অধিবৃত্ত-১ (Hyperbola-1)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.2.(i)\) যে কনিকের আড় অক্ষ \(x-2y+1=0\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) এবং নিয়ামকের উপর একটি বিন্দু \((2, 1)\) তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2-30x-10y+40=0; 2x+y-3=0 \)

\(Q.2.(ii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(2x+y=1\)।
[ সিঃ ২০০৭;যঃ২০১৪;ঢাঃ,কুঃ ২০১০;কুঃ,যঃ,চঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)

\(Q.2.(iii)\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 2)\) উৎকেন্দ্রতা \(2\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x+y=9\) হলে, অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৪]
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4xy-32x-32y+154=0\)

\(Q.2.(iv)\) মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি অধিবৃত্ত \((4, 0)\) এবং \((5, 2.25)\) বিন্দু দিয়ে যায়; অধিবৃত্তটির আড় অক্ষ, স্থানাঙ্কের \(X\) অক্ষ বরাবর অবস্থিত হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

\(Q.2.(v)\) একটি অধিবৃত্ত \((6, 4)\) ও \((-3, 1)\) বিন্দুগামী । এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১১,২০০৪;চঃ ২০০৯; বঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)

\(Q.2.(vi)\) একটি অধিবৃত্ত \((2, 1)\) ও \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তটির সমিকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৬;বঃ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)

\(Q.2.(vii)\) কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(Y\) অক্ষ বরাবর আড় অক্ষবিশিষ্ট যে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(36\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(24\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3y^2-x^2=108\)

\(Q.2.(viii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর,উৎকেন্দ্রিকতা \(2\sqrt{3}\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(18\) একক।
উত্তরঃ \(121y^2-11x^2=81\)

\(Q.2.(ix)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y=10\) ।
[ ঢাঃ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ২০১৬,২০০৬;রাঃ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ২০১৫,২০১৪,২০০৬;কুঃ২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭;বঃ২০১০,২০০৫দিঃ২০১৫;মাঃ২০১৪]
উত্তরঃ \(4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\)

\(Q.2.(x)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 3)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) এবং অনুরূপ নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x+2y=1\)।
উত্তরঃ \(2x^2-7y^2-12xy-14x-18y+62=0\)

\(Q.2.(xi)\) একটি অধিবৃত্ত \((-2, 1)\) ও \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তটির সমিকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)

\(Q.2.(xii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার আড় অক্ষ এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(6\) এবং \(8\) একক।
উত্তরঃ \(16x^2-9y^2=144\)

\(Q.2.(xiii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র মূলবিন্দু, একটি উপকেন্দ্র \((4, 0)\) এবং একটি শীর্ষ \((3, 0)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)

\(Q.2.(xiv)\) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((1, 8), (1, -12)\) এবং শীর্ষ দ্বয়ের দূরত্ব \(4\) অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(24(y+2)^2-(x-1)^2=96\)

\(Q.2.(xv)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=3\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=1\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8x^2-y^2-18x+9=0 \)

\(Q.2.(xvi)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=4\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=2\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( x^2-15y^2+64y-64=0\)

\(Q.2.(xvii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 0)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-y=0\) ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4xy+4x-4=0\)

\(Q.2.(xviii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) , একটি উপকেন্দ্র \((10, 0)\) এবং অনুরূপ শীর্ষ \((8, 0)\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)

\(Q.2.(xix)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাসদ্বয় \((\pm 4, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)
1 2 3 4 5