উপবৃত্ত (Ellipse)

অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে নিম্নের প্রদত্ত শর্তানুসারে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)(a)\) যার উপকেন্দ্র \((-3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) ।
উত্তরঃ \(8x^2+9y^2=648\)

\(Q.1.(i)(b)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 8)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{8}{9}\) ।
[ যঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{17}+\frac{y^2}{81}=1\)

\(Q.1.(i)(c)\) যার ফোকাস \((3, 0)\) দ্বিকাক্ষ \(x=5 \) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) ।
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2-14x+11=0\)

\(Q.1.(i)(d)\) যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{2}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\) ।
[ চঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(20x^2+36y^2=405\)

\(Q.1.(i)(e)\) যা \((0, 2\sqrt{2})\) এবং \((-3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)

\(Q.1.(i)(f)\) যা \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)

\(Q.1.(i)(g)\) যা \((2, 4)\) এবং \((5, \sqrt{2})\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)

\(Q.1.(i)(h)\) যা \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)

\(Q.1.(i)(i)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 4, 0)\) এবং শীর্ষ \((\pm 5, 0)\) ।
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)

\(Q.1.(i)(j)\) যার শীর্ষ \((\pm 10, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)

\(Q.1.(i)(k)\) যার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।
[ চঃ ২০০৫;ঢাঃ ২০১১,২০০৫;রাঃ২০১১,২০০৬;সিঃ২০১৫;যঃ২০১১;দিঃ২০১৩,২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^2+2y^2=64\)

\(Q.1.(i)(l)\) যার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ চঃ ২০০৫;ঢাঃ ২০১১,২০০৫;রাঃ২০১১,২০০৬;সিঃ২০১৫;যঃ২০১১;দিঃ২০১৩,২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{4x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)

\(Q.1.(i)(m)\) যার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)।
[কুঃ২০১৩;যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(4x^2+5y^2=5\)

\(Q.1.(i)(n)\) যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[কুঃ২০১৩;যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1\)

\(Q.1.(i)(o)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(3\) ।
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=12\)

\(Q.1.(i)(p)\) যার কেন্দ্র \((-1, -1)\) , শীর্ষ \((5, -1)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{2}{3}\)।
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2}{36}+\frac{(y+1)^2}{20}=1\)

\(Q.1.(i)(q)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) ।
[ যঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)

\(Q.1.(i)(r)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{5}{8}\) ।
[ যঃ২০০৫]
উত্তরঃ \(39x^2+64y^2=2496\)

\(Q.1.(i)(s)\) যা \((1, 4)\) এবং \((-6, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+7y^2=115\)

\(Q.1.(i)(t)\) যা \((1, -2)\) এবং \((0, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(5x^2+y^2=9\)

\(Q.1.(i)(u)\) যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 3, 0)\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm 2)\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)

\(Q.1.(i)(v)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং বৃহদাক্ষ \(16\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{39}=1\)

\(Q.1.(i)(w)\) যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm \sqrt{5})\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 1, 0)\) ।
উত্তরঃ \(x^2+\frac{y^2}{5}=1\)

\(Q.1.(i)(x)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 6)\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(16\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1\)

\(Q.1.(i)(y)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং \(b=\sqrt{2}\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)

\(Q.1.(i)(z)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং \(a=4\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1\)
নিম্নলিখিত উপবৃত্তগুলির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ, বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\(Q.1.(ii)(a)\) \(3x^2+4y^2=12\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( \frac{1}{2}; (\pm 1, 0); 3;\)\( x=\pm 1; x=\pm 4; 2\sqrt{3},4\)

\(Q.1.(ii)(c)\) \(2x^2+3y^2=1\)
[ ঢাঃ ২০০৬;যঃ২০০৪; সিঃ ২০১১;বঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( \frac{1}{\sqrt{3}}; (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0); \frac{2\sqrt{2}}{3};\)\( \sqrt{6}x=\pm 1; \sqrt{2}x=\pm \sqrt{3}; \sqrt{2}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(Q.1.(ii)(e)\) \(8x^2+9y^2=162\)
উত্তরঃ \( \frac{1}{3}; (\pm 1, 0); \frac{16}{3};\)\( x=\pm 1; x=\pm 9; 6,4\sqrt{2}\)

