অন্বয় ও ফাংশন-১


অনুশীলনী \(8.\) উদাহরণ সমুহ

উদাহরণ \(1.\) সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট \(\mathbb{N}\) এবং \(F=\{(x, y):x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, x+3y=10\}\) হলে, অন্বয় \(F\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। ডোমেন রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(2.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}3x+1 \ যখন \ x > 3\\x^2-2 \ যখন \ -2 \leq x\leq 3\\2x+3 \ যখন \ -2>x \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(f(2), f(4), f(-1), f(-3)\) এবং \(f(0)\) নির্ণয় কর।
[ রাঃ,চঃ ২০০৮;যঃ ২০০৭]

উদাহরণ \(3.\) \(f\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর যখন
\((i)\) \(A=\{-1, 0, 2, 4\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশন, \(f(x)=2x^2-3x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\((ii)\) \(A=\{1, 3\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশন, \(f(x)=2x+3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

উদাহরণ \(4.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, \(fog\), \(gof\), \(fof\), \(fog(2)\) এবং \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
[ রুয়েট ২০১২-২০১৩, ২০০৮-২০০৯; বুটেক্স ২০০৯-২০১০; চুয়েট ২০১১-২০১২; রাঃ২০০৭; চঃ২০০৫; সিঃ২০১০,২০০৪; বঃ২০১২]

উদাহরণ \(5.\) \(f(x)=e^x+e^{-x}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(f(x+y)f(x-y)=f(2x)+f(2y)\)।
[ কুঃ২০১০,২০০৪;সিঃ ২০০৭,২০০৪; চঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬.২০০৩; রাঃ২০১৫,২০১৪,২০১০,২০০৫; বঃ ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০১২; যঃ ২০১২,২০০৮;মাঃ২০১২ ]

উদাহরণ \(6.\) \(f(x)=\cos(\ln x)\) \(f(x)f(y)-\frac{1}{2}\left[f(\frac{x}{y})+f(xy)\right]\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৭; কুঃ২০১৪,২০০৯; যঃ ২০০৫; দিঃ ২০১৬,২০১১; সিঃ ২০১৫,২০১৫,২০১১ ]

উদাহরণ \(7.\) \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) এবং \(g(x)=2x-3\) দুইটি ফাংশন।
\((i)\) \(h(x)=3x^2-12x+19\)-এর ক্ষুদ্রতম মাণ নির্ণয় কর।
\((ii)\) দেখাও যে, \(fog\ne gof\).
\((iii)\) \(f:A\rightarrow \mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) শর্ত সাপেক্ষে সম্ভব হলে \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3\) দ্বারা বর্ণিত \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি এক-এক।

উদাহরণ \(9.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক নয়।

উদাহরণ \(10.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি সার্বিক নয়।

উদাহরণ \(11.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি সার্বিক।

উদাহরণ \(12.\) নিচের চিত্রে \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\) দেখানো হয়েছে।
hyperbola
\((i)\) সংজ্ঞায়িত ফাংশন \(fog:A\rightarrow C\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(f, g\)এবং \(gof\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(13.\) \(f:R\rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=2x+1\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ g(x)=x^2-2\) দুইটি ফাংশন।
\((i)\) \(gof\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(fog\) নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(14.\) বাস্তব সংখ্যার সেট \(R\)-এর উপর বর্ণিত \(f\) এবং \(g\) দুইটি ফাংশন যথাক্রমে \(f(x)=x^2+2x-3\) এবং \(g(x)=3x-4\) ।
\((i)\) \(gof\) এবং \(fog\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(gof(2)\) এবং \(fog(2)\) নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(15.\) \(f(x)=\sqrt{x}\) এবং \(g(x)=x^2-1\) হলে \(gof(x)\) এবং \(fog(x)\) নির্ণয় কর এবং প্রত্যেক ক্ষেত্রে সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৯; সিঃ২০০৫]

উদাহরণ \(16.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=2x-3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
[ কুয়েট ২০১৩-২০১৪; চঃ২০১৩,২০১০; রাঃ২০১১ ]

উদাহরণ \(17.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^3\) সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত। যদি ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক হয় তবে \(f(x)\)-এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(18.\) নিচের চিত্রে \(f:A\rightarrow B\) দেখানো হয়েছে। উহা হতে \(f^{-1}:B\rightarrow A\) নির্ণয় কর।
hyperbola

