অন্বয় ও ফাংশন-১

অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.2.(i)\) \(A=\{1, 2, 3, 4\}\) এবং \(B=\{1, 2, 3, 4, 5\}; f(x)=x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f:A\rightarrow B\)-এর ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। ফাংশনটি কি সার্বিক?
উত্তরঃ ডোমেন \(=A\), রেঞ্জ \(=\{2, 3, 4, 5\}\)। এটি সার্বিক নয়।
[ কুঃ ২০১২]

\(Q.2.(ii)\) মনে করি, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট, \(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, f:A\rightarrow B\) যেখানে, \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)।
[ সিঃ ২০১৪,২০১১; কুঃ ২০১০; রাঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০০৬; যঃ ২০০১]

\(Q.2.(iii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x-3\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা কারণসহ উল্লেখ কর। \(f\) এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন হলে এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}\)।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১৩, ২০১০]

\(Q.2.(iv)\) \(f(x)=\frac{2x+7}{3x-2}; x\in \mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\). দেখাও যে, \(f^{-1}=f(x)\)।
[ বঃ ২০১৭]

\(Q.2.(v)\) \(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}, g:A\rightarrow B, g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\). এর অস্তিত্ব যাচাই পূর্বক \(g^{-1}\) নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(g^{-1}(x)=\frac{x+5}{1-3x}\)।
[ দিঃ ২০১৭]

\(Q.2.(vi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3+5\).ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা কারণসহ উল্লেখ কর ।
[ ঢাঃ,সিঃ,বঃ ২০১৩]

\(Q.2.(vii)\) যদি, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট হয়, \(A, B \subset \mathbb{R}, A=B=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) যেখানে, \(f(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\) তাহলে, \(f\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) ও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}; f^{-1}(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\)।
[ বুয়েট ২০১৪-২০১৫]

\(Q.2.(viii)\) \(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) হলে, \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-2x}\)।
[ দিঃ ২০০৯; মাঃ২০১৩, ২০১০]

\(Q.2.(ix)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । নিচের অন্বয়গুলি সেট আকারে প্রকাশ কর।
\(Q.2.(ix)(a)\) \(f^{-1}(9)\)
উত্তরঃ \(\{-3, 3\}\)।
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০; বঃ২০০৬]

\(Q.2.(ix)(b)\) \(f^{-1}([16, 36])\)
উত্তরঃ \( [4, 6]\cup [-6, -4]\).

\(Q.2.(ix)(c)\) \(f^{-1}(-16)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \) ।
[ যঃ ২০১১ ]

\(Q.2.(ix)(d)\) \(f^{-1}(\{16, 25\})\)
উত্তরঃ \( [4, 5]\cup [-5, -4]\)

\(Q.2.(ix)(e)\) \(f^{-1}(25)\)
উত্তরঃ \(\{-5, 5\}\)।
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০]

\(Q.2.(ix)(f)\) \(f^{-1}([4, 25])\)
উত্তরঃ \( [2, 5]\cup [-5, -2]\)
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০]

\(Q.2.(ix)(g)\) \(f^{-1}(-4)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \) ।

\(Q.2.(ix)(h)\) \(f^{-1}([-1, 1])\)
উত্তরঃ \([-1, 1] \).

\(Q.2.(ix)(i)\) \(f^{-1}(16)\)
উত্তরঃ \(\{-4, 4\}\)

\(Q.2.(ix)(j)\) \(f^{-1}(36)\)
উত্তরঃ \(\{-6, 6\}\)

\(Q.2.(x)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । নিচের অন্বয়গুলি সেট আকারে প্রকাশ কর।
\(Q.2.(x)(a)\) \(f^{-1}(10)\)
উত্তরঃ \(\{-3, 3\}\)।
[ ঢাঃ, রাঃ,দিঃ ২০১৪; কুঃ ২০১১; যঃ ২০০৮]

\(Q.2.(x)(b)\) \(f^{-1}(0)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \).

\(Q.2.(x)(c)\) \(f^{-1}([10, 26])\)
উত্তরঃ \([3, 5]\cup [-5, -3]\).
[ দিঃ২০০১৪; যঃ ২০০৮; কুঃ ২০০৩; বঃ২০১১ ]

\(Q.2.(x)(d)\) \(f^{-1}(5)\)
উত্তরঃ \(\{-2, 2\} \) ।
[ চঃ২০০০]

\(Q.2.(x)(e)\) \(f^{-1}([5, 37])\)
উত্তরঃ \([2, 6]\cup [-6, -2] \).
[ বঃ ২০১১]

\(Q.2.(x)(f)\) \(f^{-1}(-5)\)
উত্তরঃ \( \emptyset \) ।
[ যঃ২০০৮; কুঃ২০০৩]

\(Q.2.(x)(g)\) \(f^{-1}(2)\)
উত্তরঃ \(\{-1, 1\} \) ।
[ যঃ২০০৮; কুঃ২০০৩]

\(Q.2.(xi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x^2-7\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f^{-1}(2)\)-এর মানকে সেটে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(2)=\{-3, 3\} \) ।
[ রাঃ২০১০; চঃ২০০৩]

\(Q.2.(xii)\) \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\) হলে, \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7 \)।
[যঃ২০১৭]

\(Q.2.(xiii)\) \(g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\) এবং \(h(x)=x^2+1\) হলে, দেখাও যে, \(hog(1)-goh(2)=2\).
[ দিঃ২০১৭]

\(Q.2.(xiv)\) \(g(x)=(x+5)^n\) এবং \(f(x)=x^2-6, n=\frac{1}{2}\) হলে, \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (-\infty, -1]\cup [1, \infty)\)।
[ সিঃ২০১৭]

\(Q.2.(xv)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(f(x)=x^2-2|x|\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(g(x)=x^2+1\) নিম্নলিখিত রাশিগুলি মাণ নির্ণয় কর।
\(Q.2.(xv)(a)\) \(gof(3)\)
উত্তরঃ \( 10 \)।
[ ঢাঃ ২০০৫; সিঃ২০০৮]

\(Q.2.(xv)(b)\) \(fog(-2)\)
উত্তরঃ \( 15\)।
[ বঃ ২০০৭; যঃ২০০৩]

\(Q.2.(xv)(c)\) \(gof(-4)\)
উত্তরঃ \( 65\)।
[ ঢাঃ ২০০৫; কুঃ২০০৯; যঃ২০০৩ ; সিঃ২০০৮]

\(Q.2.(xv)(d)\) \(fog(5)\)
উত্তরঃ \( 624\)।

\(Q.2.(xvi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+2x-3\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g(x)=3x-4\) হলে, \(g(f(x)), f(g(x)), g(f(2)), f(g(2)), g(f(5)), f(g(5)), g(f(3))\) এবং \( f(g(3))\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 3x^2+6x-13, 9x^2-18x+5, 11, 5, 140, 92, 32, 32 \)।
[ কুঃ ২০০৬; দিঃ২০১৩, ২০১০; সিঃ২০১২]

\(Q.2.(xvii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2, g(x)=x^3+1\) হলে, \(fog(4)\)নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(fog(-3)\ne gof(-3)\)
উত্তরঃ \(fog(4)=4225 \)।
[ঢাঃ ২০১১, ২০০৭; রাঃ২০০৩; বঃ২০০৯]

