অন্বয় ও ফাংশন-১

ENGLISH VERSION

এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • অন্বয় ও ফাংশনের উৎস।
  • অন্বয় ও ফাংশনের সংজ্ঞা।
  • ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ।
  • এক-এক ফাংশন, সার্বিক ফাংশন, সংযোজিত ফাংশন, অভেদ ফাংশন, স্থির ফাংশন ও বিপরীত ফাংশনের উদাহরণসহ ব্যাখ্যা।
  • ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন, বৈশিষ্ট ও ব্যাখ্যা।
  • ফাংশনের ও রূপান্তিরিত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন এবং তাদের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয়।
  • ফাংশন ও তার বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন ও তুলুনা।
  • ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পর্যায় নির্ণয়।
  • বিভিন্ন ফাংশনের লেখচিত্র।
  • ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লেখচিত্র।
  • ফাংশন বিষয়ক সমস্যা ও তার সমাধান।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং তার সমাধান
  • ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমুহ এবং তার সমাধান

ফাংশন

Function

straight3

Rene Descartes
(১৫৯৬-১৬৫০)

প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে (Rene Descartes) আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন ।

প্রাত্যহিক জীবনের প্রায় সবক্ষেত্রেই আমরা ফাংশন ব্যাবহার করে থাকি। ছাইকেলে, মটর ছাইকেলে, বাসে ও ট্রেনে উঠে যাতায়াত করে থাকি, এই বিষয়গুলি ফাংশন। মোট কথা যান্তিক বিষয়গুলি এক একটি ফাংশন। ফাংশনের আবিধানিক অর্থ হলো অপেক্ষক। তাহলে এখানে অপেক্ষা করার বিষয় আছে। একজন অন্য এক বা একাধিক জনের অপেক্ষা করছে এটি ফাংশন। দুই বা ততধিক চলকের মধ্যে অধীন চলক যখন স্বাধীন চলকের উপর নির্ভরশীল হয় তখন এই প্রক্রিয়াকে ফাংশন বলে। আমরা জানি বায়বীয় পদার্থের উপর তাপ প্রয়োগ করলে এর আয়তন বেড়ে যায়, এখানে আয়তন তাপমাত্রার উপর নির্ভরশীল, ফলে এই আয়তন বেড়ে যাওয়ার বিষটি ফাংশন। আধুনিক যুগের আসীর্বাদ কম্পিটার ব্যবহারের ক্ষেত্রে যে এপ্লিকেশন সফটয়ারগুলি ব্যবহার হয় এগুলি অনেকগুলি ফাংশনের সমন্বয়ে তৈরী। এবার আসা যাক গণিত জগতে ফাংশনের আবির্ভাব ও অবদানের বিষয়টিতে। ফাংশন গণিত জগতে এক বিস্ময়কর আসীর্বাদ। ফাংশনকে গণিত জগতে এভাবে নিয়ে আসার পিছনে যাদের অক্লান্ত শ্রম ও নিরলস প্রচেষ্টা রয়েছে তাদের মধ্যে কয়েক জনের নাম না উল্লেখ করলে নয় যেমন: ওরাসমstraight3ওরাসম (Nicole Oresme)(১৩২০-১৩৮২)(Nicole Oresme)(১৩২০-১৩৮২),পণটিstraight3পণটি(Lorenzo da Ponte) (১৭৪৯-১৮৩৮)(Lorenzo da Ponte)(১৭৪৯-১৮৩৮),লিবনিজstraight3লিবনিজ(gottfried leibniz)(১৬৪৬-১৭১৬)(gottfried leibniz)(১৬৪৬-১৭১৬),জোহান বার্ণোলীstraight3জোহান বার্ণোলী(johann bernoulli)(১৬৬৭-১৭৪৮)(johann bernoulli) (১৬৬৭-১৭৪৮),এলেক্সিস ক্লাইড ক্লাইরটstraight3এলেক্সিস ক্লাইড ক্লাইরট(Alexis Claude Clairaut)(১৭১৩-১৭৬৫) (Alexis Claude Clairaut)(১৭১৩-১৭৬৫),ডিমরগানstraight3ডিমরগান(Augustus De Morgan)(১৮০৬-১৮৭১)(Augustus De Morgan) (১৮০৬-১৮৭১), জর্জ ক্যান্টরstraight3জর্জ ক্যান্টর(George Cantor) (১৮৪৫-১৯১৮) (George Cantor) (১৮৪৫-১৯১৮), ডিরিচলেট straight3ডিরিচলেট (Peter Gustav Lejeune Dirichlet)(১৮০৫-১৮৫৯)(Peter Gustav Lejeune Dirichlet) (১৮০৫-১৮৫৯),লুবাচেভস্কিstraight3লুবাচেভস্কি (Nikolai Lobachevsky)(১৭৯২-১৮৫৬)(Nikolai Lobachevsky)(১৭৯২-১৮৫৬)ও হার্ডিstraight3হার্ডি(Thomas Hardy)(১৮৪০-১৯২৮) (Thomas Hardy)(১৮৪০-১৯২৮) অন্যতম। প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে straight3প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । (Rene Descartes)(১৫৯৬-১৬৫০) আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । গটফ্রেড লিবনীজ (gottfried leibniz) ১৬৭৩ খ্রিস্টাব্দে প্রথম “ফাংশন” সব্দটি ব্যবহার করেন এবং ১৬৯৩ খ্রিস্টাব্দে তিনিই ফাংশনের গ্রহণযোগ্য সংজ্ঞা দেন। পরবর্তীকালে ডিরিচলেট ১৮৩৭ খ্রিস্টাব্দে ফাংশনের একটি সংজ্ঞা লিখেন। এই সঙ্গাকে ফাংশনের আধুনিক সংজ্ঞা হিসাবে বিবেচনা করা হয়।

