

Standard equation of Ellipse.

ধরি,straight3
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) নিয়ামকরেখা \(MZ\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e (0 < e < 1)\), নিয়ামকরেখার উপর \(SZ\) লম্ব আঁকি। \(SZ\) রেখাকে \(A\) ও \(\acute A\) বিন্দুদ্বয় \(e:1\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত করে, যেন \(SA=e.AZ\) এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)। তাহলে, \(A\) ও \(\acute A\) উপবৃত্তের উপর দুইটি বিন্দু অর্থাৎ শীর্ষবিন্দু। মনে করি \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\) এবং \(A\acute A=2a\) তাহলে, \(CA=C\acute A=a\) এখন, \(SA=e.AZ\) \(\therefore a-CS=e(CZ-a) .......(1)\) | \(\because SA=CA-CS=a-CS; AZ=CZ-CA=CZ-a\)
এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)
\(\therefore a+CS=e(CZ+a) ……..(2)\) | \(\because S\acute A=C\acute A+CS=a+CS; \acute AZ=CZ+CA=CZ+a\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(a-CS+a+CS=e(CZ-a)+e(CZ+a)\)
\(\Rightarrow 2a=e(CZ-a+CZ+a)\)
\(\Rightarrow 2a=e.2CZ\)
\(\Rightarrow a=e.CZ\)
\(\Rightarrow e.CZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e}\)
\((2)\) – \((1)\)-এর সাহায্যে,
\(a+CS-a+CS=e(CZ+a)-e(CZ-a)\)
\(\Rightarrow 2CS=e(CZ+a-CZ+a)\)
\(\Rightarrow 2CS=e.2a\)
\(\Rightarrow CS=e.a\)
\(\therefore CS=ae\)
\(C\)-কে মূলবিন্দু , \(CX\) ও \(CY\)-কে যথাক্রমে \(x\)-অক্ষ ও \(y\)-অক্ষ বিবেচনা করি। উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)। \(P\) বিন্দু হতে \(A\acute A\)-এর উপর \(PN\) ও নিয়ামকরেখার উপর \(PM\) লম্ব আঁকি।
সুতরাং উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(SP=e.PM\)
\(\Rightarrow SP=e.NZ\) | \(\because PM=NZ\)
\(\Rightarrow SP^2=e^2.NZ^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow SN^2+PN^2=e^2(CN+CZ)^2\) | \(\because SP^2=SN^2+PN^2; NZ=CN+CZ\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=e^2\left(x+\frac{a}{e}\right)^2\) | \(\because SN=CS+CN=ae+x; NZ=x+\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=e^2\left(\frac{ex+a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=e^2.\frac{(ex+a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=(ex+a)^2\)
\(\Rightarrow a^2e^2+2aex+x^2+y^2=e^2x^2+2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex+a^2-a^2e^2-2aex\)
\(\Rightarrow x^2(1-e^2)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2(1-e^2)}{a^2(1-e^2)}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\) | উভয় পার্শে \(a^2(1-e^2)\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1 …….(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে,
\(\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\)
\(\Rightarrow y^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{a^2(1-e^2)}\)
\(\therefore y=\pm a\sqrt{(1-e^2)}\); ইহা স্পষ্ট যে \(Y\)-অক্ষ উপবৃত্তকে দুইটি বাস্তব বিন্দুতে (যেহেতু \(1>e \)) ছেদ করে।
ধরি,
\(B\) ও \(\acute B\) বিন্দু দুইটি \(C\)-এর বিপরীত দিকে এমনভাবে অবস্থিত যে,
\(CB=C\acute B=a\sqrt{(1-e^2)}\)।
ধরি,
\(CB=C\acute B=b\)
তাহলে, \(b=a\sqrt{(1-e^2)}\)
\(\therefore b^2=a^2(1-e^2) ……..(4)\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\((4)\)-এর সাহায্য নিয়ে \((3)\) হতে পাই,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ।

উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ সনাক্তকরণঃ

মূলবিন্দু কেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এ \(x\) বা \(y\) যুক্ত পদ থাকবে না। শুধু \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\)-এর সহগ \(\frac{1}{a^2}\) এবং \(y^2\)-এর সহগ \(\frac{1}{b^2}\) অসমান ও অভিন্ন চিহ্নযুক্ত।

উপবৃত্তের সমীকরণ সনাক্তকরণঃ

উপবৃত্তের সমীকরণে \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\)-এর সহগ এবং \(y^2\)-এর সহগ অসমান ও অভিন্ন চিহ্নযুক্ত। \(x\) ও \(y\) যুক্ত পদ থাকতেও পারে নাও থাকতে পারে।

উপবৃত্তের ক্ষেত্রফলঃ

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi ab\)

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।

উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ ও বিভিন্ন অংশের বিবরণ।

straight3

\(1.\) উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)

  • উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
  • উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
  • বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
  • ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
  • বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
  • ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
  • নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
  • নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
  • উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
  • নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
  • একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)

straight3

\(2.\) উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (b > a)\)

  • উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
  • উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
  • বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
  • ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
  • বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
  • ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm be)\)
  • নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2a^2}{b}|\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm be\)
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm b)\)
  • নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm \frac{b}{e})\)
  • উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2be|\)
  • নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2b}{e}|\)
  • একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{b}{e}-be|\)

straight3

\(3.\) উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)

  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a+\alpha, 0)\)
  • উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(\alpha, \beta)\)
  • উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
  • বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
  • ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
  • বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y-\beta=0\)
  • ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x-\alpha=0\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae+\alpha, \beta)\)
  • নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-\alpha=\pm \frac{a}{e}\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x-\alpha=\pm ae\)

straight3

\(4.\) উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 \ (b > a)\)

  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\alpha, \pm b+\beta)\)
  • উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(\alpha, \beta)\)
  • উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
  • বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
  • ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
  • বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(x-\alpha=0\)
  • ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(y-\beta=0\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\alpha, \pm be+\beta)\)
  • নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y-\beta=\pm \frac{b}{e}\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2a^2}{b}|\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y-\beta=\pm be\)

\(5.\) কোনো সরলরেখা উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।

মনে করি,
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c ………….(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(2) \)

\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(c=\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)

স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y=mx\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)

স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}, \frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\right)\)

\(5.1\) কোনো সরলরেখা উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।

মনে করি,
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p………….(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(2) \)

\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(p^2=a^2\cos^2\alpha+b^2\sin^2\alpha\)

স্পর্শকের সমীকরণঃ \(x\cos\alpha + y\sin\alpha \pm \sqrt{(a^2\cos^2\alpha+b^2\sin^2\alpha)}=0\)

স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{a^2\cos\alpha}{p}, \frac{b^2\sin\alpha}{p}\right)\)

\(5.2\) কোনো সরলরেখা উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।

মনে করি,
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(lx+my+n=0………….(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(2) \)

\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(a^2l^2+b^2m^2=n^2\)

স্পর্শকের সমীকরণঃ \(lx+my \pm \sqrt{(a^2l^2+b^2m^2)}=0\)

স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{-a^2l}{n}, \frac{-b^2m}{n}\right)\)

\(5.3\) উপবৃত্ত সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান।

মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি উপবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1) \)

\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং উপবৃত্তের উপরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{x^2_1}{a^2}+\frac{y^2_1}{b^2}=0\)

\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং উপবৃত্তের ভিতরে অবস্থান করার শর্তঃ \(0>\frac{x^2_1}{a^2}+\frac{y^2_1}{b^2}\)

\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং উপবৃত্তের বাহিরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{x^2_1}{a^2}+\frac{y^2_1}{b^2} > 0\)

\(5.4\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।

মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি উপবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1) \)

\((1)\) নং উপবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1\)

