অধিবৃত্ত-১ (Hyperbola-1)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ এবং কেন্দ্র মূলবিন্দু ধরে নিম্নের প্রদত্ত শর্তানুসারে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

\(Q.1.(i)(a)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

\(Q.1.(i)(b)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 13)\) এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 24\) ।
[ যঃ ২০০৯;কুঃ২০১৪,২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)

\(Q.1.(i)(c)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 3\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 11\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-112y^2=252\)

\(Q.1.(i)(d)\)যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 6\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(10\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

\(Q.1.(i)(e)\) যার নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 4\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(x^2-y^2=8\)

\(Q.1.(i)(f)\) যার উপকেন্দ্রদ্বয় \((4, 2)\) এবং \((8, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
[ সিঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3(x-6)^2-(y-2)^2=3\)

\(Q.1.(i)(g)\) যা \((2, 1)\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
[ কুঃ২০১৬;বঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)

\(Q.1.(i)(h)\) যা \((4, 6)\) এবং \((-1, -3)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \(5y^2-9x^2=36\)

\(Q.1.(i)(i)\) যার শীর্ষ \((0, \pm 8)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{4}{3}x\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1\)

\(Q.1.(i)(j)\) যার শীর্ষ \((\pm 1, 0)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x\)
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)

\(Q.1.(i)(k)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x\)
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{9}-\frac{5y^2}{36}=1\)

\(Q.1.(i)(l)\) যা \((5, 9)\) বিন্দুগামী এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x\)
উত্তরঃ \(y^2-x^2=56\)

\(Q.1.(i)(m)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{2}x\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{16}=1\)

\(Q.1.(i)(n)\)যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(12\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\)

\(Q.1.(i)(o)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা, \(2\) ।
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{3}=1\)

\(Q.1.(i)(p)\) যার শীর্ষ \((\pm 2, 0)\) এবং উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) ।
উত্তরঃ \(5x^2-4y^2=20\)

\(Q.1.(i)(q)\) যার শীর্ষ \((0, \pm 3)\) এবং উপকেন্দ্র \((0, \pm 5)\) ।
উত্তরঃ \(16y^2-9x^2=144\)

\(Q.1.(i)(r)\) যার অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{4}x\) এবং আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

\(Q.1.(i)(s)\) যার শীর্ষ \((\pm 2, 0)\) এবং \((4, 2)\) বিন্দুগামী ।
উত্তরঃ \(x^2-3y^2=4\)

\(Q.1.(i)(t)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{25}=1\)

\(Q.1.(i)(u)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=6\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)

\(Q.1.(i)(v)\) যার আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{144}-\frac{x^2}{81}=1\)

\(Q.1.(i)(w)\) যার আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=16\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=22\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{121}=1\)

\(Q.1.(i)(x)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=11\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{40}=1\)

\(Q.1.(i)(y)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{19}=1\)

\(Q.1.(i)(z)\) যার অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{45}-\frac{x^2}{25}=1\)

\(Q.1.(i)(z.1)\) যার অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{200}\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{151}-\frac{x^2}{49}=1\)

\(Q.1.(i)(z.2)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=7) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \(65x^2-36y^2=441\)

\(Q.1.(i)(z.3)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাসদ্বয় \((\pm 4, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)

নিম্নলিখিত অধিবৃত্তগুলির কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র , অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রতি ক্ষেত্রে অসীমতটের সমীকরণও নির্ণয় কর।

\(Q.1.(ii)(a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 3, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{13}}{3}\);\((\pm \sqrt{13}, 0); 6,4;\frac{8}{3};\sqrt{13}x\pm 9=0 \); অসীমতট, \(y=\pm \frac{2}{3}xm x\)

\(Q.1.(ii)(b)\) \(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)
[ সিঃ২০১৪; রাঃ ২০০৮,২০০৪;কুঃ ২০০৫;মাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 5, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0); 10,8;\frac{32}{5};\sqrt{41}x\pm 25\); অসীমতট, \(y=\pm \frac{4}{5}x\)

\(Q.1.(ii)(c)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 3, 0);\)\( e=\frac{4}{3}; (0, \pm 4); 6,2\sqrt{7};\frac{14}{3};4x\pm 9=0\); অসীমতট, \(y=\pm \frac{\sqrt{7}}{3}x\)

\(Q.1.(ii)(d)\) \(25x^2-16y^2=400\)
[ দিঃ ২০১২; সিঃ২০০১ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\);\(8,10;\frac{25}{2};\sqrt{41}x\pm 16=0\); অসীমতট, \( y=\pm \frac{5}{4}x x\)

\(Q.1.(ii)(e)\) \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\)
[ চুয়েটঃ ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১৩,২০১১,২০০৩,২০০১;সিঃ ২০০৮,২০০৬;মাঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \( (1, -2); (5, -2), (-3, -2);\)\( e=\frac{5}{4}; (6, -2),(-4,-2); 8,6;\frac{9}{2};5(x-1)\pm 16=0\) ; অসীমতট, \(y+2=\pm \frac{3}{4}(x-1)\)

\(Q.1.(ii)(f)\) \(16x^2-25y^2=400\)
[রাঃ ২০০৮,২০০৪;কুঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 5, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0);10;8;\frac{32}{5};\sqrt{41}x\pm 25=0\); অসীমতট \(y=\pm \frac{4}{5}x\)

\(Q.1.(ii)(g)\) \(9x^2-16y^2=144\)
[সিঃ ২০০৫;মাঃ ২০১৩,২০০৫]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\)\( e=\frac{5}{4}; (\pm 5, 0);8;6;\frac{16}{5};5x\pm 16=0\); অসীমতট \(y=\pm \frac{3}{4}x\)

\(Q.1.(ii)(h)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\)
[ যঃ ২০১২;সিঃ২০০৮; চঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 12);\)\( e=\frac{13}{12}; (\pm 13, 0);24;10;\frac{25}{6};13x\pm 144=0 \) ;অসীমতট, \(y=\pm frac{5}{12}x\)

\(Q.1.(ii)(i)\) \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\)
[ বুয়েটঃ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \( (-4, -1); (0, -1), (-8, -1);\)\(\frac{5}{4};(1, -1), (-9, -1); 8;6; \frac{9}{2};5(x+4)\pm 16=0\); অসীমতট, \(y+1=\pm \frac{3}{4}(x+4)\)

\(Q.1.(ii)(j)\) \(4y^2-5x^2=20\)
[ চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5); e=\frac{3}{\sqrt{5}};\)\((0, \pm 3); 2\sqrt{5},4;\frac{8}{\sqrt{5}};3y\pm 5=0\) ; অসীমতট, \(y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x\)

\(Q.1.(ii)(k)\) \(9x^2-4y^2+36=0\)
[ যঃ২০০১ ]
উত্তরঃ \((0, 0) ; (0, \pm 3); \frac{\sqrt{13}}{3};(0, \pm \sqrt{13});\) \(6;4;\frac{8}{3};\sqrt{13}y\pm 9=0\); অসীমতট \(y=\pm \frac{3}{2}x\)

\(Q.1.(ii)(l)\) \(\frac{y^2}{2}-x^2=1\)
[ রুয়েটঃ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{2});\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}};(0, \pm \sqrt{3});2\sqrt{2};2;\sqrt{2}; \sqrt{3}y\pm 2=0;\) অসীমতট, \(y=\pm \sqrt{2}x\)

\(Q.1.(ii)(m)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\sqrt{5};(\pm 4\sqrt{5}, 0)\);\(8;4;2;\sqrt{5}x\pm 4=0\); অসীমতট \(2y\pm x=0\)

\(Q.1.(ii)(n)\) \(y^2-x^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\sqrt{2};(0, \pm 2\sqrt{2});4;4;4;y\pm \sqrt{2}\); অসীমতট \(y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(o)\) \(3x^2-y^2-12x+9=0\)
উত্তরঃ \( (2, 0); (3, 0), (1, 0); 2 ;(4, 0),(0, 0);2;2\sqrt{3};6;2(x-2)\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm \sqrt{3}(x-2)\)

\(Q.1.(ii)(p)\) \(2x^2-y^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm \sqrt{2}, 0);\sqrt{3};(\pm \sqrt{6}, 0)\);\(2\sqrt{2};4;4\sqrt{2};\sqrt{3}x\pm \sqrt{2}=0\);অসীমতট \(y=\pm \sqrt{2}x\)