\(Q.1.(ii)(g)\) \(5x^2+4y^2=1\)
উত্তরঃ \( \frac{1}{\sqrt{5}}; (0, \pm 1); \frac{4}{5};\)\( y=\pm 1; 2y=\pm \sqrt{5}; \frac{2}{\sqrt{5}},1\)

\(Q.1.(ii)(i)\) \(16x^2+25y^2=400\)
[রাঃ ২০০৫;কুঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( \frac{3}{\sqrt{5}}; (\pm 3, 0); \frac{32}{5};\)\( x=\pm 3; 3x=\pm 25; 10,8\)

\(Q.1.(ii)(k)\) \(\frac{x^2}{\sqrt{2}}+\frac{y^2}{2}=2\)
উত্তরঃ \( \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}; (0, \pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}); 2\sqrt{2};\)\( y=\pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}; (2-\sqrt{2})x=\pm 2\sqrt{2}; 4,2\sqrt{2\sqrt{2}}\)
\(Q.1.(ii)(b)\) \(9x^2+25y^2=225\)
[ সিঃ২০০৭; বঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \( \frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5};\)\( x=\pm 4; 4x=\pm 25; 6,10\)

\(Q.1.(ii)(d)\) \(4x^2+5y^2=20\)
উত্তরঃ \( \frac{3}{5}; (\pm 3, 0); \frac{32}{5};\)\( x=\pm 3; 3x=\pm 25; 10,8\)

\(Q.1.(ii)(f)\) \(9x^2+16y^2=144\)
উত্তরঃ \( \frac{\sqrt{7}}{4}; (\pm \sqrt{7}, 0); \frac{9}{2};\)\( x=\pm \sqrt{7}; \sqrt{7}x=\pm 16; 8,6\)

\(Q.1.(ii)(h)\) \(25x^2+16y^2=400\)
[ঢাঃ ২০০৯,২০০২;কুঃ২০০৯; সিঃ ২০০৬,২০০৪;বঃ২০০৬,২০০৪;দিঃ২০১২ ]
উত্তরঃ \( \frac{3}{\sqrt{5}}; (0, \pm 3); \frac{32}{5};\)\( y=\pm 3; 3y=\pm 25; 10,8\)

\(Q.1.(ii)(j)\) \(4x^2+9y^2=36\)
উত্তরঃ \( \frac{\sqrt{5}}{3}; (\pm \sqrt{5}, 0); \frac{8}{3};\)\( x=\pm \sqrt{5}; \sqrt{5}x=\pm 9; 6,4\)
\(\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1\) (যখন \(A, B>0 \)) আকারের উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার-
\(Q.1.(iii)(a)\) বৃহদাক্ষ \(=20\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=12\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{100}=1\)

\(Q.1.(iii)(b)\) বৃহদাক্ষ \(=10\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=4\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)

\(Q.1.(iii)(c)\) বৃহদাক্ষ \(=8\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=6\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)

\(Q.1.(iii)(d)\) বৃহদাক্ষ \(=24\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{44}=1\)

\(Q.1.(iii)(e)\) বৃহদাক্ষ \(=24\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=18\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{144}=1\)

\(Q.1.(iii)(f)\) বৃহদাক্ষ \(=20\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{30}+\frac{y^2}{100}=1\)

\(Q.1.(iii)(g)\) বৃহদাক্ষ \(=14\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{20}\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{29}=1\)

\(Q.1.(iv)\) \(p\)-এর মাণ কত হলে \(px^{2}+4y^2=1\) উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যাবে? উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা ও অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। [ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]
উত্তরঃ \(p=1\); উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{\sqrt{3}}{2}\); অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য \(2, 1\)

\(Q.1.(v)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দুগামী উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০২, সিঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)

\(Q.1.(vi)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\)।
[ ঢাঃ, চঃ ২০০৫,রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)

\(Q.1.(vii)\) একটি উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং তা \((\frac{10}{3}, \sqrt{5})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭,সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)

\(Q.1.(viii)\) দেখাও যে, \(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।

