অন্বয় ও ফাংশন (Relation and Function)

অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(A=\{1, 2, 3, 4\}\) এবং \(B=\{1, 2, 3, 4, 5\}; f(x)=x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f:A\rightarrow B\)-এর ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। ফাংশনটি কি সার্বিক?
উত্তরঃ ডোমেন \(=A\), রেঞ্জ \(=\{2, 3, 4, 5\}\)। এটি সার্বিক নয়।
[ কুঃ ২০১২]

\(Q.2.(ii)\) মনে করি, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট, \(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, f:A\rightarrow B\) যেখানে, \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)।
[ সিঃ ২০১৪,২০১১; কুঃ ২০১০; রাঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০০৬; যঃ ২০০১]

\(Q.2.(iii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x-3\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা কারণসহ উল্লেখ কর। \(f\) এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন হলে এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}\)।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১৩, ২০১০]

\(Q.2.(iv)\) \(f(x)=\frac{2x+7}{3x-2}; x\in \mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\). দেখাও যে, \(f^{-1}=f(x)\)।
[ বঃ ২০১৭]

\(Q.2.(v)\) \(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\},\) \(B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}, g:A\rightarrow B, g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\). এর অস্তিত্ব যাচাই পূর্বক \(g^{-1}\) নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(g^{-1}(x)=\frac{x+5}{1-3x}\)।
[ দিঃ ২০১৭]

\(Q.2.(vi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3+5\).ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা কারণসহ উল্লেখ কর ।
[ ঢাঃ,সিঃ,বঃ ২০১৩]

\(Q.2.(vii)\) যদি, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট হয়, \(A, B \subset \mathbb{R}, A=B=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) যেখানে, \(f(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\) তাহলে, \(f\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) ও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}; f^{-1}(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\)।
[ বুয়েট ২০১৪-২০১৫]

\(Q.2.(viii)\) \(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) হলে, \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-2x}\)।
[ দিঃ ২০০৯; মাঃ২০১৩, ২০১০]

\(Q.2.(ix)(a) – Q.2.(ix)(j)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । নিচের অন্বয়গুলি সেট আকারে প্রকাশ কর।

\(Q.2.(ix)(a)\) \(f^{-1}(9)\)
উত্তরঃ \(\{-3, 3\}\)।
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০; বঃ২০০৬]

\(Q.2.(ix)(b)\) \(f^{-1}([16, 36])\)
উত্তরঃ \( [4, 6]\cup [-6, -4]\).

\(Q.2.(ix)(c)\) \(f^{-1}(-16)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \) ।
[ যঃ ২০১১ ]

\(Q.2.(ix)(d)\) \(f^{-1}(\{16, 25\})\)
উত্তরঃ \( [4, 5]\cup [-5, -4]\)

\(Q.2.(ix)(e)\) \(f^{-1}(25)\)
উত্তরঃ \(\{-5, 5\}\)।
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০]

\(Q.2.(ix)(f)\) \(f^{-1}([4, 25])\)
উত্তরঃ \( [2, 5]\cup [-5, -2]\)
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০]

\(Q.2.(ix)(g)\) \(f^{-1}(-4)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \) ।

\(Q.2.(ix)(h)\) \(f^{-1}([-1, 1])\)
উত্তরঃ \([-1, 1] \).

\(Q.2.(ix)(i)\) \(f^{-1}(16)\)
উত্তরঃ \(\{-4, 4\}\)

\(Q.2.(ix)(j)\) \(f^{-1}(36)\)
উত্তরঃ \(\{-6, 6\}\)

\(Q.2.(x)(a) – Q.2.(x)(g)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । নিচের অন্বয়গুলি সেট আকারে প্রকাশ কর।

\(Q.2.(x)(a)\) \(f^{-1}(10)\)
উত্তরঃ \(\{-3, 3\}\)।
[ ঢাঃ, রাঃ,দিঃ ২০১৪; কুঃ ২০১১; যঃ ২০০৮]

\(Q.2.(x)(b)\) \(f^{-1}(0)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \).

\(Q.2.(x)(c)\) \(f^{-1}([10, 26])\)
উত্তরঃ \([3, 5]\cup [-5, -3]\).
[ দিঃ২০০১৪; যঃ ২০০৮; কুঃ ২০০৩; বঃ২০১১ ]

\(Q.2.(x)(d)\) \(f^{-1}(5)\)
উত্তরঃ \(\{-2, 2\} \) ।
[ চঃ২০০০]

\(Q.2.(x)(e)\) \(f^{-1}([5, 37])\)
উত্তরঃ \([2, 6]\cup [-6, -2] \).
[ বঃ ২০১১]

\(Q.2.(x)(f)\) \(f^{-1}(-5)\)
উত্তরঃ \( \emptyset \) ।
[ যঃ২০০৮; কুঃ২০০৩]

\(Q.2.(x)(g)\) \(f^{-1}(2)\)
উত্তরঃ \(\{-1, 1\} \) ।
[ যঃ২০০৮; কুঃ২০০৩]

\(Q.2.(xi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x^2-7\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f^{-1}(2)\)-এর মানকে সেটে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(2)=\{-3, 3\} \) ।
[ রাঃ২০১০; চঃ২০০৩]

\(Q.2.(xii)\) \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\) হলে, \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7 \)।
[যঃ২০১৭]

\(Q.2.(xiii)\) \(g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\) এবং \(h(x)=x^2+1\) হলে, দেখাও যে, \(hog(1)-goh(2)=2\).
[ দিঃ২০১৭]