\(Q.1.(ii)(q)\) \(y^2-x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 1);\sqrt{2};(0, \pm 2)\);\(2;2;2;\sqrt{2}y\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(r)\) \(3y^2-x^2=9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{3});2;(0, \pm 2\sqrt{3})\);\(2\sqrt{3};6;6\sqrt{3};2y\pm \sqrt{3}=0\); অসীমতট \(3y\pm \sqrt{3}x=0\)

\(Q.1.(ii)(s)\) \(x^2-y^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);\sqrt{2};(\pm \sqrt{2}, 0)\);\(2;2;2;\sqrt{2}x\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(t)\) \(3x^2-y^2=-9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{2}{\sqrt{3}};(0, \pm 2\sqrt{3})\);\(6;2\sqrt{3};2;2y\pm 3\sqrt{3}=0\); অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm 3x=0\)

\(Q.1.(ii)(u)\) \(4y^2-4x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \frac{1}{2});\sqrt{2};(0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})\);\(1;1;1;2\sqrt{2}y\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(v)\) \(4x^2-y^2=16\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 2, 0);\sqrt{5};(\pm 2\sqrt{5}, 0)\);\(4;8;16;\sqrt{5}x\pm 2=0\); অসীমতট \(y=\pm 2x\)

\(Q.1.(ii)(w)\) \(9y^2-16x^2=144\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 4);\frac{5}{4};(0, \pm 5)\);\(8;6;\frac{9}{2};5y\pm 16=0\); অসীমতট \(3y\pm 4x=0\)

\(Q.1.(ii)(x)\) \(8x^2-y^2=8\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);3;(\pm 3, 0)\);\(2;4\sqrt{2};16;3x\pm 1=0\); অসীমতট \(y\pm 2\sqrt{2}x=0\)

\(Q.1.(ii)(y)\) \(3y^2-2x^2=24\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2\sqrt{2});\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}};(0, \pm 2\sqrt{5})\);\(4\sqrt{2};4\sqrt{3};6\sqrt{2};\sqrt{5}y\pm 4=0\); অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm \sqrt{2}x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.1)\) \(3x^2-4y^2=12\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 2, 0);\frac{\sqrt{7}}{2};(\pm \sqrt{7}, 0)\);\(4;2\sqrt{3};3;\sqrt{7}x\pm 4=0\); অসীমতট \(2y\pm \sqrt{3}x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.2)\) \(9y^2-4x^2=36\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\frac{\sqrt{13}}{2};(0, \pm \sqrt{13})\);\(4;6;9;\sqrt{13}y\pm 4=0\); অসীমতট \(3y\pm 2x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.3)\) \(4y^2-25x^2=100\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5);\frac{\sqrt{29}}{5};(0, \pm \sqrt{29})\);\(10;4;\frac{8}{5};\sqrt{29}y\pm 25=0\); অসীমতট \(2y\pm 5x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.4)\) \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{25}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{\sqrt{34}}{3};(0, \pm \sqrt{34})\);\(6;10;\frac{50}{3};\sqrt{34}y\pm 9=0\); অসীমতট \(5y\pm 3x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.5)\) \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5);\frac{\sqrt{34}}{5};(0, \pm \sqrt{34})\);\(10;6;\frac{18}{5};\sqrt{34}y\pm 25=0\); অসীমতট \(3y\pm 5x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.6)\) \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\frac{\sqrt{13}}{2};(0, \pm \sqrt{13})\);\(4;6;9;\sqrt{13}y\pm 4=0\); অসীমতট \(3y\pm 2x=0\)

\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((a)\) \(x^2=16y\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।

\((b)\) \(y^2=4y+4x-16\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।

\((c)\) \(16x^2+25y^2=400\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।

\((d)\) \(9x^2+108x+25y^2-150y+324=0\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।

\((e)\) \(25x^2-16y^2=400\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((f)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((g)\) \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((h)\) \(8x^2-3y^2=48\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((i)\) \(25y^2-9x^2= 225\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((j)\) \(16x^2-9y^2=576\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\(Q.1.(iv)\) \(x^2-2y^2-2x+8y-13=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \((1, 2), 2\sqrt{6},2\sqrt{3}, y-2=0, x-1=0\)

\(Q.1.(v)\) \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, শীর্ষ ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর। ।
[ চুয়েতঃ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১১,২০১৩;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \((1, -2), (5, -2), (-3, -2), (6, -2), (-4, -2) \ )

\(Q.1.(vi)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০০৭;রাঃ২০০৬,২০১২;দিঃ২০০৬;চঃ২০১৫;যঃ২০১০,২০০৫;মাঃ২০১০ ]
উত্তরঃ \( (\pm 5, 0); 5x\pm 9=0\)

\(Q.1.(vii)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৫;যঃ২০১২;সিঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{13}{12}; (\pm 13, 0)\)

\(Q.1.(viii)\) \(16x^2-25y^2=400\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৫;রাঃ২০০৮;সিঃ২০১৪;মাঃ২০১৫ ]
উত্তরঃ উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0) \)

\(Q.1.(ix)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0); \frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\)

\(Q.1.(x)\) \(16x^2-9y^2=144\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \((\pm 5, 0); \frac{5}{3}; 5x\pm 9=0\)

\(Q.1.(xi)\) \(4y^2-5x^2=20\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, \pm 3); \frac{3}{\sqrt{5}}; 3y\pm 5=0\)

\(Q.1.(xii)\) \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, শীর্ষ , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0) ; (\pm \sqrt{2}, 0); (\pm \frac{3}{2}, 0) ;3x\pm 4=0\)

\(Q.1.(xiii)\) \(9x^2-7y^2+63=0\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 4); 4y\pm 9=0\)

\(Q.1.(xiv)\) \(16y^2-25x^2=400\) অধিবৃত্তের শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 5);(0, \pm \sqrt{14})\)

\(Q.1.(xv)\) \(9x^2-16y^2=144\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 4, 0);(\pm 5, 0) \frac{5}{4}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(16x^2-9y^2=576\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা, অক্ষ দ্বয় ও নভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 6, 0);(\pm 10, 0); \frac{5}{3}; 12; 16; \frac{64}{3}; 5x\pm 18=0\)

\(Q.1.(xvii)\) \(9x^2-16y^2-36x-32y-124=0\) অধিবৃত্তের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, উৎকেন্দ্রিকতা, অক্ষ দ্বয়ের সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (2, -1), (6, -1), (-2, -1), (7, -1), (-3, -1), \frac{5}{4}; y+1=0, x-2=0, 5x-26=0, 5x+6=0\)

\(Q.1.(xviii)\) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, অধিবৃত্তগুলির প্রমিত সমীকরণ, কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র এবং অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে \(\theta\)হলো কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক কোণ।

\(Q.1.(xviii)(a)\) \((4\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\)

\(Q.1.(xviii)(b)\) \((8\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)

\(Q.1.(xviii)(c)\) \((\sqrt{3}\sec\theta, 2\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1\)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.1\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ এবং কেন্দ্র মূলবিন্দু ধরে নিম্নের প্রদত্ত শর্তানুসারে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

