অধিবৃত্ত (Hyperbola)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ এবং কেন্দ্র মূলবিন্দু ধরে নিম্নের প্রদত্ত শর্তানুসারে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)(a)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

\(Q.1.(i)(b)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 13)\) এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 24\) ।
[ যঃ ২০০৯;কুঃ২০১৪,২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)

\(Q.1.(i)(c)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 3\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 11\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-112y^2=252\)

\(Q.1.(i)(d)\)যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 6\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(10\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

\(Q.1.(i)(e)\) যার নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 4\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(x^2-y^2=8\)

\(Q.1.(i)(f)\) যার উপকেন্দ্রদ্বয় \((4, 2)\) এবং \((8, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
[ সিঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3(x-6)^2-(y-2)^2=3\)

\(Q.1.(i)(g)\) যা \((2, 1)\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
[ কুঃ২০১৬;বঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)

\(Q.1.(i)(h)\) যা \((4, 6)\) এবং \((-1, -3)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \(5y^2-9x^2=36\)

\(Q.1.(i)(i)\) যার শীর্ষ \((0, \pm 8)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{4}{3}x\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1\)

\(Q.1.(i)(j)\) যার শীর্ষ \((\pm 1, 0)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x\)
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)

\(Q.1.(i)(k)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x\)
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{9}-\frac{5y^2}{36}=1\)

\(Q.1.(i)(l)\) যা \((5, 9)\) বিন্দুগামী এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x\)
উত্তরঃ \(y^2-x^2=56\)

\(Q.1.(i)(m)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{2}x\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{16}=1\)

\(Q.1.(i)(n)\)যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(12\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\)

\(Q.1.(i)(o)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা, \(2\) ।
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{3}=1\)

\(Q.1.(i)(p)\) যার শীর্ষ \((\pm 2, 0)\) এবং উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) ।
উত্তরঃ \(5x^2-4y^2=20\)

\(Q.1.(i)(q)\) যার শীর্ষ \((0, \pm 3)\) এবং উপকেন্দ্র \((0, \pm 5)\) ।
উত্তরঃ \(16y^2-9x^2=144\)

\(Q.1.(i)(r)\) যার অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{4}x\) এবং আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

\(Q.1.(i)(s)\) যার শীর্ষ \((\pm 2, 0)\) এবং \((4, 2)\) বিন্দুগামী ।
উত্তরঃ \(x^2-3y^2=4\)

\(Q.1.(i)(t)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{25}=1\)

\(Q.1.(i)(u)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=6\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)

\(Q.1.(i)(v)\) যার আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{144}-\frac{x^2}{81}=1\)

\(Q.1.(i)(w)\) যার আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=16\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=22\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{121}=1\)

\(Q.1.(i)(x)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=11\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{40}=1\)

\(Q.1.(i)(y)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{19}=1\)

\(Q.1.(i)(z)\) যার অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{45}-\frac{x^2}{25}=1\)

\(Q.1.(i)(z.1)\) যার অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{200}\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{151}-\frac{x^2}{49}=1\)

\(Q.1.(i)(z.2)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=7\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \(65x^2-36y^2=441\)

\(Q.1.(i)(z.3)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাসদ্বয় \((\pm 4, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)
নিম্নলিখিত অধিবৃত্তগুলির কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র , অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রতি ক্ষেত্রে অসীমতটের সমীকরণও নির্ণয় কর।
\(Q.1.(ii)(a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 3, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{13}}{3}\);\((\pm \sqrt{13}, 0); 6,4;\frac{8}{3};\sqrt{13}x\pm 9=0 \); অসীমতট, \(y=\pm \frac{2}{3}xm x\)

\(Q.1.(ii)(b)\) \(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)
[ সিঃ২০১৪; রাঃ ২০০৮,২০০৪;কুঃ ২০০৫;মাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 5, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0); 10,8;\frac{32}{5};\sqrt{41}x\pm 25\); অসীমতট, \(y=\pm \frac{4}{5}x\)

