অন্বয় ও ফাংশন-১

অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.1.(i)\) \(A=\{1, 2, 3, 4\}\) সেট থেকে \(B=\{1, 3, 5\}\) সেটে বর্ণিত একটি অন্বয় \(S\), যেখানে, \(S=\{(x, y):x\in A, y\in B\) এবং \(y>x\}\); \(S\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(S=\{(1, 3),(1, 5),(2, 3),(2, 5),(3, 5),(4, 5)\}\)

\(Q.1.(ii)\) \(\mathbb{N}\) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট এবং \(S=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, 2x+y=10\}\) হলে, অন্বয় \(S\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। \(S\)-এর ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S=\{(1, 8),(2, 6),(3, 4),(4, 2)\}; D_s=\{1, 2, 3, 4\}; R_s=\{2, 4, 6, 8\}\)

\(Q.1.(iii)\) \(\mathbb{N}\) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট এবং \(F=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, x+3y=12\}\) হলে, অন্বয় \(F\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। \(F\)-এর ডোমেন, রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_F=\{3, 6, 9\}; R_F=\{1, 2, 3\}; F^{-1}=\{(1, 9),(2, 6),(3, 3)\}; \)

\(Q.1.(iv)\) \(A=[-4, 4], B=[0, 4], C=[-2, 0], D=[-4, 0]\) ব্যবধিসমূহে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলির কোনটি ফাংশন এবং কোনটি ফাংশন নয় কারণসহ উল্লেখ কর।
\(Q.1.(iv)(a)\) \(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(b)\) \(F_2=\{(x, y):x\in B, y\in A, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(c)\) \(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in B, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(d)\) \(F_4=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(e)\) \(F_5=\{(x, y):x\in A, y\in D, x^2+y^2=16\}\)
উত্তরঃ \((a)\) ফাংশন; \((b)\) ফাংশন নয়; \((c)\) ফাংশন; \((d)\) ফাংশন নয়; \((e)\) ফাংশন;

\(Q.1.(v)\) \(A=[-4, 4], B=[0, 4], C=[-4, 0]\) ব্যবধিসমূহে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলি ফাংশন কিনা লেখচিত্র অঙ্কন করে নির্ণয় কর।
\(Q.1.(v)(a)\) \(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(b)\) \(F_2=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(c)\) \(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(d)\) \(F_4=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
উত্তরঃ \((a)\) ফাংশন; \((b)\) ফাংশন ; \((c)\) ফাংশন নয়; \((d)\) ফাংশন নয়।

\(Q.1.(vi)\) \(F=\{(x, y): x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}, \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\) অন্বয়টির লেখচিত্র অঙ্কন কর। অন্বয়টির ডোমেন, রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_F=\{x: x\in \mathbb{R} -3\le x\le 3\}; R_F=\{x: x\in \mathbb{R} -2\le x\le 2\}\)

\(Q.1.(vii)\) \(T=[-3, 5]\) এবং \(f:T\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=2x^2-7\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। \(f(2), f(6)\) এবং \(f(t-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(2)=1\); \(f(6)=\)সংজ্ঞায়িত নয় কারণ \(6\notin [-3, 5]\); \(f(t-2)=2t^2-8t+1, -1\le t \le 7\)

\(Q.1.(viii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2-3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(5), f(0)\) এবং \(f(-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(5)=10; f(0)=2; f(-2)=0\)
[ দিঃ২০১১; বঃ ২০১০, ২০০৪; কুঃ ২০০৮, ২০০৪; চঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৩ ]

\(Q.1.(ix)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2+3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(7), f(0), f(5)\) এবং \(f(-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(7)=70; f(0)=2; f(5)=40; f(-2)=0\)
[ রাঃ২০১২; সিঃ ২০১১ ]

\(Q.1.(x)\) নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(x) (a)\) \(f(x)=x^2+1\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(=[1, \infty)\).
[ কুঃ ২০০৭ ]

\(Q.1.(x) (b)\) \(g(x)=\frac{1}{2x-3}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{0\}\).
[ চঃ ২০১৭ ]

\(Q.1.(x) (c)\) \(f(x)=\frac{x-3}{3x+1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}\).
[ সিঃ ২০১১ ]

\(Q.1.(x) (d)\) \(f(x)=\frac{x}{x-1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{1\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{1\}\).
[ যঃ ২০১০ ]

\(Q.1.(x) (e)\) \(f(x)=x^3\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}\).
[ কুঃ ২০০৭ ]

\(Q.1.(x) (f)\) \(f(x)=\sqrt{x+4}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge -4\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\).

\(Q.1.(x) (g)\) \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=[ -2, 2]\), রেঞ্জ \(=[ 0, 2]\).
[ চঃ ২০১১ ]

\(Q.1.(x) (h)\) \(f(x)=2\cos x\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, -2\le x\le 2\}=[-2, 2]\).

\(Q.1.(x) (i)\) \(f(x)=x+3\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\).

\(Q.1.(x) (j)\) \(f(x)=\frac{1}{x-5}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{5\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{0\}\).

\(Q.1.(x) (k)\) \(f(x)=\frac{1}{x^2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x>0\}=(0, \infty)\).

\(Q.1.(x) (l)\) \(f(x)=-x^2+1\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x\le 1\}=(-\infty, 1]\).

\(Q.1.(x) (m)\) \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{4\}\).

\(Q.1.(x) (n)\) \(f(x)=\frac{x^2-2}{x-\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{\sqrt{2}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{2\sqrt{2}\}\).

\(Q.1.(x) (o)\) \(f(x)=\frac{x}{x-2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{1\}\).

\(Q.1.(x) (p)\) \(f(x)=\sqrt{x-1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[1, \infty)\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\).

\(Q.1.(x) (q)\) \(f(x)=-\sqrt{x+3}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[-3, \infty)\), রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, 0]\).

\(Q.1.(x) (r)\) \(f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[2, \infty)\cup (-\infty, 1]\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\).

\(Q.1.(x) (s)\) \(f(x)=\sin x\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\).

\(Q.1.(x) (t)\) \(f(x)=\frac{x}{|x|}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{-1, 1\}\).

\(Q.1.(xi)\) \(A=\{-2, -1, 0, 1, 2, 5\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\{1, 2, 5, 26\}\)
[ মাঃ ২০১১ ]

\(Q.1.(xii)\) \(A=\{-4, -2, 0, 2, 4\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+2x+3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\{3, 11, 27\}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(W=\{-1, 0, 2, 5, 11\}\) এবং \(f:W\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2-x-2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(R_f=\{0, -2, 18, 108\}\)

\(Q.1.(xiv)\) \(A=\{a, b, c, d\}\) থেকে \(B=\{1, 2, 3\}\) সেটে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলির কোনটি ফাংশন এবং কোনটি ফাংশন নয় কারণসহ উল্লেখ কর।
\(F=\{(a, 1), (b, 2), (d, 3), (c, 1)\}\), \(G=\{(a, 1), (b, 3), (d, 2)\}\), \(H=\{(a, 1), (a, 3), (b, 2), (c, 3), (d, 2)\}\) \(K=\{(a, 1), (b, 1), (c, 1),(d, 1)\}\)
উত্তরঃ \( F\) একটি ফাংশন। \(G\) ফাংশন নয়। \(H\) ফাংশন নয়। \( K\) একটি ফাংশন।

\(Q.1.(xv)\) \(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\) সেটদ্বয় দ্বারা বর্ণিত \(f_{1}\), \(f_{2}\) ও \(f_{3}\) তিনটি অন্বয় নিচে দেওয়া হলো। অন্বয় তিনটি ফাংশন কিনা তা যাচাই কর।
\(f_{1}=\{(x, y): x\in A, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\), \(f_{2}=\{(x, y): x\in B, y\in A\) এবং \(x^2+y^2=9\}\) ও \(f_{3}=\{(x, y): x\in B, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
উত্তরঃ \( f_{1}\) একটি ফাংশন । \( f_{2}\) ফাংশন নয়। \( f_{3}\) একটি ফাংশন ।