\(Q.1.(i)(a)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\)
\(\therefore 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\((\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 5, 0)\)
\(\Rightarrow ae=5\)
\(\Rightarrow 4.e=5\)
\(\therefore e=\frac{5}{4}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\left(\frac{5}{4}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\frac{25}{16}-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\frac{25-16}{16}\}\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\frac{25-16}{16}\}\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\frac{9}{16}\}\)
\(\therefore b^2=9\)
\(\therefore a^2=16, b^2=9, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2-16y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2-16y^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(b)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 13)\) এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 24\) ।
[ যঃ ২০০৯;কুঃ২০১৪,২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……..(1)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((0, \pm 13)\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 24\) ।
\(\therefore 2a=24\)
\(\Rightarrow a=12\)
\(\therefore a^2=144\)
আবার,
\((0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 13)\)
\(\Rightarrow be=13\)
\(\therefore e=\frac{13}{b}\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 144=b^2\{\left(\frac{13}{b}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow 144=b^2\{\frac{169}{b^2}-1\}\)
\(\Rightarrow 144=b^2\{\frac{169-b^2}{b^2}\}\)
\(\Rightarrow 144=169-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=169-144\)
\(\therefore b^2=25\)
\(\therefore a^2=144, b^2=25, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(c)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 3\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 11\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-112y^2=252\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 11\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 3\)
\(\therefore 2b=3\)
\(\Rightarrow b=\frac{3}{2}\)
\(\therefore b^2=\frac{9}{4}\)
আবার,
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 2ae=11\)
\(\therefore e=\frac{11}{2a}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=a^2\{\left(\frac{11}{2a}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=a^2\{\frac{121}{4a^2}-1\}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=a^2\{\frac{121-4a^2}{4a^2}\}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=\frac{121-4a^2}{4}\)
\(\Rightarrow 9=121-4a^2\)
\(\Rightarrow 4a^2=121-9\)
\(\Rightarrow 4a^2=112\)
\(\therefore a^2=28\)
\(\therefore a^2=28, b^2=\frac{9}{4}, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{28}-\frac{y^2}{\frac{9}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{28}-\frac{4y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2-112y^2}{252}=1\)
\(\therefore 9x^2-112y^2=252\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(d)\)যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 6\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 10\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(e)\) যার নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 4\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(x^2-y^2=8\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
দেওয়া আছে,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{2}\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 4\)
\(\therefore 2\frac{a}{e}=4\)
\(\Rightarrow \frac{a}{e}=2\)
\(\Rightarrow a=2e\)
\(\Rightarrow a=2\sqrt{2}\)
\(\therefore a^2=8\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=8\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=8\{2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=8\{1\}\)
\(\therefore b^2=8\)
\(\therefore a^2=b^2=8, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{8}=1\)
\(\therefore x^2-y^2=8\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(f)\) যার উপকেন্দ্রদ্বয় \((4, 2)\) এবং \((8, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
[ সিঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3(x-6)^2-(y-2)^2=3\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=2\)
উপকেন্দ্রদ্বয় \(S(4, 2)\) এবং \(\acute{S}(8, 2)\)
অতএব, কেন্দ্র \(S\acute{S}\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\left(\frac{4+8}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{12}{2}, \frac{4}{2}\right)\)
\(\therefore C(6, 2)\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-6)^2}{a^2}-\frac{(y-2)^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 2ae=S\acute{S}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{(4-8)^2+(2-2)^2}\)
\(\Rightarrow 2a.2=\sqrt{(-4)^2+0^2}\)
\(\Rightarrow 4a=\sqrt{16}\)
\(\Rightarrow 4a=4\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=1\{(2)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=1\{4-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=1\{3\}\)
\(\therefore b^2=3\)
\(\therefore a^2=1, b^2=3, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(x-6)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3(x-6)^2-(y-2)^2}{3}=1\)
\(\therefore 3(x-6)^2-(y-2)^2=3\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(g)\) যা \((2, 1)\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
[ কুঃ২০১৬;বঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্ত \((2, 1)\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore \frac{2^2}{a^2}-\frac{1^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1 …….(2)\)
আবার,
\(\therefore \frac{3^2}{a^2}-\frac{(-2)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1 …….(3)\)
\((2)\times 4-(3)\)-এর সাহায্যে,
\(\frac{16}{a^2}-\frac{4}{b^2}-\frac{9}{a^2}+\frac{4}{b^2}=4-1\)
\(\Rightarrow \frac{16-9}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow \frac{7}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow 3a^2=7\)
\(\therefore a^2=\frac{7}{3}\)
আবার,
\(a^2=\frac{7}{3}, (2)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{4}{\frac{7}{3}}-\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{12}{7}-\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{12}{7}-1=\frac{1}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{12-7}{7}=\frac{1}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{7}=\frac{1}{b^2}\)
\(\Rightarrow 5b^2=7\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{7}{5}\)
\(\therefore a^2=\frac{7}{3}, b^2=\frac{7}{5}, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{7}{3}}-\frac{y^2}{\frac{7}{5}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{7}-\frac{5y^2}{7}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2-5y^2}{7}=1\)
\(\therefore 3x^2-5y^2=7\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(h)\) যা \((4, 6)\) এবং \((-1, -3)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \(5y^2-9x^2=36\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(i)\) যার শীর্ষ \((0, \pm 8)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{4}{3}x\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((0, \pm 8)\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{4}{3}x ……(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটি \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ……(3)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm b)\)
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm 8)\)
\(\Rightarrow b=8\)
\(\therefore b^2=64\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{8}{a}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow 4a=24\)
\(\Rightarrow a=6\)
\(\therefore a^2=36\)
\(\therefore a^2=36, b^2=64 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(j)\) যার শীর্ষ \((\pm 1, 0)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x\)
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((\pm 1, 0)\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x ……(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটি \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ……(3)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=2\)
\(\Rightarrow \frac{b}{1}=2\)
\(\Rightarrow b=2\)
\(\therefore b^2=4\)
\(\therefore a^2=1, b^2=4 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore x^2-\frac{y^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(k)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x\)
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{9}-\frac{5y^2}{36}=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((\pm 3, 0)\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x ……(1)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ……(3)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 3, 0)\)
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\therefore e=\frac{3}{a} …….(4)\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=2\)
\(\therefore b=2a …..(5)\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow (2a)^2=a^2\{\left(\frac{3}{a}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow 4a^2=a^2\{\frac{9}{a^2}-1\}\)
\(\Rightarrow 4a^2=a^2\{\frac{9-a^2}{a^2}\}\)
\(\Rightarrow 4a^2=9-a^2\)
\(\Rightarrow 4a^2+a^2=9\)
\(\Rightarrow 5a^2=9\)
\(\Rightarrow a^2=\frac{9}{5}\)
\(\therefore a=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\((5)\) হতে,
\(b=2\times \frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow b=\frac{6}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore b^2=\frac{36}{5}\)
\(\therefore a^2=\frac{9}{5}, b^2=\frac{36}{5} (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{9}{5}}-\frac{y^2}{\frac{36}{5}}=1\)
\(\therefore \frac{5x^2}{9}-\frac{5y^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(l)\) যা \((5, 9)\) বিন্দুগামী এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x\)
উত্তরঃ \(y^2-x^2=56\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x ……(1)\)
অধিবৃত্তটি \((5, 9)\) বিন্দুগামী যার \(x\) স্থানাঙ্ক \(y\) স্থানাঙ্ক অপেক্ষা ছোট।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ……(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=1\)
\(\therefore a=b …..(4)\)
আবার,
অধিবৃত্তটি \((5, 9)\) বিন্দুগামী
\(\frac{9^2}{b^2}-\frac{5^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}-\frac{25}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{81-25}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{56}{a^2}=1\)
\(\therefore a^2=56\)
\((4)\) হতে,
\(b^2=56\)
\(\therefore a^2=b^2=56 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{56}-\frac{x^2}{56}=1\)
\(\therefore y^2-x^2=56\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(m)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{2}x\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{16}=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{2}x ……(1)\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ……(3)\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{3.4}{2}\)
\(\Rightarrow b=3.2\)
\(\Rightarrow b=6\)
\(\Rightarrow b^2=36\)
\(\therefore a^2=16, b^2=36 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{16}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(n)\)যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(12\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(o)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা, \(2\) ।
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{3}=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=2\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……(1)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 2, 0)\)
\(\Rightarrow ae=2\)
\(\Rightarrow a.2=2\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=1(2^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=(4-1)\)
\(\therefore b^2=3\)
\(\therefore a^2=1, b^2=3 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1\)
\(\therefore x^2-\frac{y^2}{3}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(p)\) যার শীর্ষ \((\pm 2, 0)\) এবং উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) ।
উত্তরঃ \(5x^2-4y^2=20\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((\pm 2, 0)\)
এবং উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং শীর্ষ উভয়ই \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব,অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 2, 0)\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 3, 0)\)
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\Rightarrow 2.e=3\)
\(\Rightarrow e=\frac{3}{2}\)
\(\therefore e^2=\frac{9}{4}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4\left(\frac{9}{4}-1\right)\)
\(\Rightarrow b^2=4\left(\frac{9-4}{4}\right)\)
\(\therefore b^2=5\)
\(\therefore a^2=4, b^2=5, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2-4y^2}{20}=1\)
\(\therefore 5x^2-4y^2=20\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(q)\) যার শীর্ষ \((0, \pm 3)\) এবং উপকেন্দ্র \((0, \pm 5)\) ।
উত্তরঃ \(16y^2-9x^2=144\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((0, \pm 3)\)
এবং উপকেন্দ্র \((0, \pm 5)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং শীর্ষ উভয়ই \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব,অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm b)\)
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm 3)\)
\(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore b^2=9\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm be)\)
\(\therefore (0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 5)\)
\(\Rightarrow be=5\)
\(\Rightarrow 3.e=5\)
\(\Rightarrow e=\frac{5}{3}\)
\(\therefore e^2=\frac{25}{9}\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow a^2=9\left(\frac{25}{9}-1\right)\)
\(\Rightarrow a^2=9\left(\frac{25-9}{9}\right)\)
\(\therefore a^2=16\)
\(\therefore a^2=16, b^2=9, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16y^2-9x^2}{144}=1\)
\(\therefore 16y^2-9x^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(r)\) যার অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{4}x\) এবং আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{4}x ……(1)\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ……(3)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\Rightarrow 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow b=\frac{3a}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{9a^2}{16}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{9\times 16}{16}\)
\(\therefore b^2=9\)
\(\therefore a^2=16, b^2=9 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{9x^2-16y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2-16y^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(s)\) যার শীর্ষ \((\pm 2, 0)\) এবং \((4, 2)\) বিন্দুগামী ।
উত্তরঃ \(x^2-3y^2=4\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((\pm 2, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ দুইটি \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 2, 0)\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
আবার,
\((1)\) নং অধিবৃত্ত \((4, 2)\) বিন্দুগামী
\(\therefore \frac{4^2}{a^2}-\frac{2^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{4}-\frac{4}{b^2}=1\) | \(\because a^2=4\)
\(\Rightarrow 4-\frac{4}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 4-1=\frac{4}{b^2}\)
\(\Rightarrow 3=\frac{4}{b^2}\)
\(\therefore b^2=\frac{4}{3}\)
\(\therefore a^2=4, b^2=\frac{4}{3} (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{\frac{4}{3}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}-\frac{3y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2-3y^2}{4}=1\)
\(\therefore x^2-3y^2=4\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(t)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{25}=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……(1)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\therefore 2a=14\)
\(\Rightarrow a=7\)
\(\therefore a^2=49\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(\therefore 2b=10\)
\(\Rightarrow b=5\)
\(\therefore b^2=25\)
\(\therefore a^2=49, b^2=25 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(u)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=6\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(v)\) যার আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{144}-\frac{x^2}{81}=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……(1)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(\therefore 2b=24\)
\(\Rightarrow b=12\)
\(\therefore b^2=144\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\therefore 2a=18\)
\(\Rightarrow a=9\)
\(\therefore a^2=81\)
\(\therefore a^2=81, b^2=144 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{144}-\frac{x^2}{81}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(w)\) যার আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=16\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=22\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{121}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(x)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=11\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{40}=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\)
কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=11\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……(1)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\therefore 2a=18\)
\(\Rightarrow a=9\)
\(\therefore a^2=81\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=ae\)
\(\therefore ae=11\)
\(\Rightarrow 9.e=11\)
\(\Rightarrow e=\frac{11}{9}\)
\(\therefore e^2=\frac{121}{81}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=81\left(\frac{121}{81}-1\right)\)
\(\Rightarrow b^2=81\left(\frac{121-81}{81}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=81\left(\frac{40}{81}\right)\)
\(\therefore b^2=40\)
\(\therefore a^2=81, b^2=40 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{40}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(y)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{19}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(z)\) যার অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{45}-\frac{x^2}{25}=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর
অতএব, আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)
কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……(1)\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\therefore 2a=10\)
\(\Rightarrow a=5\)
\(\therefore a^2=25\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=be\)
\(\therefore be=\sqrt{70}\)
\(\Rightarrow e=\frac{\sqrt{70}}{b}\)
\(\therefore e^2=\frac{70}{b^2}\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 25=b^2\left(\frac{70}{b^2}-1\right)\)
\(\Rightarrow 25=b^2\left(\frac{70-b^2}{b^2}\right)\)
\(\Rightarrow 25=70-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=70-25\)
\(\therefore b^2=45\)
\(\therefore a^2=25, b^2=45 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{45}-\frac{x^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(z.1)\) যার অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{200}\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{151}-\frac{x^2}{49}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(z.2)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=7\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \(65x^2-36y^2=441\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……(1)\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(\therefore 2b=7\)
\(\Rightarrow b=\frac{7}{2}\)
\(\therefore b^2=\frac{49}{4}\)
\((1)\) নং অধিবৃত্ত \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore \frac{3^2}{a^2}-\frac{(-2)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{4}{\frac{49}{4}}=1\) | \(\because b^2=\frac{49}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{16}{49}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1+\frac{16}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{49+16}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{65}{49}\)
\(\Rightarrow 65a^2=441\)
\(\therefore a^2=\frac{441}{65}\)
\(\therefore a^2=\frac{441}{65}, b^2=\frac{49}{4}, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{441}{65}}-\frac{y^2}{\frac{49}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{65x^2}{441}-\frac{4y^2}{49}=1\)
\(\Rightarrow \frac{65x^2-36y^2}{441}=1\)
\(\therefore 65x^2-36y^2=441\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(z.3)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাসদ্বয় \((\pm 4, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)

