অধিবৃত্ত-২ (Hyperbola-2)

ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমুহ

\(Q.5.(i)\) যে কনিকের আড় অক্ষ \(x-2y+1=0\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) এবং নিয়ামকের উপর একটি বিন্দু \((2, -3)\) তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2+2x+6y-8=0; 2x+y-3=0 \)

\(Q.5.(ii)\) \(16x^2+9y^2-32x-128=0\) উপবৃত্তটির অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
উত্তরঃ \(8, 6; 12\pi\)

\(Q.5.(iii)\) একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)

\(Q.5.(iv)\) একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; e=\frac{2\sqrt{19}}{9}; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)

\(Q.5.(v)\) \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\) বক্ররেখাটির প্রকৃতি, তার কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র , অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \( (-4, -1); (0, -1), (-8, -1);\)\(\frac{5}{4};(1, -1), (-9, -1); 8;6; \frac{9}{2};5(x+4)\pm 16=0\)

\(Q.5.(vi)\) মুখ্য অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ক্ষুদ্র অক্ষ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমান এবং যার উপকেন্দ্রিক লম্ব \(10\) একক।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1\)

\(Q.5.(vii)\) \(x-y+2=0\) রেখাটি কোনো পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব। পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে অবস্থিত হলে, তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x+y)^2-16x+16y-32=0\)

\(Q.5.(viii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার উৎকেন্দ্রতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (\pm \frac{27}{5}, 0)\)

\(Q.5.(ix)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৬-২০০৭]
উত্তরঃ \(3x+4y+25=0\)।

\(Q.5.(x)\) \(5x^2+9y^2-20x=25\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)

\(Q.5.(xi)\) \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y-4=0\)।
[বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)

\(Q.5.(xii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+1=0\) রেখাটি পরাবৃত্তকে এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
[বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।

\(Q.5.(xiii)\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) কে দুইবার বর্গ করে কণিকটি সনাক্ত কর। অক্ষের সমীকরণ, শীর্ষবিন্দু এবং স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বয়ের স্পর্শবিন্দু দেখিয়ে ছবি আঁক।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ পরাবৃত্ত; \(x-y=0; (\frac{a}{4}, \frac{a}{4}) (a, 0), (0, a)\)।

\(Q.5.(xiv)\) \(x^2+4x+2y=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩; ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \((-2, 2), 2y-5=0\)।

\(Q.5.(xv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((-1, -1)\) ও \((1, 1)\) এবং তার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ]
উত্তরঃ \(2x^2+2y^2-2xy-3=0\)

\(Q.5.(xvi)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(3x+2y-9=0\) সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে অক্ষদ্বয়ের উপর ছেদ করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুটেক্সঃ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \( 9x^2+4y^2=81; (0, \pm \frac{\sqrt{45}}{2})\)

\(Q.5.(xvii)\) \((-8, -2)\) উপকেন্দ্র এবং \(2x-y-9=0\) নিয়ামক রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রুয়েটঃ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \( x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)

\(Q.5.(xviii)\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2}; (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)

\(Q.5.(xix)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; ২০০৫-২০০৬; ২০১০-২০১১]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।

\(Q.5.(xx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(2, 0)\) ও \(\acute S(-2, 0)\) এবং যা \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)।

\(Q.5.(xxi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \((0, 4)\) ও \((0, -4)\) এবং যা \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)।

\(Q.5.(xxii)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি মূলবিন্দু এবং \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।

\(Q.5.(xxiii)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(6\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((2, \pm 4\sqrt{2})\)।

\(Q.5.(xxiv)\) \(y=3x+1\) সরলরেখা \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে \(a\)-এর মাণ, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(3;(\frac{1}{3}, 2); (3, 0); 12; x+3=0\)।

\(Q.5.(xxv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( y=2x \)।

\(Q.5.(xxvi)\) দেখাও যে, \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) পরাবৃত্ত এবং স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির অন্তর্গত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{6}a^2\)।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]

ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.5.(i)\) যে কনিকের আড় অক্ষ \(x-2y+1=0\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) এবং নিয়ামকের উপর একটি বিন্দু \((2, -3)\) তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2+2x+6y-8=0; 2x+y-3=0 \)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
আড় অক্ষের সমীকরণ, \(x-2y+1=0 ……(1)\)
\((1)\)-এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ……(2)\) | নিয়ামকরেখা আড় অক্ষের উপর লম্ব।
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, -3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 2.2-3+k=0\)
\(\Rightarrow 4-3+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\)-এর মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(2x+y-1=0 ……(3)\) যা নিয়ামকরেখার সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) এবং উৎকেন্দ্রতা \(\sqrt{2}\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(P\) হতে \((3)\)-এর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{2^2+1^2}}\)| \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{2}.\frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{2(2x+y-1)^2}{5}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{2(4x^2+y^2+1+4xy-4x-2y)}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2-2y+2)=2(4x^2+y^2+1+4xy-4x-2y)\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10=8x^2+2y^2+2+8xy-8x-4y\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10-8x^2-2y^2-2-8xy+8x+4y=0\)
\(\Rightarrow -3x^2+3y^2-8xy-2x-6y+8=0\)
\(\therefore 3x^2+8xy-3y^2+2x+6y-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ……(4)\) | উপকেন্দ্রিক লম্ব আড় অক্ষের উপর লম্ব।
\((4)\) নং সরলরেখা উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 2.1+1+k=0\)
\(\Rightarrow 2+1+k=0\)
\(\Rightarrow 3+k=0\)
\(\therefore k=-3\)
\(k\)-এর মাণ \((4)\)-এ বসিয়ে,
\(2x+y-3=0 \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(2x+y-3=0 \)

\(Q.5.(ii)\) \(16x^2+9y^2-32x-128=0\) উপবৃত্তটির অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(8, 6; 12\pi\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
উপবৃত্তটির সমীকরণ, \(16x^2+9y^2-32x-128=0\)
\(\Rightarrow 16x^2-32x+9y^2-128=0\)
\(\Rightarrow 16(x^2-2x)+9y^2-128=0\)
\(\Rightarrow 16(x^2-2x+1-1)+9y^2-128=0\)
\(\Rightarrow 16(x^2-2x+1)-16+9y^2-128=0\)
\(\Rightarrow 16(x-1)^2+9y^2-144=0\)
\(\Rightarrow 16(x-1)^2+9y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{16(x-1)^2}{144}+\frac{9y^2}{144}=1\) | উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{(x-1)^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 …..(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=3, b=4\)
\(\therefore b>a\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.4\)
\(=8\)
উপবৃত্তের ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.3\)
\(=6\)
উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi ab\)
\(=\pi 3.4\)
\(=12\pi \)

\(Q.5.(iii)\) একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)

সমাধানঃ

মনে করি,hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……(1)\)
এখানে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{2}\)
উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2ae=16\)
\(\Rightarrow 2a\times \sqrt{2}=16\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}a=16\)
\(\Rightarrow a=\frac{16}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\times 2\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=4\sqrt{2}\)
\(\therefore a^2=32\)
আবার,
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=(4\sqrt{2})^2\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{1\}\)
\(\therefore b^2=32\)
\(\therefore a^2=b^2=32, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{32}=1\)
\(\therefore x^2-y^2=32\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.5.(iv)\) একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; e=\frac{2\sqrt{19}}{9}; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)

সমাধানঃ

ধরি,locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
\(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1 ….(2)\)
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 ….(3)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(y=0\) হবে, কেননা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(\frac{x}{9}+\frac{0}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=1\)
\(\therefore x=9\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((9, 0)\)
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(x=0\) হবে, কেননা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((3)\) হতে,
\(\frac{0}{2}+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{3}=1\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((0, 3)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((9, 0) , (0, 3) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{9^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=81\Rightarrow a=9 \)
আবার,
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{b^2}=1 \)
\(\therefore b^2=9\Rightarrow b=3 \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
ইহা স্পষ্ট যে, \(a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{81-5}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{76}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 19}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 19}{81}}\)
\(\therefore e=\frac{2\sqrt{19}}{9}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((\pm 2\sqrt{19}, 0)\)