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সংজ্ঞা ও ব্যাখ্যাসমূহ।

\(1.\) অন্বয় ( Relations )।

চলকঃ অজ্ঞ্যাত কোনো সংখ্যা বা বস্তুকে কোনো প্রতিকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হলে ঐ প্রতিককে চলক ( Variable ) বলা হয়।
যেমনঃ
\(A=\{2,3,4,5\}\) সেটকে লেখা যায় \(A=\{x:x\in N,\ 2\leq x\leq 5\}\)।
এখানে,
\(x, A\) সেটের উপাদান \(\{2,3,4,5\}\) প্রত্যেককে সূচিত করে। তাই \(x\) একটি চলক।
অন্বয়ঃ যা দ্বারা দুই বা ততোধিক চলকের মধ্যে অথবা, দুইটি সেটের মধ্যে সম্পর্ক বুঝানো হয় তাকে অন্বয় বলে।
যেমনঃ
দুইটি অশূন্য সেট \(A\) ও \(B\) কার্তেসীয় গুণজ সেট \(A\times B\)-এর যে কোনো উপসেটকে \(A\) সেট হতে \(B\) সেটে একটি অন্বয় বা সম্পর্ক বলা হয়। এই অন্বয়কে \(R\) দ্বারা প্রকাশ করা হলে, \(R\subseteq A\times B\).
যদি, \((a, b)\in R\) হয়, যেখানে, \(a\in A\) এবং \(b\in B\), তবে তাকে \(a R b\) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং \(‘b’\) এর সাথে \(‘a’\) অন্বিত \(‘a’ is related to ‘b’\) পড়া হয়।