\(6.\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা

Focus and directrix of Ellipse

straight3

একটি উপবৃত্তের দুইটি উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা আছে। যেহেতু, উপবৃত্তটি \(y\) অক্ষ বরাবর প্রতিসম তাই তাকে \(B\acute B\) বরাবর ভাঁজ করা হলে উপবৃত্তের ডান ও বাম পক্ষ দুইটি পরস্পরের সাথে সমাপতিত হয়। এখন \(x\) অক্ষের উপর \(\acute S\) ও \(\acute Z\) দুইটি বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হয়, যেন \(C\acute S=CS=ae \) এবং \(C\acute Z=CZ=\frac{a}{e}\) হয়। \(Z\acute Z\)-এর উপর \(\acute M\acute Z\) লম্ব আঁকি। তাহলে প্রতিসাম্য অনুযায়ী, এটি স্পষ্ট যে, \(\acute S\)-কে উপকেন্দ্র এবং \(\acute M\acute Z\)-কে নিয়ামকরেখা ধরে আমরা একই উপবৃত্ত পাই। অতএব, উপবৃত্তের দুইটি উপকেন্দ্র এবং দুইটি নিয়ামকরেখা আছে।

\(7.\) উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য

Major and Minor axis of Ellipse

straight3

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
\(a>b\) ধরে \(C(0, 0)\) বিন্দু উপবৃত্তের কেন্দ্র।
\((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\)
\(\therefore x=\pm a\)
সুতরাং উপবৃত্ত \(X\)-অক্ষকে \(A(a, 0)\) এবং \(\acute A(-a, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(A\acute A\) বৃহদাক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য
\(A\acute A=AC+C\acute A=a+a=2a\)
\(\therefore \) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)।
আবার,
\((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow y^2=b^2\)
\(\therefore y=\pm b\)
সুতরাং উপবৃত্ত \(Y\)-অক্ষকে \(B(0, b)\) এবং \(\acute B(0, -b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(B\acute B\) ক্ষুদ্রাক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য \(B\acute B=BC+C\acute B=b+b=2b\)
\(\therefore \) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)।

\(8.\) উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রতা ।

Eccentricity from the equation of ellipse

straight3

আমরা জানি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a > b)\)
এবং
\(b^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\therefore e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
যেহেতু, উপবৃত্তের \(e\)-এর মান \(1 > e > 0\)
সুতরাং \(e\)-কে ধনাত্মক হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছে।
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ হতে \(a\)-এর মান এবং ক্ষুদ্রাক্ষ হতে \(b\)-এর মান জানা থাকলে উৎকেন্দ্রতা \(e\)-এর মান নির্ণয় করা যায়।

\(9.\) উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও নিয়ামকের সমীকরণ।

The co-ordinates of focus and the equation of directrix from the equation of ellipse

straight3

মনে করি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a > b)\)
এবং
\(b^2=a^2(1-e^2)\) | এখানে \(e\) উৎকেন্দ্রিকতা।
আবার,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) এবং নিয়ামক রেখা \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\)।
\(Z\acute Z\) রেখা \(S\) এবং \(\acute S\) বিন্দুগামী। \(Z\acute Z\) রেখা নিয়ামকদ্বয়ের উপর লম্ব।
\(SZ\)-এর উপর \(A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(SA=eAZ ……..(1)\)
আবার,
\(SZ\)-এর বর্দ্ধিতাংশের উপর \(\acute A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(S\acute A=e\acute AZ\)
ধরি,
\(A\acute A=2a\) এবং \(C\) হল \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু। \(C\)-কে কেন্দ্র বিন্দু বলা হয় যার স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)।
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে পাই
\(SA+S\acute A=eAZ+e\acute AZ\)
\(\Rightarrow A\acute A=e(AZ+\acute AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(AZ+A\acute A+AZ)\) | \(\because \acute AZ=A\acute A+AZ\)
\(\Rightarrow 2a=e(A\acute A+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(2a+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=2e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=eCZ\) | \(\because CZ=CA+AZ=a+AZ\)
\(\Rightarrow eCZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e} ……(3)\)
আবার,
\(CS=CA-AS\)
\(\Rightarrow CS=CA-eAZ\) | \(\because AS=eAZ\)
\(\Rightarrow CS=CA-e(CZ-CA)\)
\(\Rightarrow CS=a-e\left(\frac{a}{e}-a\right)\)
\(\Rightarrow CS=a-a+ae\)
\(\therefore CS=ae ………(4)\)
\(C\) বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে \(CX\)-কে \(x\)অক্ষ এবং \(CY\)-কে \(y\)অক্ষ বিবেচনা করি। যেহেতু \(S\) বিন্দু \(x\)অক্ষের উপর অবস্থিত ।
অতএব, \(S\)-এর স্থানাঙ্ক \((ae, 0)\) এখানে \(S\)-কে উপকেন্দ্র বলে। যেহেতু উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) সুতরাং এদের স্থানাঙ্ক লেখা হয় \((\pm ae, 0)\)।
এবং নিয়ামক রেখা \(\acute M\acute Z\)-এর সমীকরণ \(x=CZ=\frac{a}{e}\)
\(\therefore x=\frac{a}{e}\)
অনুরূপভাবে, নিয়ামক রেখা \(MZ\)-এর সমীকরণ \(x=-\frac{a}{e}\)
সুতরাং উপবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)

