উপবৃত্ত (Ellipse)

অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.2.(i)\) \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩, রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((3, -1), (1, -1), \frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, x-7=0, x+3=0 \)

\(Q.2.(ii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ফোকাস \((-2, 3)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+7=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2+2xy+10x-22y+29=0; 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)

\(Q.2.(iii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y=3\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(11x^2+14y^2-4xy-48x-24y+66=0\)

\(Q.2.(iv)\) \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y-4=0\)। [রাঃ ২০০২;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)

\(Q.2.(v)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(7(x^2+y^2)+2xy+10x-10y+7=0\)

\(Q.2.(vi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার দিকাক্ষ \(Y\)-অক্ষ, ফোকাস \((c, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)।
উত্তরঃ \((x-c)^2+y^2=e^2x^2\)

\(Q.2.(vii)\) \(25x^2+16y^2=400\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২;চঃ,সিঃ ২০০৮;বঃ২০০৬; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (0, \pm 3); \frac{32}{5}; 3y=\pm 25\)

\(Q.2.(viii)\) \(16x^2+25y^2=400\) উপবৃত্তটির ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ,রাঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \((\pm 3, 0); \frac{32}{5}; 3x=\pm 25\)

\(Q.2.(ix)\) \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তটির ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ,রাঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \((\pm 7, 0); \frac{9}{2}; 9x=\pm 8\)

\(Q.2.(x)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 2)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(y+4=0\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(4x^2+3y^2-24y=0; 6\)

\(Q.2.(xi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((0, 1)\) ও \((0, -1)\) এবং তার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+\frac{4y^2}{5}=1\)

\(Q.2.(xii)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিক লম্ব তার ক্ষুদ্রাক্ষের অর্ধেক এবং যা \((0, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=4; e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(Q.2.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-2, 3)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y-3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
[ সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(11x^2+14y^2-4xy+72x-84y+186=0\)

\(Q.2.(xiv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দু এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=2\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\)।
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2-64x-64=0\)

\(Q.2.(xv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-2, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x+2y-3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( 44x^2+41y^2-4xy+186x-78y+216=0\)

\(Q.2.(xvi)\) অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\) ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\) একক।
[ মাঃ২০০৪-২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)

\(Q.2.(xvii)\) কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা শুন্য হলে দেখাও যে, উপবৃত্তটি বৃত্তে পর্যবসিত হয়।

\(Q.2.(xviii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং কেন্দ্র \((2, -1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)

\(Q.2.(xix)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল, একটি উপকেন্দ্র \((2, 3)\) এবং কেন্দ্র \((2, 1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\)

\(Q.2.(xx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(1, 0)\) ও \(\acute S(-1, 0)\) এবং যা \(P\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \( 3x^2+4y^2=12\)

\(Q.2.(xxi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার নাভি দুইটি \(S(3, 1)\) ও \(\acute S(1, 3)\) এবং এর নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(12\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(11x^2+11y^2+2xy-48x-48y-24=0\)

\(Q.2.(xxii)\) এমন বিন্দুগুলির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। \((2, 0)\) বিন্দু হতে যার প্রতিটির দূরত্ব \(x=8\) রেখা হতে দূরত্বের অর্ধেক। সঞ্চার পথটি কি নির্দেশ করে?
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\), উপবৃত্ত।

\(Q.2.(xxiii)\) এমন বিন্দুগুলির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। \((0, 9)\) বিন্দু হতে যার প্রতিটির দূরত্ব \(y=16\) রেখা হতে দূরত্বের \(\frac{3}{4}\) গুণ। সঞ্চার পথটি কি নির্দেশ করে?
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{63}+\frac{y^2}{144}=1\), উপবৃত্ত।

\(Q.2.(xxiv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব এর ক্ষুদ্রাক্ষের সমান এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+8y^2=1\)।

\(Q.2.(xxv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 4)\) , দিকাক্ষের সমীকরণ \(x+y-2=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ কুঃ ২০০২, যঃ ২০০১,২০০৭;রাঃ২০০৪; ঢাঃ২০০৭, ২০১০ ]
উত্তরঃ \(17(x^2+y^2)-2xy-104x-140y+446=0\)