সমাধানঃ

নিম্নলিখিত অধিবৃত্তগুলির কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র , অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রতি ক্ষেত্রে অসীমতটের সমীকরণও নির্ণয় কর।

\(Q.1.(ii)(a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 3, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{13}}{3}\);\((\pm \sqrt{13}, 0); 6,4;\frac{8}{3};\sqrt{13}x\pm 9=0 \); অসীমতট, \(y=\pm \frac{2}{3} x\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=9, b^2=4\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9+4}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{13}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{13}}{3}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (\pm 3, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{\sqrt{13}}{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{13}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.3\)
\(=6\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.2\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.4}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{\sqrt{13}}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{13}x=\pm 9\)
\(\therefore \sqrt{13}x\pm 9=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm \frac{2}{3}x\)

\(Q.1.(ii)(b)\) \(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)
[ সিঃ২০১৪; রাঃ ২০০৮,২০০৪;কুঃ ২০০৫;মাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 5, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0); 10,8\); অসীমতট \(y=\pm x\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(c)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 3, 0);\)\( e=\frac{4}{3}; (0, \pm 4); 6,2\sqrt{7}\) ; অসীমতট \(y=\pm x\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(d)\) \(25x^2-16y^2=400\)
[ দিঃ ২০১২; সিঃ২০০১ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\);\(8,10;\frac{25}{2};\sqrt{41}x\pm 16=0\); অসীমতট, \( y=\pm \frac{5}{4}x\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(25x^2-16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}-\frac{16y^2}{400}=1\) | উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=25\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{25}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16+25}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{41}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{41}}{4}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{\sqrt{41}}{4}, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{41}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.4\)
\(=8\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.5\)
\(=10\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.25}{4}\)
\(=\frac{25}{2}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{\frac{\sqrt{41}}{4}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{16}{\sqrt{41}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{41}x=\pm 16\)
\(\therefore \sqrt{41}x\pm 16=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm \frac{5}{4}x\)

\(Q.1.(ii)(e)\) \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\)
[ চুয়েটঃ ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১৩,২০১১,২০০৩,২০০১;সিঃ ২০০৮,২০০৬;মাঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \( (1, -2); (5, -2), (-3, -2);\)\( e=\frac{5}{4}; (6, -2),(-4,-2); 8,6;\frac{9}{2};5(x-1)\pm 16=0\) ; অসীমতট, \(y+2=\pm \frac{3}{4}(x-1)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\)
\(\Rightarrow 9x^2-18x-16y^2-64y-199=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2-2x)-16(y^2+4y)-199=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2-2x+1-1)-16(y^2+4y+4-4)-199=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2-2x+1)-9-16(y^2+4y+4)+64-199=0\)
\(\Rightarrow 9(x-1)^2-16(y+2)^2-144=0\)
\(\Rightarrow 9(x-1)^2-16(y+2)^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9(x-1)^2}{144}-\frac{16(y+2)^2}{144}=1\) | উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{16}-\frac{(y+2)^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{16}-\frac{Y^2}{9}=1\) যেখানে, \(X=x-1, Y=y+2\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=9\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{5}{4}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, y+2=0\) | \(\because X=x-1, Y=y+2\)
\(\Rightarrow x=1, y=-2\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((1, -2)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=\pm a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 4, y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1\pm 4, y=-2\)
\(\Rightarrow x=1+4,1-4, y=-2\)
\(\therefore x=5,-3, y=-2\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((5, -2), (-3, -2)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{4}, y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{4}, y=-2\)
\(\Rightarrow x=1\pm 5, y=-2\)
\(\Rightarrow x=1+5,1-5, y=-2\)
\(\Rightarrow x=6,-4, y=-2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((6, -2), (-4, -2)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.4\)
\(=8\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.3\)
\(=6\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.9}{4}\)
\(=\frac{9}{2}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{4}{\frac{5}{4}}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{16}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x-1)=\pm 16\)
\(\therefore 5(x-1)\pm 16=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y+2=\pm \frac{b}{a}(x-1)\)
\(\therefore y+2=\pm \frac{3}{4}(x-1)\)