\(Q.1.(ii)(c)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 3, 0);\)\( e=\frac{4}{3}; (0, \pm 4); 6,2\sqrt{7};\frac{14}{3};4x\pm 9=0\); অসীমতট, \(y=\pm \frac{\sqrt{7}}{3}x\)

\(Q.1.(ii)(d)\) \(25x^2-16y^2=400\)
[ দিঃ ২০১২; সিঃ২০০১ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\);\(8,10;\frac{25}{2};\sqrt{41}x\pm 16=0\); অসীমতট, \( y=\pm \frac{5}{4}x x\)

\(Q.1.(ii)(e)\) \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\)
[ চুয়েটঃ ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১৩,২০১১,২০০৩,২০০১;সিঃ ২০০৮,২০০৬;মাঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \( (1, -2); (5, -2), (-3, -2);\)\( e=\frac{5}{4}; (6, -2),(-4,-2); 8,6;\frac{9}{2};5(x-1)\pm 16=0\) ; অসীমতট, \(y+2=\pm \frac{3}{4}(x-1)\)

\(Q.1.(ii)(f)\) \(16x^2-25y^2=400\)
[রাঃ ২০০৮,২০০৪;কুঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 5, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0);10;8;\frac{32}{5};\sqrt{41}x\pm 25=0\); অসীমতট \(y=\pm \frac{4}{5}x\)

\(Q.1.(ii)(g)\) \(9x^2-16y^2=144\)
[সিঃ ২০০৫;মাঃ ২০১৩,২০০৫]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\)\( e=\frac{5}{4}; (\pm 5, 0);8;6;\frac{16}{5};5x\pm 16=0\); অসীমতট \(y=\pm \frac{3}{4}x\)

\(Q.1.(ii)(h)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\)
[ যঃ ২০১২;সিঃ২০০৮; চঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 12);\)\( e=\frac{13}{12}; (\pm 13, 0);24;10;\frac{25}{6};13x\pm 144=0 \) ;অসীমতট, \(y=\pm frac{5}{12}x\)

\(Q.1.(ii)(i)\) \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\)
[ বুয়েটঃ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \( (-4, -1); (0, -1), (-8, -1);\)\(\frac{5}{4};(1, -1), (-9, -1); 8;6; \frac{9}{2};5(x+4)\pm 16=0\); অসীমতট, \(y+1=\pm \frac{3}{4}(x+4)\)

\(Q.1.(ii)(j)\) \(4y^2-5x^2=20\)
[ চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5); e=\frac{3}{\sqrt{5}};\)\((0, \pm 3); 2\sqrt{5},4;\frac{8}{\sqrt{5}};3y\pm 5=0\) ; অসীমতট, \(y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x\)

\(Q.1.(ii)(k)\) \(9x^2-4y^2+36=0\)
[ যঃ২০০১ ]
উত্তরঃ \((0, 0) ; (0, \pm 3); \frac{\sqrt{13}}{3};(0, \pm \sqrt{13});\) \(6;4;\frac{8}{3};\sqrt{13}y\pm 9=0\); অসীমতট \(y=\pm \frac{3}{2}x\)

\(Q.1.(ii)(l)\) \(\frac{y^2}{2}-x^2=1\)
[ রুয়েটঃ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{2});\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}};(0, \pm \sqrt{3});2\sqrt{2};2;\sqrt{2}; \sqrt{3}y\pm 2=0;\) অসীমতট, \(y=\pm \sqrt{2}x\)

\(Q.1.(ii)(m)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\sqrt{5};(\pm 4\sqrt{5}, 0)\);\(8;4;2;\sqrt{5}x\pm 4=0\); অসীমতট \(2y\pm x=0\)