\(Q.2.(xxvi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((1, -1)\) , দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)।
[ রাঃ২০০২; ]
উত্তরঃ \(7(x^2+y^2)+2xy-22x+22y+7=0\)

অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.2\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.2.(i)\) \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩, রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((3, -1), (1, -1), \frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, x-7=0, x+3=0 \)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+5y^2+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)+5(y^2+2y)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)+5(y^2+2y+1-1)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16+5(y^2+2y+1)-5+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2-20=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{20}+\frac{5(y+1)^2}{20}=1\) | উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{4}=1 …..(1)\) যেখানে \(x-2=X, y+1=Y\)
এখানে, \(a^2=5, b^2=4\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{5}, b=2\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\) | \(\because a^2=5, b^2=4\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=\pm ae, Y=0 \)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}, y+1=0 \)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1, y=-1 \)
\(\Rightarrow x=\pm 1+2, y=-1 \)
\(\Rightarrow x=1+2,-1+2, y=-1 \)
\(\Rightarrow x=3,1, y=-1 \)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র দ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1), (1, -1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 4}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(X=\pm \frac{a}{e}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 5\)
\(\Rightarrow x=\pm 5+2\)
\(\Rightarrow x=5+2, x=-5+2\)
\(\Rightarrow x=7, x=-3\)
\(\therefore \) দিকাক্ষ দ্বয়ের সমীকরণ \(x-7=0, x+3=0\).

\(Q.2.(ii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ফোকাস \((-2, 3)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+7=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2+2xy+10x-22y+29=0; 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-2, 3)\),
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+7=0 ….(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y+7|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y+7|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y+7|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{|x-y+7|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+2)^2+(y-3)^2=\frac{1}{3}.\frac{(x-y+7)^2}{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+4x+4+y^2-6y+9=\frac{(x-y+7)^2}{6}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+4x-6y+13=\frac{(x-y+7)^2}{6}\)
\(\Rightarrow 6x^2+6y^2+24x-36y+78=x^2+y^2+49-2xy+14x-14y\)
\(\Rightarrow 6x^2+6y^2+24x-36y+78-x^2-y^2-49+2xy-14x+14y=0\)
\(\therefore 5x^2+5y^2+2xy+10x-22y+29=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(L\acute{L}=2eSZ\)
\(=2\times \frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{|-2-3+7|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) | \(SZ=S(-2, 3)\) হতে \(x-y+7=0\) রেখার লম্ব দূরত্ব।
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{|2|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \sqrt{2}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
\(=2\sqrt{\frac{2}{3}}\)

\(Q.2.(iii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y=3\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(11x^2+14y^2-4xy-48x-24y+66=0; \)