\(2.\) বিপরীত অন্বয় (Inverse Relations )।

বিপরীত অন্বয়ঃ \(A\)সেট হতে \(B\)সেটে \(R\)একটি অন্বয় হলে, \(R\)-এর বিপরীত অন্বয় হবে \(B\)সেট হতে \(A\)সেটে একটি অন্বয়, যাকে \(R^{-1}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\(R=\{(a, b):a\in A, b\in B\}\) একটি অন্বয় হলে, \(R^{-1}=\{(b, a):(a, b)\in R\}\)
যেমনঃ
\(A=\{a, b\}\), \(B=\{p, q, r\}\) হলে, \(A\times B=\{(a, p),(a, q),(a, r),(b, p),(b, q),(b, r)\}\)
ধরি,
\(R_1=\{(a, p)\}, R_2=\{(a, p),(b, q)\}, R_3=\{(a, p),(a, r),(b, p)\}\)
যেহেতু \(R_1\subset A\times B, R_2\subset A\times B\) এবং \(R_3\subset A\times B\)
সুতরাং \(R_1, R_2\)এবং \(R_3\)-এর প্রত্যেক সেটেই \(A\) থেকে \(B\) সেটের অন্বয়।
আবার,
\(R_1\)-এর বিপরীত অন্বয় \(R_1^{-1}=\{(p, a)\}\)
\(R_2\)-এর বিপরীত অন্বয় \(R_2^{-1}=\{(p, a),(q, b)\}\)
\(R_3\)-এর বিপরীত অন্বয় \(R_3^{-1}=\{(p, a),(r, a),(p, b)\}\)

\(3.\) অন্বয়ের ডোমেন এবং রেঞ্জ ( Domen and range of Relations )।

অন্বয়ের ডোমেন এবং রেঞ্জঃ যদি \(A\)সেট হতে \(B\)সেটে \(R\)একটি অন্বয় হয়, তবে \(R\)-এর অন্তর্গত সকল ক্রমজোড়্গুলির প্রথম উপাদানসমুহের সেটকে \(R\)-এর ডোমেন বলা হয়, যা \(R_D\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(R\)-এর ডোমেন \(A\)-এর একটি উপসেট।
একইভাবে, ক্রমজোড়্গুলির দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে \(R\)-এর রেঞ্জ বলা হয়, যা \(R_R\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(R\)-এর রেঞ্জ \(B\)-এর একটি উপসেট।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\(R\)-এর ডোমেন \(=\{a: a\in A (a, b)\in R\}\)
\(R\)-এর রেঞ্জ \(=\{b: b\in B (a, b)\in R\}\)
যেমনঃ
\(A=\{a, b\}\), \(B=\{m, s, t\}\) হলে, \(A\times B=\{(a, m),(a, s),(a, t),(b, m),(b, s),(b, t)\}\)
ধরি,
\(R=\{(a, m),(a, s), (b, m),(b, s)\}\)
তাহলে,
\(R\)-এর ডোমেন \(=\{(a, b)\}\)
\(R\)-এর রেঞ্জ \(=\{(m, s)\}\)
আবার,
বিপরীত অন্বয়ের ক্ষেত্রে,
\(R^{-1}=\{(m, a),(s, a), (m, b),(s, b)\}\)
তাহলে,
\(R^{-1}\)-এর ডোমেন \(=\{(m, s)\}\)
\(R^{-1}\)-এর রেঞ্জ \(=\{(a, b)\}\)