\(Q.1.(xvi)\) \(f(x)=2x^2-1, 4\ge x> 0\) এবং \(x\in \mathbb{N} \) (যেখানে \(\mathbb{N}\) সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট ) হলে, \(x\)-এর সকল মানের জন্য \(f(x)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( f(x)=1, 7, 17, 31\)

\(Q.1.(xvii)\) \(f(x)=3x+2, x\in \mathbb{R} \) ফাংশনের জন্য \(f(0), f(-1), f(2), f(x^2), f(2x)\) এবং \(f(x-1)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=2, f(-1)=-1, f(2)=8, f(x^2)=3x^2+2, f(2x)=6x+2, f(x-1)=3x-1 \)

\(Q.1.(xviii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2-3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(0), f(-1), f(2), f(4), f(-4), f(5), f(-2), f(-3)\) এবং \(f(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=2; f(-1)=1; f(2)=-2, f(4)=4, f(-4)=-2, f(5)=10, f(-2)=0, f(-3)=-1, f(3)=0 \)
[ ঢাঃ ২০০৩; কুঃ ২০০৮,২০০৪;চঃ২০০৬; বঃ ২০০৮,২০০৪; রাঃ২০১২; দিঃ ২০১১ ]

\(Q.1.(xix)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}-2x+1 \ যখন \ 0 > x\\1 \ যখন \ 1 > x\ge 0\\2x+1 \ যখন \ x\ge 1 \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(f(0), f(1), f(-1), f(\frac{1}{2}), f(-2), f(-3), f(2)\) এবং \(f(3)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=1; f(-1)=3; f\left(\frac{1}{2}\right)=1, f(-2)=5, f(-3)=7, f(2)=5, f(3)=7\)

\(Q.1.(xx)\) \(f:R\rightarrow R\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}3x-1 \ ,\ x > 3\\x^2-2 \ ,\ 2 \leq x\leq 3\\2x+3 \ , \ -2>x \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(f(2), f(4), f(-1)\) এবং \(f(-3)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(2)=2; f(4)=11; f(-1)=\) অসংজ্ঞায়িত , \( f(-3)=-3\)
[ রাঃ২০১৫,চঃ;ঢাঃ ২০১২;কুঃ ২০১৩]

\(Q.1.(xxi)\) \(A=\{2, 4, 6\}\) এবং \(f:A\rightarrow A\) ফাংশনটি \(f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(R_{f}=\{2, 4, 6\}\)

\(Q.1.(xxii)\) \(A=\{x: x\in \mathbb{R}, 6\ge x > 1\) এবং \(x, 2\) দ্বারা বিভাজ্য \(\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=4x^2-1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=\{2, 4, 6\}, R_{f}=\{15, 63, 143\}\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(A=\{-1, 0, 1\}\), \(B=\{1, 2, 3, 4, 5\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) ফাংশনটি \(f(x)=x+2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=\{-1, 0, 1\}, R_{f}=\{1, 2, 3\}\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(A=[0, 2]\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। যেখানে, \(\mathbb{R}\) সকল বাস্তব সংখ্যর সেট। \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=[0, 2], R_{f}=R_{f}=[1, 3]\)

\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, নিম্নলিখিত প্রত্যেকটি ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক।
\((a)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((b)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ax+b, a\ne 0\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((c)\) \(f:[0, \infty)\rightarrow [1, \infty), f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((d)\) \(f:[0, 2]\rightarrow [0, 2], f(x)=\sqrt{4-x^2}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((e)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।

\(Q.1.(xxvi)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত \(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\) (\(\mathbb{N}\) সকল স্বাভাবিক সখ্যার সেট। ) ফাংশনটি এক-এক কিন্তু সার্বিক নয়।

\(Q.1.(xxvii)\) দেখাও যে, \(f(x)=|x|\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত \(f:\mathbb{R}\rightarrow [0, \infty)\) (\(\mathbb{R}\) সকল বাস্তব সখ্যার সেট। ) ফাংশনটি এক-এক নয় কিন্তু সার্বিক।

\(Q.1.(xxviii)\) \(f(x)=x-1\) দ্বারা বর্ণিত \(f:\{1, 2, 3, 4\}\rightarrow \{0, 1, 2, 3\}\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন।

অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.1\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.1.(i)\) \(A=\{1, 2, 3, 4\}\) সেট থেকে \(B=\{1, 3, 5\}\) সেটে বর্ণিত একটি অন্বয় \(S\), যেখানে, \(S=\{(x, y):x\in A, y\in B\) এবং \(y>x\}\); \(S\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(S=\{(1, 3),(1, 5),(2, 3),(2, 5),(3, 5),(4, 5)\}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A=\{1, 2, 3, 4\}\)
\(B=\{1, 3, 5\}\)
\(A\times B=\{1, 2, 3, 4\}\times \{1, 3, 5\}\)
\(=\{(1, 1),(1, 3),(1, 5),(2, 1),(2, 3),(2, 5),(3, 4),(3, 3),(3, 5),(4, 1),(4, 3),(4, 5)\}\)
যেহেতু,
\(S=\{(x, y):x\in A, y\in B\) এবং \(y>x\}\)
\(\therefore S=\{(1, 3),(1, 5),(2, 3),(2, 5),(3, 5),(4, 5)\}\)

\(Q.1.(ii)\) \(\mathbb{N}\) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট এবং \(S=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, 2x+y=10\}\) হলে, অন্বয় \(S\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। \(S\)-এর ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S=\{(1, 8),(2, 6),(3, 4),(4, 2)\}; D_s=\{1, 2, 3, 4\}; R_s=\{2, 4, 6, 8\}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(\mathbb{N}=\{1, 2, 3, 4 …….\}\)
\(S=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, 2x+y=10\}\)
\(S\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(2x+y=10\)
\(\Rightarrow y=10-2x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন মাণের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণ নির্ণয় করে নিচের ছক তৈরী করি।

\(x\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
\(y\) \(8\) \(6\) \(4\) \(2\) \(0\)

যেহেতু, \(0 \notin \mathbb{N}\)
\(\therefore (5, 0) \notin S\)
এবং
\(S=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, 2x+y=10\}\)
\(\therefore S=\{(1, 8),(2, 6),(3, 4),(4, 2)\}\)
\(D_s=\{1, 2, 3, 4\}\)
\(R_s=\{2, 4, 6, 8\}\)

\(Q.1.(iii)\) \(\mathbb{N}\) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট এবং \(F=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, x+3y=12\}\) হলে, অন্বয় \(F\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। \(F\)-এর ডোমেন, রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_F=\{3, 6, 9\}; R_F=\{1, 2, 3\}; F^{-1}=\{(1, 9),(2, 6),(3, 3)\}; \)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(F=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, x+3y=12\}\)
\(F\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x+3y=12\)
\(\Rightarrow 3y=12-x\)
\(\Rightarrow y=\frac{12-x}{3}\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন মাণের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণ নির্ণয় করে নিচের ছক তৈরী করি।

\(x\) \(0\) \(3\) \(6\) \(9\) \(12\)
\(y\) \(4\) \(3\) \(2\) \(1\) \(0\)

যেহেতু, \(0 \notin \mathbb{N}\)
\(\therefore (0, 4) \notin F\) এবং \((12, 0)\notin F\)
এবং
\(F=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, x+3y=12\}\)
\(\therefore F=\{(3, 3),(6, 2),(9, 1)\}\)
\(D_s=\{3, 6, 9\}\)
\(R_s=\{1, 2, 3\}\)
আবার,
\(F^{-1}=\{(3, 3),(2, 6),(1, 9)\}\)