উদাহরণ \(19.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f^{-1}(5)\) কে সেট আকারে প্রকাশ কর।
[ চঃ২০০০]

উদাহরণ \(20.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f^{-1}(36)\) \(f^{-1}(16)\) কে সেট আকারে প্রকাশ কর।
[ বঃ২০০৬; কুঃ২০০৫; ঢাঃ,চঃ,যঃ ২০০৪]

উদাহরণ \(21.\) \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট এবং \(A=\{-3, -1, 0, 1, 3\}; \ f:A\rightarrow \mathbb{R} \) ফাংশনটি \(f(x)=x^2+x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০০]

উদাহরণ \(22.\) যদি \(A, B\subseteq \mathbb{R}; \ B=\mathbb{R}-\{1\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) কে \(f(x)=\frac{x-2}{x-3}\) সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত । ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৪; ঢাঃ ২০০৯; সিঃ ২০০৭]

অনুশীলনী \(8.\) উদাহরণ সমুহের সমাধান

উদাহরণ \(1.\) সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট \(\mathbb{N}\) এবং \(F=\{(x, y):x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, x+3y=10\}\) হলে, অন্বয় \(F\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। ডোমেন রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আমরা জানি,
\(N=\{1, 2, 3, 4…….\}\)
এখানে,
\((x, y)\in \mathbb{N}\) এবং \(x+3y=10\Rightarrow 3y=10-x\Rightarrow y=\frac{10-x}{3}\)
\(x=1\) হলে, \(y=3 \therefore (1, 3)\in F\)
\(x=4\) হলে, \(y=2 \therefore (4, 2)\in F\)
\(x=7\) হলে, \(y=1 \therefore (7, 1)\in F\)
\(\therefore F=\{(1, 3),(4, 2),(7, 1)\}\)
আবার,
\(F\)-এর ডোমেন \(=\{1, 4, 7\}\)
\(F\)-এর রেঞ্জ \(=\{3, 2, 1\}\)
এবং
\(F^{-1}=\{(3, 1),(2, 4),(1, 7)\}\)

উদাহরণ \(2.\) \(f:R\rightarrow R\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}3x+1 \ যখন \ x > 3\\x^2-2 \ যখন \ -2 \leq x\leq 3\\2x+3 \ যখন \ -2>x \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(f(2), f(4), f(-1), f(-3)\) এবং \(f(0)\) নির্ণয় কর।
[ রাঃ,চঃ ২০০৮;যঃ ২০০৭]

সমাধানঃ

\(f(2)=2^2-2=4-2=2\)
\(f(4)=3.4+1=12+1=13\)
\(f(-1)=(-1)^2-2=1-2=-1\)
\(f(-3)=2(-3)+3=-6+3=-3\)
\(f(0)=0^2-2=0-2=-2\)

উদাহরণ \(3.\) \(f\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর যখন
\((i)\) \(A=\{-1, 0, 2, 4\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশন, \(f(x)=2x^2-3x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\((ii)\) \(A=\{1, 3\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশন, \(f(x)=2x+3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(3. (i)\)
এখানে,
\(f\)-এর ডোমেন, \(A=\{-1, 0, 2, 4\}\)
আবার,
\(f(x)=2x^2-3x+1\)
\(f(-1)=2(-1)^2-3(-1)+1=2.1+3+1=2+3+1=6\)
\(f(0)=2(0)^2-3.0+1=2.0-0+1=0-0+1=1\)
\(f(2)=2.2^2-3.2+1=2.4-6+1=8-6+1=3\)
\(f(4)=2.4^2-3.4+1=2.16-12+1=32-12+1=33-12=21\)
সুতরাং,
\(f\)-এর রেঞ্জ , \(A=\{1, 3, 6, 21\}\)
উদাহরণ \(3. (ii)\)
এখানে,
\(f\)-এর ডোমেন, \(A=\{1, 3\}\)
আবার,
\(f(x)=2x+3\)
\(f(1)=2.1+3=2+3=5\)
\(f(3)=2.3+3=6+3=9\)
সুতরাং,
\(f\)-এর রেঞ্জ , \(A=\{5, 9\}\)