\(4.\) ফাংশন ( Functions )।

ফাংশনঃ একটি বিশেষ ধরনের অন্বয়কে ফাংশন বলে।
অন্বয়ের বা ক্রমজোড়ের সাহায্যে সংজ্ঞাঃ কোনো অন্বয়ে অবস্থিত ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানগুলি ভিন্ন ভিন্ন হলে ঐ অন্বয়কে ফাংশন বলে।
যেমনঃ
\(A=\{a, b\}\), \(B=\{p, q, r\}\) হলে, \(A\times B=\{(a, p),(a, q),(a, r),(b, p),(b, q),(b, r)\}\)
ধরি, \(R_1, R_2\) দুইটি অন্বয়।
\(R_1=\{(a, p),(b, q)\}, R_2=\{(a, p),(a, r),(b, p)\}\)
এখানে,
\(R_1\) একটি ফাংশন। কারণ, \(R_1\)-এর ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানগুলি ভিন্ন ভিন্ন \(a, b\) এবং উপাদানগুলি নিয়ে গঠিত সেট \(A\)-এর সমান।
\(R_2\) ফাংশন নয়। কারণ, \(R_2\)-এর দইটি ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানগুলি অভিন্ন \(a, a\)।
চলকের সাহায্যে সংজ্ঞাঃ যদি \(x\) একটি স্বাধীন চলক এবং \(y\) অধীন চলক হয় এবং স্বাধীন চলক \(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য অধীন চলক \(y\)-এর যদি এবং কেবল যদি একটি বাস্তব মাণ পাওয়া যায়, তবে স্বাধীন চলকবিশীষ্ট রাশিটিকে অধীন চলকের একটি ফাংশন বলে অর্থাৎ \(y\)-কে \(x\)-এর ফাংশন বলা হয়।
ফাংশনটিকে \(y=f(x)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এখানে \(x\)-এর মানের উপর \(y\) নির্ভরশীল।
যেমনঃ
\(f:R\rightarrow R\)-এর জন্য \(y=f(x)=5x+2, \ y=f(x)=\sqrt{2x^2+1}, \ y=f(x)=|2x-3|\) প্রভৃতি এক একটি ফাংশন।
কিন্তু
\(f:R\rightarrow R\)-এর জন্য \(y=f(x)=\pm \sqrt{2x^2+1}\) ফাংশন নয়। কারণ \(x\)-এর একটি মানের জন্য \(y\)-এর দুইটি মাণ পাওয়া যায়।
যেমনঃ
\(x=2\) হলে, \(y=f(x)=\pm \sqrt{2.2^2+1}=\pm \sqrt{2.4+1}=\pm \sqrt{8+1}=\pm \sqrt{9}=\pm 3\)
সেটের সাহায্যে সংজ্ঞাঃ মনে করি \(A\) ও \(B\) দুইটি সেট। যদি \(A\) সেট হতে \(B\) সেটে \(f\) একটি অন্বয় হয় এবং প্রত্যেক \(a\in A\)-এর জন্য একটি অনন্য উপাদান \(b\in B\) থাকে, যেখানে, \((a, b)\in f\), তবে \(f\) কে \(A\) সেট হতে \(B\) সেটে ফাংশন বলা হয়। যা \(f:A\rightarrow B\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

\(5.\) চিত্রের সাহায্যে ফাংশন ( Functions with the help of image )।

hyperbola
hyperbola
hyperbola

এখানে,
\(f:A\rightarrow B\) একটি ফাংশন। কারণ, \(A\) সেটের প্রত্যেক উপাদানের প্রতিচ্ছবি আছে এবং একটি উপাদেনের একাধিক প্রতিচ্ছবি নেই।
\(f:C\rightarrow D\) ফাংশন নয়। কারণ, \(C\) সেটের একটি উপাদান \(x\)-এর দুইটি প্রতিচ্ছবি \(1, 2\) বিদ্যমান।
\(f:E\rightarrow F\) ফাংশন নয়। কারণ, \(E\) সেটের উপাদান \(s\)-এর কোনো প্রতিচ্ছবি নেই।

\(6.\) ফাংশনের ডোমেন ও কোডোমেন ( Domen and Co-Domen of Functions )।

ফাংশনের ডোমেন ও কোডোমেনঃ মনে করি, \(f:A\rightarrow B\) একটি ফাংশন। তাহলে \(A\) কে \(f\) ফাংশনের ডোমেন এবং \(B\) কে কোডোমেন বলা হয়। \(f\)-এর ডোমেনকে সাধারণত \(D_f\) এবং কোডোমেনকে \(Cod_f\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
প্রতিচ্ছবিঃ যদি \(a\in A\)-এর জন্য \(b\in B\) হয় তবে \(b\) কে \(a\)-এর প্রতিচ্ছবি (Image) বলা হয়। যা \(f(a)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ \(b=f(a)\)।
ফাংশনের রেঞ্জঃ মনে করি, \(f:A\rightarrow B\) একটি ফাংশন। কোডোমেন \(B\)-এর যে উপসেটটির সকল উপাদান ডোমেন \(A\)-এর উপাদানের সাথে সম্পর্কিত তাকে \(f\)-এর রেঞ্জ বলা হয়। সাধারণত \(f\)-এর রেঞ্জকে \(R_f\) বা \(f(A)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(R_f\)
\(\Rightarrow f(A)\subseteq Cod_f\)
\(\Rightarrow R_f\subseteq B\)
যেমনঃ
\(A=\{a, b, c\}\), \(B=\{1, 2, 3\}\) হলে, \(A\times B=\{(a, 1),(a, 2),(a, 3),(b, 1),(b, 2),(b, 3),(c, 1),(c, 2),(c, 3)\}\)
ধরি, \(f\) একটি ফাংশন।
\(\therefore f=\{(a, 1),(b, 2),(c, 2)\}\)
তাহলে,
ডোমেন \(D_f=\{a, b, c\}=A\)
কোডোমেন \(Cod_f=\{1, 2, 3\}=B\)
রেঞ্জ \(R_f=\{1, 2\}\subset B\)