\(Q.1.(iv)\) \(A=[-4, 4], B=[0, 4], C=[-2, 0], D=[-4, 0]\) ব্যবধিসমূহে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলির কোনটি ফাংশন এবং কোনটি ফাংশন নয় কারণসহ উল্লেখ কর।
\(Q.1.(iv)(a)\) \(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(b)\) \(F_2=\{(x, y):x\in B, y\in A, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(c)\) \(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in B, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(d)\) \(F_4=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(e)\) \(F_5=\{(x, y):x\in A, y\in D, x^2+y^2=16\}\)
উত্তরঃ \((a)\) ফাংশন; \((b)\) ফাংশন নয়; \((c)\) ফাংশন; \((d)\) ফাংশন নয়; \((e)\) ফাংশন;

সমাধানঃ

\(Q.1.(iv)(a)\)
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], B=[0, 4]\)
\(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+y^2=16\}\)
\(F_1\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+y^2=16\)
\(\Rightarrow y^2=16-x^2\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{16-x^2} \because y\in B\)
যেহেতু সকল \(x\in A\)-এর জন্য \([0, 4] \) ব্যবধিতে \(y\)-এর একটি করে মাণ পাওয়া যায়।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_1\) অন্বয়টি ফাংশন।

\(Q.1.(iv)(b)\)
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], B=[0, 4]\)
\(F_2=\{(x, y):x\in B, y\in A, x^2+y^2=16\}\)
\(F_2\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+y^2=16\)
\(\Rightarrow y^2=16-x^2\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{16-x^2} \because y\in A\)
যেহেতু সকল \(x\in B\)-এর জন্য \([-4, 4] \) ব্যবধিতে \(y\)-এর একাধিক মাণ পাওয়া যায়।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_2\) অন্বয়টি ফাংশন নয়।

\(Q.1.(iv)(c)\)
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], B=[0, 4]\)
\(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in B, x^2+y^2=16\}\)
\(F_3\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+y^2=16\)
\(\Rightarrow y^2=16-x^2\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{16-x^2} \because y\in B\)
যেহেতু সকল \(x\in B\)-এর জন্য \([0, 4] \) ব্যবধিতে \(y\)-এর একটি করে মাণ পাওয়া যায়।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_3\) অন্বয়টি ফাংশন।

\(Q.1.(iv)(d)\)
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], C=[-2, 0]\)
\(F_4=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+y^2=16\}\)
\(F_4\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+y^2=16\)
\(\Rightarrow y^2=16-x^2\)
\(\Rightarrow y=-\sqrt{16-x^2} \because y\in C\)
যেহেতু সকল \(x\in A\)-এর জন্য \(y\)-এর মাণ \([-2, 0] \) ব্যবধির মধ্যে সংজ্ঞায়িত নয়।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_4\) অন্বয়টি ফাংশন নয়।

\(Q.1.(iv)(e)\)
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], D=[-4, 0]\)
\(F_5=\{(x, y):x\in A, y\in D, x^2+y^2=16\}\)
\(F_5\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+y^2=16\)
\(\Rightarrow y^2=16-x^2\)
\(\Rightarrow y=-\sqrt{16-x^2} \because y\in D\)
যেহেতু সকল \(x\in B\)-এর জন্য \([0, 4] \) ব্যবধিতে \(y\)-এর একটি করে মাণ পাওয়া যায়।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_5\) অন্বয়টি ফাংশন।

\(Q.1.(v)\) \(A=[-4, 4], B=[0, 4], C=[-4, 0]\) ব্যবধিসমূহে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলি ফাংশন কিনা লেখচিত্র অঙ্কন করে নির্ণয় কর।
\(Q.1.(v)(a)\) \(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(b)\) \(F_2=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(c)\) \(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in A, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(d)\) \(F_4=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
উত্তরঃ \((a)\) ফাংশন; \((b)\) ফাংশন ; \((c)\) ফাংশন নয়; \((d)\) ফাংশন নয়।

সমাধানঃ

\(Q.1.(v)(a)\)hyperbola
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], B=[0, 4]\)
\(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+4y^2=16\}\)
\(F_1\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+4y^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত।
প্রদত্ত শর্তে উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন করি।
যেহেতু \(\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রকে সর্বদা একটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_1\) অন্বয়টি ফাংশন।

\(Q.1.(v)(b)\)hyperbola
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], C=[-4, 0]\)
\(F_2=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(F_2\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+4y^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত।
প্রদত্ত শর্তে উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন করি।
যেহেতু \(\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রকে সর্বদা একটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_2\) অন্বয়টি ফাংশন।

\(Q.1.(v)(c)\)hyperbola
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], B=[0, 4]\)
\(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in A, x^2+4y^2=16\}\)
\(F_3\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+4y^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত।
প্রদত্ত শর্তে উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন করি।
যেহেতু \(\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রকে সর্বদা দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_3\) অন্বয়টি ফাংশন নয়।

\(Q.1.(v)(d)\)hyperbola
দেওয়া আছে,
\(B=[0, 4], C=[-4, 0]\)
\(F_4=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(F_4\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+4y^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত।
প্রদত্ত শর্তে উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন করি।
যেহেতু \(\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রকে সর্বদা দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_4\) অন্বয়টি ফাংশন নয়।

\(Q.1.(vi)\) \(F=\{(x, y): x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}, \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\) অন্বয়টির লেখচিত্র অঙ্কন কর। অন্বয়টির ডোমেন, রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_F=\{x: x\in \mathbb{R} -3\le x\le 3\}; R_F=\{x: x\in \mathbb{R} -2\le x\le 2\}\); \(F_{-1}=\{(y, x):x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}; \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, hyperbola
\(F=\{(x, y): x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}, \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\)
\(F\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\)
ইহা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ইহা \(X\) অক্ষকে \((\pm 3, 0)\) এবং \(Y\) অক্ষকে \((0, \pm 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}=1-\frac{y^2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}=\frac{4-y^2}{4}\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{9(4-y^2)}{4}\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{9(4-y^2)}{4}}\)
\(\therefore x=\pm \frac{3}{2}\sqrt{4-y^2} ……(1)\) যেখানে, \(-2\le y\le 2\).
আবার,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}=1-\frac{x^2}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}=\frac{9-x^2}{9}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4(9-x^2)}{9}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{4(9-x^2)}{9}}\)
\(\therefore x=\pm \frac{2}{3}\sqrt{9-x^2} ……(2)\) যেখানে, \(-3\le x\le 3\).
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণের লেখ অঙ্কনের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।

\(x\) \(-3\) \(3\) \(0\) \(0\) \(1\) \(1\) \(-1\) \(-1\) \(2\) \(2\) \(-2\) \(-2\)
\(y\) \(0\) \(0\) \(-2\) \(-2\) \(1.9\) \(-1.9\) \(1.9\) \(-1.9\) \(-1.5\) \(1.5\) \(1.5\) \(-1.5\)

ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি এক বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে বিন্দুগুলি স্থাপন করি। অতপর মুক্ত হস্তে যোগ করলে একটি উপবৃত্ত পাওয়া যায়।
লেখ হতে পাই।
\(D_F=\{x: x\in \mathbb{R} -3\le x\le 3\}\)
\(R_F=\{x: x\in \mathbb{R} -2\le x\le 2\}\)
\(F_{-1}=\{(y, x):x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}; \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\)