\(Q.1.(ii)(f)\) \(16x^2-25y^2=400\)
[রাঃ ২০০৮,২০০৪;কুঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 5, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0);10;8;\frac{32}{5};\sqrt{41}x\pm 25=0\); অসীমতট \(y=\pm \frac{4}{5}x\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(g)\) \(9x^2-16y^2=144\)
[সিঃ ২০০৫;মাঃ ২০১৩,২০০৫]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\)\( e=\frac{5}{4}; (\pm 5, 0);8;6;\frac{16}{5};5x\pm 16=0\); অসীমতট \(y=\pm \frac{3}{4}x\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(h)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\)
[ যঃ ২০১২;সিঃ২০০৮; চঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 12);\)\( e=\frac{13}{12}; (\pm 13, 0);24;10;\frac{25}{6};13x\pm 144=0 \) ;অসীমতট, \(y=\pm frac{5}{12}x\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(i)\) \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\)
[ বুয়েটঃ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \( (-4, -1); (0, -1), (-8, -1);\)\(\frac{5}{4};(1, -1), (-9, -1); 8;6; \frac{9}{2};5(x+4)\pm 16=0\); অসীমতট, \(y+1=\pm \frac{3}{4}(x+4)\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(j)\) \(4y^2-5x^2=20\)
[ চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{5}); e=\frac{3}{\sqrt{5}};\)\((0, \pm 3); 2\sqrt{5},4;\frac{8}{\sqrt{5}};3y\pm 5=0\) ; অসীমতট, \(y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(4y^2-5x^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{20}-\frac{5x^2}{20}=1\) | উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(b^2=5, a^2=4\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore b=\sqrt{5}, a=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5+4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{5}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm \sqrt{5})\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{5}\times \frac{3}{\sqrt{5}})\)
\(\therefore (0, \pm 3)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.\sqrt{5}\)
\(=2\sqrt{5}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.2\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2.4}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow 3y=\pm 5\)
\(\therefore 3y\pm 5=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x\)

\(Q.1.(ii)(k)\) \(9x^2-4y^2+36=0\)
[ যঃ২০০১ ]
উত্তরঃ \((0, 0) ; (0, \pm 3); \frac{\sqrt{13}}{3};(0, \pm \sqrt{13});\) \(6;4;\frac{8}{3};\sqrt{13}y\pm 9=0\); অসীমতট \(y=\pm \frac{3}{2}x\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(l)\) \(\frac{y^2}{2}-x^2=1\)
[ রুয়েটঃ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{2});\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}};(0, \pm \sqrt{3});2\sqrt{2};2;\sqrt{2}; \sqrt{3}y\pm 2=0;\) অসীমতট, \(y=\pm \sqrt{2}x\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(m)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\sqrt{5};(\pm 4\sqrt{5}, 0)\);\(8;4;2;\sqrt{5}x\pm 4=0\); অসীমতট \(2y\pm x=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(n)\) \(y^2-x^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\sqrt{2};(0, \pm 2\sqrt{2});4;4;4;y\pm \sqrt{2}=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(y^2-x^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{4}=1\) | উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=4, b^2=4\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+1}\)
\(\therefore e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm 2)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm 2\sqrt{2})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.2\)
\(=4\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.2\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2.4}{2}\)
\(=4\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{2}\)
\(\therefore y\pm \sqrt{2}=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x\)
\(\therefore y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(o)\) \(3x^2-y^2-12x+9=0\)
উত্তরঃ \( (2, 0); (3, 0), (1, 0); 2 ;(4, 0),(0, 0);2;2\sqrt{3};6;2(x-2)\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm \sqrt{3}(x-2)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(3x^2-y^2-12x+9=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-12x-y^2+9=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x)-y^2+9=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x+4-4)-y^2+9=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x+4)-12-y^2+9=0\)
\(\Rightarrow 3(x-2)^2-y^2-3=0\)
\(\Rightarrow 3(x-2)^2-y^2=3\)
\(\Rightarrow \frac{3(x-2)^2}{3}-\frac{y^2}{3}=1\) | উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{1}-\frac{Y^2}{3}=1\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y\)
এখানে, \(a^2=1, b^2=3\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1, b=\sqrt{3}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{3}{1}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+3}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{4}\)
\(\therefore e=2\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=0\)
\(\therefore\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((2, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=\pm a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1, y=0\)
\(\Rightarrow x=2\pm 1, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+1,2-1, y=0\)
\(\Rightarrow x=3,1, y=0\)
\(\therefore\) শীর্ষবিন্দু \((3, 0), (1, 0) \)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1\times 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=2\pm 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+2,2-2, y=0\)
\(\Rightarrow x=4,0, y=0\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র, \( (4,0),(0, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\sqrt{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.3}{1}\)
\(=\frac{6}{2}\)
\(=6\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2(x-2)=\pm 1\)
\(\therefore 2(x-2)\pm 1=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}(x-2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}{1}(x-2)\)
\(\therefore y=\pm \sqrt{3}(x-2)\)

\(Q.1.(ii)(p)\) \(2x^2-y^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm \sqrt{2}, 0);\sqrt{3};(\pm \sqrt{6}, 0)\);\(2\sqrt{2};4;4\sqrt{2};\sqrt{3}x\pm \sqrt{2}=0\);অসীমতট \(y=\pm \sqrt{2}x\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2-y^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{2x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1\) | উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=2, b^2=4\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{2}, b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+2}\)
\(\therefore e=\sqrt{3}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (\pm \sqrt{2}, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm sqrt{2}\times \sqrt{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm sqrt{6}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\sqrt{2}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.2\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{2.4}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore 4\sqrt{2}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x=\pm \sqrt{2}\)
\(\therefore \sqrt{3}x\pm \sqrt{2}=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2}{\sqrt{2}}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}x\)
\(\therefore y=\pm \sqrt{2}x\)

\(Q.1.(ii)(q)\) \(y^2-x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 1);\sqrt{2};(0, \pm 2)\);\(2;2;2;\sqrt{2}y\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(y^2-x^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{1}=1\)
এখানে, \(a^2=1, b^2=1\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=b=1\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{1}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+1}\)
\(\therefore e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm 1)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 1.\sqrt{2})\)
\(\therefore (0, \pm \sqrt{2})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.1\)
\(=2\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{2.1}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{1}\)
\(\therefore 2\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}y=\pm 1\)
\(\therefore \sqrt{2}y\pm 1=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{1}x\)
\(\therefore y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(r)\) \(3y^2-x^2=9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{3});2;(0, \pm 2\sqrt{3})\);\(2\sqrt{3};6;6\sqrt{3};2y\pm \sqrt{3}=0\); অসীমতট \(3y\pm \sqrt{3}x=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(3y^2-x^2=9\)
\(\Rightarrow \frac{3y^2}{9}-\frac{x^2}{9}=1\) | উভয় পার্শে \(9\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{9}=1\)
এখানে, \(a^2=9, b^2=3\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{3}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+3}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{4}\)
\(\therefore e=2\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm \sqrt{3})\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{3}.2)\)
\(\therefore (0, \pm 2\sqrt{3})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\sqrt{3}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.3\)
\(=6\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{2.9}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{2.3\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore 6\sqrt{3}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=\pm \sqrt{3}\)
\(\therefore 2y\pm \sqrt{3}=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x\)
\(\Rightarrow 3y=\pm \sqrt{3}x\)
\(\therefore 3y\pm \sqrt{3}x=0\)

