অন্বয় ও ফাংশন-১ (Relation and Function-1)

অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.1.(i)\) \(A=\{1, 2, 3, 4\}\) সেট থেকে \(B=\{1, 3, 5\}\) সেটে বর্ণিত একটি অন্বয় \(S\), যেখানে, \(S=\{(x, y):x\in A, y\in B\) এবং \(y>x\}\); \(S\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(S=\{(1, 3),(1, 5),(2, 3),(2, 5),(3, 5),(4, 5)\}\)

\(Q.1.(ii)\) \(\mathbb{N}\) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট এবং \(S=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, 2x+y=10\}\) হলে, অন্বয় \(S\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। \(S\)-এর ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S=\{(1, 8),(2, 6),(3, 4),(4, 2)\}; D_s=\{1, 2, 3, 4\}; R_s=\{2, 4, 6, 8\}\)

\(Q.1.(iii)\) \(\mathbb{N}\) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট এবং \(F=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, x+3y=12\}\) হলে, অন্বয় \(F\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। \(F\)-এর ডোমেন, রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_F=\{3, 6, 9\}; R_F=\{1, 2, 3\}; F^{-1}=\{(1, 9),(2, 6),(3, 3)\}; \)

\(Q.1.(iv)\) \(A=[-4, 4], B=[0, 4], C=[-2, 0], D=[-4, 0]\) ব্যবধিসমূহে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলির কোনটি ফাংশন এবং কোনটি ফাংশন নয় কারণসহ উল্লেখ কর।
\(Q.1.(iv)(a)\) \(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(b)\) \(F_2=\{(x, y):x\in B, y\in A, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(c)\) \(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in B, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(d)\) \(F_4=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(e)\) \(F_5=\{(x, y):x\in A, y\in D, x^2+y^2=16\}\)
উত্তরঃ \((a)\) ফাংশন; \((b)\) ফাংশন নয়; \((c)\) ফাংশন; \((d)\) ফাংশন নয়; \((e)\) ফাংশন;

\(Q.1.(v)\) \(A=[-4, 4], B=[0, 4], C=[-4, 0]\) ব্যবধিসমূহে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলি ফাংশন কিনা লেখচিত্র অঙ্কন করে নির্ণয় কর।
\(Q.1.(v)(a)\) \(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(b)\) \(F_2=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(c)\) \(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(d)\) \(F_4=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
উত্তরঃ \((a)\) ফাংশন; \((b)\) ফাংশন ; \((c)\) ফাংশন নয়; \((d)\) ফাংশন নয়।

\(Q.1.(vi)\) \(F=\{(x, y): x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}, \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\) অন্বয়টির লেখচিত্র অঙ্কন কর। অন্বয়টির ডোমেন, রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_F=\{x: x\in \mathbb{R} -3\le x\le 3\}; R_F=\{x: x\in \mathbb{R} -2\le x\le 2\}\)

\(Q.1.(vii)\) \(T=[-3, 5]\) এবং \(f:T\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=2x^2-7\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। \(f(2), f(6)\) এবং \(f(t-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(2)=1\); \(f(6)=\)সংজ্ঞায়িত নয় কারণ \(6\notin [-3, 5]\); \(f(t-2)=2t^2-8t+1, -1\le t \le 7\)

\(Q.1.(viii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2-3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(5), f(0)\) এবং \(f(-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(5)=10; f(0)=2; f(-2)=0\)
[ দিঃ২০১১; বঃ ২০১০, ২০০৪; কুঃ ২০০৮, ২০০৪; চঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৩ ]

\(Q.1.(ix)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2+3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(7), f(0), f(5)\) এবং \(f(-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(7)=70; f(0)=2; f(5)=40; f(-2)=0\)
[ রাঃ২০১২; সিঃ ২০১১ ]
\(Q.1.(x)\) নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(x) (a)\) \(f(x)=x^2+1\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(=[1, \infty)\).
[ কুঃ ২০০৭ ]

\(Q.1.(x) (b)\) \(g(x)=\frac{1}{2x-3}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{0\}\).
[ চঃ ২০১৭ ]

\(Q.1.(x) (c)\) \(f(x)=\frac{x-3}{3x+1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}\).
[ সিঃ ২০১১ ]

\(Q.1.(x) (d)\) \(f(x)=\frac{x}{x-1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{1\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{1\}\).
[ যঃ ২০১০ ]

\(Q.1.(x) (e)\) \(f(x)=x^3\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}\).
[ কুঃ ২০০৭ ]

\(Q.1.(x) (f)\) \(f(x)=\sqrt{x+4}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge -4\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\).

