অধিবৃত্ত-১ (Hyperbola-1)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.2.(i)\) যে কনিকের আড় অক্ষ \(x-2y+1=0\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) এবং নিয়ামকের উপর একটি বিন্দু \((2, 1)\) তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2-30x-10y+40=0; 2x+y-3=0 \)

\(Q.2.(ii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(2x+y=1\)।
[ সিঃ ২০০৭;যঃ২০১৪;ঢাঃ,কুঃ ২০১০;কুঃ,যঃ,চঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)

\(Q.2.(iii)\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 2)\) উৎকেন্দ্রতা \(2\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x+y=9\) হলে, অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৪]
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4xy-32x-32y+154=0\)

\(Q.2.(iv)\) মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি অধিবৃত্ত \((4, 0)\) এবং \((5, 2.25)\) বিন্দু দিয়ে যায়; অধিবৃত্তটির আড় অক্ষ, স্থানাঙ্কের \(X\) অক্ষ বরাবর অবস্থিত হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

\(Q.2.(v)\) একটি অধিবৃত্ত \((6, 4)\) ও \((-3, 1)\) বিন্দুগামী । এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১১,২০০৪;চঃ ২০০৯; বঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)

\(Q.2.(vi)\) একটি অধিবৃত্ত \((2, 1)\) ও \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তটির সমিকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৬;বঃ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)

\(Q.2.(vii)\) কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(Y\) অক্ষ বরাবর আড় অক্ষবিশিষ্ট যে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(36\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(24\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3y^2-x^2=108\)

\(Q.2.(viii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর,উৎকেন্দ্রিকতা \(2\sqrt{3}\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(18\) একক।
উত্তরঃ \(121y^2-11x^2=81\)

\(Q.2.(ix)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y=10\) ।
[ ঢাঃ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ২০১৬,২০০৬;রাঃ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ২০১৫,২০১৪,২০০৬;কুঃ২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭;বঃ২০১০,২০০৫দিঃ২০১৫;মাঃ২০১৪]
উত্তরঃ \(4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\)

\(Q.2.(x)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 3)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) এবং অনুরূপ নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x+2y=1\)।
উত্তরঃ \(2x^2-7y^2-12xy-14x-18y+62=0\)

\(Q.2.(xi)\) একটি অধিবৃত্ত \((-2, 1)\) ও \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তটির সমিকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)

\(Q.2.(xii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার আড় অক্ষ এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(6\) এবং \(8\) একক।
উত্তরঃ \(16x^2-9y^2=144\)

\(Q.2.(xiii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র মূলবিন্দু, একটি উপকেন্দ্র \((4, 0)\) এবং একটি শীর্ষ \((3, 0)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)

\(Q.2.(xiv)\) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((1, 8), (1, -12)\) এবং শীর্ষ দ্বয়ের দূরত্ব \(4\) অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(24(y+2)^2-(x-1)^2=96\)

\(Q.2.(xv)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=3\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=1\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8x^2-y^2-18x+9=0 \)

\(Q.2.(xvi)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=4\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=2\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( x^2-15y^2+64y-64=0\)

\(Q.2.(xvii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 0)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-y=0\) ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4xy+4x-4=0\)

\(Q.2.(xviii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) , একটি উপকেন্দ্র \((10, 0)\) এবং অনুরূপ শীর্ষ \((8, 0)\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)

\(Q.2.(xix)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাসদ্বয় \((\pm 4, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.2\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.2.(i)\) যে কনিকের আড় অক্ষ \(x-2y+1=0\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) এবং নিয়ামকের উপর একটি বিন্দু \((2, 1)\) তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2-30x-10y+40=0 2x+y-3=0 \)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
আড় অক্ষের সমীকরণ, \(x-2y+1=0 ……(1)\)
\((1)\)-এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ……(2)\) | নিয়ামকরেখা আড় অক্ষের উপর লম্ব।
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 2.2+1+k=0\)
\(\Rightarrow 4+1+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\)-এর মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(2x+y-5=0 ……(3)\) যা নিয়ামকরেখার সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) এবং উৎকেন্দ্রতা \(\sqrt{2}\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(P\) হতে \((3)\)-এর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{2x+y-5}{\sqrt{2^2+1^2}}\)| \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-5}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{2}.\frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{2(2x+y-5)^2}{5}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{2(4x^2+y^2+25+4xy-20x-10y)}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2-2y+2)=2(4x^2+y^2+25+4xy-20x-10y)\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10=8x^2+2y^2+50+8xy-40x-20y\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10-8x^2-2y^2-50-8xy+40x+20y=0\)
\(\Rightarrow -3x^2+3y^2-8xy+30x+10y-40=0\)
\(\therefore 3x^2+8xy-3y^2-30x-10y+40=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ……(4)\) | উপকেন্দ্রিক লম্ব আড় অক্ষের উপর লম্ব।
\((4)\) নং সরলরেখা উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 2.1+1+k=0\)
\(\Rightarrow 2+1+k=0\)
\(\Rightarrow 3+k=0\)
\(\therefore k=-3\)
\(k\)-এর মাণ \((4)\)-এ বসিয়ে,
\(2x+y-3=0 \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(2x+y-3=0 \)

