অন্বয় ও ফাংশন-১

অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.3.(i)\) যদি, \(f(x)=x^2+ax+b\) এবং \(f(1)=1, f(2)=2\) হয়, তাহলে \(f(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(f(3)=5\)

\(Q.3.(ii)\) যদি, \(f(x)=\frac{2x+1}{2x-1}\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{f(x)+1}{f(x)-1}=2x\).
[ চঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; বঃ ২০১৩ ]

\(Q.3.(iii)\) যদি, \(f(x)=\frac{3x+5}{3x-5}\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{f(x)+1}{f(x)-1}=\frac{3x}{5}\).

\(Q.3.(iv)\) \(f(t)=\frac{1}{t}\) হলে, দেখাও যে, \(f(y)-f(x)=f\left(\frac{xy}{x-y}\right)\).

\(Q.3.(v)\) \(f(x)=\frac{x-1}{x+1}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{f(x)-f(y)}{1+f(x)f(y)}=\frac{x-y}{1+xy}\).
[ যঃ ২০০২; সিঃ ২০০৫]

\(Q.3.(vi)\) \(f(x)=\frac{x^3-3x^2+1}{x(1-x)}\) হলে, দেখাও যে, \(f\left(\frac{1}{x}\right)=f(1-x)\).

\(Q.3.(vii)\) যদি, \(f(x)=a\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(a)+f(b)=f(a+b)\).
[ রুয়েট ২০০৪-২০০৫; রাঃ ২০১৩, ২০০৮; দিঃ ২০১২; কুঃ, বঃ ২০০৮; ঢাঃ, মাঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪ ]

\(Q.3.(viii)\) যদি, \(f(x)=\frac{1}{2}(3^x+3^{-x}), g(x)=\frac{1}{2}(3^x-3^{-x})\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)\).
[ চঃ ২০১৬, ২০১৪ ]

\(Q.3.(ix)\) যদি, \(f(x)=\ln x\) এবং \(g(x)=x^n\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(g(x))=nf(x)\).
[ রাঃ ২০০৭, ২০০৩; সিঃ ২০০৬ ]

\(Q.3.(x)\) যদি, \(\phi(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(\phi(y)+\phi(z)=\phi \left(\frac{y+z}{1+yz}\right)\).
[বঃ ২০১২; কুঃ ২০১১, ২০০৩;চঃ ২০১০; যঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৪ ]

\(Q.3.(xi)\) যদি, \(f(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2f(x)\).
[ কুয়েট ২০০৪-২০০৫; কুঃ ২০১৬; যঃ ২০১১ ]

\(Q.3.(xii)\) যদি, \(f(x)=e^x+e^{-x}\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(f(x+y)f(x-y)=f(2x)+f(2y)\).
[ কুঃ২০১০,২০০৪;সিঃ ২০০৭,২০০৪; চঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬.২০০৩; রাঃ২০১৫,২০১৪,২০১০,২০০৫; বঃ ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০১২; যঃ ২০১২,২০০৮;মাঃ২০১২ ]

\(Q.3.(xiii)\) \(f(x)=\ln \sin x\), \(\phi(x)=\ln \cos x\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(e^{2\phi(a)}-e^{2f(a)}=e^{\phi(2a)}\).
[ কুঃ২০১২,২০০৫;সিঃ ২০১৪,২০১০,২০০৮; বঃ ২০১৬,২০১৪,২০১০, ২০০৬; রাঃ২০০৯; ঢাঃ ২০১০,২০০৬; যঃ ২০১৬,২০০১৫,২০১০,২০০৩ ]

\(Q.3.(xiv)\) \(f(x)=\ln \sin x\), \(\phi(x)=\ln \cos x\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\(Q.3.(xiv)(a)\) \(e^{2\phi(x)}+e^{2f(x)}=1\).
[ কুঃ২০০২; বঃ ২০১০ ]

\(Q.3.(xiv)(b)\) \(e^{2f(x)}=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\).
[ যঃ ২০১৬ ]

\(Q.3.(xv)\) যদি, \(f(x)=\cos x\)হয়, তবে দেখাও যে,
\(Q.3.(xv)(a)\) \(f(2x)=2\{f(x)\}^2-1\)
[ ঢাঃ ২০০১; যঃ ২০১৩ ]

\(Q.3.(xv)(b)\) \(f(3x)=4\{f(x)\}^3-3f(x)\)
[ ঢাঃ ২০০১; যঃ ২০১৩ ]

\(Q.3.(xvi)\) যদি, \(f(x)=\frac{1-x}{1+x}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(\cos\theta)=\tan^2\frac{\theta}{2}\).
[ কুঃ ২০০৭; বঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৩,২০১০ ]

\(Q.3.(xvii)\) যদি, \(f(x)=\tan x\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\).
[ ঢাঃ ২০০৫ ]

\(Q.3.(xviii)\) \(f(x)=\tan^{-1}x\) হলে, দেখাও যে, \(f(a)+f(b)=f\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\).

\(Q.3.(xix)\) যদি, \(f(x)=\cos(\ln x)\) হয়, তবে \(f(x)f(y)-\frac{1}{2}\{f\left(\frac{x}{y}\right)+f(xy)\}\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
[ সিঃ ২০১৬,২০১৫,২০১১; দিঃ ২০১৬,২০১১; কুঃ ২০১৪ ]

\(Q.3.(xx)\) \(\phi(x)=\cot^{-1}(1+x+x^2)\) হলে, দেখাও যে, \(\phi(0)+2\phi(1)+\phi(2)=\frac{\pi}{2}\).
[ কুঃ ২০১৫; ঢাঃ ২০০৯ ]

\(Q.3.(xxi)\) নিচের ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(a)\) \(y=|x-3|\)
[ সিঃ ২০১৭ ]

\(Q.3.(xxi)(b)\) \(y=\frac{|x|}{x}\)

\(Q.3.(xxi)(c)\) \(y=-5^x\)

\(Q.3.(xxi)(d)\) \(y=\ln(2+x)\)

\(Q.3.(xxi)(e)\) \(y=\sin 3x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)

\(Q.3.(xxi)(f)\) \(y=8+4x+x^2\)

\(Q.3.(xxi)(g)\) \(y=4+3x-x^2\)

\(Q.3.(xxi)(h)\) \(y=x^2+3x-4\)

\(Q.3.(xxi)(i)\) \(y=8+2x-x^2\)

\(Q.3.(xxi)(j)\) \(y=-x^2+3x+2\)

\(Q.3.(xxi)(k)\) \(y=2^{x}\)

\(Q.3.(xxi)(l)\) \(y=-2^{x}\)

\(Q.3.(xxi)(m)\) \(y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)

\(Q.3.(xxi)(n)\) \(y=2^{-x}\)

\(Q.3.(xxi)(o)\) \(y=4^{x}\)

\(Q.3.(xxi)(p)\) \(y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\)

\(Q.3.(xxi)(q)\) \(y=\sin \frac{3}{2}x\)

\(Q.3.(xxi)(r)\) \(y=2\sin \frac{x}{3}\)

\(Q.3.(xxi)(s)\) \(y=\sec x\)

\(Q.3.(xxi)(t)\) \(y=\cos 3x\)

\(Q.3.(xxi)(u)\) \(y=\tan 2x\)

\(Q.3.(xxi)(v)\) \(y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)

\(Q.3.(xxi)(w)\) \(y=|x-2|\)

\(Q.3.(xxi)(x)\) \(y=(5-x)\)