\(Q.2.(xviii)\) \(f(x)=x^2+3, g(x)=\sqrt{x}\) হলে, \(fog\) এবং \(gof\)নির্ণয় কর। অতঃপর প্রত্যেক ক্ষেত্রে সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(fog(x)=\sqrt{x^2+3}\), ডোমেন \(=[0, \infty )\) , রেঞ্জ \(=[3, \infty )\) এবং \(gof(x)=x+3\), ডোমেন \(=\mathbb{R}\) , রেঞ্জ \(=[\sqrt{3}, \infty )\)
[কুঃ২০১৬]

\(Q.2.(xix)\) \(A, B, C\) প্রত্যেকটি বাস্তব সংখ্যার সেট। \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\) ফাংশনদ্বয়কে \(f(x)=x+1\) এবং \(g(x)=x^2+2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। সংযোজিত ফাংশন \(gof\) এবং \(fog\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(gof(x)=x^2+2x+3 \), \(fog(x)=x^2+3\)
[ মাঃ২০১২]

\(Q.2.(xx)\) \(f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, \(gof(2), fog(2)\) এবং \(fog(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(gof(2)=19, fog(2)=5, fog(x)=4x^2-6x+1\)

\(Q.2.(xxi)\) \(f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, নিম্নলিখিত রাশিগুলির মাণ নির্ণয় কর।
\((a)\) \(gog\)
\((b)\) \(fof\)
\((c)\) \(gof\)
উত্তরঃ \(gog=4x-9, fof=x^4+6x^3+14x^2+15x+5 , gof=2x^2+6x-1\)

\(Q.2.(xxii)\) \(y=f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}\) হলে, দেখাও যে, \(f(y)=x\) অথবা, \(f^{-1}(x)=f(x)\)
[ বুটেক্স ২০০৬-২০০৭; চঃ ২০১২,২০০৮,২০০৫; ঢাঃ ২০১৪,২০১৩,২০১১,২০০২; রাঃ ২০১৬,২০১২,২০০৪; কুঃ ২০১৩,২০০৬; সিঃ ২০১৩,২০০৯; বঃ২০১১,২০০৭,২০০৪; দিঃ ২০১৪,২০০৯; মাঃ ২০১৪,২০১১ ]

\(Q.2.(xxiii)\) \(f(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}\).
[ সিঃ ২০১6 ]

\(Q.2.(xxiv)\) \(y=f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\) অথবা, \(f(y)\)-এর মাণ \(x\)-এর মাধ্যমে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(y)=x\)
[ ঢাঃ ২০১৬;যঃ২০১৪; কুঃ, সিঃ ২০০১ ]

\(Q.2.(xxv)\) যদি, \(y=f(x)=\frac{5x+3}{4x-5}\) হয় তবে দেখাও যে, \(f(y)=x\).
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]

\(Q.2.(xxvi)\) যদি, \(y=f(x)=\frac{lx+m}{nx-l}\) হয় তবে দেখাও যে, \(f(y)=x\).
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]

\(Q.2.(xxvii)\) \(f:\mathbb{R}-\{\frac{5}{4}\}\rightarrow \mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) ফাংশনটি \(f(x)=\frac{2x+3}{4x-5}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় তবে \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{5x+3}{4x-2}\)
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]

\(Q.2.(xxviii)\) \(f\) ও \(g\) দ্বারা বাস্তব সংখ্যার ফাংশন সূচিত হলে, এবং \(f(x)=x+1, g(x)=x^2 \) হলে, \(f(g(x))\) এবং \(g(f(x))\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(g(x))=x^2+1\); \(g(f(x))=x^2+2x+1\)

অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.2\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.2.(i)\) \(A=\{1, 2, 3, 4\}\) এবং \(B=\{1, 2, 3, 4, 5\}; f(x)=x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f:A\rightarrow B\)-এর ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। ফাংশনটি কি সার্বিক?
উত্তরঃ ডোমেন \(=A\), রেঞ্জ \(=\{2, 3, 4, 5\}\)। এটি সার্বিক নয়।
[ কুঃ ২০১২]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে ,
\(A=\{1, 2, 3, 4\}\) এবং \(B=\{1, 2, 3, 4, 5\}; f(x)=x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
এখান,
\(f(1)=1+1\)
\(=2\)
\(f(2)=2+1\)
\(=3\)
\(f(3)=3+1\)
\(=4\)
\(f(4)=4+1\)
\(=5\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন \(D_f=\{1, 2, 3, 4\}=A\)
\(f\)-এর রেঞ্জ \(R_f=\{2, 3, 4, 5\}\)
যেহেতু, \(R_f\ne\) কো-ডোমেন \(B\)
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক নয়।

\(Q.2.(ii)\) মনে করি, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট, \(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, f:A\rightarrow B\) যেখানে, \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)।
[ সিঃ ২০১৪,২০১১; কুঃ ২০১০; রাঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০০৬; যঃ ২০০১]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে ,
\(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, f:A\rightarrow B\)
যেখানে, \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(2x+1\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 2x\ne -1\)
\(\Rightarrow x\ne -\frac{1}{2}\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(\Rightarrow 2xy+y=x-3\)
\(\Rightarrow 2xy-x=-y-3\)
\(\Rightarrow -x(1-2y)=-(y+3)\)
\(\Rightarrow x(1-2y)=y+3\)
\(\Rightarrow x=\frac{y+3}{1-2y}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(1-2y\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow -2y\ne -1\)
\(\Rightarrow 2y\ne 1\)
\(\therefore y\ne \frac{1}{2}\)
\(f\)-এর রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
যেহেতু, \(R_f=\) কো-ডোমেন \(B\)
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক।
আবার,
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=\frac{x-3}{2x+1} …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=\frac{a-3}{2a+1} ……(2)\)
\(f(b)=\frac{b-3}{2b+1} ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(\frac{a-3}{2a+1}=\frac{b-3}{2b+1}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{2}(2a+1)-\frac{7}{2}}{2a+1}=\frac{\frac{1}{2}(2b+1)-\frac{7}{2}}{2b+1}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}-\frac{7}{2(2a+1)}=\frac{1}{2}-\frac{7}{2(2b+1)}\)
\(\Rightarrow -\frac{7}{2(2a+1)}=-\frac{7}{2(2b+1)}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2a+1}=\frac{1}{2b+1}\)
\(\Rightarrow 2a+1=2b+1\)
\(\Rightarrow 2a=2b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
\(\therefore \) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।

\(Q.2.(iii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x-3\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা কারণসহ উল্লেখ কর। \(f\) এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন হলে এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}=\frac{x+3}{2}\)।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১৩, ২০১০]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে ,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\),
\(f(x)=2x-3\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=2x-3 …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=2a-3 ……(2)\)
\(f(b)=2b-3 ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(2a-3=2b-3\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 2a=2b\)
\(\Rightarrow a=b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
আবার,
ধরি,
\(y=2x-3\)
\(\Rightarrow 2x-3=y\)
\(\Rightarrow 2x=y+3\)
\(\therefore x=\frac{y+3}{2}\)
\(y\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(x\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\)
যেহেতু, \(R_f=\) কো-ডোমেন \(\mathbb{R}\)
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক।
\(\therefore \) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
যেহেতু ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক ফলে, \(f^{-1}\) বিদ্যমান।
ধরি,
\(y=f(x)=2x-3\)
\(\Rightarrow 2x-3=y; f(x)=y\)
\(\Rightarrow 2x=y+3; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{y+3}{2}; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y+3}{2}\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।