\(10.\) উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রিক লম্ব ও এর দৈর্ঘ্য।

Latus rectum and it’s length.

straight3

উপবৃত্তের যে কোনো উপকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অঙ্কিত বৃহদাক্ষের উপর লম্ব রেখার উপবৃত্তের অন্তর্গত অংশই উপকেন্দ্রিক লম্ব। যদি \(L\acute L\) উপকেন্দ্রিক লম্ব হয়, তবে \(SL=S\acute L\) এবং \(\acute L\)-এর স্থানাঙ্ক \((-ae, SL)\) ।
\(\acute L(-ae, SL)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a > b)\)-এর উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow \frac{(-ae)^2}{a^2}+\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{a^2e^2}{a^2}+\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow e^2+\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{SL^2}{b^2}=1-e^2 \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2(1-e^2) \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2\times \frac{b^2}{a^2} \) | \(\because 1-e^2=\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow SL^2=\frac{b^4}{a^2} \)
\(\therefore SL=\frac{b^2}{a} \)
\(\therefore L\acute L=2SL=\frac{2b^2}{a} \)

\(11.\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব দুইটির সমষ্টি, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান।

straight3

ধরি,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(S\) ও \(\acute S\) এবং নিয়ামক রেখা দুইটি যথাক্রমে \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\) ।
\(SP\) এবং \(\acute SP\) যোগ করি এবং নিয়ামক রেখা দইটির উপর \(MP\acute M\) লম্ব আঁকি।
এখন,
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(SP=e.PM …….(1)\)
এবং \(\acute SP=e.P\acute M …….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(SP+\acute SP=e.PM+e.P\acute M\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e(PM+P\acute M)\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{(CZ+CN)+(C\acute Z-CN)\}\) | \(\because PM=CZ+CN; P\acute M=C\acute Z-CN\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{CZ+CN+C\acute Z-CN\}\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{CZ+C\acute Z\}\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{CZ+CZ\}\) | \(\because CZ=C\acute Z\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e.2CZ\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=2.e.CZ\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=2.CA\) | \(\because e.CZ=CA\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=A\acute A\) | \(\because 2.CA=A\acute A\)
\(\therefore SP+\acute SP=2a\) | \(\because A\acute A=2a\)
\(\therefore \) উপবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব দুইটির সমষ্টি, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান। ইহা অতি গুরুত্বপূর্ণ।

কোনো সমতলে, কোনো সেটের বিন্দুসমুহ যদি এমনভাবে অবস্থিত হয় যে, ঐ সমতলে অবস্থিত দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে এর দূরত্ব দুইটির সমষ্টি সর্বদা স্থীর হয় তাহলে উক্ত বিন্দু সেটের সঞ্চারপথ উপবৃত্ত হবে।

উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ এর বৃহত্তম জ্যা।

\(12.\) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক।

Parametric coordinates of Ellipse at fixed point.