\(Q.3.(xxi)(y)\) \(y=|3x-2|\)

\(Q.3.(xxii)\) নিচের ফাংশনগুলির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(a)\) \(y=5x+1\)

\(Q.3.(xxii)(b)\) \(y=e^x\)

\(Q.3.(xxii)(c)\) \(y=\sin x, (-90^{o}\le x\le 90^{o})\)

\(Q.3.(xxii)(d)\) \(y=\cos x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)

\(Q.3.(xxii)(e)\) \(y=\sin x, 0\le x\le 2\pi\)

\(Q.3.(xxii)(f)\) \(y=x^2, -3\le x\le 3\)

\(Q.3.(xxii)(g)\) \(y=|x|\)

\(Q.3.(xxii)(h)\) \(y=3, -3\le x\le 3\)

\(Q.3.(xxii)(i)\) \(y=log_{e}(1+x)\)

\(Q.3.(xxii)(j)\) \(y=log_{10}x\)

\(Q.3.(xxii)(k)\) \(y=log_{0.5}x\)

\(Q.3.(xxii)(l)\) \(y=0.2\ln (x-1)\)

\(Q.3.(xxii)(m)\) \(y=5^x\)

\(Q.3.(xxii)(n)\) \(y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\)

\(Q.3.(xxii)(o)\) \(y=e^{-2x}\)

\(Q.3.(xxii)(p)\) \(y=\ln (x+2)\)

\(Q.3.(xxiii)\) নিম্নের ফাংশনের এবং এদের রূপান্তরির ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন কর।
\(Q.3.(xxiii) (a)\) \(f(x)=x^2+2\) হলে \(f(x), f(x\pm 1)\) এবং \(f(x)\pm 1\)

\(Q.3.(xxiii) (b)\) \(f(x)=e^{-x}\) হলে \(f(x), f(x\pm 2)\) এবং \(f(x)\pm 2\)

\(Q.3.(xxiii) (c)\) \(f(x)=x^2\) হলে \(f(x), f(x\pm 1), f(-x), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 2\)

\(Q.3.(xxiii) (d)\) \(f(x)=\sin x\) হলে \(f(x), f(2x), f(x\pm 2), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 2\)

\(Q.3.(xxiii) (e)\) \(f(x)=\log_{10}x\) হলে \(f(x), f(x\pm 1), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 1\)

\(Q.3.(xxiv)\) নিচের ফাংশনগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxiv)(a)\) \(y=f(x)=|x+2|\)

\(Q.3.(xxiv)(b)\) \(y=f(x)=x^2\)

\(Q.3.(xxv)\) \(f(x)=x^2+3x, g(x)=2x-3\) হলে, \(gof(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]

\(Q.3.(xxvi)\) নিম্নের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মৌলিক পর্যায় নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxvi) (a)\) \(\sec\frac{\theta}{4}\)

\(Q.3.(xxvi) (b)\) \(\cot\frac{3x}{4}\)

\(Q.3.(xxvi) (c)\) \(2\cos\frac{x}{4}\)

\(Q.3.(xxvi) (d)\) \(\frac{1}{2}\cot\frac{3x}{4}\)

\(Q.3.(xxvi) (e)\) \(2\sec\frac{\theta}{4}\)

\(Q.3.(xxvi) (f)\) \(\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(Q.3.(xxvi) (g)\) \(\sin\left(3\theta+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(Q.3.(xxvi) (h)\) \(\frac{1}{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)\)

\(Q.3.(xxvi) (i)\) \(2\cos\left(\frac{x}{3}\right)\)

\(Q.3.(xxvi) (j)\) \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(Q.3.(xxvi) (k)\) \(5\sec\frac{\theta}{8}\)

অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.3\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.3.(i)\) যদি, \(f(x)=x^2+ax+b\) এবং \(f(1)=1, f(2)=2\) হয়, তাহলে \(f(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(f(3)=5\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+ax+b\) এবং \(f(1)=1, f(2)=2\)
ধরি,
\(f(x)=x^2+ax+b ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(1)=1^2+a.1+b\)
\(\Rightarrow 1+a+b=f(1)\)
\(\therefore a+b+1=1\) | \(\because f(1)=1\)
\(\therefore a+b=0 …….(2)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(f(2)=2^2+a.2+b\)
\(\Rightarrow 4+2a+b=f(2)\)
\(\Rightarrow 2a+b+4=2\) | \(\because f(1)=2\)
\(\Rightarrow 2a+b+2=0\)
\(\Rightarrow a+a+b+2=0\)
\(\Rightarrow a+0+2=0\) | \((2)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a+2=0\)
\(\therefore a=-2\)
\((2)\) হতে,
\(-2+b=0\)
\(\therefore b=2\)
এখন,
\(a, b\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(f(x)=x^2-2x+2\)
\(\Rightarrow f(3)=3^2-2.3+2\)
\(=9-6+2\)
\(=3+2\)
\(=5\)

\(Q.3.(ii)\) যদি, \(f(x)=\frac{2x+1}{2x-1}\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{f(x)+1}{f(x)-1}=2x\).
[ চঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; বঃ ২০১৩ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{2x+1}{2x-1}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+1}{2x-1}=f(x)\)
\(\Rightarrow \frac{2x+1+2x-1}{2x+1-2x+1}=\frac{f(x)+1}{f(x)-1}\) | যোজন বিয়োজন করে।
\(\Rightarrow \frac{4x}{2}=\frac{f(x)+1}{f(x)-1}\)
\(\Rightarrow 2x=\frac{f(x)+1}{f(x)-1}\)
\(\therefore \frac{f(x)+1}{f(x)-1}=2x\)
(showed)

\(Q.3.(iii)\) যদি, \(f(x)=\frac{3x+5}{3x-5}\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{f(x)+1}{f(x)-1}=\frac{3x}{5}\).

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{3x+5}{3x-5}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+5}{3x-5}=f(x)\)
\(\Rightarrow \frac{3x+5+3x-5}{3x+5-3x+5}=\frac{f(x)+1}{f(x)-1}\) | যোজন বিয়োজন করে।
\(\Rightarrow \frac{6x}{10}=\frac{f(x)+1}{f(x)-1}\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{5}=\frac{f(x)+1}{f(x)-1}\)
\(\therefore \frac{f(x)+1}{f(x)-1}=\frac{3x}{5}\)
(showed)

\(Q.3.(iv)\) \(f(t)=\frac{1}{t}\) হলে, দেখাও যে, \(f(y)-f(x)=f\left(\frac{xy}{x-y}\right)\).