\(Q.5.(v)\) \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\) বক্ররেখাটির প্রকৃতি, তার কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র , অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \( (-4, -1); (0, -1), (-8, -1);\)\(\frac{5}{4};(1, -1), (-9, -1); 8;6; \frac{9}{2};5(x+4)\pm 16=0\)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\)
\(\Rightarrow 9x^2+72x-16y^2-32y-16=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+8x)-16(y^2+2y)-16=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+8x+16-16)-16(y^2+2y+1-1)-16=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+8x+16)-144-16(y^2+2y+1)+16-16=0\)
\(\Rightarrow 9(x+4)^2-16(y+1)^2-144=0\)
\(\Rightarrow 9(x+4)^2-16(y+1)^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9(x+4)^2}{144}-\frac{16(y+1)^2}{144}=1\) | উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x+4)^2}{16}-\frac{(y+1)^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{16}-\frac{Y^2}{9}=1\) যেখানে, \(X=x+4, Y=y+1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=9\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{5}{4}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+4=0, y+1=0\) | \(\because X=x+4, Y=y+1\)
\(\Rightarrow x=-4, y=-1\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((-4, -1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=\pm a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+4=\pm 4, y+1=0\)
\(\Rightarrow x=-4\pm 4, y=-1\)
\(\Rightarrow x=-4+4,-4-4, y=-1\)
\(\therefore x=0,-8, y=-1\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, -1), (-8, -1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x+4=\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{4}, y+1=0\)
\(\Rightarrow x=-4\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{4}, y=-1\)
\(\Rightarrow x=-4\pm 5, y=-1\)
\(\Rightarrow x=-4+5,-4-5, y=-1\)
\(\Rightarrow x=1,-9, y=-1\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((1, -1), (-9, -1)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.4\)
\(=8\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.3\)
\(=6\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.9}{4}\)
\(=\frac{9}{2}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x+4=\pm \frac{4}{\frac{5}{4}}\)
\(\Rightarrow x+4=\pm \frac{16}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x+4)=\pm 16\)
\(\therefore 5(x+4)\pm 16=0\)

\(Q.5.(vi)\) মুখ্য অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ক্ষুদ্র অক্ষ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমান এবং যার উপকেন্দ্রিক লম্ব \(10\) একক।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1\)

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)…..(1)\)
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বে \(=2ae\)
শর্তমতে,
\(2ae=2b\)
\(\Rightarrow ae=b\)
\(\Rightarrow e=\frac{b}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{b^2}{a^2} …….(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}\) | \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2b^2}{a^2}=1\)
\(\therefore 2b^2=a^2 ……..(3)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=10\)
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=10\)
\(\Rightarrow 2b^2=10a\)
\(\Rightarrow a^2=10a\) | \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a^2-10a=0\)
\(\Rightarrow a(a-10)=0\)
\(\Rightarrow a\ne 0, a-10=0\)
\(\Rightarrow a\ne 0, a=10\)
\(\Rightarrow a^2=100\)
\((3)\) হতে \(2b^2=100 \)
\(\Rightarrow b^2=50 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.5.(vii)\) \(x-y+2=0\) রেখাটি কোনো পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব। পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে অবস্থিত হলে, তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x+y)^2-16x+16y-32=0\)

সমাধানঃ

ধরি,straight3
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\), উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\), দিকাক্ষ \(MZ\) এবং অক্ষরেখা \(AS\)।
\(x-y+2=0 ……..(1)\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব। অতএব, দিকাক্ষের সমীকরণ হবে \((1)\) -এর উপর লম্ব।
\(x-y+k=0 ……..(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
দ্বিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z\)। আবার, \(Z\) ও \(S\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\)।
অতএব, \(ZS=2AS\)
\(\Rightarrow \frac{|1+1+k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=2\frac{|1+1+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{1+1}}=2\frac{|4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{2}}=2\frac{|4|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow |2+k|=2.4\)
\(\Rightarrow |2+k|=8\)
\(\Rightarrow 2+k=8\)
\(\Rightarrow k=8-2\)
\(\therefore k=6\)
\(\therefore \) দিকাক্ষের সমীকরণ,
\(x-y+6=0 ……..(3)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x-y+6=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\frac{|x-y+6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\frac{|x-y+6|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=\frac{(x-y+6)^2}{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{(x-y+6)^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+2y+2=\frac{(x-y+6)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4=(x-y+6)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4=x^2+y^2+36-2xy-12y+12x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4-x^2-y^2-36+2xy+12y-12x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2-16x+16y-32=0\)
\(\therefore (x+y)^2-16x+16y-32=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.5.(viii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার উৎকেন্দ্রতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (\pm \frac{27}{5}, 0)\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
\(5x+9y=45 ….(2)\)
\(7x+5y=36 ….(3)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(y=0\) হবে, কেননা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(5x+9.0=45\)
\(\Rightarrow 5x+0=45\)
\(\Rightarrow 5x=45\)
\(\therefore x=9\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((9, 0)\)
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(x=0\) হবে, কেননা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((3)\) হতে,
\(7.0+5y=36\)
\(\Rightarrow 0+5y=36\)
\(\Rightarrow 5y=36\)
\(\therefore y=\frac{36}{5}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(\left(0, \frac{36}{5}\right)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((9, 0) ,\left(0, \frac{36}{5}\right)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{9^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=81\Rightarrow a=9 \)
আবার,
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{36}{5}\right)^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{\frac{1296}{25}}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{1296}{25b^2}=1 \)
\(\therefore 25b^2=1296\)
\(\therefore b^2=\frac{1296}{25}\Rightarrow b=\frac{36}{5} \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{\frac{1296}{25}}=1\)
\(\frac{x^2}{81}+\frac{25y^2}{1296}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
ইহা স্পষ্ট যে, \(a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{\frac{1296}{25}}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1296}{81\times 25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{5}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 9.\frac{3}{5}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((\pm \frac{27}{5}, 0)\)