\(Q.1.(vii)\) \(T=[-3, 5]\) এবং \(f:T\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=2x^2-7\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। \(f(2), f(6)\) এবং \(f(t-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(2)=1\); \(f(6)=\)সংজ্ঞায়িত নয় কারণ \(6\notin [-3, 5]\); \(f(t-2)=2t^2-8t+1, -1\le t \le 7\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(T=[-3, 5]\)
\(f:T\rightarrow \mathbb{R}\)
\(f(x)=2x^2-7\)
\(\therefore f(2)=2.2^2-7\)
\(=2.4-7\)
\(=8-7\)
\(=1\)
আবার,
\(f(6)=\)সংজ্ঞায়িত নয় কারণ \(6\notin [-3, 5]\)
আবার,
\(f(t-2)=2(t-2)^2-7, -3\le t-2 \le 5\)
\(=2(t^2-4t+4)-7, -3+2\le t-2+2 \le 5+2\)
\(=2t^2-8t+8-7, -1\le t \le 7\)
\(=2t^2-8t+1, -1\le t \le 7\)

\(Q.1.(viii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2-3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(5), f(0)\) এবং \(f(-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(5)=10; f(0)=2; f(-2)=0\)
[ দিঃ২০১১; বঃ ২০১০, ২০০৪; কুঃ ২০০৮, ২০০৪; চঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৩ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
\(x=5, x\ge 2\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore f(5)=5^2-3.5\)
\(=25-15\)
\(=10\)
আবার,
\(x=0, 2 > x\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore f(0)=0+2\)
\(=2\)
আবার,
\(x=-2, 2 > x\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore f(-2)=-2+2\)
\(=0\)

\(Q.1.(ix)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2+3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(7), f(0), f(5)\) এবং \(f(-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(7)=70; f(0)=2; f(5)=40; f(-2)=0\)
[ রাঃ২০১২; সিঃ ২০১১ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
\(x=7, x\ge 2\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore f(7)=7^2+3.7\)
\(=49+21\)
\(=70\)
আবার,
\(x=0, 2 > x\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore f(0)=0+2\)
\(=2\)
আবার,
\(x=5, x\ge 2\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore f(5)=5^2+3.5\)
\(=25+15\)
\(=40\)
আবার,
\(x=-2, 2 > x\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore f(5)=-2+2\)
\(=0\)

\(Q.1.(x)\) নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করঃ

\(Q.1.(x) (a)\) \(f(x)=x^2+1\)
উত্তরঃ ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(=[1, \infty)\).
[ কুঃ ২০০৭ ]

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+1\)
এখানে,
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}\)
আবার,
যখন, \(x>0\) তখন \(f(x)>1\)
যখন, \(0>x\) তখন \(f(x)>1\)
যখন, \(x=0\) তখন \(f(x)=1\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ, \(R_f=[1, \infty)\)

\(Q.1.(x) (b)\) \(g(x)=\frac{1}{2x-3}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{0\}\).
[ চঃ ২০১৭ ]

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\frac{1}{2x-3}\)
এখানে,
\(g(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(2x-3\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 2x\ne 3\)
\(\therefore x\ne \frac{3}{2}\)
\(\therefore g\)-এর ডোমেন, \(D_g=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{1}{2x-3}\)
\(\Rightarrow 2xy-3y=1\)
\(\Rightarrow 2xy=1+3y\)
\(\therefore x=\frac{1+3y}{2y}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(2y\ne 0\) হয়।
\(\therefore y\ne 0\)
\(\therefore g\)-এর রেঞ্জ, \(R_g=\mathbb{R}-\{0\}\)

\(Q.1.(x) (c)\) \(f(x)=\frac{x-3}{3x+1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}\).
[ সিঃ ২০১১ ]

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{x-3}{3x+1}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(3x+1\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 3x\ne -1\)
\(\therefore x\ne -\frac{1}{3}\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{x-3}{3x+1}\)
\(\Rightarrow 3xy+y=x-3\)
\(\Rightarrow 3xy-x=-y-3\)
\(\Rightarrow -x(1-3y)=-(y+3)\)
\(\Rightarrow x(1-3y)=y+3\)
\(\therefore x=\frac{y+3}{1-3y}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(1-3y\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow -3y\ne -1\)
\(\Rightarrow 3y\ne 1\)
\(\therefore y\ne \frac{1}{3}\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ, \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}\)

\(Q.1.(x) (d)\) \(f(x)=\frac{x}{x-1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{1\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{1\}\).
[ যঃ ২০১০ ]

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (d)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{x}{x-1}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(x-1\ne 0\) হয়।
\(\therefore x\ne 1\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}-\{1\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{x}{x-1}\)
\(\Rightarrow xy-y=x\)
\(\Rightarrow xy-x=y\)
\(\Rightarrow x(y-1)=y\)
\(\therefore x=\frac{y}{y-1}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(y-1\ne 0\) হয়।
\(\therefore y\ne 1\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ, \(R_f=\mathbb{R}-\{1\}\)

\(Q.1.(x) (e)\) \(f(x)=x^3\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}\).
[ কুঃ ২০০৭ ]

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (e)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3\)
এখানে,
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}\)
আবার,
ইহা স্পষ্ট যে, \(x\) সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\)-এর বাস্তব মাণ পাওয়া যায় অর্থাৎ \(f(x)\in \mathbb{R}\)।
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ, \(R_f=\mathbb{R}\)

\(Q.1.(x) (f)\) \(f(x)=\sqrt{x+4}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge -4\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (f)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x+4}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(x+4\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow x\ge -4\) হয়।
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge -4\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\sqrt{x+4}\)
\(\Rightarrow y^2=x+4\)
\(\Rightarrow x+4=y^2\)
\(\Rightarrow x=y^2-4\)
এখানে \(y\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(x\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ, \(R_f=\mathbb{R}\)

\(Q.1.(x) (g)\) \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=[ -2, 2]\), রেঞ্জ \(=[ 0, 2]\).
[ চঃ ২০১১ ]

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (g)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(4-x^2\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow -x^2\ge -4\)
\(\Rightarrow x^2\le 4\)
\(\Rightarrow |x|^2\le 4\)
\(\Rightarrow |x|\le 2\)
\(\therefore -2\le x\le 2\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\{x: x\in \mathbb{R}, -2\le x\le 2\}=[-2, 2]\)
আবার,
\([-2, 2]\) ব্যবধিতে \(0\le f(x)\le 2\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ, \(R_f=[0, 2]\)

\(Q.1.(x) (h)\) \(f(x)=2\cos x\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, -2\le x\le 2\}=[-2, 2]\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (h)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2\cos x\)
এখানে,
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}\)
আবার,
আমরা জানি,
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(-1\le \cos x\le 1\)
\(\Rightarrow -2\le 2\cos x\le 2\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ, \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, -2\le x\le 2\}=[-2, 2]\)

\(Q.1.(x) (i)\) \(f(x)=x+3\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (i)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x+3\)
এখানে,
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}\)
আবার,
ধরি,
\(y=x+3\)
\(\Rightarrow x+3=y\)
\(\therefore x=y-3\)
\(y\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(x\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ , \(R_f=\mathbb{R}\)

\(Q.1.(x) (j)\) \(f(x)=\frac{1}{x-5}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{5\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{0\}\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (j)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{1}{x-5}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x-5\ne 0\) হয়।
\(\therefore x\ne 5\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}-\{5\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{1}{x-5}\)
\(\Rightarrow xy-5y=1\)
\(\Rightarrow xy=1+5y\)
\(\therefore x=\frac{1+5y}{y}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(y\ne 0\) হয়।
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ , \(R_f=\mathbb{R}-\{0\}\)

\(Q.1.(x) (k)\) \(f(x)=\frac{1}{x^2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x>0\}=(0, \infty)\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (k)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{1}{x^2}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x^2\ne 0\) হয়।
\(\therefore x\ne 0\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow x^2y=1\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{1}{y}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{\frac{1}{y}}\)
\(\therefore x=\frac{1}{\sqrt{y}}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(y>0\) হয়।
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ , \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x>0\}\)