\(Q.2.(ii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(2x+y=1\)।
[ সিঃ ২০০৭;যঃ২০১৪;ঢাঃ,কুঃ ২০১০;কুঃ,যঃ,চঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{3}\)
উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\)
এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(2x+y-1=0 ……(1)\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(P\) হতে \((1)\)-এর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{2^2+1^2}}\)| \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{3}.\frac{2x+y-1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{3(2x+y-1)^2}{5}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{3(4x^2+y^2+1+4xy-4x-2y)}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2-2y+2)=3(4x^2+y^2+1+4xy-4x-2y)\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10=12x^2+3y^2+3+12xy-12x-6y\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10-12x^2-3y^2-3-12xy+12x+6y=0\)
\(\Rightarrow -7x^2+2y^2-12xy+2x-4y+7=0\)
\(\Rightarrow 7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(iii)\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 2)\) উৎকেন্দ্রতা \(2\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x+y=9\) হলে, অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৪]
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4xy-32x-32y+154=0\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(iv)\) মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি অধিবৃত্ত \((4, 0)\) এবং \((5, 2.25)\) বিন্দু দিয়ে যায়; অধিবৃত্তটির আড় অক্ষ, স্থানাঙ্কের \(X\) অক্ষ বরাবর অবস্থিত হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

সমাধানঃ

শর্তমতে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……(1)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্ত \((4, 0)\) এবং \((5, 2.25)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(\frac{4^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{a^2}-0=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{a^2}=1\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\(\frac{5^2}{a^2}-\frac{(2.25)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{16}-1=\frac{5.0625}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{25-16}{16}=\frac{5.0625}{b^2}\)
\(\Rightarrow 9b^2=81\)
\(\therefore b^2=9\)
\(a^2=16, b^2=9 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2-16y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2-16y^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(v)\) একটি অধিবৃত্ত \((6, 4)\) ও \((-3, 1)\) বিন্দুগামী । এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১১,২০০৪;চঃ ২০০৯; বঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(vi)\) একটি অধিবৃত্ত \((2, 1)\) ও \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তটির সমিকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৬;বঃ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(vii)\) কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(Y\) অক্ষ বরাবর আড় অক্ষবিশিষ্ট যে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(36\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(24\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3y^2-x^2=108\)

সমাধানঃ

শর্তমতে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……..(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2a^2}{b}=36\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow 2a^2=36b\)
\(\therefore a^2=18b …..(2)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 2be=24\)
\(\Rightarrow e=\frac{24}{2b}\)
\(\therefore e=\frac{12}{b} …..(3)\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 18b=b^2\{\left(\frac{12}{b}\right)^2-1\}\) | \((2)\) ও \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 18=b\{\left(\frac{144}{b^2}\right)-1\}\)
\(\Rightarrow 18=b\{\frac{144-a^2}{b^2}\}\)
\(\Rightarrow 18=\frac{144-b^2}{b}\)
\(\Rightarrow 18b=144-b^2\)
\(\Rightarrow b^2+18b-144=0\)
\(\Rightarrow b^2+24b-6b-144=0\)
\(\Rightarrow b(b+24)-6(b+24)=0\)
\(\Rightarrow (b+24)(b-6)=0\)
\(\Rightarrow b+24\ne 0, b-6=0\)
\(\Rightarrow b=6\)
\(\therefore b^2=36\)
\((2)\) হতে,
\(a^2=18.6\)
\(\therefore a^2=108\)
\(a^2=108, b^2=36, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{108}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3y^2-x^2}{108}=1\)
\(\therefore 3y^2-x^2=108\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(viii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর,উৎকেন্দ্রিকতা \(2\sqrt{3}\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(18\) একক।
উত্তরঃ \(121y^2-11x^2=81\)