উদাহরণ \(4.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, \(fog\), \(gof\), \(fof\), \(fog(2)\) এবং \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
[ রুয়েট ২০১২-২০১৩, ২০০৮-২০০৯; বুটেক্স ২০০৯-২০১০; চুয়েট ২০১১-২০১২; রাঃ২০০৭; চঃ২০০৫; সিঃ২০১০,২০০৪; বঃ২০১২]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\)
এখন,
\(fog=fog(x)=f(g(x))\)
\(\Rightarrow fog(x)=(g(x))^2+3.g(x)+1\) | \(\because f(x)=x^2+3x+1\)
\(=(2x-3)^2+3.(2x-3)+1\) | \(\because g(x)=2x-3\)
\(=4x^2-12x+9+6x-9+1\)
\(=4x^2-6x+1\)
আবার,
\(fog(2)=4.2^2-6.2+1\)
\(=4.4-12+1\)
\(=16-12+1\)
\(=17-12\)
\(=5\)
আবার,
\(gof=gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=2f(x)-3\) | \(\because g(x)=2x-3\)
\(=2(x^2+3x+1)-3\) | \(\because f(x)=x^2+3x+1\)
\(=2x^2+6x+2-3\)
\(=2x^2+6x-1\)
\(\therefore gof(2)=2.2^2+6.2-1\)
\(=2.4+12-1\)
\(=8+12-1\)
\(=20-1\)
\(=19\)
আবার,
\(fof=fof(x)=f(f(x))\)
\(\Rightarrow fof(x)=(f(x))^2+3f(x)+1\) | \(\because f(x)=x^2+3x+1\)
\(=(x^2+3x+1)^2+3(x^2+3x+1)+1\) | \(\because f(x)=x^2+3x+1\)
\(=x^4+9x^2+1+6x^3+6x+2x^2+3x^2+9x+3+1\)
\(=x^4+6x^3+14x^2+15x+5\)

উদাহরণ \(5.\) \(f(x)=e^x+e^{-x}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(f(x+y)f(x-y)=f(2x)+f(2y)\)।
[ কুঃ২০১০,২০০৪;সিঃ ২০০৭,২০০৪; চঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬.২০০৩; রাঃ২০১৫,২০১৪,২০১০,২০০৫; বঃ ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০১২; যঃ ২০১২,২০০৮;মাঃ২০১২ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=e^x+e^{-x} ……..(1)\)
এখন,
\(f(x+y)=e^{x+y}+e^{-x-y} ……(2)\) | \((1)\) নং সমীকরণে \(x\)-এর স্থানে \(x+y\) বসিয়ে।
\(f(x-y)=e^{x-y}+e^{-x+y} ……(3)\) | \((1)\) নং সমীকরণে \(x\)-এর স্থানে \(x-y\) বসিয়ে।
\(f(2x)=e^{2x}+e^{-2x} ……(4)\) | \((1)\) নং সমীকরণে \(x\)-এর স্থানে \(2x\) বসিয়ে।
\(f(2y)=e^{2y}+e^{-2y} ……(5)\) | \((1)\) নং সমীকরণে \(x\)-এর স্থানে \(2y\) বসিয়ে।
বাম পক্ষ \(=f(x+y)f(x-y)\)
\(=(e^{x+y}+e^{-x-y})(e^{x-y}+e^{-x+y})\) | \((2)\) ও \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(=e^{x+y+x-y}+e^{x+y-x+y}+e^{-x-y+x-y}+e^{-x-y-x+y}\)
\(=e^{2x}+e^{2y}+e^{-2y}+e^{-2x}\)
\(=e^{2x}+e^{-2x}+e^{2y}+e^{-2y}\)
\(=f(2x)+f(2y)\) | \((4)\) ও \((5)\)-এর সাহায্যে।
\(=\) ডান পক্ষ ।
( প্রমাণিত )