\(Q.1.(ii)(n)\) \(y^2-x^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\sqrt{2};(0, \pm 2\sqrt{2});4;4;4;y\pm \sqrt{2}\); অসীমতট \(y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(o)\) \(3x^2-y^2-12x+9=0\)
উত্তরঃ \( (2, 0); (3, 0), (1, 0); 2 ;(4, 0),(0, 0);2;2\sqrt{3};6;2(x-2)\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm \sqrt{3}(x-2)\)

\(Q.1.(ii)(p)\) \(2x^2-y^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm \sqrt{2}, 0);\sqrt{3};(\pm \sqrt{6}, 0)\);\(2\sqrt{2};4;4\sqrt{2};\sqrt{3}x\pm \sqrt{2}=0\);অসীমতট \(y=\pm \sqrt{2}x\)

\(Q.1.(ii)(q)\) \(y^2-x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 1);\sqrt{2};(0, \pm 2)\);\(2;2;2;\sqrt{2}y\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(r)\) \(3y^2-x^2=9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{3});2;(0, \pm 2\sqrt{3})\);\(2\sqrt{3};6;6\sqrt{3};2y\pm \sqrt{3}=0\); অসীমতট \(3y\pm \sqrt{3}x=0\)

\(Q.1.(ii)(s)\) \(x^2-y^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);\sqrt{2};(\pm \sqrt{2}, 0)\);\(2;2;2;\sqrt{2}x\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(t)\) \(3x^2-y^2=-9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{2}{\sqrt{3}};(0, \pm 2\sqrt{3})\);\(6;2\sqrt{3};2;2y\pm 3\sqrt{3}=0\); অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm 3x=0\)

\(Q.1.(ii)(u)\) \(4y^2-4x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \frac{1}{2});\sqrt{2};(0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})\);\(1;1;1;2\sqrt{2}y\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(v)\) \(4x^2-y^2=16\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 2, 0);\sqrt{5};(\pm 2\sqrt{5}, 0)\);\(4;8;16;\sqrt{5}x\pm 2=0\); অসীমতট \(y=\pm 2x\)

\(Q.1.(ii)(w)\) \(9y^2-16x^2=144\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 4);\frac{5}{4};(0, \pm 5)\);\(8;6;\frac{9}{2};5y\pm 16=0\); অসীমতট \(3y\pm 4x=0\)

\(Q.1.(ii)(x)\) \(8x^2-y^2=8\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);3;(\pm 3, 0)\);\(2;4\sqrt{2};16;3x\pm 1=0\); অসীমতট \(y\pm 2\sqrt{2}x=0\)

\(Q.1.(ii)(y)\) \(3y^2-2x^2=24\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2\sqrt{2});\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}};(0, \pm 2\sqrt{5})\);\(4\sqrt{2};4\sqrt{3};6\sqrt{2};\sqrt{5}y\pm 4=0\); অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm \sqrt{2}x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.1)\) \(3x^2-4y^2=12\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 2, 0);\frac{\sqrt{7}}{2};(\pm \sqrt{7}, 0)\);\(4;2\sqrt{3};3;\sqrt{7}x\pm 4=0\); অসীমতট \(2y\pm \sqrt{3}x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.2)\) \(9y^2-4x^2=36\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\frac{\sqrt{13}}{2};(0, \pm \sqrt{13})\);\(4;6;9;\sqrt{13}y\pm 4=0\); অসীমতট \(3y\pm 2x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.3)\) \(4y^2-25x^2=100\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5);\frac{\sqrt{29}}{5};(0, \pm \sqrt{29})\);\(10;4;\frac{8}{5};\sqrt{29}y\pm 25=0\); অসীমতট \(2y\pm 5x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.4)\) \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{25}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{\sqrt{34}}{3};(0, \pm \sqrt{34})\);\(6;10;\frac{50}{3};\sqrt{34}y\pm 9=0\); অসীমতট \(5y\pm 3x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.5)\) \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5);\frac{\sqrt{34}}{5};(0, \pm \sqrt{34})\);\(10;6;\frac{18}{5};\sqrt{34}y\pm 25=0\); অসীমতট \(3y\pm 5x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.6)\) \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\frac{\sqrt{13}}{2};(0, \pm \sqrt{13})\);\(4;6;9;\sqrt{13}y\pm 4=0\); অসীমতট \(3y\pm 2x=0\)
\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((a)\) \(x^2=16y\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।