\(Q.5.(ix)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৬-২০০৭]
উত্তরঃ \(3x+4y+25=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপকেন্দ্র \(S(3, 4)\)
এবং শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
পরাবৃত্তের অক্ষ \(S(3, 4)\) এবং \(A(0, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
অতএব, অক্ষের সমীকরণ, \(\frac{x-3}{3-0}=\frac{y-4}{4-0}\) | \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y-4}{4}\)
\(\Rightarrow 4x-12=3y-12\)
\(\Rightarrow 4x-3y-12+12=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( 4x-3y=0\)।
আবার,
দিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে \(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\therefore ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x+3}{2}, \frac{y+4}{2}\right)\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore \frac{x+3}{2}=0, \frac{y+4}{2}=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y+4=0 \)
\(\Rightarrow x=-3, y=-4 \)
\(\therefore Z(-3, -4) \)
দিকাক্ষ রেখা অক্ষের উপর লম্ব।
অতএব দিকাক্ষ রেখার সমীকরণ, \(3x+4y+k=0 …….(1)\)
\((1)\) নং রেখা \(Z(-3, -4)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.(-3)+4.(-4)+k=0 \)
\(\Rightarrow -9-16+k=0 \)
\(\Rightarrow -25+k=0 \)
\(\therefore k=25 \)
\(k\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(3x+4y+25=0 \)
ইহাই নির্ণেয় দিকাক্ষের সমীকরণ।

\(Q.5.(x)\) \(5x^2+9y^2-20x=25\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(5x^2+9y^2-20x=25\)
\(\Rightarrow 5x^2-20x+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x)+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x+4-4)+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x+4)-20+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x-2)^2+9y^2=25+20\)
\(\Rightarrow 5(x-2)^2+9y^2=45\)
\(\Rightarrow \frac{5(x-2)^2}{45}+\frac{9y^2}{45}=1\) | উভয় পার্শে \(45\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1 ……(1)\) যেখানে, \(x-2=X, y=Y\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}\) | \(\because a^2=9, b^2=5\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9-5}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y=0\)
\(\therefore x=2, y=0\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((2, 0)\)
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=\pm 2+2, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+2,-2+2, y=0\)
\(\therefore x=4,0, y=0\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((4, 0), (0, 0)\)