উদাহরণ \(6.\) \(f(x)=\cos(\ln x)\) \(f(x)f(y)-\frac{1}{2}\left[f(\frac{x}{y})+f(xy)\right]\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৭; কুঃ২০১৪,২০০৯; যঃ ২০০৫; দিঃ ২০১৬,২০১১; সিঃ ২০১৫,২০১৫,২০১১ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\cos(\ln x) ……..(1)\)
এখন,
\(f(y)=\cos(\ln y) ……(2)\) | \((1)\) নং সমীকরণে \(x\)-এর স্থানে \(y\) বসিয়ে।
\(f(xy)=\cos(\ln xy) ……(3)\) | \((1)\) নং সমীকরণে \(x\)-এর স্থানে \(xy\) বসিয়ে।
\(f(\frac{x}{y})=\cos(\ln \frac{x}{y}) ……(4)\) | \((1)\) নং সমীকরণে \(x\)-এর স্থানে \(\frac{x}{y}\) বসিয়ে।
প্রদত্ত রাশি \(=f(x)f(y)-\frac{1}{2}\left[f(\frac{x}{y})+f(xy)\right]\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}\left[\cos(\ln \frac{x}{y})+\cos(\ln xy)\right]\) | \((1)\), \((2)\), \((3)\) ও \((4)\)-এর সাহায্যে।
\(= \cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}\left[\cos(\ln x-\ln y)+\cos(\ln x+\ln y)\right]\)
\(= \cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}\left[2\cos(\ln x)\cos(\ln y) \right]\) | \(\because \cos(A-B)+\cos(A+B)=2\cos A\cos B\)
\(= \cos(\ln x)\cos(\ln y)-\cos(\ln x)\cos(\ln y)\)
\(=0\)

উদাহরণ \(7.\) \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) এবং \(g(x)=2x-3\) দুইটি ফাংশন।
\((i)\) \(h(x)=3x^2-12x+19\)-এর ক্ষুদ্রতম মাণ নির্ণয় কর।
\((ii)\) দেখাও যে, \(fog\ne gof\).
\((iii)\) \(f:A\rightarrow \mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) শর্ত সাপেক্ষে সম্ভব হলে \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(7. (i)\)
দেওয়া আছে,
\(h(x)=3x^2-12x+19\)
\(=3(x^2-4x)+19\)
\(=3(x^2-4x+4-4)+19\)
\(=3(x^2-4x+4)-12+19\)
\(=3(x-2)^2+7\)
এখন,
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \((x-2)^2\geq 0\)
কাজেই \(h(x)\)-এর মাণ ক্ষদ্রতম হবে যখন \((x-2)^2=0\) হবে।
\(\therefore h(x)\)-এর ক্ষদ্রতম মাণ \(=3.0+7\)
\(=0+7\)
\(=7\)
উদাহরণ \(7. (ii)\)
\(fog=fog(x)\)
\(=f(g(x))\)
\(=\frac{g(x)-3}{2g(x)+1}\) | \(\because f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(=\frac{2x-3-3}{2(2x-3)+1}\) | \(\because g(x)=2x-3\)
\(=\frac{2x-6}{4x-12+1}\)
\(=\frac{2x-6}{4x-11}\)
আবার,
\(gof=gof(x)\)
\(=g(f(x))\)
\(=2f(x)-3\) | \(\because g(x)=2x-3\)
\(=2\frac{x-3}{2x+1}-3\) | \(\because f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(=\frac{2x-6}{2x+1}-3\)
\(=\frac{2x-6-6x-3}{2x+1}\)
\(=\frac{-4x-9}{2x+1}\)
\(\therefore fog\ne gof\)
(showed)
উদাহরণ \(7. (iii)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
এবং
\(f:A\rightarrow \mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
ধরি,
\(y=f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(\Rightarrow f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
এখন,
\(2x+1=0\) হলে, \(x=-\frac{1}{2}\)
সে ক্ষেত্রে,
\(f(x)=\frac{-\frac{1}{2}-3}{0}=\infty\) যা অসম্ভব।
\(\therefore D_f=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}\)
আবার,
\(f(x)=y\)
\(\therefore x=f^{-1}(y)\)
আবার,
\(y=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(\Rightarrow 2xy+y=x-3\)
\(\Rightarrow 2xy-x=-y-3\)
\(\Rightarrow -x(1-2y)=-(y+3)\)
\(\Rightarrow x(1-2y)=y+3\)
\(\Rightarrow x=\frac{y+3}{1-2y}\)
\(\therefore f^{-1}(y)=\frac{y+3}{1-2y} …….(1)\)
এখন,
\(1-2y=0\) হলে, \(y=\frac{1}{2}\)
সে ক্ষেত্রে,
\(f^{-1}(y)=\frac{\frac{1}{2}+3}{0}=\infty\) যা অসম্ভব।
\(\therefore R_f=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) যা শর্তে দেওয়া আছে।
ইহা স্পষ্ট যে \(f\) ফাংশনটি সার্বিক।
আবার,
\(a\ne b\) হলে।
\(f(a)=\frac{a-3}{2a+1}\)
\(f(b)=\frac{b-3}{2b+1}\)
\(\therefore f(a)\ne f(b)\)
\(\therefore f\) ফাংশনটি এক-এক।
ফলে, ফাংশনটির বিপরীত ফাংশন নির্ণয় করা সম্ভব।
\((1)\) হতে \(f^{-1}(y)=\frac{y+3}{1-2y}\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-2x}\) | \(y\)-এর স্থানে \(x\) বসিয়ে।

উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3\) দ্বারা বর্ণিত \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি এক-এক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে \(f(x)=x^3\)
ধরি,
\(f(x)=x^3 ……(1)\)
\(a,b\in D_f \) ( ডোমেন )
\(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক এর জন্য \(f(a)\ne f(b)\) হবে যদি এবং কেবল যদি \(a\ne b\) হয়।
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a^3 ……(2)\)
\(f(b)=b^3 ……(3)\)
ফাংশনটি এক-এক এর জন্য \(f(a)\ne f(b)\)
\(\Rightarrow a^3\ne b^3\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\therefore a\ne b\)
\(\therefore \) ফাংশনটি এক-এক।

উদাহরণ \(9.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক নয়।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে \(f(x)=x^2\)
ধরি,
\(f(x)=x^2 ……(1)\)
\(a,b\in D_f \) ( ডোমেন )
\(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক এর জন্য \(f(a)=f(b)\) হবে যদি এবং কেবল যদি \(a=b\) হয়।
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a^2 ……(2)\)
\(f(b)=b^2 ……(3)\)
ফাংশনটি এক-এক এর জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(\Rightarrow a^2=b^2\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\therefore a=\pm b\)
\(\therefore \) ফাংশনটি এক-এক নয়।

উদাহরণ \(10.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি সার্বিক নয়।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে \(f(x)=x^2\)
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটিতে কেবল মাত্র শুন্য এবং ধনাত্মক সংখ্যাসমুহই প্রতিচ্ছবি হিসাবে পাওয়া যায়। কেননা কোনো ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গ ঋনাত্মক হতে পারে না।
\(\therefore \) ফাংশনটির রেঞ্জ, \(D_f=[0, \infty )\subset \mathbb{R}\) ।
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক নয়।

উদাহরণ \(11.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি সার্বিক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে \(f(x)=x^3\)
যেহেতু, \(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য একটি মাত্র বাস্তব ঘনমূল রয়েছে।
\(\therefore \) ফাংশনটির রেঞ্জ, \(R_f=\mathbb{R}=\)কো-ডোমেন ।
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক।

উদাহরণ \(12.\) নিচের চিত্রে \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\) দেখানো হয়েছে।
hyperbola
\((i)\) সংজ্ঞায়িত ফাংশন \(fog:A\rightarrow C\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(f, g\)এবং \(gof\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

চিত্রে দেখানো হয়েছে,hyperbola
\(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\)
উদাহরণ \(12. (i)\)
\(gof(u)=g(f(u))=g(y)=t\)
\(gof(v)=g(f(v))=g(x)=s\)
\(gof(w)=g(f(w))=g(y)=t\)
উদাহরণ \(12. (ii)\)
\(f\)-এর রেঞ্জ \(=\{x, y\}\)
\(g\)-এর রেঞ্জ \(=\{r, s, t\}\)
\(gof\)-এর রেঞ্জ \(=\{s, t\}\)

উদাহরণ \(13.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=2x+1\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ g(x)=x^2-2\) দুইটি ফাংশন।
\((i)\) \(gof\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(fog\) নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=2x+1\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ g(x)=x^2-2\) দুইটি ফাংশন।
উদাহরণ \(13. (i)\)
\(gof=gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=(f(x))^2-2\) | \(\because g(x)=x^2-2\)
\(=(2x+1)^2-2\) | \(\because f(x)=2x+1\)
\(=4x^2+4x+1-2\)
\(=4x^2+4x-1\)
উদাহরণ \(13. (ii)\)
\(fog=fog(x)=f(g(x))\)
\(\Rightarrow fog(x)=2g(x)+1\) | \(\because f(x)=2x+1\)
\(=2(x^2-2)+1\) | \(\because g(x)=x^2-2\)
\(=2x^2-4+1\)
\(=2x^2-3\)