\(Q.1.(x) (l)\) \(f(x)=-x^2+1\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x\le 1\}=(-\infty, 1]\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (l)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=-x^2+1\)
এখানে,
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}\)
আবার,
ধরি,
\(y=-x^2+1\)
\(\Rightarrow -x^2+1=y\)
\(\Rightarrow x^2-1=-y\)
\(\Rightarrow x^2=1-y\)
\(\therefore x=\sqrt{1-y}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(1-y\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow -1+y\le 0\)
\(\therefore y\le 1\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ , \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x\le 1\}=(-\infty, 1]\)

\(Q.1.(x) (m)\) \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{4\}\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (m)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x-2\ne 0\) হয়।
\(\therefore x\ne 2\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\)
আবার,
\(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)
\(\Rightarrow f(x)=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}\)
\(\therefore f(x)=x+2\)
স্পষ্ট যে, \(x=2\) হলে, \(f(2)=2+2=4\) হয়।
\(\because x\ne 2 \therefore f(x)\ne 4\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ , \(R_f=\mathbb{R}-\{4\}\)

\(Q.1.(x) (n)\) \(f(x)=\frac{x^2-2}{x-\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{\sqrt{2}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{2\sqrt{2}\}\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (n)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{x^2-2}{x-\sqrt{2}}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x-\sqrt{2}\ne 0\) হয়।
\(\therefore x\ne \sqrt{2}\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}-\{\sqrt{2}\}\)
আবার,
\(f(x)=\frac{x^2-2}{x-\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow f(x)=\frac{x^2-(\sqrt{2})^2}{x-\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow f(x)=\frac{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}{x-\sqrt{2}}\)
\(\therefore f(x)=x+\sqrt{2}\)
স্পষ্ট যে, \(x=\sqrt{2}\) হলে, \(f(\sqrt{2})=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) হয়।
\(\because x\ne \sqrt{2} \therefore f(x)\ne 2\sqrt{2}\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ , \(R_f=\mathbb{R}-\{2\sqrt{2}\}\)

\(Q.1.(x) (o)\) \(f(x)=\frac{x}{x-2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{1\}\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (o)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{x}{x-2}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x-2\ne 0\) হয়।
\(\therefore x\ne 2\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{x}{x-2}\)
\(\Rightarrow xy-2y=x\)
\(\Rightarrow xy-x=2y\)
\(\Rightarrow x(y-1)=2y\)
\(\therefore x=\frac{2y}{y-1}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(y-1\ne 0\) হয়।
\(therefore y\ne 1\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ , \(R_f=\mathbb{R}-\{1\}\)

\(Q.1.(x) (p)\) \(f(x)=\sqrt{x-1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[1, \infty)\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (p)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x-1}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x-1\ge 0\) হয়।
\(\therefore x\ge 1\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=[1, \infty)\)
আবার,
উপরোক্ত ডোমেনের জন্য \(f(x)\)-এর মাণ \(0\) অথবা \(0\) অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ , \(R_f=[0, \infty)\)

\(Q.1.(x) (q)\) \(f(x)=-\sqrt{x+3}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[-3, \infty)\), রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, 0]\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (q)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=-\sqrt{x+3}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x+3\ge 0\) হয়।
\(\therefore x\ge -3\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=[-3, \infty)\)
আবার,
উপরোক্ত ডোমেনের জন্য \(f(x)\)-এর মাণ \(0\) অথবা \(0\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রত্বর হবে।
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ , \(R_f=(-\infty, 0]\)

\(Q.1.(x) (r)\) \(f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[2, \infty)\cup (-\infty, 1]\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (r)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x^2-3x+2\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow x^2-2x-x+2\ge 0\)
\(\Rightarrow x(x-2)-1(x-2)\ge 0\)
\(\Rightarrow (x-2)(x-1)\ge 0\)
\(\Rightarrow x-2\ge 0, x-1\ge 0\) অথবা, \(x-2\le 0, x-1\le 0\)
\(\Rightarrow x\ge 2, x\ge 1\) অথবা, \(x\le 2, x\le 1\)
\(\therefore x\ge 2\) অথবা, \(x\le 1\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=[2, \infty)\cup (-\infty, 1]\)
আবার,
উপরোক্ত ডোমেনের জন্য \(f(x)\)-এর মাণ \(0\) অথবা \(0\) অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ , \(R_f=[0, \infty)\)

\(Q.1.(x) (s)\) \(f(x)=\sin x\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (s)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sin x\)
এখানে,
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) সংজ্ঞায়িত ।
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}\)
আবার,
উপরোক্ত ডোমেনের জন্য \(f(x)\)-এর সর্বোচ্চ মাণ \( 1\) এবং সর্ব নিম্ন মাণ হবে \(-1\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ , \(R_f=[-1, 1]\)

\(Q.1.(x) (t)\) \(f(x)=\frac{x}{|x|}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{-1, 1\}\).

সমাধানঃ

\(Q.1.(x) (t)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{x}{|x|}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x\ne 0\) হয়।
\(\therefore f\)-এর ডোমেন, \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\)
আবার,
উপরোক্ত ডোমেনের জন্য \(f(x)=-1, 1\) হবে।
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ , \(R_f=\{-1, 1\}\)

\(Q.1.(xi)\) \(A=\{-2, -1, 0, 1, 2, 5\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\{1, 2, 5, 26\}\)
[ মাঃ ২০১১ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A=\{-2, -1, 0, 1, 2, 5\}\)
এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
এখান,
\(f(-2)=(-2)^2+1\)
\(=4+1\)
\(=5\)
\(f(-1)=(-1)^2+1\)
\(=1+1\)
\(=2\)
\(f(0)=0^2+1\)
\(=0+1\)
\(=1\)
\(f(1)=1^2+1\)
\(=1+1\)
\(=2\)
\(f(2)=2^2+1\)
\(=4+1\)
\(=5\)
\(f(5)=5^2+1\)
\(=25+1\)
\(=26\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ, \(R_f=\{1, 2, 5, 26\}\)

\(Q.1.(xii)\) \(A=\{-4, -2, 0, 2, 4\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+2x+3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\{3, 11, 27\}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A=\{-4, -2, 0, 2, 4\}\)
এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+2x+3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
এখান,
\(f(-4)=(-4)^2+2.(-4)+3\)
\(=16-8+3\)
\(=19-8\)
\(=11\)
\(f(-2)=(-2)^2+2.(-2)+3\)
\(=4-4+3\)
\(=3\)
\(f(0)=0^2+2.0+3\)
\(=0+0+3\)
\(=3\)
\(f(2)=(2)^2+2.2+3\)
\(=4+4+3\)
\(=11\)
\(f(4)=4^2+2.4+3\)
\(=16+8+3\)
\(=27\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ, \(R_f=\{3, 11, 27\}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(W=\{-1, 0, 2, 5, 11\}\) এবং \(f:W\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2-x-2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(R_f=\{0, -2, 18, 108\}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(W=\{-1, 0, 2, 5, 11\}\)
এবং \(f:W\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2-x-2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
এখান,
\(f(-1)=(-1)^2-(-1)-2\)
\(=1+1-2\)
\(=2-2\)
\(=0\)
\(f(0)=0^2-0-2\)
\(=0-0-2\)
\(=-2\)
\(f(2)=2^2-2-2\)
\(=4-4\)
\(=0\)
\(f(5)=5^2-5-2\)
\(=25-5-2\)
\(=25-7\)
\(=18\)
\(f(11)=11^2-11-2\)
\(=121-11-2\)
\(=121-13\)
\(=108\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ, \(R_f=\{0, -2, 18, 108\}\)