straight3

ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b) ……..(1)\)
এবং উপবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 …….(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে বৃহদাক্ষের উপর একটি লম্ব অঙ্কন করে বর্ধিত করি যা বৃহদাক্ষকে \(N\) এবং বৃত্তকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QCN=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়।
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=x\) এবং \(PN=y\)
এখন, \(QCN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(\cos\theta=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\cos\theta\)
\(\therefore x=a\cos\theta ……..(3)\) | \(\because CQ=a=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(x=a\cos\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(a\cos\theta)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^2\cos^2\theta}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \cos^2\theta+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1-\cos^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=\sin^2\theta\)
\(\Rightarrow y^2=b^2\sin^2\theta\)
\(\therefore y=b\sin\theta ……(4)\)
সুতরাং, \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
আবার,
\((3)\) ও \((4)\) হতে যথাক্রমে,
\(\cos\theta=\frac{x}{a} ……..(5)\)
\(\sin\theta=\frac{y}{b} ……..(6)\)
\(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}}\) | \((6)\)-কে \((5)\) দিয়ে ভাগ করে।
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{ay}{bx}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\theta \)-এর এই মাণ নির্ণয়ের সময় বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত তা লক্ষনীয়।
\(x=a\cos\theta\) এবং \(y=b\sin\theta\)-কে একত্রে \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ বলে।
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b) \) উপবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)।

\(13.\) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক।

Parametric coordinates of Ellipse at fixed point.

straight3

ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (b>a) ……..(1)\)
এবং উপবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=b^2 …….(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে বৃহদাক্ষের উপর একটি লম্ব অঙ্কন করে বর্ধিত করি যা বৃহদাক্ষকে \(N\) এবং বৃত্তকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QC\acute A=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়।
\(\therefore \angle QCN=90^{o}-\theta\)
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=y\) এবং \(PN=x\)
এখন, \(QCN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(\cos(90^{o}-\theta)=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\cos(90^{o}-\theta)\)
\(\therefore y=b\sin\theta ……..(3)\) | \(\because CQ=b=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(y=b\sin\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(b\sin\theta)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{b^2\sin^2\theta}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\sin^2\theta=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1-\sin^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=\cos^2\theta\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\cos^2\theta\)
\(\therefore x=a\cos\theta ……(4)\)
সুতরাং, \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
আবার,
\((3)\) ও \((4)\) হতে যথাক্রমে,
\(\sin\theta=\frac{y}{b} ……..(5)\)
\(\cos\theta=\frac{x}{a} ……..(6)\)
\(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}}\) | \((5)\)-কে \((6)\) দিয়ে ভাগ করে।
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{ay}{bx}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\theta \)-এর এই মাণ নির্ণয়ের সময় বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত তা লক্ষনীয়।
\(x=a\cos\theta\) এবং \(y=b\sin\theta\)-কে একত্রে \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ বলে।
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (b>a) \) উপবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)।

বিঃ দ্রঃ ইহা স্পষ্ট যে উপবৃত্তের আকার যাই হউকনা কেন ইহার উপরোস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক হবে \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\). এবং উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ হবে \(x=a\cos\theta\),\(y=b\sin\theta\).