উদাহরণ \(14.\) বাস্তব সংখ্যার সেট \(\mathbb{R}\)-এর উপর বর্ণিত \(f\) এবং \(g\) দুইটি ফাংশন যথাক্রমে \(f(x)=x^2+2x-3\) এবং \(g(x)=3x-4\) ।
\((i)\) \(gof\) এবং \(fog\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(gof(2)\) এবং \(fog(2)\) নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(R\)-এর উপর বর্ণিত \(f(x)=x^2+2x-3\) এবং \(g(x)=3x-4\) দুইটি ফাংশন।
উদাহরণ \(14. (i)\)
\(gof=gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=3f(x)-4\) | \(\because g(x)=3x-4\)
\(=3(x^2+2x-3)-4\) | \(\because f(x)=x^2+2x-3\)
\(=3x^2+6x-9-4\)
\(=3x^2+6x-13\)
আবার,
\(fog=fog(x)=f(g(x))\)
\(\Rightarrow fog(x)=(g(x))^2+2g(x)-3\) | \(\because f(x)=x^2+2x-3\)
\(=(3x-4)^2+2(3x-4)-3\) | \(\because g(x)=3x-4\)
\(=9x^2-24x+16+6x-8-3\)
\(=9x^2-18x+5\)
উদাহরণ \(14. (ii)\)
\((1)\) হতে পাই,
\(gof=gof(x)=3x^2+6x-13 \)
\(\Rightarrow gof(2)=3.2^2+6.2-13 \)
\(=3.4+12-13 \)
\(=12+12-13 \)
\(=24-13 \)
\(=11 \)
আবার,
\((1)\) হতে পাই,
\(fog=fog(x)=9x^2-18x+5 \)
\(\Rightarrow fog(2)=9.2^2-18.2+5 \)
\(=9.4-36+5 \)
\(=36-36+5 \)
\(=5 \)

উদাহরণ \(15.\) \(f(x)=\sqrt{x}\) এবং \(g(x)=x^2-1\) হলে \(gof(x)\) এবং \(fog(x)\) নির্ণয় কর এবং প্রত্যেক ক্ষেত্রে সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৯; সিঃ২০০৫]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x}\) এবং \(g(x)=x^2-1\)
\(gof=gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=(f(x))^2-1\) | \(\because g(x)=x^2-1\)
\(=(\sqrt{x})^2-1\) | \(\because f(x)=\sqrt{x}\)
\(=x-1\)
এখানে স্পষ্ট যে \(f(x)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=[0, \infty)\)
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেনের জন্য \(gof(x)\) সংজ্ঞায়িত।
সুতরাং \(gof(x)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_gof=[0, \infty)\)
\(gof(x)\)-এর ডোমেনের সকল মানের জন্য \(gof(x)\geq -1\)
এবং \(gof(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_gof=[-1, \infty),\) যা \(g(x)\)-এর রেঞ্জের অন্তর্ভুক্ত।
আবার,
\(fog=fog(x)=f(g(x))\)
\(\Rightarrow fog(x)=\sqrt{g(x)}\) | \(\because f(x)=\sqrt{x}\)
\(=\sqrt{x^2-1}\) | \(\because g(x)=x^2-1\)
এখানে \(g(x)\) ফাংশনটি \(f(x)\)-এর সাথে সংযোজিত হয়েছে।
অতএব, \(g(x)\)-এর ডোমেন \(D_g=R\) যা \(fog(x)\)-এর ডোমেন নয়।
কারণ \(1>x>-1\) ব্যবধির যে কোনো বাস্তব মানের জন্য \(fog(x)\) ফাংশনটির মাণ কাল্পনিক।
এক্ষেত্রে, \(g(x)\)-এর ডোমেনের মধ্যে এমন বাস্তব মাণ নির্ণয় করতে হবে যার জন্য \(fog(x)\) সংজ্ঞায়িত হয়।
এখন,
\(fog(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x^2-1\geq 0\)
\(\Rightarrow x^2\geq 1\)
\(\Rightarrow |x|^2\geq 1\)
\(\Rightarrow |x|\geq 1\)
\(\therefore x\geq 1\) অথবা \(x\leq -1\)
\(\therefore fog(x)\)-এর ডোমেন \(D_fog=(-\infty, 1]\cup [1, \infty)\) যা \(g(x)\) ফাংশনটির ডোমেনের অন্তর্ভুক্ত।
আবার,
\(fog(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_fog=[0, \infty)\)