সমাধানঃ

\(Q.2.(iv)\) \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y-4=0\)।
[রাঃ ২০০২;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\),
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y-4=0 ….(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=e\frac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=e^2\frac{(x-y-4)^2}{2} …..(2)\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
শর্তমতে,
\((2)\) নং উপবৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (1-1)^2+(1+1)^2=e^2\frac{(1-1-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 0^2+2^2=e^2\frac{(-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 0+4=e^2\frac{16}{2}\)
\(\Rightarrow 4=e^2.8\)
\(\Rightarrow 8e^2=4\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{4}{8}\)
\(\therefore e^2=\frac{1}{2}\)
\(e^2 \)-এর মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y+1)^2=\frac{1}{2}\times \frac{(x-y-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{x^2+y^2+16-2xy-8x+8y}{4}\)
\(\Rightarrow 4(x^2-2x+y^2+2y+2)=x^2+y^2+16-2xy-8x+8y\)
\(\Rightarrow 4x^2-8x+4y^2+8y+8-x^2-y^2-16+2xy+8x-8y=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+3y^2+2xy-8=0\)
\(\therefore 3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(v)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(7(x^2+y^2)+2xy+10x-10y+7=0\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(vi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার দিকাক্ষ \(Y\)-অক্ষ, ফোকাস \((c, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)।
উত্তরঃ \((x-c)^2+y^2=e^2x^2\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
উপবৃত্তের ফোকাস \(S(c, 0)\),
দিকাক্ষ \(Y\) অক্ষ বা \(x=0 …..(1)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে দিকাক্ষরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow PM=|x|\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=e|x|\)
\(\Rightarrow (x-c)^2+y^2=e^2x^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore (x-c)^2+y^2=e^2x^2\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(vii)\) \(25x^2+16y^2=400\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২;চঃ,সিঃ ২০০৮;বঃ২০০৬; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (0, \pm 3); \frac{32}{5}; 3y=\pm 25\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(viii)\) \(16x^2+25y^2=400\) উপবৃত্তটির ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ,রাঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \((\pm 3, 0); \frac{32}{5}; 3x=\pm 25\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(ix)\) \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তটির ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ,রাঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \((\pm 7, 0); \frac{9}{2}; 9x=\pm 8\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 2)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(y+4=0\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(4x^2+3y^2-24y=0; 6\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(xi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((0, 1)\) ও \((0, -1)\) এবং তার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+\frac{4y^2}{5}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (b>a)………(1)\)
যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm be)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 1)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\)
\(\therefore 2a=1\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a^2=\frac{1}{4}\)
আবার,
\((0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 1)\) | \(\because \) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 1)\)
\(\Rightarrow be=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{b}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{1}{b}\) | \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{a^2}{b^2}=\frac{1}{b^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{b^2-a^2}{b^2}=\frac{1}{b^2}\)
\(\Rightarrow b^2-a^2=1\)
\(\Rightarrow b^2=1+a^2\)
\(\Rightarrow b^2=1+\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{4+1}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{5}{4}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{5}{4}}=1\)
\(\therefore 4x^2+\frac{4y^2}{5}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xii)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিক লম্ব তার ক্ষুদ্রাক্ষের অর্ধেক এবং যা \((0, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=4; e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)………(1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{2b^2}{a}=\frac{2b}{2}\) | দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধেক ।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a=2b …….(2)\)
আবার,
\(a=2b, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{(2b)^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 …..(3)\)
\((3)\) নং উপবৃত্ত \((0, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{0^2}{4b^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2=1\)
\((2)\) হতে
\(a=2.1\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+4y^2}{4}=1\)
\(\therefore x^2+4y^2=4\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^2}{(2b)^2}}\) | \(\because a=2b\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^2}{4b^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(Q.2.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-2, 3)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y-3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
[ সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(11x^2+14y^2-4xy+72x-84y+186=0\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(xiv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দু এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=2\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\)।
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2-64x-64=0\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(xv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-2, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x+2y-3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( 44x^2+41y^2-4xy+186x-78y+216=0\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(xvi)\) অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\) ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\) একক।
[ মাঃ২০০৪-২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore 2b=4\) | \(\because\) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=4\)
\(\Rightarrow b=2\)
\(\therefore b^2=4\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\because e=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{4}{a^2}}\) | \(\because b^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{a^2-4}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{a^2-4}{a^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 2a^2-8=a^2\)
\(\Rightarrow 2a^2-a^2=8\)
\(\therefore a^2=8\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xvii)\) কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা শুন্য হলে দেখাও যে, উপবৃত্তটি বৃত্তে পর্যবসিত হয়।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
শর্তমতে,
\(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2-b^2}=0\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=0\)
\(\therefore a^2=b^2\)
এখন,
\((1)\) নং হতে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\) | \(\because a^2=b^2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2}{a^2}=1\)
\(\therefore x^2+y^2=a^2\)
যা একটি বৃত্তের সমীকরণ,
কেন্দ্র \((0, 0)\)
ব্যাসার্ধ্য \(a\)।
\(\therefore \) কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা শুন্য হলে, উপবৃত্তটি বৃত্তে পর্যবসিত হয়।