\(Q.5.(xi)\) \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y-4=0\)।
[বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\),
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y-4=0 ….(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=e\frac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=e^2\frac{(x-y-4)^2}{2} …..(2)\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
শর্তমতে,
\((2)\) নং উপবৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (1-1)^2+(1+1)^2=e^2\frac{(1-1-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 0^2+2^2=e^2\frac{(-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 0+4=e^2\frac{16}{2}\)
\(\Rightarrow 4=e^2.8\)
\(\Rightarrow 8e^2=4\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{4}{8}\)
\(\therefore e^2=\frac{1}{2}\)
\(e^2 \)-এর মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y+1)^2=\frac{1}{2}\times \frac{(x-y-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{x^2+y^2+16-2xy-8x+8y}{4}\)
\(\Rightarrow 4(x^2-2x+y^2+2y+2)=x^2+y^2+16-2xy-8x+8y\)
\(\Rightarrow 4x^2-8x+4y^2+8y+8-x^2-y^2-16+2xy+8x-8y=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+3y^2+2xy-8=0\)
\(\therefore 3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.5.(xii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+1=0\) রেখাটি পরাবৃত্তকে এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
[বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x-y+1=0 ……..(1)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার সমান্তরাল হবে।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x-y+k=0 ……..(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) -এর লম্ব দূরত্ব, উপকেন্দ্র হতে \((1)\) -এর লম্ব দূরত্বের সমান।
\(\frac{|k-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k-1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k-1|}{\sqrt{2}}=\frac{|1|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow |k-1|=|1|\)
\(\Rightarrow k-1=\pm 1\)
\(\Rightarrow k=\pm 1+1\)
\(\Rightarrow k=1+1, k=-1+1\)
\(\Rightarrow k=2, k=0\)
\(k=2, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0 ……..(3)\) যা দিকাক্ষের সমীকরণ,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{(x-y+2)^2}{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=(x-y+2)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=x^2+y^2+2^2\)\(-2xy-4y+4x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=x^2+y^2+4\)\(-2xy-4y+4x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-x^2-y^2-4+2xy\)\(+4y-4x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2-4x+4y-4=0\)
\(\therefore (x+y)^2-4x+4y-4=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.5.(xiii)\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) কে দুইবার বর্গ করে কণিকটি সনাক্ত কর। অক্ষের সমীকরণ, শীর্ষবিন্দু এবং স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বয়ের স্পর্শবিন্দু দেখিয়ে ছবি আঁক।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ অধিবৃত্ত; \(x-y=0; (\frac{a}{4}, \frac{a}{4}) (a, 0), (0, a)\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a} ……(1)\)
\(\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=a\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=a\)
\(\Rightarrow x+y-a=-2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow (x+y-a)^2=4xy\) | পুনরায় উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2+a^2+2xy-2ax-2ay=4xy\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+a^2+2xy-2ax-2ay-4xy=0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+a^2-2ax-2ay=0\)
\(\Rightarrow (x-y)^2=2ax+2ay-a^2\)
\(\therefore (x-y)^2=a(2x+2y-a) ……(2)\)
কণিকটি একটি অধিবৃত্ত।
অধিবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ, \(x-y=0……(3)\)
\((1)\) ও \((3) \) -এর ছেদবিন্দু হবে অধিবৃত্তের শীর্ষ।
\((3)\) হতে \(x=y, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\sqrt{y}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{y}=\sqrt{a}\)
\(\Rightarrow 4y=a\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore y=\frac{a}{4}\)
আবার,
\((3)\) হতে \(x=y\)
\(\therefore x=\frac{a}{4}\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \((\frac{a}{4}, \frac{a}{4})\)
\((2)\) নং অধিবৃত্ত যখন \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে, তখন \(y=0\)
\(\therefore (x-0)^2=a(2x+2.0-a)\)
\(\Rightarrow x^2=a(2x-a)\)
\(\Rightarrow x^2=2ax-a^2\)
\(\Rightarrow x^2-2ax+a^2=0\)
\(\Rightarrow (x-a)^2=0\)
\(\Rightarrow x-a=0\)
\(\therefore x=a\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((a, 0)\)
আবার,
\((2)\) নং অধিবৃত্ত যখন \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে, তখন \(x=0\)
অনুরূপভাবে পাই,
\(y=a\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((0, a)\)

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) বক্ররেখার প্রকৃতিঃ

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) বক্ররেখাটি একটি পরাবৃত্ত প্রকাশ করে।
এখানে,
\(a>0\).

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) সমীকরণটি দুইবার বর্গ করার পর এর প্রকৃতিঃ

\((x-y)^2=a(2x+2y-a)\) বক্ররেখাটি একটি অধিবৃত্ত প্রকাশ করে।
এখানে,
\(a>0\) এবং \(0>a\).

\(Q.5.(xiv)\) \(x^2+4x+2y=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩; ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \((-2, 2), 2y-5=0\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের সমীকরণlocus4
\(x^2+4x+2y=0 \)
\(\Rightarrow x^2+4x+4-4+2y=0 \)
\(\Rightarrow (x+2)^2-4+2y=0 \)
\(\Rightarrow (x+2)^2=4-2y \)
\(\Rightarrow (x+2)^2=-2(y-2) \)
\(\Rightarrow X^2=-2Y …….(1) \) যেখানে, \(X=x+2, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=-2\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+2=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-2, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-2, 2)\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-2=-\times -\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y-2=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-4=1\)
\(\Rightarrow 2y-4-1=0\)
\(\Rightarrow 2y-5=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 2y-5=0\)