\(14.\) উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর লেখচিত্র ।

straight3

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=\frac{a^2-x^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{b^2(a^2-x^2)}{a^2}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{b^2(a^2-x^2)}{a^2}}\)
\(\therefore y=\pm b\sqrt{\frac{(a^2-x^2)}{a^2}}\)
\(\therefore a>x\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(y\)-এর দুইটি মান পাওয়া যায়। মান দুইটি সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। অতএব, ইহা স্পষ্ট যে,উপবৃত্তটি \(X\)-অক্ষ ( বৃহৎ অক্ষ ) বরাবর প্রতিসম।
আবার,
\(x\)-এর সর্বোচ্চ মান \(a\) এবং সর্বনিম্ন মান \(-a\) কারণ, যদি \(x > a\) বা \(-a>x\) হয়, তবে,
\(\frac{a^2-x^2}{a^2}\) ঋনাত্মক হয় এবং \(y\)-এর মান দুইটি অবাস্তব হয়।
অতএব, উপবৃত্তের কোনো অংশই \(x\)-অক্ষের উপর \(A\) ও \(\acute A\) বিন্দু দুইটির বাইরে অবস্থিত হবে না।
উপবৃত্তের সমীকরণটিকে নিম্নোক্তভাবেও লেখা যায়,\(\therefore x=\pm a\sqrt{\frac{(b^2-y^2)}{b^2}}\)
\(\therefore b > y\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(x\)-এর দুইটি মান পাওয়া যায়। মান দুইটি সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। অতএব, ইহা স্পষ্ট যে,উপবৃত্তটি \(Y\)-অক্ষ (ক্ষুদ্র অক্ষ ) বরাবর প্রতিসম।
\(y\)-এর সর্বোচ্চ মান \(b\) এবং সর্বনিম্ন মান \(-b\) কারণ, যদি \(y > b\) বা \(-b > y\) হয়, তবে,
\(\frac{b^2-y^2}{b^2}\) ঋনাত্মক হয় এবং \(x\)-এর মান দুইটি অবাস্তব হয়।
অতএব, উপবৃত্তের কোনো অংশই \(y\)-অক্ষের উপর \(B\) ও \(\acute B\) বিন্দু দুইটির বাইরে অবস্থিত হবে না।
অতএব , উপবৃত্ত একটি সীমাবদ্ধ বক্ররেখা, যা, পুরাপুরি \(x=\pm a, y=\pm b\) সরলরেখা চতুষ্টয় দ্বারা সীমিত আয়তের মধ্যে অবস্থিত।

straight3

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\) নির্ণয়।

আমরা জানি,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(ae, 0)\)
উপবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-\frac{a}{e}=0\)
উপবৃত্তের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\therefore b^2=a^2(1-e^2) ……..(1)\)
সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2.PM^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-ae)^2+(y-0)^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1^2+0^2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1+0}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(|x-\frac{a}{e}|\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(x-\frac{a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{ex-a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\frac{(ex-a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=(ex-a)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2x^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex-a^2e^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2(1-e^2)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.a^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.b^2+y^2=b^2\) | \((1)\)-এর সাহায্যে \(\because b^2=a^2(1-e^2) \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.\frac{b^2}{b^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{b^2}{b^2}\) | উভয় পার্শে \(b^2\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

straight3

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (b > a)\) নির্ণয়।

আমরা জানি,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, be)\)
উপবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(y-\frac{b}{e}=0\)
উপবৃত্তের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{a^2}{b^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=1-e^2\)
\(\therefore a^2=b^2(1-e^2) ……..(1)\)
সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2.PM^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-be)^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{0^2+1^2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{0+1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(|y-\frac{b}{e}|\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(y-\frac{b}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{ey-b}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\frac{(ey-b)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=(ey-b)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2y^2-2bey+b^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-e^2y^2=2bey-b^2e^2-2bey+b^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2(1-e^2)=b^2-b^2e^2\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{y^2}{b^2}.b^2(1-e^2)=b^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{y^2}{b^2}.a^2=a^2\) | \((1)\)-এর সাহায্যে \(\because a^2=b^2(1-e^2) \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}.\frac{a^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}\) | উভয় পার্শে \(a^2\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

straight3

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 \ (a > b)\) নির্ণয়।

ধরি,
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\)
বৃহদাক্ষ \(A\acute A\), যা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(A\acute A=2a\)।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(B\acute B\), যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(B\acute B=2b\)।
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(X\)-অক্ষের উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি যা বৃহদাক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\)-কে মূলবিন্দু ধরে \(C\)-এর প্রেক্ষিতে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((X, Y)\)
যখন, \(X=CQ=EM=OM-OE=x-\alpha\)
এবং \(Y=PQ=PM-QM=PM-CE=y-\beta\)
\(P(X, Y)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত,
সুতরাং \(\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1 …..(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণে \(X\) ও \(Y\)-এর মান বসিয়ে,
\(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