\(Q.2.(iv)\) \(f(x)=\frac{2x+7}{3x-2}; x\in \mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\). দেখাও যে, \(f^{-1}=f(x)\)।
[ বঃ ২০১৭]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে ,
\(f(x)=\frac{2x+7}{3x-2}; x\in \mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\).
ধরি,
\(f(x)=\frac{2x+7}{3x-2} …….(1)\)
এবং
\(y=f(x)=\frac{2x+7}{3x-2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2x+7}{3x-2}; f(x)=y\)
\(\Rightarrow 3xy-2y=2x+7; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow 3xy-2x=2y+7; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x(3y-2)=2y+7; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{2y+7}{3y-2}; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{2y+7}{3y-2}\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{2x+7}{3x-2} …….(2)\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\((1)\) ও \((2)\)-এর সাহায্যে,
\(f^{-1}=f(x)\)।
(showed)

\(Q.2.(v)\) \(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}, g:A\rightarrow B, g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\). এর অস্তিত্ব যাচাই পূর্বক \(g^{-1}\) নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(g^{-1}(x)=\frac{x+5}{1-3x}\)।
[ দিঃ ২০১৭]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে ,
\(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}, g:A\rightarrow B, g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\).
ধরি,
\((a, b)\in D_g\)
\(g(x)=\frac{x-5}{3x+1} …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(a)=\frac{a-5}{3a+1} ……(2)\)
\(g(b)=\frac{b-5}{3b+1} ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(g(a)=g(b)\)
\(\frac{a-5}{3a+1}=\frac{b-5}{3b+1}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 3ab+a-15b-5=3ab+b-15a-5\)
\(\Rightarrow a-15b=b-15a\)
\(\Rightarrow a+15a=b+15b\)
\(\Rightarrow 16a=16b\)
\(\Rightarrow a=b\)
\(\therefore g\) একটি এক-এক ফাংশন।
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{x-5}{3x+1}\)
\(\Rightarrow 3xy+y=x-5\)
\(\Rightarrow 3xy-x=-y-5\)
\(\Rightarrow -x(1-3y)=-(y+5)\)
\(\Rightarrow x(1-3y)=y+5\)
\(\therefore x=\frac{y+5}{1-3y}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(1-3y\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow -3y\ne -1\)
\(\Rightarrow 3y\ne 1\)
\(\Rightarrow y\ne \frac{1}{3}\)
\(\therefore g\)-এর রেঞ্জ \(R_g=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}\)
যেহেতু, \(R_g=\) কো-ডোমেন \(B\)
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক।
\(\therefore \) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
যেহেতু ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক ফলে, \(g^{-1}\) বিদ্যমান।
ধরি,
\(y=g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-5}{3x+1}; g(x)=y\)
\(\Rightarrow 3xy+y=x-5; x=g^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow 3xy-x=-y-5; x=g^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x(1-3y)=y+5; x=g^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{y+5}{1-3y}; x=g^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow g^{-1}(y)=\frac{y+5}{1-3y}\)
\(\therefore g^{-1}(x)=\frac{x+5}{1-3x}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।

\(Q.2.(vi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3+5\).ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা কারণসহ উল্লেখ কর ।
[ ঢাঃ,সিঃ,বঃ ২০১৩]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে ,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\),
\(f(x)=x^3+5\).
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=x^3+5 …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a^3+5 ……(2)\)
\(f(b)=b^3+5 ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(a^3+5=b^3+5\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow a^3=b^3\)
\(\Rightarrow a=b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
আবার,
ধরি,
\(y=x^3+5\)
\(\Rightarrow x^3+5=y\)
\(\Rightarrow x^3=y-5\)
\(\therefore x=\sqrt[3]{y-5}\)
\(y\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(x\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\)
যেহেতু, \(R_f=\) কো-ডোমেন \(\mathbb{R}\)
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক।
\(\therefore \) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।

\(Q.2.(vii)\) যদি, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট হয়, \(A, B \subset \mathbb{R}, A=B=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) যেখানে, \(f(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\) তাহলে, \(f\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) ও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}; f^{-1}(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\)।
[ বুয়েট ২০১৪-২০১৫]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে ,
\(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{2}{7}\}\)
এবং \(f:A\rightarrow B\) যেখানে, \(f(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\)
এখানে,
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(7x-3\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 7x\ne 3\)
\(\Rightarrow x\ne \frac{3}{7}\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{3x+2}{7x-3}\)
\(\Rightarrow 7xy-3y=3x+2\)
\(\Rightarrow 7xy-3x=3y+2\)
\(\Rightarrow x(7y-3)=3y+2\)
\(\Rightarrow x=\frac{3y+2}{7y-3}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(7y-3\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 7y\ne 3\)
\(\Rightarrow y\ne \frac{3}{7}\)
\(f\)-এর রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}\)
যেহেতু, \(R_f=\) কো-ডোমেন \(B\)
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক।
আবার,
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=\frac{3x+2}{7x-3} …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=\frac{3a+2}{7a-3} ……(2)\)
\(f(b)=\frac{3b+2}{7b-3} ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(\frac{3a+2}{7a-3}=\frac{3b+2}{7b-3}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 21ab+14b-9a-6=21ab+14a-9b-6\)
\(\Rightarrow 14b-9a=14a-9b\)
\(\Rightarrow -9a-14a=-9b-14b\)
\(\Rightarrow -23a=-23b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
\(\therefore \) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
ধরি,
\(f(x)=\frac{3x+2}{7x-3} …….(1)\)
এবং
\(y=f(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\)
\(\Rightarrow y=\frac{3x+2}{7x-3}; f(x)=y\)
\(\Rightarrow 7xy-3y=3x+2; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow 7xy-3x=3y+2; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x(7y-3)=3y+2; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{3y+2}{7y-3}; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{3y+2}{7y-3}\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।

\(Q.2.(viii)\) \(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) হলে, \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-2x}\)।
[ দিঃ ২০০৯; মাঃ২০১৩, ২০১০]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে ,
\(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
ধরি,
\(f(x)=\frac{x-3}{2x+1} …….(1)\)
এবং
\(y=f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-3}{2x+1}; f(x)=y\)
\(\Rightarrow 2xy+y=x-3; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow 2xy-x=-y-3; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow -x(1-2y)=-(y+3); x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x(1-2y)=y+3; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{y+3}{1-2y}; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y+3}{1-2y}\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-2x}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।

\(Q.2.(ix)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । নিচের অন্বয়গুলি সেট আকারে প্রকাশ কর।

\(Q.2.(ix)(a)\) \(f^{-1}(9)\)
উত্তরঃ \(\{-3, 3\}\)।
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০; বঃ২০০৬]

সমাধানঃ

\(Q.2.(ix)(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
মনে করি,
\(x=f^{-1}(9)\)
\(\Rightarrow f(x)=9\)
\(\Rightarrow x^2=9\)
\(\therefore x=\pm 3\)
\(\therefore f^{-1}(9)=\{-3, 3\}\)

\(Q.2.(ix)(b)\) \(f^{-1}([16, 36])\)
উত্তরঃ \( [4, 6]\cup [-6, -4]\).