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(t)=\frac{1}{t} …..(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(x)=\frac{1}{x} …..(2)\)
\(f(y)=\frac{1}{y} …..(3)\)
এবং
\(f\left(\frac{xy}{x-y}\right)=\frac{1}{\frac{xy}{x-y}}\)
\(\therefore f\left(\frac{xy}{x-y}\right)=\frac{x-y}{xy} …..(4)\)
এখন,
\((3)\)-\((2)\)-এর সাহায্যে,
\(f(y)-f(x)=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\)
\(=\frac{x-y}{xy}\)
\(=f\left(\frac{xy}{x-y}\right)\) | \((4)\)-এর সাহায্যে।
(showed)

\(Q.3.(v)\) \(f(x)=\frac{x-1}{x+1}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{f(x)-f(y)}{1+f(x)f(y)}=\frac{x-y}{1+xy}\).
[ যঃ ২০০২; সিঃ ২০০৫]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\frac{x-1}{x+1} …..(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(y)=\frac{y-1}{y+1} …..(2)\)
এখন,
\(L.S= \frac{f(x)-f(y)}{1+f(x)f(y)}\)
\(=\frac{\frac{x-1}{x+1}-\frac{y-1}{y+1}}{1+\frac{x-1}{x+1}\times \frac{y-1}{y+1}}\) | \((1)\) ও \((2)\)-এর সাহায্যে।
\(= \frac{\frac{(x-1)(y+1)-(x+1)(y-1)}{(x+1)(y+1)}}{1+\frac{(x-1)(y-1)}{(x+1)(y+1)}}\)
\(= \frac{\frac{xy+x-y-1-xy+x-y+1}{(x+1)(y+1)}}{\frac{(x+1)(y+1)+(x-1)(y-1)}{(x+1)(y+1)}}\)
\(= \frac{\frac{2x-2y}{(x+1)(y+1)}}{\frac{xy+x+y+1+xy-x-y+1}{(x+1)(y+1)}}\)
\(= \frac{\frac{2(x-y)}{(x+1)(y+1)}}{\frac{2xy+2}{(x+1)(y+1)}}\)
\(= \frac{2(x-y)}{(x+1)(y+1)}\times \frac{(x+1)(y+1)}{2(xy+1)}\)
\(= \frac{2(x-y)}{2(xy+1)}\)
\(= \frac{x-y}{1+xy}\)
\(= R.S\)
\(\therefore L.S= R.S\)
(proved)

\(Q.3.(vi)\) \(f(x)=\frac{x^3-3x^2+1}{x(1-x)}\) হলে, দেখাও যে, \(f\left(\frac{1}{x}\right)=f(1-x)\).

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\frac{x^3-3x^2+1}{x(1-x)} ……..(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(1-x)=\frac{(1-x)^3-3(1-x)^2+1}{(1-x)(1-1+x)}\)
\(\Rightarrow f(1-x)=\frac{1-3x+3x^2-x^3-3(1-2x+x^2)+1}{(1-x)x}\)
\(\Rightarrow f(1-x)=\frac{1-3x+3x^2-x^3-3+6x-3x^2+1}{x(1-x)}\)
\(\Rightarrow f(1-x)=\frac{-x^3+3x-1}{x(1-x)}\)
\(\Rightarrow f(1-x)=\frac{-(x^3-3x+1)}{-x(x-1)}\)
\(\therefore f(1-x)=\frac{x^3-3x+1}{x(x-1)} ………(2)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\frac{1}{x^3}-\frac{3}{x^2}+1}{\frac{1}{x}(1-\frac{1}{x})}\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\frac{1-3x+x^3}{x^3}}{\frac{1}{x}\times \frac{x-1}{x}}\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^3-3x+1}{x^3}\times \frac{x^2}{x-1}\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^3-3x+1}{x(x-1)}\)
\(\therefore f\left(\frac{1}{x}\right)=f(1-x)\) | \((2)\)-এর সাহায্যে।
(showed)

\(Q.3.(vii)\) যদি, \(f(x)=a\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(a)+f(b)=f(a+b)\).
[ রুয়েট ২০০৪-২০০৫; রাঃ ২০১৩, ২০০৮; দিঃ ২০১২; কুঃ, বঃ ২০০৮; ঢাঃ, মাঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=a\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{x-a}{b-a}\right) ……..(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a\left(\frac{a-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{a-a}{b-a}\right)\)
\(=a+b\left(\frac{0}{b-a}\right)\)
\(=a+b.0\)
\(\therefore f(a)=a …..(2)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(f(b)=a\left(\frac{b-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{b-a}{b-a}\right)\)
\(=a\left(\frac{0}{a-b}\right)+b\)
\(=a.0+b\)
\(=b\)
\(\therefore f(b)=b …..(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(f(a+b)=a\left(\frac{a+b-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{a+b-a}{b-a}\right)\)
\(=a\left(\frac{a}{a-b}\right)+b\left(\frac{b}{b-a}\right)\)
\(=\left(\frac{a^2}{a-b}\right)+\left(\frac{b^2}{b-a}\right)\)
\(=\left(\frac{a^2}{a-b}\right)-\left(\frac{b^2}{a-b}\right)\)
\(=\left(\frac{a^2-b^2}{a-b}\right)\)
\(=\left(\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}\right)\)
\(=a+b\)
\(\therefore f(a+b)=a+b\)
\(\Rightarrow a+b=f(a+b)\)
\(\therefore f(a)+f(b)=f(a+b)\) | \((2)\) ও \((3)\)-এর সাহায্যে।
(showed)

\(Q.3.(viii)\) যদি, \(f(x)=\frac{1}{2}(3^x+3^{-x}), g(x)=\frac{1}{2}(3^x-3^{-x})\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)\).
[ চঃ ২০১৬, ২০১৪ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\frac{1}{2}(3^x+3^{-x}) ……(1)\)
\(g(x)=\frac{1}{2}(3^x-3^{-x}) …….(2)\)
\((1)\) হতে,
\(f(y)=\frac{1}{2}(3^y+3^{-y}) ……..(3)\)
\(f(x+y)=\frac{1}{2}(3^{x+y}+3^{-x-y}) ……..(4)\)
\((2)\) হতে,
\(g(y)=\frac{1}{2}(3^y-3^{-y}) ……..(5)\)
এখন,
\(f(x)f(y)+g(x)g(y)=\frac{1}{2}(3^x+3^{-x})\times \frac{1}{2}(3^y+3^{-y})+\frac{1}{2}(3^x-3^{-x})\times \frac{1}{2}(3^y-3^{-y})\).
\(\Rightarrow f(x)f(y)+g(x)g(y)=\frac{1}{4}(3^{x+y}+3^{x-y}+3^{-x+y}+3^{-x-y})+\frac{1}{4}(3^{x+y}-3^{x-y}-3^{-x+y}+3^{-x-y})\)
\(\Rightarrow f(x)f(y)+g(x)g(y)=\frac{1}{4}(3^{x+y}+3^{x-y}+3^{-x+y}+3^{-x-y}+3^{x+y}-3^{x-y}-3^{-x+y}+3^{-x-y})\)
\(\Rightarrow f(x)f(y)+g(x)g(y)=\frac{1}{4}(2.3^{x+y}+2.3^{-x-y})\)
\(\Rightarrow f(x)f(y)+g(x)g(y)=\frac{2}{4}(3^{x+y}+3^{-x-y})\)
\(\Rightarrow f(x)f(y)+g(x)g(y)=\frac{1}{2}(3^{x+y}+3^{-x-y})\)
\(\Rightarrow f(x)f(y)+g(x)g(y)=f(x+y)\) | \((4)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)\)
(showed)

\(Q.3.(ix)\) যদি, \(f(x)=\ln x\) এবং \(g(x)=x^n\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(g(x))=nf(x)\).
[ রাঃ ২০০৭, ২০০৩; সিঃ ২০০৬ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\ln x ……(1)\)
\(g(x)=x^n …….(2)\)
এখন,
\(f(g(x))=\ln (g(x))\) | \(\because f(x)=\ln x\)
\(\Rightarrow f(g(x))=\ln (x^n)\) | \(\because g(x)=x^n\)
\(\Rightarrow f(g(x))=n\ln (x)\)
\(\therefore f(g(x))=nf(x)\) | \(\because f(x)=\ln x\)
(showed)