\((c)\) \(16x^2+25y^2=400\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।

\((e)\) \(25x^2-16y^2=400\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((g)\) \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((i)\) \(25y^2-9x^2= 225\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((b)\) \(y^2=4y+4x-16\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।

\((d)\) \(9x^2+108x+25y^2-150y+324=0\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।

\((f)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((h)\) \(8x^2-3y^2=48\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((j)\) \(16x^2-9y^2=576\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\(Q.1.(iv)\) \(x^2-2y^2-2x+8y-13=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \((1, 2), 2\sqrt{6},2\sqrt{3}, y-2=0, x-1=0\)

\(Q.1.(v)\) \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, শীর্ষ ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর। ।
[ চুয়েতঃ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১১,২০১৩;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \((1, -2), (5, -2), (-3, -2), (6, -2), (-4, -2) \ )

\(Q.1.(vi)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০০৭;রাঃ২০০৬,২০১২;দিঃ২০০৬;চঃ২০১৫;যঃ২০১০,২০০৫;মাঃ২০১০ ]
উত্তরঃ \( (\pm 5, 0); 5x\pm 9=0\)

\(Q.1.(vii)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৫;যঃ২০১২;সিঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{13}{12}; (\pm 13, 0)\)

\(Q.1.(viii)\) \(16x^2-25y^2=400\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৫;রাঃ২০০৮;সিঃ২০১৪;মাঃ২০১৫ ]
উত্তরঃ উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0) \)

\(Q.1.(ix)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0); \frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\)

\(Q.1.(x)\) \(16x^2-9y^2=144\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \((\pm 5, 0); \frac{5}{3}; 5x\pm 9=0\)

\(Q.1.(xi)\) \(4y^2-5x^2=20\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, \pm 3); \frac{3}{\sqrt{5}}; 3y\pm 5=0\)

\(Q.1.(xii)\) \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, শীর্ষ , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0) ; (\pm \sqrt{2}, 0); (\pm \frac{3}{2}, 0) ;3x\pm 4=0\)

\(Q.1.(xiii)\) \(9x^2-7y^2+63=0\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 4); 4y\pm 9=0\)

\(Q.1.(xiv)\) \(16y^2-25x^2=400\) অধিবৃত্তের শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 5);(0, \pm \sqrt{14})\)

\(Q.1.(xv)\) \(9x^2-16y^2=144\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 4, 0);(\pm 5, 0) \frac{5}{4}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(16x^2-9y^2=576\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা, অক্ষ দ্বয় ও নভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 6, 0);(\pm 10, 0); \frac{5}{3}; 12; 16; \frac{64}{3}; 5x\pm 18=0\)

\(Q.1.(xvii)\) \(9x^2-16y^2-36x-32y-124=0\) অধিবৃত্তের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, উৎকেন্দ্রিকতা, অক্ষ দ্বয়ের সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (2, -1), (6, -1), (-2, -1), (7, -1), (-3, -1), \frac{5}{4}; y+1=0, x-2=0, 5x-26=0, 5x+6=0\)
\(Q.1.(xviii)\) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, অধিবৃত্তগুলির প্রমিত সমীকরণ, কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র এবং অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে \(\theta\) হলো কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক কোণ।
\(Q.1.(xviii)(a)\) \((4\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\)

\(Q.1.(xviii)(c)\) \((\sqrt{3}\sec\theta, 2\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(Q.1.(xviii)(b)\) \((8\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)
1 2 3 4 5 6 7