সমাধানঃ

\(Q.2.(ix)(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
সংজ্ঞানুসারে,
\(f^{-1}([16, 36])=\{x: x\in \mathbb{R}, 16\le f(x)\le 36\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 16\le x^2\le 36\}\) | \(\because f(x)=x^2\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 16\le |x|^2\le 36\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 4\le |x|\le 6\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 4\le x\le 6\) অথবা, \(4\le -x\le 6\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 4\le x\le 6\) অথবা, \(-4\ge x\ge -6\}\)
\(= 4\le x\le 6 \) অথবা, \(-4\ge x\ge -6\)
\(= 4\le x\le 6 \) অথবা, \(-6\le x\le -4\)
\(= [4, 6]\cup [-6, -4]\)

\(Q.2.(ix)(c)\) \(f^{-1}(-16)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \) ।
[ যঃ ২০১১ ]

সমাধানঃ

\(Q.2.(ix)(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
সংজ্ঞানুসারে,
\(f^{-1}(-16)=\{x: x\in \mathbb{R}, f(x)=-16\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, x^2=-16\}\) | \(\because f(x)=x^2\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, |x|^2=-16\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R},|x|=\sqrt{-16}\) কাল্পনিক \(\}\)
\(=\emptyset\)

\(Q.2.(ix)(d)\) \(f^{-1}(\{16, 25\})\)
উত্তরঃ \( [4, 5]\cup [-5, -4]\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(ix)(d)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
সংজ্ঞানুসারে,
\(f^{-1}([16, 25])=\{x: x\in \mathbb{R}, 16\le f(x)\le 25\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 16\le x^2\le 25\}\) | \(\because f(x)=x^2\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 16\le |x|^2\le 25\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 4\le |x|\le 5\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 4\le x\le 5\) অথবা, \(4\le -x\le 5\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 4\le x\le 5\) অথবা, \(-4\ge x\ge -5\}\)
\(= 4\le x\le 5 \) অথবা, \(-4\ge x\ge -5\)
\(= 4\le x\le 5 \) অথবা, \(-5\le x\le -4\)
\(= [4, 5]\cup [-5, -4]\)

\(Q.2.(ix)(e)\) \(f^{-1}(25)\)
উত্তরঃ \(\{-5, 5\}\)।
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০]

সমাধানঃ

\(Q.2.(ix)(e)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
মনে করি,
\(x=f^{-1}(25)\)
\(\Rightarrow f(x)=25\)
\(\Rightarrow x^2=25\)
\(\therefore x=\pm 5\)
\(\therefore f^{-1}(9)=\{-5, 5\}\)

\(Q.2.(ix)(f)\) \(f^{-1}([4, 25])\)
উত্তরঃ \( [2, 5]\cup [-5, -2]\)
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০]

সমাধানঃ

\(Q.2.(ix)(f)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
সংজ্ঞানুসারে,
\(f^{-1}([4, 25])=\{x: x\in \mathbb{R}, 4\le f(x)\le 25\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 4\le x^2\le 25\}\) | \(\because f(x)=x^2\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 4\le |x|^2\le 25\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 2\le |x|\le 5\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 2\le x\le 5\) অথবা, \(2\le -x\le 5\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 2\le x\le 5\) অথবা, \(-2\ge x\ge -5\}\)
\(= 2\le x\le 5 \) অথবা, \(-2\ge x\ge -5\)
\(= 2\le x\le 5 \) অথবা, \(-5\le x\le -2\)
\(= [2, 5]\cup [-5, -2]\)

\(Q.2.(ix)(g)\) \(f^{-1}(-4)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \) ।

সমাধানঃ

\(Q.2.(ix)(g)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
সংজ্ঞানুসারে,
\(f^{-1}(-4)=\{x: x\in \mathbb{R}, f(x)=-4\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, x^2=-4\}\) | \(\because f(x)=x^2\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, |x|^2=-4\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R},|x|=\sqrt{-4}\) কাল্পনিক \(\}\)
\(=\emptyset\)

\(Q.2.(ix)(h)\) \(f^{-1}([-1, 1])\)
উত্তরঃ \([-1, 1] \).

সমাধানঃ

\(Q.2.(ix)(h)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
সংজ্ঞানুসারে,
\(f^{-1}([-1, 1])=\{x: x\in \mathbb{R}, -1\le f(x)\le 1\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, -1\le x^2\le 1\}\) | \(\because f(x)=x^2\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, -1\le |x|^2\le 1\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, |x|^2\le 1\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, |x|\le 1\}\)
\(=-1\le x\le 1\)
\(=[-1, 1]\)

\(Q.2.(ix)(i)\) \(f^{-1}(16)\)
উত্তরঃ \(\{-4, 4\}\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(ix)(i)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
সংজ্ঞানুসারে,
\(f^{-1}(16)=\{x: x\in \mathbb{R}, f(x)=16\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, x^2=16\}\) | \(\because f(x)=x^2\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, |x|^2=16\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, |x|=\pm 4\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, x=\pm 4\}\)
\(=\{-4, 4\}\)

\(Q.2.(ix)(j)\) \(f^{-1}(36)\)
উত্তরঃ \(\{-6, 6\}\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(ix)(j)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
সংজ্ঞানুসারে,
\(f^{-1}(36)=\{x: x\in \mathbb{R}, f(x)=36\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, x^2=36\}\) | \(\because f(x)=x^2\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, |x|^2=36\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, |x|=\pm 6\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, x=\pm 6\}\)
\(=\{-6, 6\}\)

\(Q.2.(x)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । নিচের অন্বয়গুলি সেট আকারে প্রকাশ কর।

\(Q.2.(x)(a)\) \(f^{-1}(10)\)
উত্তরঃ \(\{-3, 3\}\)।
[ ঢাঃ, রাঃ,দিঃ ২০১৪; কুঃ ২০১১; যঃ ২০০৮]

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
মনে করি,
\(x=f^{-1}(10)\)
\(\Rightarrow f(x)=10\)
\(\Rightarrow x^2+1=10\) | \(\because f(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow x^2=10-1\)
\(\Rightarrow x^2=9\)
\(\therefore x=\pm 3\)
\(\therefore f^{-1}(10)=\{-3, 3\}\)

\(Q.2.(x)(b)\) \(f^{-1}(0)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \).

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
মনে করি,
\(x=f^{-1}(0)\)
\(\Rightarrow f(x)=0\)
\(\Rightarrow x^2+1=0\) | \(\because f(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow x^2=-1\)
\(\therefore x=\sqrt{-1}=\)কাল্পনিক।
\(\therefore f^{-1}(0)=\emptyset \)

\(Q.2.(x)(c)\) \(f^{-1}([10, 26])\)
উত্তরঃ \([3, 5]\cup [-5, -3]\).
[ দিঃ২০০১৪; যঃ ২০০৮; কুঃ ২০০৩; বঃ২০১১ ]

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
সংজ্ঞানুসারে,
\(f^{-1}([10, 26])=\{x: x\in \mathbb{R}, 10\le f(x)\le 26\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 10\le x^2+1\le 26\}\) | \(\because f(x)=x^2+1\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 10-1\le x^2+1-1\le 26-1\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 9\le x^2\le 25\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 9\le |x|^2\le 25\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 3\le |x|\le 5\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 3\le x\le 5\) অথবা, \(3\le -x\le 5\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 3\le x\le 5\) অথবা, \(-3\ge x\ge -5\}\)
\(= 3\le x\le 5 \) অথবা, \(-3\ge x\ge -5\)
\(= 3\le x\le 5 \) অথবা, \(-5\le x\le -3\)
\(= [3, 5]\cup [-5, -3]\)