\(Q.3.(x)\) যদি, \(\phi(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(\phi(y)+\phi(z)=\phi \left(\frac{y+z}{1+yz}\right)\).
[বঃ ২০১২; কুঃ ২০১১, ২০০৩;চঃ ২০১০; যঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৪ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(\phi(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right) ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(\phi(y)=\ln \left(\frac{1-y}{1+y}\right) ……(2)\)
\(\phi(z)=\ln \left(\frac{1-z}{1+z}\right) ……(3)\)
এবং
\(\phi\left(\frac{y+z}{1+yz}\right)=\ln \left(\frac{1-\frac{y+z}{1+yz}}{1+\frac{y+z}{1+yz}}\right)\)
\(\Rightarrow \phi\left(\frac{y+z}{1+yz}\right)=\ln \left(\frac{\frac{1+yz-y-z}{1+yz}}{\frac{1+yz+y+z}{1+yz}}\right)\)
\(\Rightarrow \phi\left(\frac{y+z}{1+yz}\right)=\ln \left(\frac{1+yz-y-z}{1+yz}\times \frac{1+yz}{1+yz+y+z}\right)\)
\(\Rightarrow \phi\left(\frac{y+z}{1+yz}\right)=\ln \left(\frac{1-y-z+yz}{1+y+z+yz}\right) …….(4)\)
এখন,
\(L.S=\phi(y)+\phi(z)\)
\(=\ln \left(\frac{1-y}{1+y}\right)+\ln \left(\frac{1-z}{1+z}\right)\) | \((2)\) ও \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(=\ln \left(\frac{1-y}{1+y}\times \frac{1-z}{1+z}\right)\)
\(=\ln \{\frac{(1-y)(1-z)}{(1+y)(1+z)}\}\)
\(=\ln \left(\frac{1-y-z+yz}{1+y+z+yz}\right)\)
\(=\phi\left(\frac{y+z}{1+yz}\right)\) | \((4)\)-এর সাহায্যে।
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(proved)

\(Q.3.(xi)\) যদি, \(f(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2f(x)\).
[ কুয়েট ২০০৪-২০০৫; কুঃ ২০১৬; যঃ ২০১১ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=\ln \left(\frac{1+\frac{2x}{1+x^2}}{1-\frac{2x}{1+x^2}}\right)\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=\ln \left(\frac{\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2-2x}{1+x^2}}\right)\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=\ln \left(\frac{\frac{x^2+2x+1}{1+x^2}}{\frac{x^2-2x+1}{1+x^2}}\right)\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=\ln \left(\frac{(x+1)^2}{1+x^2}\times \frac{1+x^2}{(x-1)^2}\right)\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=\ln \left(\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}\right)\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)\)
\(\therefore f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2f(x)\) | \((1)\)-এর সাহায্যে।
(showed)

\(Q.3.(xii)\) যদি, \(f(x)=e^x+e^{-x}\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(f(x+y)f(x-y)=f(2x)+f(2y)\).
[ কুঃ২০১০,২০০৪;সিঃ ২০০৭,২০০৪; চঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬.২০০৩; রাঃ২০১৫,২০১৪,২০১০,২০০৫; বঃ ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০১২; যঃ ২০১২,২০০৮;মাঃ২০১২ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=e^x+e^{-x} ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(x+y)=e^{x+y}+e^{-x-y} ……(2)\)
\(f(x-y)=e^{x-y}+e^{-x+y} ……(3)\)
\(f(2x)=e^{2x}+e^{-2x} ……(4)\)
\(f(2y)=e^{2y}+e^{-2y} ……(5)\)
এখন,
\(L.S=f(x+y)f(x-y)\)
\(=(e^{x+y}+e^{-x-y})(e^{x-y}+e^{-x+y})\) | \((2)\) ও \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(=e^{x+y+x-y}+e^{x+y-x+y}+e^{-x-y+x-y}+e^{-x-y-x+y}\)
\(=e^{2x}+e^{2y}+e^{-2y}+e^{-2x}\)
\(=e^{2x}+e^{-2x}+e^{2y}+e^{-2y}\)
\(=f(2x)+f(2y)\) | \((4)\) ও \((5)\)-এর সাহায্যে।
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(proved)

\(Q.3.(xiii)\) \(f(x)=\ln \sin x\), \(\phi(x)=\ln \cos x\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(e^{2\phi(a)}-e^{2f(a)}=e^{\phi(2a)}\).
[ কুঃ২০১২,২০০৫;সিঃ ২০১৪,২০১০,২০০৮; বঃ ২০১৬,২০১৪,২০১০, ২০০৬; রাঃ২০০৯; ঢাঃ ২০১০,২০০৬; যঃ ২০১৬,২০০১৫,২০১০,২০০৩ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\ln \sin x……(1)\)
\(\phi(x)=\ln \cos x……(2)\)
\((1)\) হতে,
\(e^{f(x)}=\sin x ……(3)\)
\((2)\) হতে,
\(e^{\phi(x)}=\cos x ……(4)\)
আবার,
\((3)\) হতে,
\(e^{f(a)}=\sin a ……(5)\)
\((4)\) হতে,
\(e^{\phi(a)}=\cos a ……(6)\)
\(e^{\phi(2a)}=\cos 2a ……(7)\)
\((6)^2-(5)^2\)-এর সাহায্যে,
\(\{e^{\phi(a)}\}^2-\{e^{f(a)}\}^2=\cos^2a-\sin^2a \)
\(\Rightarrow e^{2\phi(a)}-e^{2f(a)}=\cos^2a-\sin^2a \)
\(\Rightarrow e^{2\phi(a)}-e^{2f(a)}=\cos 2a \) | \(\because \cos 2A=\cos^2 A-\sin^2 A\)
\(\therefore e^{2\phi(a)}-e^{2f(a)}=e^{\phi(2a)} \) | \((7)\)-এর সাহায্যে।
(showed)

\(Q.3.(xiv)\) \(f(x)=\ln \sin x\), \(\phi(x)=\ln \cos x\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\(Q.3.(xiv)(a)\) \(e^{2\phi(x)}+e^{2f(x)}=1\).
[ কুঃ২০০২; বঃ ২০১০ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\ln \sin x……(1)\)
\(\phi(x)=\ln \cos x……(2)\)
\((1)\) হতে,
\(e^{f(x)}=\sin x ……(3)\)
\((2)\) হতে,
\(e^{\phi(x)}=\cos x ……(4)\)
এখন,
\((3)^2+(4)^2\)-এর সাহায্যে,
\(\{e^{f(x)}\}^2+\{e^{\phi(x)}\}^2=\sin^2x+\cos^2x \)
\(\Rightarrow e^{2f(x)}+e^{2\phi(x)}=1 \) | \(\because \sin^2 A+\cos^2 A=1\)
\(\therefore e^{2\phi(x)}+e^{2f(x)}=1 \)
(showed)

\(Q.3.(xiv)\) \(f(x)=\ln \sin x\), \(\phi(x)=\ln \cos x\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\(Q.3.(xiv)(b)\) \(e^{2f(x)}=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\).
[ যঃ ২০১৬ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\ln \sin x……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(e^{f(x)}=\sin x \)
\(\Rightarrow \{e^{f(x)}\}^2=\sin^2 x \) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow e^{2f(x)}=\frac{1}{2}\times 2\sin^2 x \)
\(\therefore e^{2f(x)}=\frac{1}{2}(1-\cos2x)\) | \(\because 2\sin^2 A=1-\cos^2 2A\)
(showed)