\(Q.1.(xiv)\) \(A=\{a, b, c, d\}\) থেকে \(B=\{1, 2, 3\}\) সেটে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলির কোনটি ফাংশন এবং কোনটি ফাংশন নয় কারণসহ উল্লেখ কর।
\(F=\{(a, 1), (b, 2), (d, 3), (c, 1)\}\), \(G=\{(a, 1), (b, 3), (d, 2)\}\), \(H=\{(a, 1), (a, 3), (b, 2), (c, 3), (d, 2)\}\) \(K=\{(a, 1), (b, 1), (c, 1),(d, 1)\}\)
উত্তরঃ \( F\) একটি ফাংশন। \(G\) ফাংশন নয়। \(H\) ফাংশন নয়। \( K\) একটি ফাংশন।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A=\{a, b, c, d\}\) থেকে \(B=\{1, 2, 3\}\)
\(F=\{(a, 1), (b, 2), (d, 3), (c, 1)\}\), \(G=\{(a, 1), (b, 3), (d, 2)\}\), \(H=\{(a, 1), (a, 3), (b, 2), (c, 3), (d, 2)\}\) \(K=\{(a, 1), (b, 1), (c, 1),(d, 1)\}\)
এখানে,
স্পষ্ট যে,
\(F:A\rightarrow B\) অর্থাৎ \(F=\{(a, 1), (b, 2), (d, 3), (c, 1)\}\) অন্বয় একটি ফাংশন। কারণ, \(F\) সেটের অন্তর্গত ক্রমজোড়গুলিতে \(A\)সেটের প্রত্যেক উপাদানের প্রতিচ্ছবি \(B\) সেটে বিদ্যমান এবং \(A\) সেটের একটি উপাদানের জন্য \(B\) সেটে একটি এবং কেবল একটি উপাদান আছে।
\(G:A\rightarrow B\) অর্থাৎ \(G=\{(a, 1), (b, 3), (d, 2)\}\) অন্বয়টি ফাংশন নয়। কারণ, \(G\) সেটের অন্তর্গত ক্রমজোড়গুলিতে \(A\)সেটের উপাদান \(c\)-এর প্রতিচ্ছবি নেই।
\(H:A\rightarrow B\) অর্থাৎ \(H=\{(a, 1), (a, 3), (b, 2), (c, 3), (d, 2)\}\) অন্বয়টি ফাংশন নয়। কারণ, \(G\) সেটের অন্তর্গত ক্রমজোড়গুলিতে \(A\)সেটের একই উপাদান \(a\)-এর দুইটি ভিন্ন প্রতিচ্ছবি বিদ্যমান।
\(K:A\rightarrow B\) অর্থাৎ \(K=\{(a, 1), (b, 1), (c, 1),(d, 1)\}\) অন্বয় একটি ফাংশন। কারণ, \(K\) সেটের অন্তর্গত ক্রমজোড়গুলিতে \(A\)সেটের প্রত্যেক উপাদানের প্রতিচ্ছবি \(B\) সেটে বিদ্যমান এবং \(A\) সেটের একটি উপাদানের জন্য \(B\) সেটে একটি এবং কেবল একটি উপাদান আছে।

\(Q.1.(xv)\) \(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\) সেটদ্বয় দ্বারা বর্ণিত \(f_{1}\), \(f_{2}\) ও \(f_{3}\) তিনটি অন্বয় নিচে দেওয়া হলো। অন্বয় তিনটি ফাংশন কিনা তা যাচাই কর।
\(f_{1}=\{(x, y): x\in A, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\), \(f_{2}=\{(x, y): x\in B, y\in A\) এবং \(x^2+y^2=9\}\) ও \(f_{3}=\{(x, y): x\in B, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
উত্তরঃ \( f_{1}\) একটি ফাংশন । \( f_{2}\) ফাংশন নয়। \( f_{3}\) একটি ফাংশন ।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, hyperbola
\(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\)
\(f_{1}=\{(x, y): x\in A, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
এখানে,
\(f_{1}=\{(-3, 0), (3, 0), (0, 3)\}\)
\(\therefore f_{1}\) একটি ফাংশন কারণ \(A\)-এর প্রতিটি উপাদান \(B\)-এর শুধু একটি উপাদানের সাথে সম্পর্কিত।
পাশের চিত্রে ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা প্রদত্ত অন্বয়ের লেখচিত্রকে একটি বিন্দুতে ছেদ করে। ফলে, \(f_{1}\) একটি ফাংশন।

আবার, hyperbola
\(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\)
\(f_{2}=\{(x, y): x\in B, y\in A\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
এখানে,
\(f_{2}=\{(0, 3), (0, -3), (3, 0)\}\)
\(f_{2}\) ফাংশন নয়। কারণ, \(x\in [0, 3]\) এবং \(y\in [-3, 3]\)
অর্থাৎ \(B\)-এর একটি উপাদান \(A\)-এর দুইটি উপাদানের সাথে সম্পর্কযুক্ত। যা সংজ্ঞা পরিপন্থী।
পাশের চিত্রে ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা প্রদত্ত অন্বয়ের লেখচিত্রকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে। ফলে, \(f_{2}\) ফাংশন নয়।

আবার, hyperbola
\(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\)
\(f_{3}=\{(x, y): x\in B, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
এখানে,
\(f_{3}=\{(0, 3), (3, 0)\}\)
\(f_{3}\) একটি ফাংশন কারণ, \(x\in [0, 3]\) এবং \(y\in [0, 3]\)
অর্থাৎ \(B\)-এর একটি উপাদান \(B\)-এর শুধু একটি উপাদানের সাথে সম্পর্কিত।
পাশের চিত্রে ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা প্রদত্ত অন্বয়ের লেখচিত্রকে একটি বিন্দুতে ছেদ করে। ফলে, \(f_{3}\) একটি ফাংশন।

\(Q.1.(xv)\) \(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\) সেটদ্বয় দ্বারা বর্ণিত \(f_{1}\), \(f_{2}\) ও \(f_{3}\) তিনটি অন্বয় নিচে দেওয়া হলো। অন্বয় তিনটি ফাংশন কিনা তা যাচাই কর।
\(f_{1}=\{(x, y): x\in A, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\), \(f_{2}=\{(x, y): x\in B, y\in A\) এবং \(x^2+y^2=9\}\) ও \(f_{3}=\{(x, y): x\in B, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
উত্তরঃ \( \)

\(Q.1.(xvi)\) \(f(x)=2x^2-1, 4\ge x> 0\) এবং \(x\in \mathbb{N} \) (যেখানে \(\mathbb{N}\) সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট ) হলে, \(x\)-এর সকল মানের জন্য \(f(x)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( f(x)=1, 7, 17, 31\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x^2-1, 4\ge x> 0\) এবং \(x\in \mathbb{N} \) (যেখানে \(\mathbb{N}\)
এখানে,
স্পষ্ট যে, \(x= 1, 2, 3, 4 \) | \(\because 4\ge x> 0 \)
\(\therefore f(1)=2.1^2-1\) | \(\because f(x)=2x^2-1\)
\(=2.1-1\)
\(=2-1\)
\(=1\)
আবার,
\(f(2)=2.2^2-1\) | \(\because f(x)=2x^2-1\)
\(=2.4-1\)
\(=8-1\)
\(=7\)
আবার,
\(f(3)=2.3^2-1\) | \(\because f(x)=2x^2-1\)
\(=2.9-1\)
\(=18-1\)
\(=17\)
আবার,
\(f(4)=2.4^2-1\) | \(\because f(x)=2x^2-1\)
\(=2.16-1\)
\(=32-1\)
\(=31\)