\(Q.2.(x)(d)\) \(f^{-1}(5)\)
উত্তরঃ \(\{-2, 2\}\) ।
[ চঃ২০০০]

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(d)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
মনে করি,
\(x=f^{-1}(5)\)
\(\Rightarrow f(x)=5\)
\(\Rightarrow x^2+1=5\) | \(\because f(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow x^2=5-1\)
\(\Rightarrow x^2=4\)
\(\therefore x=\pm 2\)
\(\therefore f^{-1}(5)=\{-2, 2\}\)

\(Q.2.(x)(e)\) \(f^{-1}([5, 37])\)
উত্তরঃ \([2, 6]\cup [-6, -2] \).
[ বঃ ২০১১]

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(e)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
সংজ্ঞানুসারে,
\(f^{-1}([5, 37])=\{x: x\in \mathbb{R}, 5\le f(x)\le 37\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 5\le x^2+1\le 37\}\) | \(\because f(x)=x^2+1\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 5-1\le x^2+1-1\le 37-1\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 4\le x^2\le 36\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 4\le |x|^2\le 36\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 2\le |x|\le 6\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 2\le x\le 6\) অথবা, \(2\le -x\le 6\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 2\le x\le 6\) অথবা, \(-2\ge x\ge -6\}\)
\(= 2\le x\le 6 \) অথবা, \(-2\ge x\ge -6\)
\(= 2\le x\le 6 \) অথবা, \(-6\le x\le -2\)
\(= [2, 6]\cup [-6, -2]\)

\(Q.2.(x)(f)\) \(f^{-1}(-5)\)
উত্তরঃ \( \emptyset \) ।
[ যঃ২০০৮; কুঃ২০০৩]

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(f)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
মনে করি,
\(x=f^{-1}(-5)\)
\(\Rightarrow f(x)=-5\)
\(\Rightarrow x^2+1=-5\) | \(\because f(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow x^2=-5-1\)
\(\Rightarrow x^2=-6\)
\(\therefore x=\sqrt{-6}=\)কাল্পনিক।
\(\therefore f^{-1}(-5)=\emptyset \)

\(Q.2.(x)(g)\) \(f^{-1}(2)\)
উত্তরঃ \(\{-1, 1\} \) ।

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(g)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
মনে করি,
\(x=f^{-1}(2)\)
\(\Rightarrow f(x)=2\)
\(\Rightarrow x^2+1=2\) | \(\because f(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow x^2=2-1\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\therefore x=\pm \sqrt{1}=\)
\(\therefore f^{-1}(2)=\{-1, 1\}\)

\(Q.2.(xi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x^2-7\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f^{-1}(2)\)-এর মানকে সেটে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(2)=\{-3, 3\} \) ।
[ রাঃ২০১০; চঃ২০০৩]

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(g)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
ফাংশনটি \(f(x)=x^2-7\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
মনে করি,
\(x=f^{-1}(2)\)
\(\Rightarrow f(x)=2\)
\(\Rightarrow x^2-7=2\) | \(\because f(x)=x^2-7\)
\(\Rightarrow x^2=2+7\)
\(\Rightarrow x^2=9\)
\(\therefore x=\pm 3\)
\(\therefore f^{-1}(5)=\{-3, 3\}\)

\(Q.2.(xii)\) \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\) হলে, \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7 \)।
[যঃ২০১৭]

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(g)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x-5\)
এবং \(g(x)=x^2+6\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=\{f(x)\}^2+6\) | \(\because g(x)=x^2+6\)
\(\Rightarrow gof(x)=\{2x-5\}^2+6\) | \(\because f(x)=2x-5\)
\(\Rightarrow gof(x)=4x^2-20x+25+6\)
\(\Rightarrow gof(x)=4x^2-20x+31\)
\(\therefore gof(2)=4.2^2-20.2+31\)
\(=4.4-40+31\)
\(=16-40+31\)
\(=47-40\)
\(=7\)

\(Q.2.(xiii)\) \(g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\) এবং \(h(x)=x^2+1\) হলে, দেখাও যে, \(hog(1)-goh(2)=2\).
[ দিঃ২০১৭]

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(g)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\)
এবং \(h(x)=x^2+1\)
আমরা জানি,
\(hog(x)=h(g(x))\)
\(\Rightarrow hog(x)=\{g(x)\}^2+1\) | \(\because h(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow hog(x)=\{\frac{x-5}{3x+1}\}^2+1\) | \(\because g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\)
\(\Rightarrow hog(1)=\{\frac{1-5}{3.1+1}\}^2+1\)
\(=\{\frac{-4}{3+1}\}^2+1\)
\(=\{\frac{-4}{4}\}^2+1\)
\(=\{-1\}^2+1\)
\(=1+1\)
\(\therefore hog(1)=2\)
আবার,
\(goh(x)=g(h(x))\)
\(\Rightarrow goh(x)=\frac{h(x)-5}{3h(x)+1}\) | \(\because g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\)
\(\Rightarrow goh(x)=\frac{x^2+1-5}{3(x^2+1)+1}\) | \(\because h(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow goh(x)=\frac{x^2-4}{3x^2+3+1}\)
\(\Rightarrow goh(x)=\frac{x^2-4}{3x^2+4}\)
\(\Rightarrow goh(2)=\frac{2^2-4}{3.2^2+4}\)
\(=\frac{4-4}{3.4+4}\)
\(=\frac{0}{12+4}\)
\(=0\)
\(\therefore goh(2)=0\)
এখন,
\(L.S=hog(1)-goh(2)\)
\(=2-0\) | \(\because hog(1)=2; goh(2)=0\)
\(=2=R.S\)
(showed)

\(Q.2.(xiv)\) \(g(x)=(x+5)^n\) এবং \(f(x)=x^2-6, n=\frac{1}{2}\) হলে, \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-\infty, -1]\cup [1, \infty)\)।
[ সিঃ২০১৭]

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(g)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=(x+5)^n\)
এবং \(f(x)=x^2-6, n=\frac{1}{2}\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=(f(x)+5)^n\) | \(\because g(x)=(x+5)^n\)
\(\Rightarrow gof(x)=(x^2-6+5)^n\) | \(\because f(x)=x^2-6\)
\(\Rightarrow gof(x)=(x^2-1)^n\)
\(\Rightarrow gof(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{2}}\) | \(\because n=\frac{1}{2}\)
\(\therefore gof(x)=\sqrt{(x^2-1)}\)
\(gof(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি, \(x^2-1\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow x^2\ge 1\)
\(\Rightarrow |x|^2\ge 1\)
\(\Rightarrow |x|\ge \pm 1\)
\(\Rightarrow |x|\ge 1; |x|\ngeq -1\)
\(\Rightarrow -x\ge 1\) অথবা, \(x\ge 1\)
\(\Rightarrow x\le -1\) অথবা, \(x\ge 1\)
\(\Rightarrow (-\infty, -1])\) অথবা, \([1, \infty)\)
\(\therefore (-\infty, -1]\cup [1, \infty)\)

\(Q.2.(xv)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(f(x)=x^2-2|x|\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(g(x)=x^2+1\) নিম্নলিখিত রাশিগুলি মাণ নির্ণয় কর।