উদাহরণ \(16.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=2x-3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
[ কুয়েট ২০১৩-২০১৪; চঃ২০১৩,২০১০; রাঃ২০১১ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে \(f(x)=2x-3\)
ধরি,
\(f(x)=2x-3 ……(1)\)
\(a,b\in D_f \) ( ডোমেন )
\(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক এর জন্য \(f(a)=f(b)\) হবে যদি এবং কেবল যদি \(a=b\) হয়।
\((1)\) হতে,
\(f(a)=2a-3 ……(2)\)
\(f(b)=2b-3 ……(3)\)
ফাংশনটি এক-এক এর জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(\Rightarrow 2a-3=2b-3\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 2a=2b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore \) ফাংশনটি এক-এক।
আবার,
যেহেতু \(x\)-এর সকল মানের জন্য \(f(x)\)-এর বাস্তব মাণ পাওয়া যায়।
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_f=R=\) কো-ডোমেন।
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক।
আবার,
ধরি,
\(f(x)\) ফাংশনের জন্য \(x\)-এর প্রতিচ্ছবি \(y\)।
\(\therefore y=f(x)=2x-3\)
\(\Rightarrow y=2x-3; f(x)=y\)
\(\Rightarrow 2x-3=y; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow 2x=y+3\)
\(\Rightarrow x=\frac{y+3}{2}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y+3}{2}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}\) | \(y\)-এর স্থানে \(x\) বসিয়ে।
ইহাই নির্ণেয় বিপরীত ফাংশন।

উদাহরণ \(17.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^3\) সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত। যদি ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক হয় তবে \(f(x)\)-এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে \(f(x)=x^3\)
ধরি,
\(f(x)\) ফাংশনের জন্য \(x\)-এর প্রতিচ্ছবি \(y\)।
\(\therefore y=f(x)=x^3\)
\(\Rightarrow y=x^3; f(x)=y\)
\(\Rightarrow x^3=y; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\sqrt[3]{y}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\) | \(y\)-এর স্থানে \(x\) বসিয়ে।
ইহাই নির্ণেয় বিপরীত ফাংশন।

উদাহরণ \(18.\) নিচের চিত্রে \(f:A\rightarrow B\) দেখানো হয়েছে। উহা হতে \(f^{-1}:B\rightarrow A\) নির্ণয় কর।
hyperbola

সমাধানঃ

চিত্রে দেওয়া আছে,hyperbola
\(f:A\rightarrow B\)
এখানে,
\(f(x)\) ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক।
অতএব, \(f^{-1}\) বিদ্যমান।
পাশের চিত্রে \(f^{-1}\) দেখানো হলো।

উদাহরণ \(19.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f^{-1}(5)\) কে সেট আকারে প্রকাশ কর।
[ চঃ২০০০]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে \(f(x)=x^2+1\)
ধরি,
\(x=f^{-1}(5)\)
\(\Rightarrow f(x)=5\)
\(\Rightarrow x^2+1=5\) | \(\because f(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow x^2=5-1\)
\(\Rightarrow x^2=4\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{4}\)
\(\Rightarrow x=\pm 2\)
\(\Rightarrow f^{-1}(5)=\pm 2\) | \(\because x=f^{-1}(5)\)
\(\therefore f^{-1}(5)=\{-2, 2\}\)

উদাহরণ \(20.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f^{-1}(36)\) \(f^{-1}(16)\) কে সেট আকারে প্রকাশ কর।
[ বঃ২০০৬; কুঃ২০০৫; ঢাঃ,চঃ,যঃ ২০০৪]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে \(f(x)=x^2\)
ধরি,
\(x=f^{-1}(36)\)
\(\Rightarrow f(x)=36\)
\(\Rightarrow x^2=36\) | \(\because f(x)=x^2\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{36}\)
\(\Rightarrow x=\pm 6\)
\(\Rightarrow f^{-1}(36)=\pm 6\) | \(\because x=f^{-1}(36)\)
\(\therefore f^{-1}(36)=\{-6, 6\}\)
আবার,
ধরি,
\(x=f^{-1}(16)\)
\(\Rightarrow f(x)=16\)
\(\Rightarrow x^2=16\) | \(\because f(x)=x^2\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{16}\)
\(\Rightarrow x=\pm 4\)
\(\Rightarrow f^{-1}(16)=\pm 4\) | \(\because x=f^{-1}(16)\)
\(\therefore f^{-1}(16)=\{-4, 4\}\)