\(Q.1.(x) (g)\) \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=[ -2, 2]\), রেঞ্জ \(=[ 0, 2]\).
[ চঃ ২০১১ ]

\(Q.1.(x) (h)\) \(f(x)=2\cos x\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, -2\le x\le 2\}=[-2, 2]\).

\(Q.1.(x) (i)\) \(f(x)=x+3\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\).

\(Q.1.(x) (j)\) \(f(x)=\frac{1}{x-5}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{5\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{0\}\).
\(Q.1.(x) (k)\) \(f(x)=\frac{1}{x^2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x>0\}=(0, \infty)\).

\(Q.1.(x) (l)\) \(f(x)=-x^2+1\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x\le 1\}=(-\infty, 1]\).

\(Q.1.(x) (m)\) \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{4\}\).

\(Q.1.(x) (n)\) \(f(x)=\frac{x^2-2}{x-\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{\sqrt{2}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{2\sqrt{2}\}\).

\(Q.1.(x) (o)\) \(f(x)=\frac{x}{x-2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{1\}\).

\(Q.1.(x) (p)\) \(f(x)=\sqrt{x-1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[1, \infty)\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\).

\(Q.1.(x) (q)\) \(f(x)=-\sqrt{x+3}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[-3, \infty)\), রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, 0]\).

\(Q.1.(x) (r)\) \(f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[2, \infty)\cup (-\infty, 1]\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\).

\(Q.1.(x) (s)\) \(f(x)=\sin x\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\).

\(Q.1.(x) (t)\) \(f(x)=\frac{x}{|x|}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{-1, 1\}\).
\(Q.1.(xi)\) \(A=\{-2, -1, 0, 1, 2, 5\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\{1, 2, 5, 26\}\)
[ মাঃ ২০১১ ]

\(Q.1.(xii)\) \(A=\{-4, -2, 0, 2, 4\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+2x+3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\{3, 11, 27\}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(W=\{-1, 0, 2, 5, 11\}\) এবং \(f:W\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2-x-2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(R_f=\{0, -2, 18, 108\}\)

\(Q.1.(xiv)\) \(A=\{a, b, c, d\}\) থেকে \(B=\{1, 2, 3\}\) সেটে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলির কোনটি ফাংশন এবং কোনটি ফাংশন নয় কারণসহ উল্লেখ কর।
\(F=\{(a, 1), (b, 2), (d, 3), (c, 1)\}\), \(G=\{(a, 1), (b, 3), (d, 2)\}\), \(H=\{(a, 1), (a, 3), (b, 2), (c, 3), (d, 2)\}\) \(K=\{(a, 1), (b, 1), (c, 1),(d, 1)\}\)
উত্তরঃ \( F\) একটি ফাংশন। \(G\) ফাংশন নয়। \(H\) ফাংশন নয়। \( K\) একটি ফাংশন।

\(Q.1.(xv)\) \(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\) সেটদ্বয় দ্বারা বর্ণিত \(f_{1}\), \(f_{2}\) ও \(f_{3}\) তিনটি অন্বয় নিচে দেওয়া হলো। অন্বয় তিনটি ফাংশন কিনা তা যাচাই কর।
\(f_{1}=\{(x, y): x\in A, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\), \(f_{2}=\{(x, y): x\in B, y\in A\) এবং \(x^2+y^2=9\}\) ও \(f_{3}=\{(x, y): x\in B, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
উত্তরঃ \( f_{1}\) একটি ফাংশন । \( f_{2}\) ফাংশন নয়। \( f_{3}\) একটি ফাংশন ।

