উপবৃত্ত (Ellipse)

অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩, রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((3, -1), (1, -1), \frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, x-7=0, x+3=0 \)

\(Q.2.(ii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ফোকাস \((-2, 3)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+7=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2+2xy+10x-22y+29=0; 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)

\(Q.2.(iii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y=3\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(11x^2+14y^2-4xy-48x-24y+66=0\)

\(Q.2.(iv)\) \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y-4=0\)। [রাঃ ২০০২;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)

\(Q.2.(v)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(7(x^2+y^2)+2xy+10x-10y+7=0\)

\(Q.2.(vi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার দিকাক্ষ \(Y\)-অক্ষ, ফোকাস \((c, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)।
উত্তরঃ \((x-c)^2+y^2=e^2x^2\)

\(Q.2.(vii)\) \(25x^2+16y^2=400\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২;চঃ,সিঃ ২০০৮;বঃ২০০৬; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (0, \pm 3); \frac{32}{5}; 3y=\pm 25\)

\(Q.2.(viii)\) \(16x^2+25y^2=400\) উপবৃত্তটির ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ,রাঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \((\pm 3, 0); \frac{32}{5}; 3x=\pm 25\)

\(Q.2.(ix)\) \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তটির ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ,রাঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \((\pm 7, 0); \frac{9}{2}; 9x=\pm 8\)

\(Q.2.(x)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 2)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(y+4=0\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(4x^2+3y^2-24y=0; 6\)

\(Q.2.(xi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((0, 1)\) ও \((0, -1)\) এবং তার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+\frac{4y^2}{5}=1\)

\(Q.2.(xii)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিক লম্ব তার ক্ষুদ্রাক্ষের অর্ধেক এবং যা \((0, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=4; e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(Q.2.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-2, 3)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y-3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
[ সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(11x^2+14y^2-4xy+72x-84y+186=0\)

\(Q.2.(xiv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দু এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=2\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\)।
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2-64x-64=0\)

\(Q.2.(xv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-2, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x+2y-3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( 44x^2+41y^2-4xy+186x-78y+216=0\)

\(Q.2.(xvi)\) অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\) ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\) একক।
[ মাঃ২০০৪-২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)

\(Q.2.(xvii)\) কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা শুন্য হলে দেখাও যে, উপবৃত্তটি বৃত্তে পর্যবসিত হয়।

\(Q.2.(xviii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং কেন্দ্র \((2, -1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)

\(Q.2.(xix)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল, একটি উপকেন্দ্র \((2, 3)\) এবং কেন্দ্র \((2, 1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\)

\(Q.2.(xx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(1, 0)\) ও \(\acute S(-1, 0)\) এবং যা \(P\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \( 3x^2+4y^2=12\)

\(Q.2.(xxi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার নাভি দুইটি \(S(3, 1)\) ও \(\acute S(1, 3)\) এবং এর নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(12\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(11x^2+11y^2+2xy-48x-48y-24=0\)

\(Q.2.(xxii)\) এমন বিন্দুগুলির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। \((2, 0)\) বিন্দু হতে যার প্রতিটির দূরত্ব \(x=8\) রেখা হতে দূরত্বের অর্ধেক। সঞ্চার পথটি কি নির্দেশ করে?
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\), উপবৃত্ত।

\(Q.2.(xxiii)\) এমন বিন্দুগুলির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। \((0, 9)\) বিন্দু হতে যার প্রতিটির দূরত্ব \(y=16\) রেখা হতে দূরত্বের \(\frac{3}{4}\) গুণ। সঞ্চার পথটি কি নির্দেশ করে?
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{63}+\frac{y^2}{144}=1\), উপবৃত্ত।

\(Q.2.(xxiv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব এর ক্ষুদ্রাক্ষের সমান এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+8y^2=1\)।

\(Q.2.(xxv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 4)\) , দিকাক্ষের সমীকরণ \(x+y-2=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ কুঃ ২০০২, যঃ ২০০১,২০০৭;রাঃ২০০৪; ঢাঃ২০০৭, ২০১০ ]
উত্তরঃ \(17(x^2+y^2)-2xy-104x-140y+446=0\)

\(Q.2.(xxvi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((1, -1)\) , দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)।
[ রাঃ২০০২; ]
উত্তরঃ \(7(x^2+y^2)+2xy-22x+22y+7=0\)
1 2 3 4 5 6

Leave a Reply