উপবৃত্ত (Ellipse)

অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের সমীকরণে \(a\) ও \(b\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(a>b\) ।
\((a)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অভিলম্বটি \(X\) অক্ষের \(Q\) বিন্দুতে মিলিত হলে এবং স্পর্শকটি \(Y\) অক্ষের \(R\) বিন্দুতে মিলিত হলে \(QR\)-এর মধ্যবিন্দু \(M\)-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যা \(a, b, t\) সংবলিত।
উত্তরঃ \((a) \ bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\) \((b) \ ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \) \((c) \ M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin t \cos t, \frac{b}{2\sin t} \right)\).

\(Q.4.(ii)\) \(9x^2+25y^2=225\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) উপবৃত্তের সংজ্ঞা লিখ। কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা বলতে কি বুঝ?
\((b)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি \((3, -2)\) এবং উল্লেখিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
\((c)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 8;\) বর্গ একক। \((c) \ \frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}.\) ।
\(Q.4.(iii)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের সমীকরণে \(a\) ও \(b\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(a>b\) ।
\((a)\) উপবৃত্তের অক্ষ রেখা ও নিয়ামকরেখার সংজ্ঞা লিখ।
\((b)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((b) \ P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) \((c) \ 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\) ।

\(Q.4.(iv)\) একটি উপবৃত্ত \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\((a)\) একটি উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ \(a\), ক্ষুদ্র অক্ষ \(b\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\) এর মধ্যে সম্পর্ক উল্লেখ কর এবং এর প্রমিত আকারের সমীকরণের সূত্র লিখ।
\((b)\) বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\)-অক্ষ ও \(Y\)-অক্ষ ধরে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং যা প্রদত্ত বিন্দুগামী ।
\((c)\) \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর উৎকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
1 2 3 4 5 6

Leave a Reply