\(Q.3.(xv)\) যদি, \(f(x)=\cos x\)হয়, তবে দেখাও যে,
\(Q.3.(xv)(a)\) \(f(2x)=2\{f(x)\}^2-1\)
[ ঢাঃ ২০০১; যঃ ২০১৩ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\cos x……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(2x)=\cos 2x \)
\(\Rightarrow f(2x)=2\cos^2 x-1 \) | \(\because \cos 2A=2\cos^2 A-1\)
\(\Rightarrow f(2x)=2\{\cos x\}^2-1 \)
\(\therefore f(2x)=2\{f(x)\}^2-1 \) | \((1)\)-এর সাহায্যে।
(showed)

\(Q.3.(xv)\) যদি, \(f(x)=\cos x\)হয়, তবে দেখাও যে,
\(Q.3.(xv)(b)\) \(f(3x)=4\{f(x)\}^3-3f(x)\)
[ ঢাঃ ২০০১; যঃ ২০১৩ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\cos x……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(3x)=\cos 3x \)
\(\Rightarrow f(3x)=4\cos^3 x-3\cos x \) | \(\because \cos 3A=4\cos^3 A-3\cos A\)
\(\Rightarrow f(3x)=4\{\cos x\}^3-3\cos x \)
\(\therefore f(3x)=4\{f(x)\}^3-3f(x) \) | \((1)\)-এর সাহায্যে।
(showed)

\(Q.3.(xvi)\) যদি, \(f(x)=\frac{1-x}{1+x}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(\cos\theta)=\tan^2\frac{\theta}{2}\).
[ কুঃ ২০০৭; বঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৩,২০১০ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\frac{1-x}{1+x}……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(\cos\theta)=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} \)
\(\Rightarrow f(\cos\theta)=\frac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} \) | \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}; 1+\cos A=2\cos \frac{A}{2}\)
\(\Rightarrow f(\cos\theta)=\frac{\sin^2\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}} \)
\(\therefore f(\cos\theta)=\tan^2\frac{\theta}{2} \)
(showed)

\(Q.3.(xvii)\) যদি, \(f(x)=\tan x\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\).
[ ঢাঃ ২০০৫ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\tan x……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(y)=\tan y……(2)\)
এবং
\(f(x+y)=\tan (x+y)\)
\(\Rightarrow f(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}\) | \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(\therefore f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\) | \((1)\) ও \((2)\) -এর সাহায্যে।
(showed)

\(Q.3.(xviii)\) \(f(x)=\tan^{-1}x\) হলে, দেখাও যে, \(f(a)+f(b)=f\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\).

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\tan^{-1}x……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=\tan^{-1}a……(2)\)
\(f(b)=\tan^{-1}b……(3)\)
এবং
\(f\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)=\tan^{-1} a+\tan^{-1} b\) | \(\because \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)=f(a)+f(b)\) | \((2)\) ও \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\therefore f(a)+f(b)=f\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\)
(showed)

\(Q.3.(xix)\) যদি, \(f(x)=\cos(\ln x)\) হয়, তবে \(f(x)f(y)-\frac{1}{2}\{f\left(\frac{x}{y}\right)+f(xy)\}\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
[ সিঃ ২০১৬,২০১৫,২০১১; দিঃ ২০১৬,২০১১; কুঃ ২০১৪ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(f(x)=\cos (\ln x) ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(y)=\cos (\ln y)……(2)\)
\(f(xy)=\cos \ln (xy) …..(3)\)
\(f\left(\frac{x}{y}\right)=\cos\ln \left(\frac{x}{y}\right)…..(4)\)
প্রদত্ত রাশি,
\(f(x)f(y)-\frac{1}{2}\{f\left(\frac{x}{y}\right)+f(xy)\}\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}\{\cos\ln \left(\frac{x}{y}\right)+\cos\ln (xy)\}\) | \((1)\), \((2)\), \((3)\) ও \((4)\) -এর সাহায্যে।
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}\{\cos(\ln x-\ln y)+\cos(\ln x+\ln y)\}\) | \(\because \ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y; \ln (xy)=\ln x+\ln y\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}\{2\cos(\ln x)\cos(\ln y)\}\) | \(\because \cos (A-B)+\cos(A+B)=2\cos A\cos B\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\cos(\ln x)\cos(\ln y)\)
\(=0\)

\(Q.3.(xx)\) \(\phi(x)=\cot^{-1}(1+x+x^2)\) হলে, দেখাও যে, \(\phi(0)+2\phi(1)+\phi(2)=\frac{\pi}{2}\).
[ কুঃ ২০১৫; ঢাঃ ২০০৯ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(\phi(x)=\cot^{-1}(1+x+x^2) ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(\phi(0)=\cot^{-1}(1+0+0^2)\)
\(\Rightarrow \phi(0)=\cot^{-1}(1)\)
\(\Rightarrow \phi(0)=\cot^{-1}(\cot \frac{\pi}{4})\)
\(\therefore \phi(0)=\frac{\pi}{4} …..(2)\)
আবার,
\(\phi(1)=\cot^{-1}(1+1+1^2)\)
\(\Rightarrow \phi(1)=\cot^{-1}(1+1+1)\)
\(\therefore \phi(1)=\cot^{-1}3 …….(3)\)
আবার,
\(\phi(2)=\cot^{-1}(1+2+2^2)\)
\(\Rightarrow \phi(1)=\cot^{-1}(1+2+4)\)
\(\therefore \phi(1)=\cot^{-1}7 …….(4)\)
এখন,
\(L.S=\phi(0)+2\phi(1)+\phi(2) \)
\(=\frac{\pi}{4}+2\cot^{-1}3+\cot^{-1}7 \) | \((2)\), \((3)\) ও \((4)\) -এর সাহায্যে।
\(=\frac{\pi}{4}+2\tan^{-1}\frac{1}{3}+\tan^{-1}\frac{1}{7} \) | \(\because \cot^{-1}x=\tan^{-1}\frac{1}{x}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\frac{2\times \frac{1}{3}}{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}+\tan^{-1}\frac{1}{7} \) | \(\because 2\tan^{-1}x=\tan^{-1}\frac{2x}{1-x^2}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}+\tan^{-1}\frac{1}{7} \)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{9-1}{9}}+\tan^{-1}\frac{1}{7} \)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}+\tan^{-1}\frac{1}{7} \)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\times \frac{9}{8}\right)+\tan^{-1}\frac{1}{7} \)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\frac{3}{4}+\tan^{-1}\frac{1}{7} \)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4}\times \frac{1}{7}}\right) \) | \(\because \tan^{-1}x+\tan^{-1}y=\tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{21+4}{28}}{1-\frac{3}{28}}\right) \)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{25}{28}}{\frac{28-3}{28}}\right) \)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}\right) \)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}1 \)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\tan\frac{\pi}{4} \)
\(=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} \)
\(=\frac{\pi+\pi}{4}\)
\(=\frac{2\pi}{4}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(proved)

\(Q.3.(xxi)\) নিচের ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ

\(Q.3.(xxi)(a)\) \(y=|x-3|\)
[ সিঃ ২০১৭ ]

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|x-3|\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) \(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত। অতএব, ফাংশনের ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\)
\((ii)\) লেখটি \(y\)অক্ষকে \((0, 3)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iii)\) লেখটি \(x\)অক্ষকে \((3, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) লেখটি প্রথম ও দ্বিতীয় চৌকোণে সীমাবদ্ধ।
\((v)\) লেখটি \(\) রেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।