\(Q.1.(ii)(s)\) \(x^2-y^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);\sqrt{2};(\pm \sqrt{2}, 0)\);\(2;2;2;\sqrt{2}x\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(x^2-y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{1}-\frac{x^2}{1}=1\)
এখানে, \(a^2=1, b^2=1\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=b=1\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{1}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+1}\)
\(\therefore e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (\pm 1, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 1.\sqrt{2}, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{2}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.1\)
\(=2\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{2.1}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{1}\)
\(\therefore 2\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}x=\pm 1\)
\(\therefore \sqrt{2}x\pm 1=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{1}x\)
\(\therefore y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(t)\) \(3x^2-y^2=-9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{2}{\sqrt{3}};(0, \pm 2\sqrt{3})\);\(6;2\sqrt{3};2;2y\pm 3\sqrt{3}=0\); অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm 3x=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(3x^2-y^2=-9\)
\(\Rightarrow y^2-3x^2=9\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}-\frac{3x^2}{9}=1\) | উভয় পার্শে \(9\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=3, b^2=9\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{3}, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{3}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3+1}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{3}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm 3)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 3\times \frac{2}{\sqrt{3}})\)
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{3}\times \sqrt{3}\times \frac{2}{\sqrt{3}})\)
\(\therefore (0, \pm 2\sqrt{3})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.3\)
\(=6\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\sqrt{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{2.3}{3}\)
\(\therefore 2\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=\pm 3\sqrt{3}\)
\(\therefore 2y\pm 3\sqrt{3}=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{\sqrt{3}}x\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}y=\pm 3x\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}y\pm 3x=0\)

\(Q.1.(ii)(u)\) \(4y^2-4x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \frac{1}{2});\sqrt{2};(0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})\);\(1;1;1;2\sqrt{2}y\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(4y^2-4x^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{\frac{1}{4}}-\frac{x^2}{\frac{1}{4}}=1\)
এখানে, \(a^2=\frac{1}{4}, b^2=\frac{1}{4}\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=b=\frac{1}{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+1}\)
\(\therefore e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm \frac{1}{2})\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm \frac{1}{2}\times \sqrt{2})\)
\(\therefore (0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times \frac{1}{2}\)
\(=1\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\times \frac{1}{2}\)
\(=1\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{2\times \frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore 1\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}y=\pm 1\)
\(\therefore 2\sqrt{2}y\pm 1=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}x\)
\(\therefore y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(v)\) \(4x^2-y^2=16\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 2, 0);\sqrt{5};(\pm 2\sqrt{5}, 0)\);\(4;8;16;\sqrt{5}x\pm 2=0\); অসীমতট \(y=\pm 2x\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(w)\) \(9y^2-16x^2=144\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 4);\frac{5}{4};(0, \pm 5)\);\(8;6;\frac{9}{2};5y\pm 16=0\); অসীমতট \(3y\pm 4x=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(x)\) \(8x^2-y^2=8\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);3;(\pm 3, 0)\);\(2;4\sqrt{2};16;3x\pm 1=0\); অসীমতট \(y\pm 2\sqrt{2}x=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(y)\) \(3y^2-2x^2=24\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2\sqrt{2});\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}};(0, \pm 2\sqrt{5})\);\(4\sqrt{2};4\sqrt{3};6\sqrt{2};\sqrt{5}y\pm 4=0\); অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm \sqrt{2}x=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(z.1)\) \(3x^2-4y^2=12\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 2, 0);\frac{\sqrt{7}}{2};(\pm \sqrt{7}, 0)\);\(4;2\sqrt{3};3;\sqrt{7}x\pm 4=0\); অসীমতট \(2y\pm \sqrt{3}x=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(z.2)\) \(9y^2-4x^2=36\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\frac{\sqrt{13}}{2};(0, \pm \sqrt{13})\);\(4;6;9;\sqrt{13}y\pm 4=0\); অসীমতট \(3y\pm 2x=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(z.3)\) \(4y^2-25x^2=100\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5);\frac{\sqrt{29}}{5};(0, \pm \sqrt{29})\);\(10;4;\frac{8}{5};\sqrt{29}y\pm 25=0\); অসীমতট \(2y\pm 5x=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(z.4)\) \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{25}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{\sqrt{34}}{3};(0, \pm \sqrt{34})\);\(6;10;\frac{50}{3};\sqrt{34}y\pm 9=0\); অসীমতট \(5y\pm 3x=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(z.5)\) \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5);\frac{\sqrt{34}}{5};(0, \pm \sqrt{34})\);\(10;6;\frac{18}{5};\sqrt{34}y\pm 25=0\); অসীমতট \(3y\pm 5x=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(z.6)\) \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\frac{\sqrt{13}}{2};(0, \pm \sqrt{13})\);\(4;6;9;\sqrt{13}y\pm 4=0\); অসীমতট \(3y\pm 2x=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((a)\) \(x^2=16y\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2=16y …….(1)\)
এখানে,
\(4a=16\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4\)
আবার,
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((0, 4)\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-4\)
\(\therefore y+4=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) সম্বলিত পদ বিদ্যমান কিন্তু \(y^2\) সম্বলিত পদ অনুপস্থিত। সুতরাং, ইহা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(\Rightarrow 16y=x^2\)
\(\Rightarrow y=\frac{x^2}{16}\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।

\(x\) \(8\) \(4\) \(2\) \(0\) \(-2\) \(-4\) \(-8\)
\(y\) \(4\) \(1\) \(.25\) \(0\) \(1\) \(.25\) \(4\)

উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((8, 4), (4, 1), (2, .25),(0, 0), (-2, .25), (-4, 1), (-8, 4) \) বিন্দুগুলি পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।

\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((b)\) \(y^2=4y+4x-16\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
\(y^2=4y+4x-16\)
\(\Rightarrow y^2-4y=4x-16\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4=4x-16\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-16+4\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-12\)
\(\therefore (y-2)^2=4(x-3)…….(1)\)
\(\therefore Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=4\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1\)
আবার,
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((a, 0)\)
\(\therefore X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=1, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=3+1, y=2\)
\(\Rightarrow x=4, y=2\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((4, 2)\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(X=-a\)
\(\Rightarrow x-3=-1\)
\(\Rightarrow x-3+1=0\)
\(\therefore x-2=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(y^2\) সম্বলিত পদ বিদ্যমান কিন্তু \(x^2\) সম্বলিত পদ অনুপস্থিত। সুতরাং, ইহা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow y-2=\pm 2\sqrt{(x-3)}\)
\(\therefore y=2\pm 2\sqrt{(x-3)}\)
এখন, \(x-3\geq 0\) হবে।
\(\therefore x\geq 3\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।

\(x\) \(19\) \(12\) \(7\) \(3\)
\(y\) \(10,-6\) \(8,-4\) \(6,-2\) \(2\)

উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((19, 10), (19, -6), (12, 8),(12, -4), (7, 6), (7, -2), (3, 2) \) বিন্দুগুলি পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।

\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((c)\) \(16x^2+25y^2=400\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
\(16x^2+25y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{400}+\frac{25y^2}{400}=1\) | উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1…….(1)\)
এখানে,
\(a^2=25,b^2=16\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5,b=4\)
\(\therefore a>b\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(=\frac{3}{5}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{3}{5}, 0)\)
\(\therefore (\pm 3, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{5}{\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{25}{3}\)
\(\therefore 3x=\pm 25\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও অভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{y^2}{16}=1-\frac{x^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{16}=\frac{25-x^2}{25}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{16}{25}(25-x^2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{4}{5}\sqrt{(25-x^2)}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{4}{5}\sqrt{(5^2-x^2)}\)
\(\therefore y=\pm \frac{4}{5}\sqrt{(5-x)(5+x)}\)
এখন, \((5-x)(5+x)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow 5-x\geq 0,5+x\geq 0\) বা, \(5-x\leq 0,5+x\leq 0\)
\(\Rightarrow x-5\leq 0,5+x\geq 0\) বা, \(x-5\geq 0,5+x\leq 0\)
\(\Rightarrow x\leq 5,x\geq -5\) বা, \(x\geq 5,x\leq -5\)
\(\Rightarrow x\leq 5,x\geq -5 \)
\(\therefore 5\geq x\geq -5 \)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।

\(x\) \(5\) \(3\) \(0\) \(-3\) \(-5\)
\(y\) \(0\) \(\pm 3.2\) \(\pm 4\) \(\pm 3.2\) \(0\)

উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((5, 0), (3, 3.2), (3, -3.2),(0, 4), (0, -4), (-3, 3.2), (-3, -3.2) , (-5, 0)\) বিন্দুগুলি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।