\(Q.2.(xv)(a)\) \(gof(3)\)
উত্তরঃ \( 10 \)।
[ ঢাঃ ২০০৫; সিঃ২০০৮]

সমাধানঃ

\(Q.2.(xv)(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(f(x)=x^2-2|x|\)
এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(g(x)=x^2+1\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=(f(x))^2+1\) | \(\because g(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow gof(x)=(x^2-2|x|)^2+1\) | \(\because f(x)=x^2-2|x|\)
\(\Rightarrow gof(3)=(3^2-2|3|)^2+1\)
\(=(9-2.3)^2+1\)
\(=(9-6)^2+1\)
\(=(3)^2+1\)
\(=9+1\)
\(=10\)

\(Q.2.(xv)(b)\) \(fog(-2)\)
উত্তরঃ \( 15\)।
[ বঃ ২০০৭; যঃ২০০৩]

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(f(x)=x^2-2|x|\)
এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(g(x)=x^2+1\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(\Rightarrow fog(x)=(g(x))^2-2|g(x)|\) | \(\because f(x)=x^2-2|x|\)
\(\Rightarrow fog(x)=(x^2+1)^2-2|x^2+1|\) | \(\because g(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow fog(-2)=\{(-2)^2+1\}^2-2|(-2)^2+1|\)
\(=\{4+1\}^2-2|4+1|\)
\(=\{5\}^2-2|5|\)
\(=25-2.5\)
\(=25-10\)
\(=15\)

\(Q.2.(xv)(c)\) \(gof(-4)\)
উত্তরঃ \( 65\)।
[ ঢাঃ ২০০৫; কুঃ২০০৯; যঃ২০০৩ ; সিঃ২০০৮]

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(f(x)=x^2-2|x|\)
এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(g(x)=x^2+1\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=(f(x))^2+1\) | \(\because g(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow fog(x)=(x^2-2|x|)^2+1\) | \(\because f(x)=x^2-2|x|\)
\(\Rightarrow fog(-4)=\{(-4)^2-2|-4|\}^2+1\)
\(=\{16-2.4\}^2+1\)
\(=\{16-8\}^2+1\)
\(=\{8\}^2+1\)
\(=64+1\)
\(=65\)

\(Q.2.(xv)(d)\) \(fog(5)\)
উত্তরঃ \( 624\)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(x)(d)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(f(x)=x^2-2|x|\)
এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(g(x)=x^2+1\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(\Rightarrow fog(x)=(g(x))^2-2|g(x)|\) | \(\because f(x)=x^2-2|x|\)
\(\Rightarrow fog(x)=(x^2+1)^2-2|x^2+1|\) | \(\because g(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow fog(5)=(5^2+1)^2-2|5^2+1|\)
\(=(25+1)^2-2|25+1|\)
\(=(26)^2-2|26|\)
\(=676-2.26\)
\(=676-52\)
\(=624\)

\(Q.2.(xvi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+2x-3\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g(x)=3x-4\) হলে, \(g(f(x)), f(g(x)), g(f(2)), f(g(2)), g(f(5)), f(g(5)), g(f(3))\) এবং \( f(g(3))\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 3x^2+6x-13, 9x^2-18x+5, 11, 5, 92, 140, 32, 32 \)।
[ কুঃ ২০০৬; দিঃ২০১৩, ২০১০; সিঃ২০১২]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+2x-3\)
এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g(x)=3x-4\)
এখন,
\(g(f(x))=3f(x)-4\) | \(\because g(x)=3x-4\)
\(=3(x^2+2x-3)-4\) | \(\because f(x)=x^2+2x-3\)
\(=3x^2+6x-9-4\)
\(=3x^2+6x-13\)
আবার,
\(f(g(x))=\{g(x)\}^2+2g(x)-3\) | \(\because f(x)=x^2+2x-3\)
\(=\{3x-4\}^2+2(3x-4)-3\) | \(\because g(x)=3x-4\)
\(=9x^2-24x+16+6x-8-3\)
\(=9x^2-18x+16-11\)
\(=9x^2-18x+5\)
আবার,
প্রথম অংশ হতে প্রাপ্ত,
\(g(f(x))=3x^2+6x-13\)
\(\therefore g(f(2))=3.2^2+6.2-13\)
\(=3.4+12-13\)
\(=12-1\)
\(=11\)
আবার,
দ্বিতীয় অংশ হতে প্রাপ্ত,
\(f(g(x))=9x^2-18x+5\)
\(\therefore f(g(2))=9.2^2-18.2+5\)
\(=9.4-36+5\)
\(=36-36+5\)
\(=5\)
আবার,
প্রথম অংশ হতে প্রাপ্ত,
\(g(f(x))=3x^2+6x-13\)
\(\therefore g(f(5))=3.5^2+6.5-13\)
\(=3.25+30-13\)
\(=75+17\)
\(=92\)
আবার,
দ্বিতীয় অংশ হতে প্রাপ্ত,
\(f(g(x))=9x^2-18x+5\)
\(\therefore f(g(5))=9.5^2-18.5+5\)
\(=9.25-90+5\)
\(=225-85\)
\(=140\)
আবার,
প্রথম অংশ হতে প্রাপ্ত,
\(g(f(x))=3x^2+6x-13\)
\(\therefore g(f(3))=3.3^2+6.3-13\)
\(=3.9+18-13\)
\(=27+5\)
\(=32\)
আবার,
দ্বিতীয় অংশ হতে প্রাপ্ত,
\(f(g(x))=9x^2-18x+5\)
\(\therefore f(g(3))=9.3^2-18.3+5\)
\(=9.9-54+5\)
\(=81-49\)
\(=32\)

\(Q.2.(xvii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2, g(x)=x^3+1\) হলে, \(fog(4)\)নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(fog(-3)\ne gof(-3)\)
উত্তরঃ \(fog(4)=4225 \)।
[ঢাঃ ২০১১, ২০০৭; রাঃ২০০৩; বঃ২০০৯]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
এবং \( f(x)=x^2, g(x)=x^3+1\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(\Rightarrow fog(x)=(g(x))^2\) | \(\because f(x)=x^2\)
\(\Rightarrow fog(x)=(x^3+1)^2\) | \(\because g(x)=x^3+1\)
\(\Rightarrow fog(x)=x^6+2x^3+1\)
\(\therefore fog(4)=4^6+2.4^3+1\)
\(=4096+2.64+1\)
\(=4096+128+1\)
\(=4225\)
আবার,
\(\Rightarrow fog(x)=x^6+2x^3+1\)
\(\therefore fog(-3)=(-3)^6+2(-3)^3+1\)
\(=729+2(-27)+1\)
\(=729-54+1\)
\(=730-54\)
\(=676\)
আবার,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=(f(x))^3+1\) | \(\because g(x)=x^3+1\)
\(\Rightarrow gof(x)=(x^2)^3+1\) | \(\because f(x)=x^2\)
\(\Rightarrow gof(x)=x^6+1\)
\(\therefore gof(-3)=(-3)^6+1\)
\(=729+1\)
\(=730\)
\(\therefore fog(-3)\ne gof(-3)\)
(showed)