\(Q.3.(xxi)(b)\) \(y=\frac{|x|}{x}\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\frac{|x|}{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) \(0\) ব্যাতীত \(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত। অতএব, ফাংশনের ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{1, -1\}\)
\((ii)\) লেখটি কোনো অক্ষকে স্পর্শ করে না।
\((iii)\) \(x\)-এর সকল ধনাত্মক মানের জন্য লেখটি \(x\) অক্ষের উপরে এবং \(y\) অক্ষের ডানে অবস্থান করে এবং \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হয়।
\((iv)\) \(x\)-এর সকল ঋনাত্মক মানের জন্য লেখটি \(x\) অক্ষের নিচে এবং \(y\) অক্ষের বামে অবস্থান করে এবং \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হয়।

\(Q.3.(xxi)(c)\) \(y=-5^x\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=-5^x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(\infty\)
\(y\) \(-\frac{1}{5}\) \(-1\) \(-5\) \(\infty\)

গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃhyperbola
\((i)\) \(y\) অক্ষকে \((0, -1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((ii)\) ঋনাত্মক \(\) অক্ষকে অসীমে স্পর্শ করে।
\((iii)\) \(x\)-এর ধনাত্মক মান বৃদ্ধির সাথে সাথে \(y\)-এর ঋনাত্মক মাণ দ্রুত বৃদ্ধি পায়।

\(Q.3.(xxi)(d)\) \(y=\ln(2+x)\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত লগারিদমিক ফাংশন \(f(x)=y=\ln(2+x)\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(…..\)
\(y\) \(-\infty\) \(0\) \(\ln 2\) \(…..\)

গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃhyperbola
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=(-2, \infty)\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(x+2=0\)রেখাকে কখনো ছেদ বা স্পর্শ করবে না।

\(Q.3.(xxi)(e)\) \(y=\sin 3x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sin 3x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(0^{o}\) \(12^{o}\) \(24^{o}\) \(36^{o}\) \(48^{o}\) \(60^{o}\) \(72^{o}\) \(84^{o}\) \(90^{o}\)
\(y\) \(0\) \(0.59\) \(0.95\) \(0.95\) \(0.59\) \(0\) \(-0.59\) \(-0.95\) \(-1\)

\(x\) অক্ষ বরাবর গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(12^{o}\) এবং \(y\) অক্ষ বরাবর প্রতি \(5\) বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃhyperbola
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=[0, 90^{o}]\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।

\(Q.3.(xxi)(f)\) \(y=8+4x+x^2\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=8+4x+x^2\)
\(\Rightarrow y=x^2+4x+8\)
\(\Rightarrow y=x^2+4x+4+4\)
\(\Rightarrow y=(x+2)^2+4\)
\(\Rightarrow y-4=(x+2)^2\)
\(\Rightarrow (x+2)^2=y-4\)
\(\Rightarrow x+2=\pm \sqrt{y-4}\)
\(\therefore x=-2\pm \sqrt{y-4}\)
\(x=-2\)হলে, \(y=4\) হয়।
\(x=\frac{3}{2}\)হলে, \(y=\frac{25}{4}\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(8+4x+x^2=0\) হয়।
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\times 1\times 8}}{2\times 1}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{16-32}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{-16}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm 4i}{2}\) যা কাল্পনিক।
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে ছেদ করে না।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[4, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(x+2=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iii)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে ছেদ করে না।

\(Q.3.(xxi)(g)\) \(y=4+3x-x^2\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=4+3x-x^2\)
\(\Rightarrow y=4-x^2+3x\)
\(\Rightarrow y=4-x^2+3x-\frac{9}{4}+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow y=4-(x^2-3x+\frac{9}{4})+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow y=4-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow y=4+\frac{9}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow y=\frac{16+9}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow y=\frac{25}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25}{4}-y\)
\(\Rightarrow x-\frac{3}{2}=\pm \sqrt{\frac{25}{4}-y}\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}-y}\)
\(x=\frac{3}{2}\)হলে, \(y=\frac{25}{4}\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(4+3x-x^2=0\) হয়।
\(\Rightarrow x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\times -1\times 4}}{2\times -1}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{-2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{-2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3\pm 5}{-2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3+5}{-2}, \frac{-3-5}{-2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{-2}, \frac{-8}{-2}\)
\(\therefore x=-1, 4\)
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) ও \((-1, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, \frac{25}{4}] \)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(2x-3=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) ও \((-1, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।

\(Q.3.(xxi)(h)\) \(y=x^2+3x-4\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=x^2+3x-4\)
\(\Rightarrow y=x^2+3x-4\)
\(\Rightarrow y=x^2+3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-4\)
\(\Rightarrow y=(x^2+3x+\frac{9}{4})-\frac{9}{4}-4\)
\(\Rightarrow y=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-(\frac{9}{4}+4)\)
\(\Rightarrow y=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9+14}{4}\)
\(\Rightarrow y=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow y+\frac{25}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=y+\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=\pm \sqrt{y+\frac{25}{4}}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\pm \sqrt{y+\frac{25}{4}}\)
\(x=-\frac{3}{2}\)হলে, \(y=-\frac{25}{4}\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(x=-\frac{3}{2}\pm \frac{5}{2}\) হয়।
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2},-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3+5}{2},\frac{-3-5}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{2},\frac{-8}{2}\)
\(\therefore x=1, -4\)
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((-4, 0)\) ও \((1, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-\frac{25}{4}, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(2x+3=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((-4, 0)\) ও \((1, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।

\(Q.3.(xxi)(i)\) \(y=8+2x-x^2\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=8+2x-x^2\)
\(\Rightarrow y=8+2x-x^2\)
\(\Rightarrow y=8-x^2+2x-1+1\)
\(\Rightarrow y=8-(x^2-2x+1)+1\)
\(\Rightarrow y=9-(x-1)^2\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=9-y\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \sqrt{9-y}\)
\(\Rightarrow x=1\pm \sqrt{9-y}\)
\(x=1\)হলে, \(y=9\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(x=1\pm 3\) হয়।
\(\Rightarrow x=1+3, 1-3\)
\(\therefore x=4, -2\)
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, 9]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(x-1=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।

\(Q.3.(xxi)(j)\) \(y=-x^2+3x+2\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=-x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow y=-x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow y=-x^2+3x-\frac{9}{4}+\frac{9}{4}+2\)
\(\Rightarrow y=-\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)+\frac{9+8}{4}\)
\(\Rightarrow y=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{17}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{17}{4}-y\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{17}{4}-y}\)
\(x=\frac{3}{2}\)হলে, \(y=\frac{17}{4}\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\) হয়।
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2},\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\)
\(\therefore x=\frac{3+\sqrt{17}}{2},\frac{3-\sqrt{17}}{2}\)
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((\frac{3+\sqrt{17}}{2}, 0)\) ও \((\frac{3-\sqrt{17}}{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, \frac{17}{4}]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(2x-3=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((\frac{3+\sqrt{17}}{2}, 0)\) ও \((\frac{3-\sqrt{17}}{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।

\(Q.3.(xxi)(k)\) \(y=2^{x}\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=2^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) হয়।

\(Q.3.(xxi)(l)\) \(y=-2^{x}\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=-2^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, -\infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, -1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow -\infty\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) হয়।

\(Q.3.(xxi)(m)\) \(y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) হয়।

\(Q.3.(xxi)(n)\) \(y=2^{-x}\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=2^{-x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) হয়।