\(Q.2.(xiv)\) \(g(x)=(x+5)^n\) এবং \(f(x)=x^2-6, n=\frac{1}{2}\) হলে, \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (-\infty, -1]\cup [1, \infty)\)।
[ সিঃ২০১৭]

\(Q.2.(xv)(a) – Q.2.(xv)(d)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(f(x)=x^2-2|x|\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(g(x)=x^2+1\) নিম্নলিখিত রাশিগুলি মাণ নির্ণয় কর।

\(Q.2.(xv)(a)\) \(gof(3)\)
উত্তরঃ \( 10 \)।
[ ঢাঃ ২০০৫; সিঃ২০০৮]

\(Q.2.(xv)(b)\) \(fog(-2)\)
উত্তরঃ \( 15\)।
[ বঃ ২০০৭; যঃ২০০৩]

\(Q.2.(xv)(c)\) \(gof(-4)\)
উত্তরঃ \( 65\)।
[ ঢাঃ ২০০৫; কুঃ২০০৯; যঃ২০০৩ ; সিঃ২০০৮]

\(Q.2.(xv)(d)\) \(fog(5)\)
উত্তরঃ \( 624\)।

\(Q.2.(xvi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+2x-3\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g(x)=3x-4\) হলে, \(g(f(x)), f(g(x)), g(f(2)), f(g(2)),\) \(g(f(5)), f(g(5)), g(f(3))\) এবং \( f(g(3))\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 3x^2+6x-13, 9x^2-18x+5, 11,\)\( 5, 140, 92, 32, 32 \)।
[ কুঃ ২০০৬; দিঃ২০১৩, ২০১০; সিঃ২০১২]

\(Q.2.(xvii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2, g(x)=x^3+1\) হলে, \(fog(4)\)নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(fog(-3)\ne gof(-3)\)
উত্তরঃ \(fog(4)=4225 \)।
[ঢাঃ ২০১১, ২০০৭; রাঃ২০০৩; বঃ২০০৯]

\(Q.2.(xviii)\) \(f(x)=x^2+3, g(x)=\sqrt{x}\) হলে, \(fog\) এবং \(gof\)নির্ণয় কর। অতঃপর প্রত্যেক ক্ষেত্রে সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(fog(x)=\sqrt{x^2+3}\), ডোমেন \(=[0, \infty )\) , রেঞ্জ \(=[3, \infty )\) এবং \(gof(x)=x+3\), ডোমেন \(=\mathbb{R}\) , রেঞ্জ \(=[\sqrt{3}, \infty )\)
[কুঃ২০১৬]

\(Q.2.(xix)\) \(A, B, C\) প্রত্যেকটি বাস্তব সংখ্যার সেট। \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\) ফাংশনদ্বয়কে \(f(x)=x+1\) এবং \(g(x)=x^2+2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। সংযোজিত ফাংশন \(gof\) এবং \(fog\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(gof(x)=x^2+2x+3 \), \(fog(x)=x^2+3\)
[ মাঃ২০১২]

\(Q.2.(xx)\) \(f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, \(gof(2), fog(2)\) এবং \(fog(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(gof(2)=19, fog(2)=5, fog(x)=4x^2-6x+1\)

\(Q.2.(xxi)\) \(f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, নিম্নলিখিত রাশিগুলির মাণ নির্ণয় কর।
\((a)\) \(gog\)
\((b)\) \(fof\)
\((c)\) \(gof\)
উত্তরঃ \(gog=4x-9, fof=x^4+6x^3+14x^2+15x+5\), \(gof=2x^2+6x-1\)

\(Q.2.(xxii)\) \(y=f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}\) হলে, দেখাও যে, \(f(y)=x\) অথবা, \(f^{-1}(x)=f(x)\)
[ বুটেক্স ২০০৬-২০০৭; চঃ ২০১২,২০০৮,২০০৫; ঢাঃ ২০১৪,২০১৩,২০১১,২০০২; রাঃ ২০১৬,২০১২,২০০৪; কুঃ ২০১৩,২০০৬; সিঃ ২০১৩,২০০৯; বঃ২০১১,২০০৭,২০০৪; দিঃ ২০১৪,২০০৯; মাঃ ২০১৪,২০১১ ]

\(Q.2.(xxiii)\) \(f(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}\).
[ সিঃ ২০১6 ]

\(Q.2.(xxiv)\) \(y=f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\) অথবা, \(f(y)\)-এর মাণ \(x\)-এর মাধ্যমে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(y)=x\)
[ ঢাঃ ২০১৬;যঃ২০১৪; কুঃ, সিঃ ২০০১ ]

\(Q.2.(xxv)\) যদি, \(y=f(x)=\frac{5x+3}{4x-5}\) হয় তবে দেখাও যে, \(f(y)=x\).
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]

\(Q.2.(xxvi)\) যদি, \(y=f(x)=\frac{lx+m}{nx-l}\) হয় তবে দেখাও যে, \(f(y)=x\).
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]

\(Q.2.(xxvii)\) \(f:\mathbb{R}-\{\frac{5}{4}\}\rightarrow \mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) ফাংশনটি \(f(x)=\frac{2x+3}{4x-5}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় তবে \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{5x+3}{4x-2}\)
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]

\(Q.2.(xxviii)\) \(f\) ও \(g\) দ্বারা বাস্তব সংখ্যার ফাংশন সূচিত হলে, এবং \(f(x)=x+1, g(x)=x^2 \) হলে, \(f(g(x))\) এবং \(g(f(x))\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(g(x))=x^2+1\); \(g(f(x))=x^2+2x+1\)

\(Q.2.(xxix)\) \(f(x)=2x^3+3\) এবং \(g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\) হলে, দেখাও যে, \(gof=fog\).

1 2 3 4 5 6