\(Q.5.(xv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((-1, -1)\) ও \((1, 1)\) এবং তার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ]
উত্তরঃ \(2x^2+2y^2-2xy-3=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
উপকেন্দ্রেরদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(S(-1, -1)\) ও \(\acute{S}(1, 1)\)
এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a=2\sqrt{3}\)
ধরি,
উপবৃত্তস্ত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
আমরা জানি,
\(PS+P\acute{S}=2a\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=2\sqrt{3}\) | \(\because 2a=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}=2\sqrt{3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2=\{2\sqrt{3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\}^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)\(+(x-1)^2+(y-1)^2\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2-(x-1)^2-(y-1)^2\)\(=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2-(x-1)^2+(y+1)^2-(y-1)^2\)\(=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow 4.x.1+4.y.1\)\(=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow 4x+4y\)\(=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow 4(x+y)=4(3-\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2})\)
\(\Rightarrow x+y=3-\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=3-x-y\)
\(\Rightarrow 3\{(x-1)^2+(y-1)^2\}=(3-x-y)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 3\{x^2-2x+1+y^2-2y+1\}=9+x^2+y^2-6x-6y+2xy\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x+3+3y^2-6y+3=9+x^2+y^2-6x-6y+2xy\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x+3y^2-6y+6-9-x^2-y^2+6x+6y-2xy=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-2xy-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.5.(xvi)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(3x+2y-9=0\) সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে অক্ষদ্বয়ের উপর ছেদ করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুটেক্সঃ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \( 9x^2+4y^2=81; e=\frac{\sqrt{5}}{3}, (0, \pm \frac{3\sqrt{5}}{2})\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
\(3x+2y-9=0 ….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(y=0\) হবে, কেননা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(3x+2.0-9=0\)
\(\Rightarrow 3x-9=0\)
\(\Rightarrow 3x=9\)
\(\therefore x=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((3, 0)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(x=0\) হবে, কেননা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(3.0+2y-9=0\)
\(\Rightarrow 2y-9=0\)
\(\Rightarrow 2y=9\)
\(\therefore y=\frac{9}{2}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((0, \frac{9}{2})\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((3, 0) , (0, \frac{9}{2}) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{3^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=9\Rightarrow a=3 \)
আবার,
\(\frac{0^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{9}{2}\right)^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{\frac{81}{4}}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{4b^2}=1 \)
\(\therefore 4b^2=81\Rightarrow b=3 \)
\(\therefore b^2=\frac{81}{4}\Rightarrow b=\frac{9}{2} \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{\frac{81}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}+\frac{4y^2}{81}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+4y^2}{81}=1\)
\(\therefore 9x^2+4y^2=81\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
ইহা স্পষ্ট যে, \(b>a\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{\frac{81}{4}}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{36}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{4}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9-4}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm be, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm \frac{9}{2}\times \frac{\sqrt{5}}{3}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}, 0)\)

\(Q.5.(xvii)\) \((-8, -2)\) উপকেন্দ্র এবং \(2x-y-9=0\) নিয়ামক রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রুয়েটঃ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \( x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,locus4
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-8, -2)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x-y-9=0……..(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+8)^2+(y+2)^2}=\frac{|2x-y-9|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x+8)^2+(y+2)^2=\frac{(2x-y-9)^2}{4+1}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+16x+64+y^2+4y+4=\frac{4x^2+y^2+81-4xy-36x+18y}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+16x+y^2+4y+68=\frac{4x^2+y^2+81-4xy-36x+18y}{5}\)
\(\Rightarrow 5x^2+80x+5y^2+20y+340=\)\(4x^2+y^2+81-4xy-36x+18y\)
\(\Rightarrow 5x^2+80x+5y^2+20y+340-\)\(4x^2-y^2-81+4xy+36x-18y=0\)
\(\Rightarrow x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.5.(xviii)\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2}; (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1 …….(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{6^2}{p}+\frac{4^2}{5^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}+\frac{16}{25}=1\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=1-\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=\frac{25-16}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=\frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{p}=\frac{1}{25}\)
\(\therefore p=100\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
এখানে,
\(a^2=100, b^2=5^2\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=10, b=5\)
\(\therefore a > b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{5^2}}{100}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{25}{100}}\)
\(=\sqrt{\frac{100-25}{100}}\)
\(=\sqrt{\frac{75}{100}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 10\times \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)\)
\(\therefore (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)