উদাহরণ \(21.\) \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট এবং \(A=\{-3, -1, 0, 1, 3\}; \ f:A\rightarrow \mathbb{R} \) ফাংশনটি \(f(x)=x^2+x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০০]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A=\{-3, -1, 0, 1, 3\}; \ f:A\rightarrow \mathbb{R} \) যেখানে \(f(x)=x^2+x+1\)
ধরি,
\(f(x)=x^2+x+1 ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(x=-3\) হলে, \(f(-3)=(-3)^2-3+1\)
\(=9-3+1\)
\(=10-3\)
\(=7\)
\(x=-1\) হলে, \(f(-1)=(-1)^2-1+1\)
\(=1-1+1\)
\(=1\)
\(x=0\) হলে, \(f(0)=(0)^2+0+1\)
\(=0+0+1\)
\(=1\)
\(x=1\) হলে, \(f(1)=(1)^2+1+1\)
\(=1+1+1\)
\(=3\)
\(x=3\) হলে, \(f(3)=(3)^2+3+1\)
\(=9+3+1\)
\(=13\)
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(=\{1, 3, 7, 13\}\)

উদাহরণ \(22.\) যদি \(A, B\subseteq \mathbb{R}; \ B=\mathbb{R}-\{1\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) কে \(f(x)=\frac{x-2}{x-3}\) সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত । ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৪; ঢাঃ ২০০৯; সিঃ ২০০৭]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A, B\subseteq \mathbb{R}; \ B=\mathbb{R}-\{1\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) যেখানে \(f(x)=\frac{x-2}{x-3}\)
ধরি,
\(y=f(x)=\frac{x-2}{x-3} ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(x)\)-এর বাস্তব মাণ পাওয়া যাবে যদি \(x-3\ne 0\) হয়
বা, \(x\ne 3\)
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{3\}\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=\frac{x-2}{x-3}\)
\(\Rightarrow x-2=xy-3y\)
\(\Rightarrow x-xy=2-3y\)
\(\Rightarrow x(1-y)=2-3y\)
\(\therefore x=\frac{2-3y}{1-y}\)
এখানে,
\(x\)-এর বাস্তব মাণ পাওয়া যাবে যদি \(1-y\ne 0\) হয়।
বা, \(y\ne 1\)
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{1\}\)
আবার,
\(a,b\in D_f \) ( ডোমেন )
\(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক এর জন্য \(f(a)=f(b)\) হবে যদি এবং কেবল যদি \(a=b\) হয়।
\((1)\) হতে,
\(f(a)=\frac{a-2}{a-3} ……(2)\)
\(f(b)=\frac{b-2}{b-3} ……(3)\)
ফাংশনটি এক-এক এর জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(\Rightarrow \frac{a-2}{a-3}=\frac{b-2}{b-3}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow \frac{a-2+a-3}{a-2-a+3}=\frac{b-2+b-3}{b-2-b+3}\) | যোজন ও বিয়োজন করে।
\(\Rightarrow \frac{2a-5}{1}=\frac{2b-5}{1}\)
\(\Rightarrow 2a-5=2b-5\)
\(\Rightarrow 2a=2b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore \) ফাংশনটি এক-এক।
আবার,
যেহেতু ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{1\}=B\) কো-ডোমেন।
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক।
\((1)\) হতে,
\(y=\frac{x-2}{x-3}; f(x)=y\)
\(\Rightarrow x-2=xy-3y; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x-xy=2-3y\)
\(\Rightarrow x(1-y)=2-3y\)
\(\Rightarrow x=\frac{2-3y}{1-y}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{2-3y}{1-y}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{2-3x}{1-x}\) | \(y\)-এর স্থানে \(x\) বসিয়ে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{3x-2}{x-1}\)
ইহাই নির্ণেয় বিপরীত ফাংশন।

1 2 3 4 5