\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(5x^2+9y^2-30x=0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। এর উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \((1, 0), (5, 0)\)

\(Q.1.(x)\) একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)

\(Q.1.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(y=x-5\) রেখাটি \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ,চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \((\frac{16}{5}, -\frac{9}{5})\)

\(Q.1.(xii)\) কোনো উপবৃত্তের একটি ফকাস এবং এর অনুরূপ দিকাক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(16\) এবং এর উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3}{5}\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30, 24\)

\(Q.1.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(8\) এবং দিকাক্ষ দুইটি \(18\) একক দূরত্বে অবস্থিত।
[ রাঃ ২০০২,২০০৩]
উত্তরঃ \(5x^2+9y^2=180 \)

\(Q.1.(xiv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধেক । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\(Q.1.(xv)\) \(5x^2+9y^2-20x=25\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২;চঃ,সিঃ ২০০৮;বঃ২০০৬; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{p}=1\) উপবৃত্তটি \((4, 6)\) বিন্দু দিয়ে গমন করলে \(p\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ইহার উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১৩,বঃ২০০৭ ।]
উত্তরঃ \(p=100; e=\frac{\sqrt{3}}{2}, (0, \pm 5\sqrt{3})\)

\(Q.1.(xvii)\) উপবৃত্তের অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\)-অক্ষ ধরে \((2, 4)\) ও \((5, \sqrt{2})\) বিন্দুগামী উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2x^2+3y^2=56\)
কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, উপবৃত্তগুলির প্রমিত সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে \(\theta\)হলো কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক কোণ।
\(Q.1.(xviii)(a)\) \((4\cos\theta, \sqrt{5}\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{5}=1\)

\(Q.1.(xviii)(c)\) \((\sqrt{2}\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(Q.1.(xviii)(b)\) \((4\cos\theta, 5\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)

\(Q.1.(xviii)(d)\) \((\cos\theta, 2\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(x^2+\frac{y^2}{4}=1\)
\(Q.1.(xix)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(16\) । উত্তরঃ \(15x^2+16y^2=960\)

\(Q.1.(xx)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((1, -1)\) ও \((-2, 2)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) । উত্তরঃ \(55x^2+55y^2+18xy+46x-46y-713=0\)

\(Q.1.(xxi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষের অর্ধেক । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}} \)

\(Q.1.(xxii)\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{25}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে গমন করলে \(p\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ইহার উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ,রাঃ,সিঃ ২০১২,দিঃ২০১১,২০০৯ ।]
উত্তরঃ \(p=100; e=\frac{\sqrt{3}}{2}, (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)

\(Q.1.(xxiii)\) \((-3, 0)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(8\) ও \(6\) এবং এর বৃহদাক্ষ \(x\) অক্ষের সমান্তরাল উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+16y^2+54x-63=0\)

\(Q.1.(xxiv)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) ।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)

\(Q.1.(xxv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(7x^2+7y^2+2xy+16x-16y+16=0\)

\(Q.1.(xxvi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((-1, -1)\) ও \((1, 1)\) এবং তার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [বুয়েটঃ২০০০-২০০১]
উত্তরঃ \(2x^2+2y^2-2xy-3=0\)

\(Q.1.(xxvii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার উৎকেন্দ্রতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (\pm \frac{27}{5}, 0)\)

\(Q.1.(xxviii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(3x+2y-9=0\) সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে অক্ষদ্বয়ের উপর ছেদ করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[টেক্সটাইলঃ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \( 9x^2+4y^2=81; (0, \pm \frac{\sqrt{45}}{2})\)

\(Q.1.(xxix)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\)।
[কুঃ ২০০১,যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(8x^2+9y^2=288\)

\(Q.1.(xxx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1)\) এবং \((1, -1)\) ও বৃহদাক্ষ \(=2\sqrt{5}\)।
উত্তরঃ \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)

\(Q.1.(xxxi)\) একটি উপবৃত্তের বৃহৎ ও ক্ষুদ্র অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) এবং যা \((-3, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(3x^2+5y^2=32\)
1 2 3 4 5 6

Leave a Reply