সমাধানঃ

শর্তমতে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……..(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2a^2}{b}=18\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow 2a^2=18b\)
\(\therefore a^2=9b …..(2)\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=2\sqrt{3} ….(3)\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 9b=b^2\{(2\sqrt{3})^2-1\}\) | \((2)\) ও \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 9=b\{12-1\}\)
\(\Rightarrow 9=b\{11\}\)
\(\Rightarrow 9=11b\)
\(\Rightarrow 11b=9\)
\(\Rightarrow b=\frac{9}{11}\)
\(\therefore b^2=\frac{81}{121}\)
\((2)\) হতে,
\(a^2=9\times \frac{9}{11}\)
\(\therefore a^2=\frac{81}{11}\)
\(a^2=\frac{81}{11}, b^2=\frac{81}{121}, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \frac{y^2}{\frac{81}{121}}-\frac{x^2}{\frac{81}{11}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{121y^2}{81}-\frac{11x^2}{81}=1\)
\(\Rightarrow \frac{121y^2-11x^2}{81}=1\)
\(\therefore 121y^2-11x^2=81\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(ix)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y=10\) ।
[ ঢাঃ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ২০১৬,২০০৬;রাঃ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ২০১৫,২০১৪,২০০৬;কুঃ২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭;বঃ২০১০,২০০৫দিঃ২০১৫;মাঃ২০১৪]
উত্তরঃ \(4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(1, -8)\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{5}\)
এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y=10\)
\(\therefore 3x-4y-10=0 ….(1)\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y+8)^2}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
উপকেন্দ্র \(S\) হতে নিয়ামকরেখা \((1)\)-এর লম্বদূরত্ব,
\(PM=\frac{|3x-4y-10|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|3x-4y-10|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|3x-4y-10|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|3x-4y-10|}{5}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+8)^2}=\sqrt{5}.\frac{|3x-4y-10|}{5}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+8)^2=5.\frac{(3x-4y-10)^2}{25}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+16y+64=\frac{9x^2+16y^2+100-24xy-60x+80y}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2+16y+65)=9x^2+16y^2+100-24xy-60x+80y\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2+80y+325-9x^2-16y^2-100+24xy+60x-80y=0\)
\(\Rightarrow -4x^2-11y^2+24xy+50x+225=0\)
\(\therefore 4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(x)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 3)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) এবং অনুরূপ নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x+2y=1\)।
উত্তরঃ \(2x^2-7y^2-12xy-14x-18y+62=0\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(xi)\) একটি অধিবৃত্ত \((-2, 1)\) ও \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তটির সমিকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(xii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার আড় অক্ষ এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(6\) এবং \(8\) একক।
উত্তরঃ \(16x^2-9y^2=144\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(2a\) একক।
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(2b\) একক।
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(6\) একক।
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(8\) একক।
\(\therefore 2a=6\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore a^2=9\)
আবার,
\(\therefore 2b=8\)
\(\Rightarrow b=4\)
\(\therefore b^2=16\)
\(a^2=9, b^2=16, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2-9y^2}{144}=1\)
\(\therefore 16x^2-9y^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xiii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র মূলবিন্দু, একটি উপকেন্দ্র \((4, 0)\) এবং একটি শীর্ষ \((3, 0)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((4, 0)\)
এবং শীর্ষ \((3, 0)\)। যারা প্রত্যেকেই \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
তাহলে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((a, 0)\Rightarrow (3, 0)\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore a^2=9\)
আবার,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((ae, 0)\Rightarrow (4, 0)\)
\(\Rightarrow ae=4\)
\(\Rightarrow 3e=4\)
\(\therefore e=\frac{4}{3}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=9\{\left(\frac{4}{3}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=9\{\frac{16}{9}-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=9\{\frac{16-9}{9}\}\)
\(\Rightarrow b^2=9\{\frac{7}{9}\}\)
\(\therefore b^2=7\)
\(a^2=9, b^2=7, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xiv)\) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((1, 8), (1, -12)\) এবং শীর্ষ দ্বয়ের দূরত্ব \(4\) অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 24(y+2)^2-(x-1)^2=96\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(S(1, 8), \acute{S}(1, -12)\) যাদের \(x\) স্থানাঙ্ক সমান।
অতএব, অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল হবে।
\(S\acute{S}\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\left(\frac{1+1}{2}, \frac{8-12}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{2}{2}, \frac{-4}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C(1, -2)\) যা অধিবৃত্তের কেন্দ্র।