\(Q.2.(xviii)\) \(f(x)=x^2+3, g(x)=\sqrt{x}\) হলে, \(fog\) এবং \(gof\)নির্ণয় কর। অতঃপর প্রত্যেক ক্ষেত্রে সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(fog(x)=\sqrt{x^2+3}\), ডোমেন \(=[0, \infty )\) , রেঞ্জ \(=[3, \infty )\) এবং \(gof(x)=x+3\), ডোমেন \(=\mathbb{R}\) , রেঞ্জ \(=[\sqrt{3}, \infty )\)
[কুঃ২০১৬]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+3, g(x)=\sqrt{x}\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(\Rightarrow fog(x)=(g(x))^2+3\) | \(\because f(x)=x^2+3\)
\(\Rightarrow fog(x)=(\sqrt{x})^2+3\) | \(\because g(x)=\sqrt{x}\)
\(\therefore fog(x)=x+3\)
আবার,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=\sqrt{f(x)}\) | \(\because g(x)=\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow gof(x)=\sqrt{x^2+3}\) | \(\because f(x)=x^2+3\)
\(\therefore gof(x)=\sqrt{x^2+3}\)
এখানে,
স্পষ্ট যে, \(g(x)\) ফাংশনটি \(f(x)\) ফাংশনের সাথে সংযোজিত।
\(g(x)\)-এর ডোমেনের জন্য \(fog(x)\) সংজ্ঞায়িত।
\(g(x)\)-এর ডোমেন \(D_g=[0, \infty)\)
ফলে, \(fog(x)\) ফাংশনের ডোমেন \(D_{fog}=[0, \infty)\) | \(g(x)\) ফাংশনটি \(f(x)\)-এর সহিত সংযোজিত হয়ে \(fog(x)\) সংযোজিত ফাংশন সৃষ্টি করে।
যার
ডোমেন \(D_{fog}\subseteq D_g\)

আবার,
\(f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_f=[3, \infty)\)
ফলে, \(fog(x)\) ফাংশনের রেঞ্জ \(R_{fog}=[3, \infty)\) | \(g(x)\) ফাংশনটি \(f(x)\)-এর সহিত সংযোজিত হয়ে \(fog(x)\) সংযোজিত ফাংশন সৃষ্টি করে।
যার
রেঞ্জ \(R_{fog}\subseteq R_f\)

আবার,
স্পষ্ট যে, \(f(x)\) ফাংশনটি \(g(x)\) ফাংশনের সাথে সংযোজিত।
\(f(x)\)-এর ডোমেনের জন্য \(gof(x)\) সংজ্ঞায়িত।
\(f(x)\)-এর ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
ফলে, \(gof(x)\) ফাংশনের ডোমেন \(D_{gof}=\mathbb{R}\) | \(f(x)\) ফাংশনটি \(g(x)\)-এর সহিত সংযোজিত হয়ে \(gof(x)\) সংযোজিত ফাংশন সৃষ্টি করে।
যার
ডোমেন \(D_{gof}\subseteq D_g\)

আবার,
\(g(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_g=[0, \infty)\)
ফলে, \(gof(x)\) ফাংশনের রেঞ্জ \(R_{gof}=[\sqrt{3}, \infty)\) | \(\because R_{gof}\subseteq R_g\)

\(Q.2.(xix)\) \(A, B, C\) প্রত্যেকটি বাস্তব সংখ্যার সেট। \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\) ফাংশনদ্বয়কে \(f(x)=x+1\) এবং \(g(x)=x^2+2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। সংযোজিত ফাংশন \(gof\) এবং \(fog\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(gof(x)=x^2+2x+3 \), \(fog(x)=x^2+3\)
[ মাঃ২০১২]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:A\rightarrow B\), \(g:B\rightarrow C\)
এবং \(f(x)=x+1\), \(g(x)=x^2+2\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=(f(x))^2+2\) | \(\because g(x)=x^2+2\)
\(\Rightarrow gof(x)=(x+1)^2+2\) | \(\because f(x)=x+1\)
\(\Rightarrow gof(x)=x^2+2x+1+2\)
\(\therefore gof(x)=x^2+2x+3\)
আবার,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(\Rightarrow fog(x)=g(x)+1\) | \(\because f(x)=x+1\)
\(\Rightarrow fog(x)=x^2+2+1\) | \(\because g(x)=x^2+2\)
\(\therefore fog(x)=x^2+3\)

\(Q.2.(xx)\) \(f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, \(gof(2), fog(2)\) এবং \(fog(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(gof(2)=19, fog(2)=5, fog(x)=4x^2-6x+1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+3x+1\)
এবং \(g(x)=2x-3\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=2f(x)-3\) | \(\because g(x)=2x-3\)
\(\Rightarrow gof(x)=2(x^2+3x+1)-3\) | \(\because f(x)=x^2+3x+1\)
\(\Rightarrow gof(x)=2x^2+6x+2-3\)
\(\Rightarrow gof(x)=2x^2+6x-1\)
\(\therefore gof(2)=2.2^2+6.2-1\)
\(=2.4+12-1\)
\(=8+11\)
\(=19\)
আবার,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(\Rightarrow fog(x)=(g(x))^2+3g(x)+1\) | \(\because f(x)=x^2+3x+1\)
\(\Rightarrow fog(x)=(2x-3)^2+3(2x-3)+1\) | \(\because g(x)=2x-3\)
\(\Rightarrow fog(x)=4x^2-12x+9+6x-9+1\)
\(\therefore fog(x)=4x^2-6x+1\)
আবার,
\(fog(x)=4x^2-6x+1\)
\(\therefore fog(2)=4.2^2-6.2+1\)
\(=4.4-12+1\)
\(=16-11\)
\(=5\)

\(Q.2.(xxi)\) \(f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, নিম্নলিখিত রাশিগুলির মাণ নির্ণয় কর।
\((a)\) \(gog\)
\((b)\) \(fof\)
\((c)\) \(gof\)
উত্তরঃ \(gog=4x-9, fof=x^4+6x^3+14x^2+15x+5 , gof=2x^2+6x-1\)

সমাধানঃ

\(Q.2.(xxi) (a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+3x+1\)
এবং \(g(x)=2x-3\)
আমরা জানি,
\(gog(x)=g(g(x))\)
\(\Rightarrow gog(x)=2g(x)-3\) | \(\because g(x)=2x-3\)
\(\Rightarrow gog(x)=2(2x-3)-3\) | \(\because g(x)=2x-3\)
\(\Rightarrow gog(x)=4x-6-3\)
\(\therefore gog(x)=4x-9\)
\(Q.2.(xxi) (b)\)
আমরা জানি,
\(fof(x)=f(f(x))\)
\(\Rightarrow fof(x)=(f(x))^2+3f(x)+1\) | \(\because f(x)=x^2+3x+1\)
\(\Rightarrow fof(x)=(x^2+3x+1)^2+3(x^2+3x+1)+1\) | \(\because f(x)=x^2+3x+1\)
\(\Rightarrow fof(x)=x^4+9x^2+1+6x^3+6x+2x^2+3x^2+9x+3+1\)
\(\therefore fof(x)=x^4+6x^3+14x^2+15x+5\)
\(Q.2.(xxi) (c)\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(\Rightarrow gof(x)=2f(x)-3\) | \(\because g(x)=2x-3\)
\(\Rightarrow gof(x)=2(x^2+3x+1)-3\) | \(\because f(x)=x^2+3x+1\)
\(\Rightarrow gof(x)=2x^2+6x+2-3\)
\(\Rightarrow gof(x)=2x^2+6x-1\)