\(Q.3.(xxi)(o)\) \(y=4^{x}\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=4^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) হয়।

\(Q.3.(xxi)(p)\) \(y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) হয়।

\(Q.3.(xxi)(q)\) \(y=\sin \frac{3}{2}x\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sin \frac{3}{2}x\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=[-180^{o}, 180^{o}]\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।

\(Q.3.(xxi)(r)\) \(y=2\sin \frac{x}{3}\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=2\sin \frac{x}{3}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=[-270^{o}, 270^{o}]\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-2, 2]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।

\(Q.3.(xxi)(s)\) \(y=\sec x\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sec x\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{(2n+1)\frac{\pi}{4}, n\in \mathbb{Z}\}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty , -1] U [1 , + \infty)\)
\((iii)\) \(\pm 1\)-এর মধ্যে ফাংশনটির কোনো মাণ পাওয়া যায় না।

\(Q.3.(xxi)(t)\) \(y=\cos 3x\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\cos 3x\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।

\(Q.3.(xxi)(u)\) \(y=\tan 2x\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\tan 2x\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) লেখটি কয়েকটি বিচ্ছিন্ন শাখার সমষ্টি।
\((ii)\) \(x\)-এর মাণ যখন \(\frac{\pi}{4}\)-এর বিজোড় গুণিতক হয় তখন এটি বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়।
\((iii)\) লেখটির প্রতিটি শাখা \(-\frac{\pi}{4}\) এবং \(\frac{\pi}{4}\) সীমার মধ্যে অঙ্কিত শাখাটির অনুরূপ।

\(Q.3.(xxi)(v)\) \(y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।
\((iv)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \(\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) বিন্দুতে ছেদ করে।

\(Q.3.(xxi)(w)\) \(y=|x-2|\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|x-2|\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।

\(Q.3.(xxi)(x)\) \(y=(5-x)\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=(5-x)\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 5)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((5, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
\((v)\) ফাংশনটির লেখচিত্র একটি সরলরেখা।

\(Q.3.(xxi)(y)\) \(y=|3x-2|\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|3x-2|\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \(\left(\frac{2}{3}, 0\right)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।

\(Q.3.(xxii)\) নিচের ফাংশনগুলির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ

\(Q.3.(xxii)(a)\) \(y=5x+1\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=5x+1\)
ধরি,
\(y=5x+1 ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=5x+1\)
\(\Rightarrow 5x+1=y\)
\(\Rightarrow 5x=y-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{y-1}{5}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y-1}{5}\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{x-1}{5}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
পার্শে ফাংশনটির এবং এর বিপরীত ফাংশন \(y=\frac{x-1}{5}\)-এর স্কেচ অঙ্কন করা হলো।

\(Q.3.(xxii)(b)\) \(y=e^x\)

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=e^x\)
ধরি,
\(y=e^x ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=e^x\)
\(\Rightarrow e^x=y\)
\(\Rightarrow x=\ln y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\ln y\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\ln x\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
পার্শে ফাংশনটির এবং এর বিপরীত ফাংশন \(y=\ln x\)-এর স্কেচ অঙ্কন করা হলো।

\(Q.3.(xxii)(c)\) \(y=\sin x, (-90^{o}\le x\le 90^{o})\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sin x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-90^{o}\) \(-60^{o}\) \(-30^{o}\) \(0\) \(30^{o}\) \(60^{o}\) \(90^{o}\)
\(y=\sin x\) \(-1\) \(-0.87\) \(-0.5\) \(0\) \(0.5\) \(0.87\) \(1\)

\(y=\sin x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=\sin x ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=\sin x\)
\(\Rightarrow \sin x=y\)
\(\Rightarrow x=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\sin^{-1}y\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\sin^{-1}x\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\sin^{-1}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-1\) \(-0.87\) \(-0.5\) \(0\) \(0.5\) \(0.87\) \(1\)
\(y=\sin^{-1}x\) \(-90^{o}\) \(-60^{o}\) \(-30^{o}\) \(0\) \(30^{o}\) \(60^{o}\) \(90^{o}\)

\(y=\sin^{-1}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।

\(Q.3.(xxii)(d)\) \(y=\cos x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\cos x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(0^{o}\) \(30^{o}\) \(60^{o}\) \(90^{o}\) \(120^{o}\) \(150^{o}\) \(180^{o}\)
\(y=\cos x\) \(1\) \(0.87\) \(0.5\) \(0\) \(-0.5\) \(-0.87\) \(-1\)

\(y=\cos x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=\cos x ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=\cos x\)
\(\Rightarrow \cos x=y\)
\(\Rightarrow x=\cos^{-1}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\cos^{-1}y\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\cos^{-1}x\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\cos^{-1}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(1\) \(0.87\) \(0.5\) \(0\) \(-0.5\) \(-0.87\) \(-1\)
\(y=\cos^{-1}x\) \(0^{o}\) \(30^{o}\) \(60^{o}\) \(90^{o}\) \(120^{o}\) \(150^{o}\) \(180^{o}\)

\(y=\cos^{-1}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।

\(Q.3.(xxii)(e)\) \(y=\sin x, 0\le x\le 2\pi\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sin x, 0\le x\le 2\pi\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(0\) \(30^{o}\) \(60^{o}\) \(90^{o}\) \(120^{o}\) \(150^{o}\) \(180^{o}\) \(210^{o}\) \(240^{o}\) \(270^{o}\) \(300^{o}\) \(330^{o}\) \(360^{o}\)
\(y=\sin x\) \(0\) \(0.5\) \(0.87\) \(1\) \(0.87\) \(0.5\) \(0\) \(-0.5\) \(-0.87\) \(-1\) \(-0.87\) \(-0.5\) \(0\)

\(y=\sin x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=\sin x ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=\sin x\)
\(\Rightarrow \sin x=y\)
\(\Rightarrow x=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\sin^{-1}y\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\sin^{-1}x\) | \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\sin^{-1}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(0\) \(0.5\) \(0.87\) \(1\) \(0.87\) \(0.5\) \(0\) \(-0.5\) \(-0.87\) \(-1\) \(-0.87\) \(-0.5\) \(0\)
\(y=\sin^{-1}x\) \(0\) \(30^{o}\) \(60^{o}\) \(90^{o}\) \(120^{o}\) \(150^{o}\) \(180^{o}\) \(210^{o}\) \(240^{o}\) \(270^{o}\) \(300^{o}\) \(330^{o}\) \(360^{o}\)

\(y=\sin^{-1}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
hyperbola

\(Q.3.(xxii)(f)\) \(y=x^2, -3\le x\le 3\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=x^2, -3\le x\le 3\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
\(y=x^2\) \(9\) \(4\) \(1\) \(0\) \(1\) \(4\) \(9\)

\(y=x^2\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=x^2, -3\le x\le 3 ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=x^2\)
\(\Rightarrow x^2=y\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{y}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\pm \sqrt{y}\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x}\) | \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\pm \sqrt{x}\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(9\) \(4\) \(1\) \(0\)
\(y=\pm \sqrt{x}\) \(\pm 3\) \(\pm 2\) \(\pm 1\) \(0\)

\(f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x}\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।

\(Q.3.(xxii)(g)\) \(y=|x|\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|x|\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
\(3\) \(2\) \(1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)

\(y=|x|\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=|x| ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=|x|\)
\(\Rightarrow |x|=y\)
\(\Rightarrow \pm x=y\)
\(\Rightarrow x=\pm y\)
\(\Rightarrow x=\pm y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\pm y\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\pm x\) | \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\pm x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(3\) \(2\) \(1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
\(f^{-1}(x)=y=\pm x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)