\(7.\) লেখচিত্রের সাহায্যে ফাংশনের ধারণা ( Cocept of Functions from graph )।

লেখচিত্রে ফাংশনঃ যদি কোনো অন্বয়ের লেখচিত্রকে \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করে তবে তাকে ফাংশন বলে। এই ক্ষেত্রে স্বাধীন চলক \(x\)-এর একটি বাস্তব মানের জন্য অধীন চলক \(y\) বা \(f(x)\)-এর একটি মাত্র বাস্তব মাণ পাওয়া যায়।

hyperbola
hyperbola
hyperbola

এখানে,
\((1)\),\((2)\) ও \((3)\) ফাংশনের লেখচিত্র।
কারণ, \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রটিকে কেবল একটি মাত্র বিন্দুতে ছেদ করেছে।

লেখচিত্রে ফাংশন নয়ঃ যদি কোনো অন্বয়ের লেখচিত্রকে \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা একাধিক বিন্দুতে ছেদ করে তবে সেটি ফাংশন নয়। এই ক্ষেত্রে স্বাধীন চলক \(x\)-এর একটি বাস্তব মানের জন্য অধীন চলক \(y\) বা \(f(x)\)-এর একাধিক বাস্তব মাণ পাওয়া যায়।

hyperbola
hyperbola
hyperbola

এখানে,
\((4)\),\((5)\) ও \((6)\) ফাংশনের লেখচিত্র নয়।
কারণ, \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রটিকে একাধিক বিন্দুতে ছেদ করেছে।

\(8.\) ফাংশনের প্রকারভেদ ( Types of Functions )।

ফাংশন সাধারণত দশ প্রকার যেমনঃ

  • এক-এক ফাংশন (One One function)
  • ভিতর ফাংশন (In-to function)
  • সার্বিক বা সর্বগ্রাহী ফাংশন (Onto function)
  • প্রতিসঙ্গ ফাংশন বা বাইজেকটিভ ফাংশন (Bijective function)
  • ইনজেকটিভ ফাংশন (Ijective function)
  • স্থির ফাংশন (Constant function)
  • অভেদ ফাংশন (Identity function)
  • যুগ্ন ফাংশন (Even function)
  • অযুগ্ন ফাংশন (Odd function)
  • সংযোজিত ফাংশন (Composite function)
  • বিপরীত ফাংশন (Inverse function)

\(9.\) এক-এক ফাংশনঃ যদি কোনো ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন ভিন্ন হয় তবে উক্ত ফাংশনকে এক-এক ফাংশন বলে।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃhyperbola
\((i)\) \(f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2\)
\((ii)\) \(a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)\)
যেমনঃ
ধরি, \(f:R\rightarrow R\) ফাংশনটি \(f(x)=3x-2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
তাহলে,
\(f(a)=3a-2 …..(1)\)
\(f(b)=3b-2 …..(2)\)
এখন,
\(f(a)=f(b)\Rightarrow 3a-2=3b-2\Rightarrow 3a=3b\Rightarrow a=b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি এক-এক।

\(10.\) ভিতর ফাংশনঃ যদি কোনো ফাংশনের রেঞ্জ, কোডোমেনের প্রকৃত উপসেট হয় তবে তাকে ভিতর ফাংশন (In-to function) বলে। অর্থাৎ ডোমেনের সকল উপাদানের প্রতিচ্ছবি নিয়ে গঠীত সেট কো-ডোমেনের সমান হবে না।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃhyperbola
\(R_f\subset Cod_f\)
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি ভিতর ফাংশন (In-to function)।