অধিবৃত্তের সমীমকরণ, \(\frac{(y+2)^2}{b^2}-\frac{(x-1)^2}{a^2}=1 ……..(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ দ্বয়ের দূরত্ব \(2b=4\)
\(\Rightarrow b=2\)
\(\therefore b^2=4\)
আবার,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের \(2be=S\acute{S}\)
\(\Rightarrow 2be=\sqrt{(1-1)^2+(8+12)^2}\)
\(\Rightarrow 2be=\sqrt{0^2+20^2}\)
\(\Rightarrow 2be=\sqrt{400}\)
\(\Rightarrow 2be=20\)
\(\Rightarrow be=10\)
\(\Rightarrow 2.e=10\) | \(\because a=2\)
\(\therefore e=5\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 4=b^2(5^2-1)\) | \(\because a=2, e=5\)
\(\Rightarrow a^2=b^2(25-1)\)
\(\Rightarrow a^2=24b^2\)
\(\Rightarrow a^2=24.4\)
\(\Rightarrow a^2=96\)
\(a^2=96, b^2=4, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(y+2)^2}{4}-\frac{(x-1)^2}{96}=1\)
\(\Rightarrow \frac{24(y+2)^2-(x-1)^2}{96}=1\)
\(\therefore 24(y+2)^2-(x-1)^2=96\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xv)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=3\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=1\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8x^2-y^2-18x+9=0 \)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=3\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, 0)\)
এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=1\)
\(\therefore x-1=0 …….(1)\)
ধরি, অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(\therefore PS=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}\)
\(=\sqrt{x^2+y^2}\)
আবার, \(P\) হতে \((1)\)-এর উপর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|x-1|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|x-1|}{\sqrt{1+0}}\)
\(=\frac{|x-1|}{\sqrt{1}}\)
\(=\frac{|x-1|}{1}\)
\(=|x-1|\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(\sqrt{x^2+y^2}=3|x-1|\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=9(x-1)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2=9(x^2-2x+1)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=9x^2-18x+9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-9x^2+18x-9=0\)
\(\Rightarrow -8x^2+y^2+18x-9=0\)
\(\Rightarrow 8x^2-y^2-18x+9=0\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xvi)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=4\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=2\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( x^2-15y^2+64y-64=0\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(xvii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 0)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-y=0\) ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4xy+4x-4=0\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(xviii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) , একটি উপকেন্দ্র \((10, 0)\) এবং অনুরূপ শীর্ষ \((8, 0)\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের একটি উপকেন্দ্র \((10, 0)\)
এবং অনুরূপ শীর্ষ \((8, 0)\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র, উপকেন্দ্র এবং শীর্ষ \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 …….(1)\)
এখানে,
শীর্ষ \((a, 0)\)
\(\therefore (a, 0)\Rightarrow (8, 0)\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
আবার,
উপকেন্দ্র \((10, 0)\)
\(\therefore (ae, 0)\Rightarrow (10, 0)\)
\(\Rightarrow ae=10\)
\(\Rightarrow 8e=10\)
\(\Rightarrow e=\frac{10}{8}\)
\(\Rightarrow e=\frac{5}{4}\)
\(\therefore e^2=\frac{25}{16}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=64\left(\frac{25}{16}-1\right)\)
\(\Rightarrow b^2=64\left(\frac{25-16}{16}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=64\left(\frac{9}{16}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=4\times 9\)
\(\therefore b^2=36\)
\(a^2=64, b^2=36, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xix)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাসদ্বয় \((\pm 4, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের একটি উপকেন্দ্র \(S(4, 2), \acute{S}(-4, 2)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=2\)
\(S\acute{S}\) এর মধ্যবিন্দু হবে অধিবৃত্তের কেন্দ্র ।
\(\therefore \) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \(C\left(\frac{4-4}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{0}{2}, \frac{4}{2}\right)\)
\(\therefore C(0, 2)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের \(Y\)স্থানাঙ্ক অনুরূপ তাই এর আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হবে।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 …….(1)\)
এখান,
উপকেন্দ্র দ্বয়ের দূরত্ব \(2ae=S\acute{S}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{(4+4)^2+(2-2)^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{8^2+0^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{8^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=8\)
\(\Rightarrow ae=4\)
\(\Rightarrow a.2=4\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4(2^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4(4-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4.3\)
\(\therefore b^2=12\)
\(a^2=4, b^2=12, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

1 2 3 4 5