\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((d)\) \(9x^2+108x+25y^2-150y+324=0\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
\(9x^2+108x+25y^2-150y+324=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+12x)+25(y^2-6y)+324=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+12x+36-36)+25(y^2-6y+9-9)+324=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+12x+36)-234+25(y^2-6y+9)-225+324=0\)
\(\Rightarrow 9(x+6)^2+25(y-3)^2-225=0\)
\(\Rightarrow 9(x+6)^2+25(y-3)^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9(x+6)^2}{225}+\frac{25(y-3)^2}{225}=1\) | উভয় পার্শে \(225\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{(x+6)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1…….(1)\)
\(\therefore \frac{X^2}{25}+\frac{Y^2}{9}=1\) যেখানে, \(X=x+6, Y=y-3\)
এখানে,
\(a^2=25,b^2=9\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5,b=3\)
\(\therefore a>b\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(=\frac{4}{5}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x+6=\pm 5\times \frac{4}{5}, y-3=0\)
\(\Rightarrow x+6=\pm 4, y=3\)
\(\Rightarrow x=-6\pm 4, y=3\)
\(\Rightarrow x=-6+4,-6-4, y=3\)
\(\Rightarrow x=-2,-10, y=3\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((-2, 3), (-10, 3)\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(X=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow x+6=\pm \frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow 4x+24=\pm 25\)
\(\Rightarrow 4x=-24\pm 25\)
\(\Rightarrow 4x=-24+25, 4x=-24-25\)
\(\Rightarrow 4x=1, 4x=-49\)
\(\therefore 4x-1=0, 4x+49=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও অভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{(y-3)^2}{9}=1-\frac{(x+6)^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{(y-3)^2}{9}=\frac{25-(x+6)^2}{25}\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=\frac{9}{25}\{25-(x+6)^2\}\)
\(\Rightarrow y-3=\pm \frac{3}{5}\sqrt{\{25-(x+6)^2\}}\)
\(\Rightarrow y=3\pm \frac{3}{5}\sqrt{\{5^2-(x+6)^2\}}\)
\(\Rightarrow y=3\pm \frac{3}{5}\sqrt{(5-x-6)(5+x+6)}\)
\(\therefore y=3\pm \frac{3}{5}\sqrt{(-1-x)(x+11)}\)
এখন, \((-1-x)(x+11)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow -1-x\geq 0,x+11\geq 0\) বা, \(-1-x\leq 0,x+11\leq 0\)
\(\Rightarrow x+1\leq 0,x+11\geq 0\) বা, \(x+1\geq 0,x+11\leq 0\)
\(\Rightarrow x\leq -1,x\geq -11\) বা, \(x\geq -1,x\leq -11\)
\(\Rightarrow x\leq -1,x\geq -11\)
\(\therefore -1\geq x\geq -11 \)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।

\(x\) \(-11\) \(-9\) \(-5\) \(-3\) \(-1\)
\(y\) \(3\) \(5.4,0.6\) \(5.9,0.06\) \(5.4,0.6\) \(3\)

উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((-11, 3), (-9, 5.4), (-9, 0.6), (-5, 5.9), (-5, 0.06), (-3, 5.4), (-3, 0.6) , (-1, 3)\) বিন্দুগুলি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।

\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((e)\) \(25x^2-16y^2=400\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
\(25x^2-16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}-\frac{16y^2}{400}=1\) | উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1…….(1)\)
এখানে,
\(a^2=16,b^2=25\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=4,b=5\)
আবার,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{25}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+25}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{41}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{41}}{4}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{\sqrt{41}}{4}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((\pm \sqrt{41}, 0))\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{\frac{\sqrt{41}}{4}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{16}{\sqrt{41}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{41}x=\pm 16\)
\(\therefore \sqrt{41}x\pm 16=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{x^2}{16}-1=\frac{y^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-16}{16}=\frac{y^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}=\frac{x^2-16}{16}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{25}{16}(x^2-16)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{4}\sqrt{(x^2-4^2)}\)
\(\therefore y=\pm \frac{5}{4}\sqrt{(x-4)(x+4)}\)
এখন, \((x-4)(x+4)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow x-4\geq 0,x+4\geq 0\) বা, \(x-4\leq 0,x+4\leq 0\)
\(\Rightarrow x\geq 4,x\geq -4\) বা, \(x\leq 4,x\leq -4\)
\(\therefore x\geq 4\) বা, \(x\leq -4\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।

\(x\) \(4\) \(6\) \(8\) \(-4\) \(-6\) \(-8\)
\(y\) \(0\) \(\pm 5.59\) \(\pm 8.66\) \(0\) \(\pm 5.59\) \(\pm 8.66\)

উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((4, 0),(6, 5.59) , (6, -5.59), (8, 8.66), (8, -8.66), (-4, 0),(-6, 5.59) , (-6, -5.59), (-8, 8.66), (-8, -8.66) \) বিন্দুগুলি অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।

\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((f)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1…….(1)\)
এখানে,
\(a^2=9,b^2=7\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=3,b=\sqrt{7}\)
আবার,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{7}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+7}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{9}}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{4}{3}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((\pm 4, 0))\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=\pm 9\)
\(\therefore 4x\pm 9=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{x^2}{9}-1=\frac{y^2}{7}\)
\((1)\Rightarrow \frac{x^2-9}{9}=\frac{y^2}{7}\)
\((1)\Rightarrow \frac{y^2}{7}=\frac{x^2-9}{9}\)
\((1)\Rightarrow y^2=\frac{7}{9}(x^2-9)\)
\((1)\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{7}}{3}(x^2-3^2)\)
\(\therefore y=\pm \frac{\sqrt{7}}{3}\sqrt{(x-3)(x+3)}\)
এখন, \((x-3)(x+3)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow x-3\geq 0,x+3\geq 0\) বা, \(x-3\leq 0,x+3\leq 0\)
\(\Rightarrow x\geq 3,x\geq -3\) বা, \(x\leq 3,x\leq -3\)
\(\therefore x\geq 3\) বা, \(x\leq -3\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।

\(x\) \(3\) \(6\) \(9\) \(-3\) \(-6\) \(-9\)
\(y\) \(0\) \(\pm 4.58\) \(\pm 7.48\) \(0\) \(\pm 4.58\) \(\pm 7.48\)

উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((3, 0),(6, 4.58) , (6, -4.58), (9, 7.48), (9, -7.48), (-3, 0),(-6, 4.58) , (-6, -4.58), (-9, 7.48), (-9, -7.48) \) বিন্দুগুলি অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।

\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((g)\) \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
\(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{\frac{36}{5}}-\frac{y^2}{4}=1…….(1)\)
এখানে,
\(a^2=\frac{36}{5},b^2=4\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{6}{\sqrt{5}},b=2\)
আবার,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{4}{\frac{36}{5}}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{20}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{20+36}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{56}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{14}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{14}}{3}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \frac{6}{\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{14}}{3}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((\pm \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}}, 0))\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\frac{6}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{14}}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{18}{\sqrt{70}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{70}x=\pm 18\)
\(\therefore \sqrt{70}x\pm 18=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2}{36}-1=\frac{y^2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2-36}{36}=\frac{y^2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}=\frac{5x^2-36}{36}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4}{36}(5x^2-36)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{1}{9}(5x^2-36)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{3}\sqrt{\{(\sqrt{5}x)^2-6^2\}}\)
\(\therefore y=\pm \frac{1}{3}\sqrt{(\sqrt{5}x-6)(\sqrt{5}x+6)}\)
এখন, \((\sqrt{5}x-6)(\sqrt{5}x+6)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow \sqrt{5}x-6\geq 0,\sqrt{5}x+6\geq 0\) বা, \(\sqrt{5}x-6\leq 0,\sqrt{5}x+6\leq 0\)
\(\Rightarrow \sqrt{5}x\geq 6,\sqrt{5}x\geq -6\) বা, \(\sqrt{5}x\leq 6,\sqrt{5}x\leq -6\)
\(\Rightarrow x\geq \frac{6}{\sqrt{5}},x\geq -\frac{6}{\sqrt{5}}\) বা, \(x\leq \frac{6}{\sqrt{5}},x\leq -\frac{6}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore x\geq \frac{6}{\sqrt{5}}\) বা, \(x\leq -\frac{6}{\sqrt{5}}\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।

\(x\) \(2.68\) \(5\) \(8\) \(-2.68\) \(-5\) \(-8\)
\(y\) \(0\) \(\pm 3.14\) \(\pm 5.62\) \(0\) \(\pm 3.14\) \(\pm 5.62\)

উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((2.68, 0),(5, 3.14) , (5, -3.14), (8, 5.62), (8, -5.62), (-2.68, 0),(-5, 3.14) , (-5, -3.14), (-8, 5.62), (-8, -5.62) \) বিন্দুগুলি অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।

\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((h)\) \(8x^2-3y^2=48\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

সমাধানঃ

\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((i)\) \(25y^2-9x^2= 225\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