\(11.\) সার্বিক বা সর্বগ্রাহী ফাংশনঃ যদি কোনো ফাংশনের কোডোমেন ও রেঞ্জ সমান হয় তবে তাকে সার্বিক বা সর্বগ্রাহী ফাংশন (Onto function) বলে। অর্থাৎ কোডোমেনের সকল উপাদান প্রতিচ্ছবি হতে হবে।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃhyperbola
\(R_f=Cod_f\)
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি সার্বিক বা সর্বগ্রাহী ফাংশন (Onto function)।

\(12.\) প্রতিসঙ্গ ফাংশন বা বাইজেকটিভ ফাংশনঃ যদি কোনো ফাংশন একই সাথে এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন হয় তবে তাকে প্রতিসঙ্গ ফাংশন বা বাইজেকটিভ ফাংশন (Bijective function) বলে।
hyperbola
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি প্রতিসঙ্গ ফাংশন বা বাইজেকটিভ ফাংশন (Bijective function)।

\(13.\) ইনজেকটিভ ফাংশনঃ যদি কোনো ফাংশন একই সাথে এক-এক এবং ভিতর ফাংশন হয় তবে তাকে ইনজেকটিভ ফাংশন (Ijective function) বলে।
hyperbola
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি ইনজেকটিভ ফাংশন (Ijective function)।

\(14.\) স্থির ফাংশনঃ যদি কোনো ফাংশনের ডোমেন সেটের প্রত্যেকটি উপাদানের প্রতিচ্ছবি কোডোমেন সেটের একটি মাত্র উপাদান হয় তবে তাকে স্থির ফাংশন (Constant function) বলে।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃhyperbola
\( f:R\rightarrow R, f(x)=6, f\) একটি স্থির ফাংশন (Constant function)।
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি স্থির ফাংশন (Constant function)।

\(15.\) অভেদ ফাংশনঃ \(A\) একটি অশূন্য সেট, \(f:A\rightarrow A\) ফাংশনটিকে যদি সকল \(x\in A\)-এর জন্য \(f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে তাকে অভেদ ফাংশন ( Identity function ) বলে।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃhyperbola
\( f:R\rightarrow R, f(x)=x, f \) একটি অভেদ ফাংশন ( Identity function )।
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি অভেদ ফাংশন ( Identity function )।

\(16.\) যুগ্ন ফাংশনঃ একটি ফাংশন \(f(x)\)-এর ক্ষেত্রে যদি \(f(-x)=f(x)\) হয় তবে তাকে যুগ্ন ফাংশন (Even function) বলা হয়।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:R\rightarrow R, f(-x)=f(x), f \) একটি যুগ্ন ফাংশন (Even function)।
যেমনঃ
দেখাও যে,
\(f(x)=x^2+3 …(1)\) একটি যুগ্ন ফাংশন।
\((1)\)-এ \(x\)-এর স্থানে \(-x\) বসিয়ে পাই।
\(f(-x)=(-x)^2+3\)
\(\therefore f(-x)=x^2+3 ……(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে পাই।
\(f(-x)=f(x)\)
\(\therefore f\) একটি যুগ্ন ফাংশন।

\(17.\) অযুগ্ন ফাংশনঃ একটি ফাংশন \(f(x)\)-এর ক্ষেত্রে যদি \(f(-x)=-f(x)\) হয় তবে তাকে অযুগ্ন ফাংশন (Odd function) বলা হয়।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:R\rightarrow R, f(-x)=-f(x), f \) একটি অযুগ্ন ফাংশন (Odd function)।
যেমনঃ
দেখাও যে,
\(f(x)=x^3+2x …(1)\) একটি অযুগ্ন ফাংশন।
\((1)\)-এ \(x\)-এর স্থানে \(-x\) বসিয়ে পাই।
\(f(-x)=(-x)^3+2(-x)\)
\(\Rightarrow f(-x)=-x^3-2x\)
\(\Rightarrow f(-x)=-(x^3+2x)\)
\((1)\)-এর সাহায্যে।
\(f(-x)=-f(x)\)
\(\therefore f\) একটি অযুগ্ন ফাংশন।