\(Q.1.(xvi)\) \(f(x)=2x^2-1, 4\ge x> 0\) এবং \(x\in \mathbb{N} \) (যেখানে \(\mathbb{N}\) সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট ) হলে, \(x\)-এর সকল মানের জন্য \(f(x)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( f(x)=1, 7, 17, 31\)

\(Q.1.(xvii)\) \(f(x)=3x+2, x\in \mathbb{R} \) ফাংশনের জন্য \(f(0), f(-1), f(2), f(x^2), f(2x)\) এবং \(f(x-1)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=2, f(-1)=-1, f(2)=8\), \(f(x^2)=3x^2+2, f(2x)=6x+2, f(x-1)=3x-1 \)

\(Q.1.(xviii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2-3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(0), f(-1), f(2), f(4), f(-4), f(5), f(-2), f(-3)\) এবং \(f(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=2; f(-1)=1; f(2)=-2, f(4)=4, f(-4)=-2\), \(f(5)=10, f(-2)=0, f(-3)=-1, f(3)=0 \)
[ ঢাঃ ২০০৩; কুঃ ২০০৮,২০০৪;চঃ২০০৬; বঃ ২০০৮,২০০৪; রাঃ২০১২; দিঃ ২০১১ ]

\(Q.1.(xix)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}-2x+1 \ যখন \ 0 > x\\1 \ যখন \ 1 > x\ge 0\\2x+1 \ যখন \ x\ge 1 \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(f(0), f(1), f(-1), f(\frac{1}{2}), f(-2), f(-3), f(2)\) এবং \(f(3)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=1; f(-1)=3; f\left(\frac{1}{2}\right)=1\), \(f(-2)=5, f(-3)=7, f(2)=5, f(3)=7\)

\(Q.1.(xx)\) \(f:R\rightarrow R\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}3x-1 \ ,\ x > 3\\x^2-2 \ ,\ 2 \leq x\leq 3\\2x+3 \ , \ -2>x \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(f(2), f(4), f(-1)\) এবং \(f(-3)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(2)=2; f(4)=11; f(-1)=\) অসংজ্ঞায়িত , \( f(-3)=-3\)
[ রাঃ২০১৫,চঃ;ঢাঃ ২০১২;কুঃ ২০১৩]

\(Q.1.(xxi)\) \(A=\{2, 4, 6\}\) এবং \(f:A\rightarrow A\) ফাংশনটি \(f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(R_{f}=\{2, 4, 6\}\)

\(Q.1.(xxii)\) \(A=\{x: x\in \mathbb{R}, 6\ge x > 1\) এবং \(x, 2\) দ্বারা বিভাজ্য \(\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=4x^2-1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=\{2, 4, 6\}, R_{f}=\{15, 63, 143\}\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(A=\{-1, 0, 1\}\), \(B=\{1, 2, 3, 4, 5\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) ফাংশনটি \(f(x)=x+2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=\{-1, 0, 1\}, R_{f}=\{1, 2, 3\}\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(A=[0, 2]\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। যেখানে, \(\mathbb{R}\) সকল বাস্তব সংখ্যর সেট। \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=[0, 2], R_{f}=R_{f}=[1, 3]\)

\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, নিম্নলিখিত প্রত্যেকটি ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক।
\((a)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((b)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ax+b, a\ne 0\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((c)\) \(f:[0, \infty)\rightarrow [1, \infty), f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((d)\) \(f:[0, 2]\rightarrow [0, 2], f(x)=\sqrt{4-x^2}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((e)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।

\(Q.1.(xxvi)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত \(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\) (\(\mathbb{N}\) সকল স্বাভাবিক সখ্যার সেট। ) ফাংশনটি এক-এক কিন্তু সার্বিক নয়।

\(Q.1.(xxvii)\) দেখাও যে, \(f(x)=|x|\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত \(f:\mathbb{R}\rightarrow [0, \infty)\) (\(\mathbb{R}\) সকল বাস্তব সখ্যার সেট। ) ফাংশনটি এক-এক নয় কিন্তু সার্বিক।

\(Q.1.(xxviii)\) \(f(x)=x-1\) দ্বারা বর্ণিত \(f:\{1, 2, 3, 4\}\rightarrow \{0, 1, 2, 3\}\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন।
1 2 3 4