\(Q.1.(xvii)\) \(f(x)=3x+2, x\in \mathbb{R} \) ফাংশনের জন্য \(f(0), f(-1), f(2), f(x^2), f(2x)\) এবং \(f(x-1)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=2, f(-1)=-1, f(2)=8, f(x^2)=3x^2+2, f(2x)=6x+2, f(x-1)=3x-1 \)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f(x)=3x+2, x\in \mathbb{R} \)
\(\therefore f(0)=3.0+2\) | \(\because f(x)=3x+2\)
\(=0+2\)
\(=2\)
আবার,
\(f(-1)=3(-1)+2\) | \(\because f(x)=3x+2\)
\(=-3+2\)
\(=-1\)
আবার,
\(f(2)=3.2+2\) | \(\because f(x)=3x+2\)
\(=6+2\)
\(=8\)
আবার,
\(f(x^2)=3.x^2+2\) | \(\because f(x)=3x+2\)
\(=3x^2+2\)
আবার,
\(f(2x)=3.2x+2\) | \(\because f(x)=3x+2\)
\(=6x+2\)
আবার,
\(f(x-1)=3.(x-1)+2\) | \(\because f(x)=3x+2\)
\(=3x-3+2\)
\(=3x-1\)

\(Q.1.(xviii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2-3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(0), f(-1), f(2), f(4), f(-4), f(5), f(-2), f(-3)\) এবং \(f(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=2; f(-1)=1; f(2)=-2, f(4)=4, f(-4)=-2, f(5)=10, f(-2)=0, f(-3)=-1, f(3)=0 \)
[ ঢাঃ ২০০৩; কুঃ ২০০৮,২০০৪;চঃ২০০৬; বঃ ২০০৮,২০০৪; রাঃ২০১২; দিঃ ২০১১ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2-3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\)

\(\therefore f(0)=0+2\) | \(\because 2 > x\) ব্যবধিতে \( f(x)=x+2\)
\(=0+2\)
\(=2\)
আবার,
\(f(-1)=-1+2\) | \(\because 2 > x\) ব্যবধিতে \( f(x)=x+2\)
\(=-1+2\)
\(=1\)
আবার,
\(f(2)=2^2-3.2\) | \(\because x \ge 2\) ব্যবধিতে \( f(x)=x^2-3x\)
\(=4-6\)
\(=-2\)
আবার,
\(f(4)=4^2-3.4\) | \(\because x \ge 2\) ব্যবধিতে \( f(x)=x^2-3x\)
\(=16-12\)
\(=4\)
আবার,
\(f(-4)=-4+2\) | \(\because 2 > x\) ব্যবধিতে \( f(x)=x+2\)
\(=-2\)
আবার,
\(f(5)=5^2-3.5\) | \(\because x \ge 2\) ব্যবধিতে \( f(x)=x^2-3x\)
\(=25-15\)
\(=10\)
আবার,
\(f(-2)=-2+2\) | \(\because 2 > x\) ব্যবধিতে \( f(x)=x+2\)
\(=0\)
আবার,
\(f(-3)=-3+2\) | \(\because 2 > x\) ব্যবধিতে \( f(x)=x+2\)
\(=-1\)
আবার,
\(f(3)=3^2-3.3\) | \(\because x \ge 2\) ব্যবধিতে \( f(x)=x^2-3x\)
\(=9-9\)
\(=0\)

\(Q.1.(xix)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}-2x+1 \ যখন \ 0 > x\\1 \ যখন \ 1 > x\ge 0\\2x+1 \ যখন \ x\ge 1 \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(f(0), f(1), f(-1), f(\frac{1}{2}), f(-2), f(-3), f(2)\) এবং \(f(3)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=1; f(-1)=3; f\left(\frac{1}{2}\right)=1, f(-2)=5, f(-3)=7, f(2)=5, f(3)=7\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}-2x+1 \ যখন \ 0 > x\\1 \ যখন \ 1 > x\ge 0\\2x+1 \ যখন \ x\ge 1 \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f(0)=1\) | \(\because 1 > x\ge 0\) ব্যবধিতে \( f(x)=1\)
\(=1\)
আবার,
\(f(-1)=-2(-1)+1\) | \(\because 0 > x\) ব্যবধিতে \( f(x)=-2x+1\)
\(=2+1\)
\(=3\)
আবার,
\(\therefore f\left(\frac{1}{2}\right)=1\) | \(\because 1 > x\ge 0\) ব্যবধিতে \( f(x)=1\)
\(=1\)
আবার,
\(f(-2)=-2(-2)+1\) | \(\because 0 > x\) ব্যবধিতে \( f(x)=-2x+1\)
\(=4+1\)
\(=5\)
আবার,
\(f(-3)=-2(-3)+1\) | \(\because 0 > x\) ব্যবধিতে \( f(x)=-2x+1\)
\(=6+1\)
\(=7\)
আবার,
\(f(2)=2.2+1\) | \(\because x\ge 1\) ব্যবধিতে \( f(x)=2x+1\)
\(=4+1\)
\(=5\)
আবার,
\(f(3)=2.3+1\) | \(\because x\ge 1\) ব্যবধিতে \( f(x)=2x+1\)
\(=6+1\)
\(=7\)

\(Q.1.(xx)\) \(f:R\rightarrow R\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}3x-1 \ ,\ x > 3\\x^2-2 \ ,\ -2 \leq x\leq 3\\2x+3 \ , \ -2>x \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(f(2), f(4), f(-1)\) এবং \(f(-3)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(2)=2; f(4)=11; f(-1)=\) অসংজ্ঞায়িত , \( f(-3)=-3\)
[ রাঃ২০১৫,চঃ;ঢাঃ ২০১২;কুঃ ২০১৩]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:R\rightarrow R\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}3x-1 \ ,\ x > 3\\x^2-2 \ ,\ 2 \leq x\leq 3\\2x+3 \ , \ -2 > x \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f(2)=2^2-2\) | \(\because 2 \leq x\leq 3\) ব্যবধিতে \( f(x)=x^2-2\)
\(=4-2\)
\(=2\)
আবার,
\(f(4)=3.4-1\) | \(\because x > 3\) ব্যবধিতে \( f(x)=3x-1\)
\(=12-1\)
\(=11\)
আবার,
\(\therefore f(-1)=\) অসংজ্ঞায়িত । | \(\because x=-1\) কোনো ব্যবধিতে নেই।
আবার,
\(f(-3)=2(-3)+3\) | \(\because -2 > x\) ব্যবধিতে \( f(x)=2x+3\)
\(=-6+3\)
\(=-3\)

\(Q.1.(xxi)\) \(A=\{2, 4, 6\}\) এবং \(f:A\rightarrow A\) ফাংশনটি \(f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(R_{f}=\{2, 4, 6\}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A=\{2, 4, 6\}\) এবং \(f:A\rightarrow A\) ফাংশনটি \(f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
এখন,
\(f(x)=x\)
\(\therefore f(2)=2\)
আবার,
\(f(x)=x\)
\(\therefore f(4)=4\)
আবার,
\(f(x)=x\)
\(\therefore f(6)=6\)
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=\{2, 4, 6\}\)

\(Q.1.(xxii)\) \(A=\{x: x\in \mathbb{R}, 6\ge x > 1\) এবং \(x, 2\) দ্বারা বিভাজ্য \(\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=4x^2-1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=\{2, 4, 6\}, R_{f}=\{15, 63, 143\}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A=\{x: x\in \mathbb{R}, 6\ge x > 1\) এবং \(x, 2\) দ্বারা বিভাজ্য \(\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=4x^2-1\)
শর্তমতে,
\(A=\{2, 4, 6\}\)
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=\{2, 4, 6\}\)
আবার,
\(f(x)=4x^2-1\)
\(\therefore f(2)=4.2^2-1\)
\(=4.4-1\)
\(=16-1\)
\(=15\)
আবার,
\(f(x)=4x^2-1\)
\(\therefore f(4)=4.4^2-1\)
\(=4.16-1\)
\(=64-1\)
\(=63\)
আবার,
\(f(x)=4x^2-1\)
\(\therefore f(6)=4.6^2-1\)
\(=4.36-1\)
\(=144-1\)
\(=143\)
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=\{15, 63, 143\}\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(A=\{-1, 0, 1\}\), \(B=\{1, 2, 3, 4, 5\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) ফাংশনটি \(f(x)=x+2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=\{-1, 0, 1\}, R_{f}=\{1, 2, 3\}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A=\{-1, 0, 1\}\), \(B=\{1, 2, 3, 4, 5\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\)
ফাংশনটি \(f(x)=x+2\)
\(\because A=\{-1, 0, 1\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\)
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=\{-1, 0, 1\}\)
আবার,
\(f(x)=x+2\)
\(\therefore f(-1)=-1+2\)
\(=1\)
আবার,
\(f(x)=x+2\)
\(\therefore f(0)=0+2\)
\(=2\)
আবার,
\(f(x)=x+2\)
\(\therefore f(1)=1+2\)
\(=3\)
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=\{1, 2, 3\}\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(A=[0, 2]\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। যেখানে, \(\mathbb{R}\) সকল বাস্তব সংখ্যর সেট। \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=[0, 2], R_{f}=R_{f}=[1, 3]\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A=[0, 2]\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x+1\)
\(\because A=[0, 2]\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\)
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=[0, 2]\)
আবার,
\(f(x)=x+1\)
\(\therefore f(0)=0+1\)
\(=1\)
আবার,
\(f(x)=x+1\)
\(\therefore f(2)=2+1\)
\(=3\)
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=[1, 3]\)