straight3

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 \ (b>a)\) নির্ণয়।

ধরি,
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\)
বৃহদাক্ষ \(B\acute B\), যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(B\acute B=2b\)।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(A\acute A\), যা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(A\acute A=2a\)।
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(Y\)-অক্ষের উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি যা বৃহদাক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\)-কে মূলবিন্দু ধরে \(C\)-এর প্রেক্ষিতে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((X, Y)\)
যখন, \(Y=CQ=EM=OM-OE=y-\beta\)
এবং \(X=PQ=PM-QM=PM-CE=x-\alpha\)
\(P(X, Y)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত,
সুতরাং \(\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1 …..(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণে \(X\) ও \(Y\)-এর মান বসিয়ে,
\(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

straight3

কোনো সরলরেখা উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।

মনে করি,
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c ………….(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 …(2)\)
\((1) \) ও \((2) \) নং হতে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(mx+c)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{m^2x^2+2mcx+c^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2(m^2x^2+2mcx+c^2)=a^2b^2\) | উভয় পার্শে \(a^2b^2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2m^2x^2+2a^2mcx+a^2c^2-a^2b^2=0\)
\(\Rightarrow (a^2m^2+b^2)x^2+2a^2mcx+a^2(c^2-b^2)=0…(3)\)
\((3)\) নং \(x\)-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সুতরাং এর মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান, বাস্তব ও সমান, অথবা কাল্পনিক হতে পারে। মূলদ্বয় \(x_1\) ও \(x_2\) হলে, \((1)\) নং সমীকরণ হতে \(y_1\) ও \(y_2\) পাওয়া যাবে। \(x_1\) ও \(x_2\)-এর মানের উপর ভিত্তি করে তিনটি ঘটনা ঘটতে পারে, যেমনঃ
\((i)\) \(x_1\) ও \(x_2\) বাস্তব ও অসমান হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করবে।
\((ii)\) \(x_1\) ও \(x_2\) বাস্তব ও সমান হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে স্পর্শ করবে।
\((iii)\) \(x_1\) ও \(x_2\) কাল্পনিক হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে আদৌ স্পর্শ করবে না।
এখন,
\((ii)\) ঘটনা সত্য হলে, \((3)\) নং হতে \((2a^2mc)^2=4.(a^2m^2+b^2).a^2(c^2-b^2)\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(a^2m^2+b^2).a^2(c^2-b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(a^2m^2+b^2)(a^2c^2-a^2b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(a^2c^2-a^2b^2)(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=a^2c^2(a^2m^2+b^2)-a^2b^2(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=a^4c^2m^2+a^2b^2c^2-a^2b^2(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2-a^4m^2c^2-a^2b^2c^2=-a^2b^2(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow -a^2b^2c^2=-a^2b^2(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow c^2=(a^2m^2+b^2)\) | উভয় পার্শে \(-a^2b^2\) ভাগ করে।
\(\therefore c=\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\) ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
আবার,
\(c=\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=mx \pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণ হতে সমান মূলদ্বয়ের মান \(x=\frac{-2a^2mc}{2(a^2m^2+b^2)}\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাণ মূলদ্বয়ের মাণ \(\frac{-b}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-a^2mc}{a^2m^2+b^2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-a^2m\times \pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}}{a^2m^2+b^2}\) | \(\because c=\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pm a^2m\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\times \sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
\(\therefore x=\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
আবার,
\(x=\frac{a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\) এবং \(c=-\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=m\frac{a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}-\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a^2m^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}-\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a^2m^2-a^2m^2-b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
\(\therefore y=\frac{-b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
আবার,
\(x=\frac{-a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\) এবং \(c=\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=m\frac{-a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}+\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-a^2m^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}+\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-a^2m^2+a^2m^2+b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
\(\therefore y=\frac{b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
\(\therefore y\)-এর এই দুই মাণ সমন্বয় করে পাই,
\(y=\frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
অতএব, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}, \frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\right)\)

1 2 3 4 5 6

Please comment on the Article