সমাধানঃ

\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((j)\) \(16x^2-9y^2=576\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

সমাধানঃ

\(Q.1.(iv)\) \(x^2-2y^2-2x+8y-13=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \((1, 2), 2\sqrt{6},2\sqrt{3}, y-2=0, x-1=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
কনিকের সমীকরণ, \(x^2-2y^2-2x+8y-13=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x-2y^2+8y-13=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1-1-2(y^2-4y)-13=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-1-2(y^2-4y+4-4)-13=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-2(y^2-4y+4)+8-14=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-2(y-2)^2-6=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-2(y-2)^2=6\)
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{6}-\frac{2(y-2)^2}{6}=1\) | উভয় পার্শে \(6\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{6}-\frac{(y-2)^2}{3}=1\)
ধরি,
\(X=x-1, Y=y-2\)
\(\therefore \frac{X^2}{6}-\frac{Y^2}{3}=1 ….(1)\) | যা \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।
এখানে,
\(a^2=6, b^2=3\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{6}, b=\sqrt{3}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{3}{6}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2+1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(\therefore X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, y-2=0\)
\(\therefore x=1, y=2\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((1, 2)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a=2\sqrt{6}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{3}\)
আড় অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\)
\(\therefore y-2=0\)
অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\)
\(\therefore x-1=0\)

\(Q.1.(v)\) \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, শীর্ষ ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর। ।
[ চুয়েতঃ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১১,২০১৩;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \((1, -2), (5, -2), (-3, -2), (6, -2), (-4, -2) \ )

সমাধানঃ

\(Q.1.(vi)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০০৭;রাঃ২০০৬,২০১২;দিঃ২০০৬;চঃ২০১৫;যঃ২০১০,২০০৫;মাঃ২০১০ ]
উত্তরঃ \( (\pm 5, 0); 5x\pm 9=0\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 ……..(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=4\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{5}{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
অধিবৃত্তের নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ, \( x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=\pm 9\)
\(\therefore 5x\pm 9=0\)

\(Q.1.(vii)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৫;যঃ২০১২;সিঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{13}{12}; (\pm 13, 0)\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1 ……..(1)\)
এখানে,
\(a^2=144, b^2=25\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=12, b=5\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{25}{144}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+25}{144}}\)
\(=\sqrt{\frac{169}{144}}\)
\(=\frac{13}{12}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 12\times \frac{13}{12}, 0)\)
\(\therefore (\pm 13, 0)\)

\(Q.1.(viii)\) \(16x^2-25y^2=400\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৫;রাঃ২০০৮;সিঃ২০১৪;মাঃ২০১৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0) \)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ix)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0); \frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(25x^2-16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}-\frac{16y^2}{400}=1\) | উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=25\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{25}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25+16}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{41}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{41}}{4}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{\sqrt{41}}{4})\)
\(\therefore (\pm \sqrt{41}, 0)\)

\(Q.1.(x)\) \(16x^2-9y^2=144\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \((\pm 5, 0); \frac{5}{3}; 5x\pm 9=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(16x^2-9y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{144}-\frac{9y^2}{144}=1\) | উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
এখানে, \(a^2=9, b^2=16\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=4\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{5}{3}\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{5}{3})\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=\pm 9\)
\(\therefore 5x\pm 9=0\)

\(Q.1.(xi)\) \(4y^2-5x^2=20\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, \pm 3); \frac{3}{\sqrt{5}}; 3y\pm 5=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(4y^2-5x^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{20}-\frac{5x^2}{20}=1\) | উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=4, b^2=5\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=2, b=\sqrt{5}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5+4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{5}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{5}\times \frac{3}{\sqrt{5}})\)
\(\therefore (0, \pm 3)\)
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow 3y=\pm 5\)
\(\therefore 3y\pm 5=0\)

\(Q.1.(xii)\) \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, শীর্ষ , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0) ; (\pm \sqrt{2}, 0); (\pm \frac{3}{2}, 0) ;3x\pm 4=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(x^2-8y^2=2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{8y^2}{2}=1\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{4y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)
এখানে, \(a^2=2, b^2=\frac{1}{4}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{2}, b=\frac{1}{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{\frac{1}{4}}{2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{8}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{8+1}{8}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{8}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র, \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ , \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{2}, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm \sqrt{2}\times \frac{3}{2\sqrt{2}}, 0)\)
\(\therefore (\pm \frac{3}{2}, 0)\)
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=\pm 4\)
\(\therefore 3x\pm 4=0\)

\(Q.1.(xiii)\) \(9x^2-7y^2+63=0\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 4); 4y\pm 9=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2-7y^2+63=0\)
\(\Rightarrow 7y^2-9x^2-63=0\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 7y^2-9x^2=63\)
\(\Rightarrow \frac{7y^2}{63}-\frac{9x^2}{63}=1\) | উভয় পার্শে \(63\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{7}=1\)
এখানে, \(a^2=7, b^2=9\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{7}, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{7}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9+7}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{4}{3}\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 3\times \frac{4}{3})\)
\(\therefore (0, \pm 4)\)
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{\frac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4y=\pm 9\)
\(\therefore 4y\pm 9=0\)

\(Q.1.(xiv)\) \(16y^2-25x^2=400\) অধিবৃত্তের শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 5);(0, \pm \sqrt{41})\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(16y^2-25x^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{16y^2}{400}-\frac{25x^2}{400}=1\) | উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=25\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25+16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{41}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{41}}{5}\)
শীর্ষবিন্দু, \((0, \pm b)\)
\(\therefore (0, \pm 5)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 5\times \frac{\sqrt{41}}{5})\)
\(\therefore (0, \pm \sqrt{41})\)

\(Q.1.(xv)\) \(9x^2-16y^2=144\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 4, 0);(\pm 5, 0) \frac{5}{4}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2-16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}-\frac{16y^2}{144}=1\) | উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=9\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{5}{4}\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ , \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{5}{4}, 0)\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)

\(Q.1.(xvi)\) \(16x^2-9y^2=576\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা, অক্ষ দ্বয় ও নভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 6, 0);(\pm 10, 0); \frac{5}{3}; 12; 16; \frac{64}{3}; 5x\pm 18=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xvii)\) \(9x^2-16y^2-36x-32y-124=0\) অধিবৃত্তের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, উৎকেন্দ্রিকতা, অক্ষ দ্বয়ের সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (2, -1), (6, -1), (-2, -1), (7, -1), (-3, -1), \frac{5}{4}; y+1=0, x-2=0, 5x-26=0, 5x+6=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xviii)\) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, অধিবৃত্তগুলির প্রমিত সমীকরণ, কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র এবং অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে \(\theta\) হলো কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক কোণ।

\(Q.1.(xviii)(a)\) \((4\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\);\((0, 0); (\pm 4, 0); \frac{\sqrt{13}}{2}; (\pm 2\sqrt{13}, 0)\); \(8, 12, x=0, y=0; \sqrt{13}x\pm 8=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((4\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
অতএব, অধিবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ, \(x=4\sec\theta, y=6\tan\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}=\sec\theta, \frac{y}{6}=\tan\theta\)
\(\therefore \frac{x}{4}=\sec\theta……(1)\), \(\frac{y}{6}=\tan\theta ……(2)\)
\((1)^2-(2)^2\)-এর সাহায্যে,
\(\left(\frac{x}{4}\right)^2-\left(\frac{y}{6}\right)^2=\sec^2\theta-\tan^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\) | \(\because \sec^2\theta-\tan^2\theta=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
এখানে, \(a^2=16, b^2=36\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=6\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{36}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4+9}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{13}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র, \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ, \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{\sqrt{13}}{2}, 0)\)
\(\therefore (\pm 2\sqrt{13}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(=2a=2.4=8\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(=2b=2.6=12\)
আড় অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{\frac{\sqrt{13}}{2}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{8}{\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{13}x=\pm 8\)
\(\therefore \sqrt{13}x\pm 8=0\)

\(Q.1.(xviii)(b)\) \((8\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\); \((0, 0); (\pm 8, 0); \frac{5}{4}; (\pm 5, 0)\); \(16, 12, x=0, y=0; 5x\pm 32=0\)\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xviii)(c)\) \((\sqrt{3}\sec\theta, 2\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1\); \((0, 0); (\pm \sqrt{3}, 0); \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}; (\pm \sqrt{7}, 0)\); \(2\sqrt{3}, 4, x=0, y=0; 7x\pm 3\sqrt{7}=0\)

সমাধানঃ

1 2 3 4 5