\(18.\) সংযোজিত ফাংশনঃ একটি ফাংশনের রেঞ্জ অপর একটি ফাংশনের সাথে ডোমেন হিসাবে সংযোজিত হয়ে যে নুতন ফাংশনের সৃষ্টি হয় তাকে সংযোজিত ফাংশন (Composite function) বলা হয়।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃhyperbola
\( g:A\rightarrow B, f:B\rightarrow C, fog:A\rightarrow C, fog \) একটি সংযোজিত ফাংশন (Composite function)।
যেমনঃ
মনে করি, \(A, B\) এবং \(C\) তিনটি অশূন্য সেট। \(g(x)\) এবং \(f(x)\) যথাক্রমে \(A\) সেট থেকে \(B\) সেটে এবং \(B\) সেট থেকে \(C\) সেটে সৃষ্ট দুইটি ফাংশন। অর্থাৎ \(g:A\rightarrow B\) এবং \(f:B\rightarrow C\)।
যদি \(a\in A\) হয়, তবে \(g(x)\) ফাংশনের অধীনে \(a\)-এর প্রতিচ্ছবি হবে \(g(a)\), যা \(B\) সেটের উপাদান।
আবার,
যেহেতু \(f(x)\) ফাংশনের ডোমেন \(B\), এবং \(B\) সেটের একটি উপাদান \(g(a)\)।
সুতরাং \(f(x)\) ফাংশনের অধীনে \(g(a)\)-এর প্রতিচ্ছবি হবে \(f(g(a))\), যা \(C\) সেটের একটি উপাদান।
এখন এই দুইটি ফাংশনের সংযোজনে একটি নুতন ফাংশন পাওয়া যাবে যা \(A\) সেট থেকে সরাসরি \(C\) সেটে সৃষ্ট।
এই নুতন ফাংশনকে বলা হয়, \(g(x)\)-এর সাথে \(f(x)\)-এর সংযোজিত ফাংশন। ইহাকে \(fog(x)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(fog:A\rightarrow C\).
আবার,
চিত্রে সংযোজিত ফাংশন (Composite function)-এর বর্ণনা দেওয়া হলো।

গাণিতিক ব্যাখ্যাঃhyperbola
\( f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C, gof:A\rightarrow C, gof \) একটি সংযোজিত ফাংশন (Composite function)।
যেমনঃ
মনে করি, \(A, B\) এবং \(C\) তিনটি অশূন্য সেট। \(f(x)\) এবং \(g(x)\) যথাক্রমে \(A\) সেট থেকে \(B\) সেটে এবং \(B\) সেট থেকে \(C\) সেটে সৃষ্ট দুইটি ফাংশন। অর্থাৎ \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\)।
যদি \(a\in A\) হয়, তবে \(f(x)\) ফাংশনের অধীনে \(a\)-এর প্রতিচ্ছবি হবে \(f(a)\), যা \(B\) সেটের উপাদান।
আবার,
যেহেতু \(g(x)\) ফাংশনের ডোমেন \(B\), এবং \(B\) সেটের একটি উপাদান \(f(a)\)।
সুতরাং \(g(x)\) ফাংশনের অধীনে \(f(a)\)-এর প্রতিচ্ছবি হবে \(g(f(a))\), যা \(C\) সেটের একটি উপাদান।
এখন এই দুইটি ফাংশনের সংযোজনে একটি নুতন ফাংশন পাওয়া যাবে যা \(A\) সেট থেকে সরাসরি \(C\) সেটে সৃষ্ট।
এই নুতন ফাংশনকে বলা হয়, \(f(x)\)-এর সাথে \(g(x)\)-এর সংযোজিত ফাংশন। ইহাকে \(gof(x)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(gof:A\rightarrow C\).
আবার,
চিত্রে সংযোজিত ফাংশন (Composite function)-এর বর্ণনা দেওয়া হলো।