\(Q.2.(xxii)\) \(y=f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}\) হলে, দেখাও যে, \(f(y)=x\) অথবা, \(f^{-1}(x)=f(x)\)
[ বুটেক্স ২০০৬-২০০৭; চঃ ২০১২,২০০৮,২০০৫; ঢাঃ ২০১৪,২০১৩,২০১১,২০০২; রাঃ ২০১৬,২০১২,২০০৪; কুঃ ২০১৩,২০০৬; সিঃ ২০১৩,২০০৯; বঃ২০১১,২০০৭,২০০৪; দিঃ ২০১৪,২০০৯; মাঃ ২০১৪,২০১১ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(y=f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}\)
ধরি,
\(f(x)=\frac{4x-7}{2x-4} ……(1)\)
\(f(x)=y ……(2)\)
\(y=\frac{4x-7}{2x-4} ……(3)\)
\((1)\) হতে,
\(f(y)=\frac{4y-7}{2y-4} ……(4)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f_{-1}(y) ……(5)\)
\((2)\) হতে,
\(\Rightarrow y=\frac{4x-7}{2x-4}\)
\(\Rightarrow 2xy-4y=4x-7 \)
\(\Rightarrow 2xy-4x=4y-7)\)
\(\Rightarrow x(2y-4)=4y-7 \)
\(\Rightarrow x=\frac{4y-7}{2y-4})\)
\(\Rightarrow x=f(y)\) | \((4)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f(y)=x\)
(showed)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(\Rightarrow y=\frac{4x-7}{2x-4}\)
\(\Rightarrow 2xy-4y=4x-7 \)
\(\Rightarrow 2xy-4x=4y-7\)
\(\Rightarrow x(2y-4)=4y-7 \)
\(\Rightarrow x=\frac{4y-7}{2y-4}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{4y-7}{2y-4}\) | \((5)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{4x-7}{2x-4}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=f(x)\) | \((1)\)-এর সাহায্যে।।
(showed)

\(Q.2.(xxiii)\) \(f(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}\).
[ সিঃ ২০১6 ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
ধরি,
\(y=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right) ……(1)\)
\(f(x)=y ……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y) …..(3)\)
\((1)\) হতে,
\(y=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
\(\Rightarrow e^y=\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)| \(\because \ln x=y\Rightarrow x=e^y \)
\(\Rightarrow \frac{1-e^y}{1+e^y}=\left(\frac{1+x-1+x}{1+x+1-x}\right)\) | বিয়োজন যোজন করে।
\(\Rightarrow \frac{1-e^y}{1+e^y}=\left(\frac{2x}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1-e^y}{1+e^y}=x\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-e^y}{1+e^y}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{1-e^y}{1+e^y}\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
(showed)

\(Q.2.(xxiv)\) \(y=f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\) অথবা, \(f(y)\)-এর মাণ \(x\)-এর মাধ্যমে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(y)=x\)
[ ঢাঃ ২০১৬;যঃ২০১৪; কুঃ, সিঃ ২০০১ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(y=f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}\)
ধরি,
\(f(x)=\frac{ax+b}{cx-a} ……(1)\)
\(y=\frac{ax+b}{cx-a} ……(2)\)
\((1)\) হতে,
\(f(y)=\frac{ay+b}{cy-a} …..(3)\)
\((2)\) হতে,
\(y=\frac{ax+b}{cx-a}\)
\(\Rightarrow cxy-ay=ax+b\)
\(\Rightarrow cxy-ax=ay+b\)
\(\Rightarrow x(cy-a)=ay+b\)
\(\Rightarrow x=\frac{ay+b}{cy-a}\)
\(\Rightarrow x=f(y)\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow f(y)=x\)
\(\Rightarrow y=f^{-1}x\)
\(\Rightarrow f^{-1}x=y\)
\(\Rightarrow f^{-1}x=\frac{ax+b}{cx-a}\) | \((2)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow f^{-1}x=f(x)\) | \((1)\)-এর সাহায্যে।
(showed)

\(Q.2.(xxv)\) যদি, \(y=f(x)=\frac{5x+3}{4x-5}\) হয় তবে দেখাও যে, \(f(y)=x\).
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(y=f(x)=\frac{5x+3}{4x-5}\)
ধরি,
\(f(x)=\frac{5x+3}{4x-5} ……(1)\)
\(y=\frac{5x+3}{4x-5} ……(2)\)
\((1)\) হতে,
\(f(y)=\frac{5y+3}{4y-5} …..(3)\)
\((2)\) হতে,
\(y=\frac{5x+3}{4x-5}\)
\(\Rightarrow 4xy-5y=5x+3\)
\(\Rightarrow 4xy-5x=5y+3\)
\(\Rightarrow x(4y-5)=5y+3\)
\(\Rightarrow x=\frac{5y+3}{4y-5}\)
\(\Rightarrow x=f(y)\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow f(y)=x\)
(showed)

\(Q.2.(xxvi)\) যদি, \(y=f(x)=\frac{lx+m}{nx-l}\) হয় তবে দেখাও যে, \(f(y)=x\).
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(y=f(x)=\frac{lx+m}{nx-l}\)
ধরি,
\(f(x)=\frac{lx+m}{nx-l} ……(1)\)
\(y=\frac{lx+m}{nx-l} ……(2)\)
\((1)\) হতে,
\(f(y)=\frac{ly+m}{ny-l} …..(3)\)
\((2)\) হতে,
\(y=\frac{lx+m}{nx-l}\)
\(\Rightarrow nxy-ly=lx+m\)
\(\Rightarrow nxy-lx=ly+m\)
\(\Rightarrow x(ny-l)=ly+m\)
\(\Rightarrow x=\frac{ly+m}{ny-l}\)
\(\Rightarrow x=f(y)\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow f(y)=x\)
(showed)

\(Q.2.(xxvii)\) \(f:\mathbb{R}-\{\frac{5}{4}\}\rightarrow \mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) ফাংশনটি \(f(x)=\frac{2x+3}{4x-5}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় তবে \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{5x+3}{4x-2}\)
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}-\{\frac{5}{4}\}\rightarrow \mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
ফাংশনটি \(f(x)=\frac{2x+3}{4x-5}\)
ধরি,
\(y=f(x)=\frac{2x+3}{4x-5} …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(y=\frac{2x+3}{4x-5}; f(x)=y\)
\(\Rightarrow 4xy-5y=2x+3; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow 4xy-2x=5y+3; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x(4y-2)=5y+3; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{5y+3}{4y-2}; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{5y+3}{4y-2}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{5x+3}{4x-2}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{5x+3}{4x-2}\)

\(Q.2.(xxviii)\) \(f\) ও \(g\) দ্বারা বাস্তব সংখ্যার ফাংশন সূচিত হলে, এবং \(f(x)=x+1, g(x)=x^2 \) হলে, \(f(g(x))\) এবং \(g(f(x))\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(g(x))=x^2+1\); \(g(f(x))=x^2+2x+1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f(x)=x+1, g(x)=x^2 \)
প্রদত্ত রাশি,
\(f(g(x))=g(x)+1\) | \(\because f(x)=x+1\)
\(=x^2+1\) | \(\because g(x)=x^2\)
আবার,
প্রদত্ত রাশি,
\(g(f(x))=(f(x))^2\) | \(\because g(x)=x^2\)
\(=(x+1)^2\) | \(\because f(x)=x+1\)
\(=x^2+2x+1\)

1 2 3 4 5