\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, নিম্নলিখিত প্রত্যেকটি ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক।
\((a)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((b)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ax+b, a\ne 0\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((c)\) \(f:[0, \infty)\rightarrow [1, \infty), f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((d)\) \(f:[0, 2]\rightarrow [0, 2], f(x)=\sqrt{4-x^2}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((e)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxv) (a)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
এবং \(f(x)=x\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=x…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a ……(2)\)
\(f(b)=b ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(a=b\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\therefore a=b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
এখানে,
\(R_{f}=\mathbb{R}\) অর্থাৎ কো-ডোমেনের সকল উপাদান ডোমেন সেটের উপাদানের প্রতিচ্ছবি।
\(\therefore f\) একটি সার্বিক ফাংশন।
\(\therefore f\) এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন।
\(Q.1.(xxv) (b)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
এবং \(f(x)=ax+b, a\ne 0\)
ধরি,
\((p, q)\in D_f\)
\(f(x)=ax+b…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(p)=ap+b ……(2)\)
\(f(q)=aq+b ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(p)=f(q)\)
\(ap+b=aq+b\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow ap=bq\)
\(\therefore p=q\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
এখানে,
\(R_{f}=\mathbb{R}\) অর্থাৎ কো-ডোমেনের সকল উপাদান ডোমেন সেটের উপাদানের প্রতিচ্ছবি।
\(\therefore f\) একটি সার্বিক ফাংশন।
\(\therefore f\) এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন।
\(Q.1.(xxv) (c)\)
দেওয়া আছে,
\(f:[0, \infty)\rightarrow [1, \infty)\)
এবং \(f(x)=x^2+1\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=x^2+1…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a^2+1 ……(2)\)
\(f(b)=b^2+1 ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(a^2+1=b^2+1\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow a^2=b^2\)
\(\therefore a=b\) | \(\because f:[0, \infty)\rightarrow [1, \infty), \ a\ne -b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
এখানে,
\(R_{f}=[1, \infty)\) অর্থাৎ কো-ডোমেনের সকল উপাদান ডোমেন সেটের উপাদানের প্রতিচ্ছবি।
\(\therefore f\) একটি সার্বিক ফাংশন।
\(\therefore f\) এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন।
\(Q.1.(xxv) (d)\)
দেওয়া আছে,
\(f:[0, 2]\rightarrow [0, 2]\)
এবং \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=\sqrt{4-x^2}…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=\sqrt{4-a^2} ……(2)\)
\(f(b)=\sqrt{4-b^2} ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(\sqrt{4-a^2}=\sqrt{4-a^2}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 4-a^2=4-b^2\)
\(\Rightarrow -a^2=-b^2\)
\(\Rightarrow a^2=b^2\)
\(\therefore a=b\) | \(\because f:[0, 2]\rightarrow [0, 2], \ a\ne -b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
এখানে,
\(R_{f}= [0, 2]\) অর্থাৎ কো-ডোমেনের সকল উপাদান ডোমেন সেটের উপাদানের প্রতিচ্ছবি।
\(\therefore f\) একটি সার্বিক ফাংশন।
\(\therefore f\) এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন।
\(Q.1.(xxv) (e)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
এবং \(f(x)=x^3\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=x^3…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a^3 ……(2)\)
\(f(b)=b^3 ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(a^3=b^3\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\therefore a=b\) | \(\because \) বাস্তব ঘনমূল একটি।
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
এখানে,
\(R_{f}=\mathbb{R}\) অর্থাৎ কো-ডোমেনের সকল উপাদান ডোমেন সেটের উপাদানের প্রতিচ্ছবি।
\(\therefore f\) একটি সার্বিক ফাংশন।
\(\therefore f\) এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন।
(showed)

\(Q.1.(xxvi)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত \(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\) (\(\mathbb{N}\) সকল স্বাভাবিক সখ্যার সেট। ) ফাংশনটি এক-এক কিন্তু সার্বিক নয়।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxv) (a)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\)
এবং \(f(x)=x^2\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=x^2…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a^2 ……(2)\)
\(f(b)=b^2 ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(a^2=b^2\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\therefore a=b\) | \(\because f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}, \ a\ne -b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
এখানে,
\(R_{f}\ne \mathbb{N}\) অর্থাৎ কো-ডোমেনের সকল উপাদান ডোমেন সেটের উপাদানের প্রতিচ্ছবি নয়।
কারণ, \(R_{f}\)-এর প্রতিটি উপাদান পূর্ণ বর্গ সংখ্যা। কিন্তু \(\mathbb{N}\)-এর মধ্যে পূর্ণ বর্গ সখ্যা ছাড়াও অন্য স্বাভাবিক সংখ্যা বিদ্যমান।
\(\therefore f\) সার্বিক ফাংশন নয়।
\(\therefore f\) এক-এক ফাংশন কিন্তু সার্বিক নয়।
(showed)

\(Q.1.(xxvii)\) দেখাও যে, \(f(x)=|x|\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত \(f:\mathbb{R}\rightarrow [0, \infty)\) (\(\mathbb{R}\) সকল বাস্তব সখ্যার সেট। ) ফাংশনটি এক-এক নয় কিন্তু সার্বিক।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxv) (a)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow [0, \infty)\)
এবং \(f(x)=|x|\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=|x|…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=|a| ……(2)\)
\(f(b)=|b| ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(|a|=|b|\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\therefore a=\pm b, b=\pm a\)
\(\therefore f\) এক-এক ফাংশন নয়।
এখানে,
\(R_{f}=[0, \infty)\) অর্থাৎ কো-ডোমেনের সকল উপাদান ডোমেন সেটের উপাদানের প্রতিচ্ছবি।
\(\therefore f\) একটি সার্বিক ফাংশন।
\(\therefore f\) এক-এক ফাংশন নয় কিন্তু সার্বিক।
(showed)

\(Q.1.(xxviii)\) \(f(x)=x-1\) দ্বারা বর্ণিত \(f:\{1, 2, 3, 4\}\rightarrow \{0, 1, 2, 3\}\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxv) (a)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\{1, 2, 3, 4\}\rightarrow \{0, 1, 2, 3\}\)
এবং \(f(x)=x-1\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=x-1…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a-1 ……(2)\)
\(f(b)=b-1 ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(a-1=b-1\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\therefore a=b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
এখানে,
\(R_{f}=\{0, 1, 2, 3\} \) অর্থাৎ কো-ডোমেনের সকল উপাদান ডোমেন সেটের উপাদানের প্রতিচ্ছবি।
\(\therefore f\) একটি সার্বিক ফাংশন।
\(\therefore f\) এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন।

1 2 3 4 5