\(Q.5.(xix)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; ২০০৫-২০০৬; ২০১০-২০১১]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।

সমাধানঃ

অক্ষটি \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x=ay^2+by+c ……(1)\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\)
দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\)
\(\therefore \frac{1}{a}=4\)
\(\Rightarrow 4a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{4}\)
আবার,
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(4, -3)\)
\(\therefore A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\Rightarrow A(4, -3)\)
\(\Rightarrow -\frac{b^2-4ac}{4a}=4, -\frac{b}{2a}=-3\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=-16a …..(2)\)
\(b=6a …..(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণে \(a\)-এর মান বসিয়ে,
\(b=6\times \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow b=3\times \frac{1}{2}\)
\(\therefore b=\frac{3}{2}\)
\(a\) এবং \(b\)-এর মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{2}\right)^2-4.\frac{1}{4}.c=-16.\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}-c=-4\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}+4=c\)
\(\Rightarrow c=\frac{9}{4}+4\)
\(\Rightarrow c=\frac{9+16}{4}\)
\(\therefore c=\frac{25}{4}\)
এখন, \(a, b, c\) -এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(x=\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{2}y+\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=y^2+6y+25\) | উভয় পার্শে \(4\) গুন করে।
\(\Rightarrow y^2+6y+25=4x\)
\(\Rightarrow y^2+6y=4x-25\)
\(\Rightarrow y^2+6y+9=4x-25+9\)
\(\Rightarrow (y+3)^2=4x-16\)
\(\therefore (y+3)^2=4(x-4)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.5.(xx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(2, 0)\) ও \(\acute S(-2, 0)\) এবং যা \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)…..(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\)
\(\therefore ae=2\)
\(\Rightarrow e=\frac{2}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{4}{a^2} …….(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\) | \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-4 ……..(3)\)
\((1)\) নং উপবৃত্ত \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{\frac{9}{4}}{a^2}+\frac{\frac{15}{4}}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{4a^2}+\frac{15}{4b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{4a^2}+\frac{15}{4(a^2-4)}=1 \) | \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{15}{(a^2-4)}=4 \) | উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{9a^2-36+15a^2}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{24a^2-36}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{4(6a^2-9)}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{6a^2-9}{a^2(a^2-4)}=1 \) | উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a^2(a^2-4)=6a^2-9 \)
\(\Rightarrow a^4-4a^2=6a^2-9 \)
\(\Rightarrow a^4-4a^2-6a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^4-10a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^4-9a^2-a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^2(a^2-9)-1(a^2-9)=0 \)
\(\Rightarrow (a^2-9)(a^2-1)=0 \)
\(\Rightarrow a^2-9=0, a^2-1\ne 0 \)
\(\Rightarrow a^2=9\)
\((3)\) হতে \(b^2=9-4 \)
\(\Rightarrow b^2=5 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.5.(xxi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \((0, 4)\) ও \((0, -4)\) এবং যা \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)…..(1)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\)
\(\therefore be=4\)
\(\Rightarrow e=\frac{4}{b}\)
\(\therefore e^2=\frac{16}{b^2} …….(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{a^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow a^2=b^2\left(1-\frac{16}{b^2}\right)\) | \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a^2=b^2\left(\frac{b^2-16}{b^2}\right)\)
\(\Rightarrow a^2=b^2-16 ……..(3)\)
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{3^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=9 \)
আবার,
\((3)\) হতে,
\(9=b^2-16\)
\(\Rightarrow b^2-16=9\)
\(\Rightarrow b^2=9+16\)
\(\therefore b^2=25\)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.5.(xxii)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি মূলবিন্দু এবং \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9(x-2)^2}{225}+\frac{25(y-3)^2}{225}=1\)
\(\therefore \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1……(1)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=9\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
আমরা জানি,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র, \((2, 3)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae+2, 3)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}+2, 3)\)
\(\Rightarrow (\pm 4+2, 3)\)
\(\Rightarrow (4+2, 3), (-4+2, 3)\)
\(\therefore (6, 3), (-2, 3)\)
শর্তমতে,
নির্ণেয় ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হবে, \(O(0, 0), S(6, 3)\) এবং \(\acute{S}(-2, 3)\)
\(\therefore \triangle OS\acute{S}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 6 \ \ -2\ \ 0\\0 \ \ 3 \ \ \ \ \ \ 3 \ \ 0\end{array}\right|\) | কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{0.3-0.6+6.3-(-2).3+(-2).0-0.3 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+18+6+0-0 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+24+0 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{24 \}\)
\(=12\) বর্গ একক।