\(19.(i)\) বিঃদ্রঃ \(g(x)\) ফাংশনটি \(f(x)\)-এর সহিত সংযোজিত হয়ে \(fog(x)\) সংযোজিত ফাংশন সৃষ্টি করে।
যার
ডোমেন \(D_{fog}\subseteq D_g\)
রেঞ্জ \(R_{fog}\subseteq R_f\)
আবার,
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃhyperbola
\( g:A\rightarrow B, f:B\rightarrow C, fog:A\rightarrow C, fog \) একটি সংযোজিত ফাংশন (Composite function)।
যেমনঃ
ধরি’
\(f(x)=x^2-1; g(x)=\sqrt{x}\)
এবং \(fog(x)=x-1\)
এখানে,
\(g(x)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_g=\{1, 2, 3, 4\}\)
\(f(x)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=\{0, 1, 2, 3\}\)
ফলে,
\(fog(x)\)-এর ডোমেন \(D_{fog}=\{1, 2, 3, 4\}=D_g\)
\(fog(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{fog}=\{0, 1, 2, 3\}=R_f\)

\(19.(ii)\) বিঃদ্রঃ \(f(x)\) ফাংশনটি \(g(x)\)-এর সহিত সংযোজিত হয়ে \(gof(x)\) সংযোজিত ফাংশন সৃষ্টি করে।
যার
ডোমেন \(D_{gof}\subseteq D_f\)
রেঞ্জ \(R_{gof}\subseteq R_g\)
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃhyperbola
\( f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C, gof:A\rightarrow C, gof \) একটি সংযোজিত ফাংশন (Composite function)।
যেমনঃ
ধরি’
\(f(x)=x^2-1; g(x)=\sqrt{x}\)
এবং \(gof(x)=\sqrt{x^2-1}\)
এখানে,
\(f(x)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\{1, 2, 3, 4\}\)
\(g(x)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_g=\{0, \sqrt{3}, \sqrt{8}, \sqrt{15}\}\)
ফলে,
\(gof(x)\)-এর ডোমেন \(D_{gof}=\{1, 2, 3, 4\}=D_f\)
\(gof(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{gof}=\{0, \sqrt{3}, \sqrt{8}, \sqrt{15}\}=R_g\)

\(20.\) বিপরীত ফাংশনঃ \(f:A\rightarrow B\) যদি এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন হয় তবে প্রত্যেক \(b\in B\)-এর জন্য একটি অনন্য উপাদান \(a\in A\) আছে যেন \(f(a)=b\) হয়। তখন \(f^{-1}:B\rightarrow A\) ফাংশনটিকে \(f\) ফাংশনের বিপরীত ফাংশন (Inverse function) বলা হয়।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:A\rightarrow B, f^{-1}:B\rightarrow A, f^{-1} \) কে \(f\)-এর বিপরীত ফাংশন (Inverse function) বলা হয়।
বিপরীত ফাংশনের ক্ষেত্রে লক্ষনীয়ঃ
\((i)\) কোনো ফাংশনের বিপরীত ফাংশন নির্ণয় করা সম্ভব হবে যদি ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক হয়।
\((i)\) \(f\)-এর বিপরীত ফাংশনকে \(f^{-1}\) দ্বারা সূচিত করা হয়, যেখানে \(f(x)\ne \frac{1}{f(x)}\)।
\((i)\) \(f\)-এর ডোমেন \(=f^{-1}\)-এর রেঞ্জ এবং \(f\)-এর রেঞ্জ\(=f^{-1}\) -এর ডোমেন।

বিভিন্ন ফাংশনের লেখচিত্রঃ

\( f(x)=y=|x|\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=e^{x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=e^{-x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=2^{x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=2^{-x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\ln x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\log x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লেখচিত্রঃ

\( f(x)=y=\sin x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\cos x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\tan x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\csc x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\sec x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\cot x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\sin^{-1} x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\cos^{-1} x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\tan^{-1} x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\csc^{-1} x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\sec^{-1} x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

\( f(x)=y=\cot^{-1} x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
hyperbola

1 2 3 4 5