\(Q.2.(xviii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং কেন্দ্র \((2, -1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(C(2, -1)\) কেন্দ্রবিশীষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-2)^2}{a^2}+\frac{(y+1)^2}{b^2}=1 (a>b)……..(1)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(2, -1)\)
এখানে,
\(CS=ae=\sqrt{(2-1)^2+(-1+1)^2}\)
\(\Rightarrow ae=\sqrt{1^2+0^2}\)
\(\Rightarrow ae=1 ….(2)\)
আবার,
অক্ষরেখা এবং দিকাক্ষের ছেদবিন্দু \(Z\) হলে,
\(CZ=\frac{a}{e}=5\) | \(\because \) কেন্দ্র \(C(2, -1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
\(\therefore \frac{a}{e}=5 …..(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) গুণ করে।
\(\Rightarrow ae\times \frac{a}{e}=1\times 5 \)
\(\therefore a^2=5 \)
আবার,
\(b^2=a^2-a^2e^2\) | \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\Rightarrow b^2=a^2-a^2e^2\)
\(=a^2-(ae)^2\)
\(=5-(1)^2\)
\(=5-1\)
\(=4\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xix)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল, একটি উপকেন্দ্র \((2, 3)\) এবং কেন্দ্র \((2, 1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(xx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(1, 0)\) ও \(\acute S(-1, 0)\) এবং যা \(P\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \( 3x^2+4y^2=12\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)……..(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow ae=1\)
\(\Rightarrow a\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=1\) | \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow a^2\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)=1\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow a^2-b^2=1\)
\(\Rightarrow a^2=1+b^2 ……(2)\)
আবার,
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \(P\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{1^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{b^2}=1\)
\(\therefore \frac{1}{a^2}+\frac{\left(\frac{9}{4}\right)}{b^2}=1\)
\(\therefore \frac{1}{a^2}+\frac{9}{4b^2}=1\)
\(\therefore \frac{1}{1+b^2}+\frac{9}{4b^2}=1\) | \(\because a^2=1+b^2
\(\therefore \frac{4b^2+9+9b^2}{4b^2(1+b^2)}=1\)
\(\therefore \frac{13b^2+9}{4b^2+4b^4}=1\)
\(\Rightarrow 4b^2+4b^4=13b^2+9\)
\(\Rightarrow 4b^2+4b^4-13b^2-9=0\)
\(\Rightarrow 4b^4-9b^2-9=0\)
\(\Rightarrow 4b^4-12b^2+3b^2-9=0\)
\(\Rightarrow 4b^2(b^2-3)+3(b^2-3)=0\)
\(\Rightarrow (b^2-3)(4b^2+3)=0\)
\(\Rightarrow b^2-3=0, 4b^2+3\ne 0\)
\(\therefore b^2=3\)
\((2)\) হতে,
\(a^2=1+3\)
\(\therefore a^2=4\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2+4y^2}{12}=1\)
\(\therefore 3x^2+4y^2=12\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xxi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার নাভি দুইটি \(S(3, 1)\) ও \(\acute S(1, 3)\) এবং এর নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(12\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(11x^2+11y^2+2xy-48x-48y-24=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
উপবৃত্তের নাভি দুইটি \(S(3, 1)\) ও \(\acute S(1, 3)\)
\(S\acute{S}=\sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2}\)
\(\Rightarrow SC+C\acute{S}=\sqrt{2^2+(-2)^2}\) | \(\because C\) উপবৃত্তের কেন্দ্র
\(\Rightarrow 2SC=\sqrt{8}\) | \(\because SC=C\acute{S}\)
\(\Rightarrow 2SC=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow SC=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ae=\sqrt{2} …(1)\) | \(\because SC=ae\)
আবার,
\(Z\acute{Z}=12\sqrt{2}\) | \(\because\) নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(12\sqrt{2}\).
\(\Rightarrow ZC+C\acute{Z}=12\sqrt{2}\) | \(\because C\) উপবৃত্তের কেন্দ্র ।
\(\Rightarrow 2ZC=12\sqrt{2}\) | \(\because ZC=C\acute{Z}\)
\(\Rightarrow ZC=6\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{e}=6\sqrt{2} …..(2)\) | \(\because ZC=\frac{a}{e}\)
\((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(ae\times \frac{a}{e}=\sqrt{2}\times 6\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a^2=6\times 2\)
\(\Rightarrow a^2=12\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{12}\)
\(\therefore a=2\sqrt{3}\)
আবার,
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a=4\sqrt{3}\)
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\).
আমরা জানি,
\(PS+P\acute{S}=2a\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}=4\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}\)\(=4\sqrt{3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow (x-3)^2+(y-1)^2\)\(=\{4\sqrt{3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\}^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-2y+1\)\(=48+(x-1)^2+(y-3)^2-8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow x^2-6x+y^2-2y+10\)\(=48+x^2-2x+1+y^2-6y+9-8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow x^2-6x+y^2-2y+10\)\(=48+x^2-2x+y^2-6y+10-8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow -6x-2y=48-2x-6y-8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow 8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)\(=48-2x-6y+6x+2y\)
\(\Rightarrow 8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)\(=48+4x-4y\)
\(\Rightarrow 8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)\(=4(12+x-y)\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)\(=12+x-y\) | উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 12\{(x-1)^2+(y-3)^2\}\)\(=(12+x-y)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 12(x^2-2x+1+y^2-6y+9)\)\(=144+x^2+y^2+24x-24y-2xy\)
\(\Rightarrow 12(x^2-2x+y^2-6y+10)\)\(=144+x^2+y^2+24x-24y-2xy\)
\(\Rightarrow 12x^2-24x+12y^2-72y+120\)\(-144-x^2-y^2-24x+24y+2xy=0\)
\(\therefore 11x^2+11y^2+2xy-48x-48y-24=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xxii)\) এমন বিন্দুগুলির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। \((2, 0)\) বিন্দু হতে যার প্রতিটির দূরত্ব \(x=8\) রেখা হতে দূরত্বের অর্ধেক। সঞ্চার পথটি কি নির্দেশ করে?
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\), উপবৃত্ত।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(S(2, 0)\)
\(x-8=0 ……(1)\)
বিন্দু সেটটি \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে \((1)\)-এর লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-8|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-8|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-8|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow PM=|x-8|\)
শর্তমতে, \(PS=\frac{1}{2}.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=\frac{1}{2}|x-8|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+y^2=\frac{1}{4}(x-8)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=\frac{x^2-16x+64}{4}\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+16+4y^2=x^2-16x+64\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+16+4y^2-x^2+16x-64=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+4y^2-48=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+4y^2=48\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{48}+\frac{4y^2}{48}=1\) | উভয় পার্শে \(48\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।
যা একটি উপবৃত্ত প্রকাশ করে।