\(Q.5.(xxiii)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(6\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((2, \pm 4\sqrt{2})\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(y^2=16x ……..(1)\)
এখানে,
\(4a=16\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{16}{4}\)
\(\Rightarrow a=4\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(4, 0)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y-0)^2}=6\)
\(\Rightarrow (x-4)^2+(y-0)^2=6^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2=36\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+16-36=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x-20=0\)
\(\Rightarrow x^2+16x-8x-20=0\) | \((1)\) -এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow x^2+8x-20=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4.1.(-20)}}{2.1}\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান,\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8\pm \sqrt{64+80}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8\pm \sqrt{144}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8\pm 12}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8+12}{2}, \frac{-8-12}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4}{2}, \frac{-20}{2}\)
\(\Rightarrow x=2, -10\)
\(\therefore x=2, x\ne -10\)
\(x=2\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=16.2\)
\(\Rightarrow y^2=32\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{32}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{16\times 2}\)
\(\therefore y=\pm 4\sqrt{2}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((2, \pm 4\sqrt{2})\)

\(Q.5.(xxiv)\) \(y=3x+1\) সরলরেখা \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে \(a\)-এর মাণ, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(3; \left(\frac{1}{3}, 2\right); (3, 0); 12; x+3=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(y=3x+1 ……..(1)\)
এখানে,
\(m=3, c=1\)
\(y^2=4ax ……..(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি,
\(c=\frac{a}{m}\) হয়। | \(y=mx+c \) সরলরেখার \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত \(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{a}{3}\)
\(\therefore a=3\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{3^2}, \frac{2.3}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{9}, 2\right)\)
\(\therefore \left(\frac{1}{3}, 2\right)\)
\(\therefore a\)-এর মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=4.3.x\)
\(\therefore y^2=12x ……(3)\)
এখানে,
\(4a=12\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{4}\)
\(\Rightarrow a=3\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(3, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=4a\)
\(=4.3\)
\(=12\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x+a=0\)
\(\therefore x+3=0\)

\(Q.5.(xxv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( y=2x \)।

সমাধানঃ

ধরি,
\(y^2=12x ……(1)\)
এখানে,straight3
\(4a=12\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{4}\)
\(\Rightarrow a=3\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দু \(L(a, 2a)\)
\(\Rightarrow L(3, 2.3)\) | \(\because a=3\)
\(\therefore L(3, 6)\)
এখন,
\(LA\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{3-0}=\frac{y-6}{6-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y-6}{6}\)
\(\Rightarrow 6x-18=3y-18\)
\(\Rightarrow 6x=3y-18+18\)
\(\Rightarrow 6x=3y\)
\(\Rightarrow 3y=6x\)
\(\Rightarrow y=\frac{6x}{3}\)
\(\therefore y=2x\)
ইহাই নির্ণেয় রেখার সমীকরণ।

\(Q.5.(xxvi)\) দেখাও যে, \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) পরাবৃত্ত এবং স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির অন্তর্গত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{6}a^2\).
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)
\(\Rightarrow \sqrt{y}=\sqrt{a}-\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow y=(\sqrt{a}-\sqrt{x})^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y=a+x-2\sqrt{ax}\)
ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{a}ydx\)
\(=\int_{0}^{a}(a+x-2\sqrt{ax})dx\)
\(=\int_{0}^{a}(a+x-2\sqrt{a}\sqrt{x})dx\)
\(=\left[ax+\frac{x^2}{2}-2\sqrt{a}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^a\)
\(=\left[ax+\frac{x^2}{2}-\frac{4}{3}\sqrt{a}x^{\frac{3}{2}}\right]_0^a\)
\(=a.a+\frac{a^2}{2}-\frac{4}{3}\sqrt{a}.a^{\frac{3}{2}}\)
\(=a^2+\frac{a^2}{2}-\frac{4}{3}\sqrt{a}.a.\sqrt{a}\)
\(=\frac{2a^2+a^2}{2}-\frac{4}{3}a.a.\)
\(=\frac{3a^2}{2}-\frac{4a^2}{3}\)
\(=\frac{9a^2-8a^2}{6}\)
\(=\frac{a^2}{6}\)
\(=\frac{1}{6}a^2\).

1 2

Please comment on the Article