\(Q.2.(xxiii)\) এমন বিন্দুগুলির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। \((0, 9)\) বিন্দু হতে যার প্রতিটির দূরত্ব \(y=16\) রেখা হতে দূরত্বের \(\frac{3}{4}\) গুণ। সঞ্চার পথটি কি নির্দেশ করে?
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{63}+\frac{y^2}{144}=1\), উপবৃত্ত।

সমাধানঃ

\(Q.2.(xxiv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব এর ক্ষুদ্রাক্ষের সমান এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+8y^2=1\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)……..(1)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(=2ae\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব এর ক্ষুদ্রাক্ষের সমান
এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\)
\(\therefore 2ae=2b\)
\(\Rightarrow ae=b\)
\(\Rightarrow b=ae …..(2)\)
আবার,
\(2a=1\) | \(\because \) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a^2=\frac{1}{4}\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow a^2e^2=a^2-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-(ae)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-b^2\) | \(\because b=ae\)
\(\Rightarrow b^2+b^2=a^2\)
\(\Rightarrow 2b^2=\frac{1}{4}\) | \(\because a^2=\frac{1}{4}\)
\(\therefore b^2=\frac{1}{8}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{8}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{1}+\frac{8y^2}{1}=1\)
\(\therefore 4x^2+8y^2=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xxv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 4)\) , দিকাক্ষের সমীকরণ \(x+y-2=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ কুঃ ২০০২, যঃ ২০০১,২০০৭;রাঃ২০০৪; ঢাঃ২০০৭, ২০১০ ]
উত্তরঃ \(17(x^2+y^2)-2xy-104x-140y+446=0\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(xxvi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((1, -1)\) , দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)।
[ রাঃ২০০২; ]
উত্তরঃ \(7(x^2+y^2)+2xy-22x+22y+7=0\)

সমাধানঃ

1 2 3 4 5 6

Please comment on the Article