\(f^{-1}(x)=y=\pm x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
hyperbola

\(Q.3.(xxii)(h)\) \(y=3, -3\le x\le 3\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=3, -3\le x\le 3\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
\(y=3\) \(3\) \(3\) \(3\) \(3\) \(3\) \(3\) \(3\)

\(y=3\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=3 ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=3\)
\(\Rightarrow x=3\) | \(y=3\)-এর বিপরীত ফাংশন \(x=3\).
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=3\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=3\) | \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=3\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(3\) \(3\) \(3\) \(3\) \(3\) \(3\) \(3\)
\(f^{-1}(x)=3\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)

\(f^{-1}(x)=3\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
hyperbola

\(Q.3.(xxii)(i)\) \(y=log_{e}(1+x)\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=log_{e}(1+x)\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-0.5\) \(-0.33\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
\(y=log_{e}(1+x)\) \(-0.69\) \(-0.41\) \(0\) \(0.69\) \(1.099\) \(1.39\) \(1.61\) \(1.79\)

\(f(x)=y=log_{e}(1+x)\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=log_{e}(1+x) ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(log_{e}(1+x)=y\)
\(\Rightarrow 1+x=e^y\)
\(\Rightarrow x=e^y-1\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=e^y-1\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^x-1\) | \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^x-1\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-0.69\) \(-0.41\) \(0\) \(0.69\) \(1.099\) \(1.39\) \(1.61\) \(1.79\)
\(f^{-1}(x)=e^x-1\) \(-0.5\) \(-0.33\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)

\(f^{-1}(x)=e^x-1\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।

\(Q.3.(xxii)(j)\) \(y=log_{10}x\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=log_{10}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(0.5\) \(0.33\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
\(y=y=log_{10}x\) \(-0.30\) \(-0.48\) \(0\) \(0.30\) \(0.48\) \(0.60\) \(0.70\)

\(f(x)=y=log_{10}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=log_{10}x ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(log_{10}x=y\)
\(\Rightarrow x=10^y\)
\(\Rightarrow x=10^y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=10^y\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=10^x\) | \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=10^x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-0.30\) \(-0.48\) \(0\) \(0.30\) \(0.48\) \(0.60\) \(0.70\)
\(f^{-1}(x)=10^x\) \(0.5\) \(0.33\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)

\(f^{-1}(x)=10^x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।

\(Q.3.(xxii)(k)\) \(y=log_{0.5}x\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=log_{0.5}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(0.5\) \(0.33\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
\(y=log_{0.5}x\) \(1\) \(1.60\) \(0\) \(-1\) \(-1.58\) \(-2\) \(-2.32\)

\(f(x)=y=log_{0.5}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=log_{0.5}x ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(log_{0.5}x=y\)
\(\Rightarrow x=(0.5)^y\)
\(\Rightarrow x=(0.5)^y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=(0.5)^y\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=(0.5)^x\) | \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=(0.5)^x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(1\) \(1.60\) \(0\) \(-1\) \(-1.58\) \(-2\) \(-2.32\)
\(f^{-1}(x)=(0.5)^x\) \(0.5\) \(0.33\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)

\(f^{-1}(x)=(0.5)^x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।

\(Q.3.(xxii)(l)\) \(y=0.2\ln (x-1)\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=0.2\ln(x-1)\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(1.5\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(7\)
\(y=0.2\ln (x-1)\) \(-0.14\) \(0\) \(0.14\) \(0.22\) \(0.28\) \(0.36\)

\(f(x)=y=0.2\ln (x-1)\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=0.2\ln (x-1) ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(0.2\ln (x-1)=y\)
\(\Rightarrow \frac{2}{10}\ln (x-1)=y\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5}\ln (x-1)=y\)
\(\Rightarrow \ln (x-1)=5y\)
\(\Rightarrow x-1=e^{5y}\)
\(\Rightarrow x=e^{5y}+1\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=e^{5y}+1\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^{5x}+1\) | \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^{5x}+1\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(1\) \(1.60\) \(0\) \(-1\) \(-1.58\) \(-2\) \(-2.32\)
\(f^{-1}(x)=e^{5x}+1\) \(0.5\) \(0.33\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)

\(f^{-1}(x)=e^{5x}+1\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।

\(Q.3.(xxii)(m)\) \(y=5^x\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=5^x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\)
\(y=5^x\) \(0.008\) \(0.04\) \(0.2\) \(1\) \(5\)

\(f(x)=y=5^x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=5^x ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(5^x=y\)
\(\Rightarrow x=log_{5}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=log_{5}y\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=log_{5}x\) | \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=log_{5}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(0.008\) \(0.04\) \(0.2\) \(1\) \(5\)
\(f^{-1}(x)=log_{5}x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\)

\(f^{-1}(x)=log_{5}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।

\(Q.3.(xxii)(n)\) \(y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(0^{o}\) \(30^{o}\) \(60^{o}\) \(90^{o}\)
\(y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\) \(0\) \(0.58\) \(1.73\) \(\infty\)

\(f(x)=y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=\tan x ……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(\tan x=y\)
\(\Rightarrow x=\tan^{-1}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\tan^{-1}y\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\tan^{-1}x\) | \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\tan^{-1}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(0\) \(0.58\) \(1.73\) \(\infty\)
\(f^{-1}(x)=\tan^{-1}x\) \(0^{o}\) \(30^{o}\) \(60^{o}\) \(90^{o}\)

\(f^{-1}(x)=\tan^{-1}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।

\(Q.3.(xxii)(o)\) \(y=e^{-2x}\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=e^{-2x}\)
\(f(x)=y=e^{-2x}\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=e^{-2x}……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(e^{-2x}=y\)
\(\Rightarrow -2x=\ln y\)
\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\ln y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=-\frac{1}{2}\ln y\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}\ln x\) | \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}\ln x\)
\(f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}\ln x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।

\(Q.3.(xxii)(p)\) \(y=\ln (x+2)\)

সমাধানঃ

ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\ln (x+2)\)
\(f(x)=y=\ln (x+2)\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,hyperbola
\(y=\ln (x+2)……(1)\)
\(f(x)=y……(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)……(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(\ln (x+2)=y\)
\(\Rightarrow x+2=e^y\)
\(\Rightarrow x=e^y-2\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=e^y-2\) | \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^x-2\) | \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^x-2\)
\(f^{-1}(x)=e^x-2\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।

\(Q.3.(xxiii)\) নিম্নের ফাংশনের এবং এদের রূপান্তরির ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন কর।

\(Q.3.(xxiii) (a)\) \(f(x)=x^2+2\) হলে \(f(x), f(x\pm 1)\) এবং \(f(x)\pm 1\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=x^2+2\)hyperbola
\(\therefore f(x+1)=(x+1)^2+2\)
\(=x^2+2x+1+2\)
\(=x^2+2x+3\)
আবার,
\(f(x-1)=(x-1)^2+2\)
\(=x^2-2x+1+2\)
\(=x^2-2x+3\)
আবার,
\(f(x)+1=x^2+2+1\)
\(=x^2+3\)
আবার,
\(f(x)-1=x^2+2-1\)
\(=x^2+1\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(x+1)=x^2+2x+3, f(x-1)=x^2-2x+3; f(x)+1=x^2+3\) এবং \( f(x)-1=x^2+1\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশনগুলির স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।

\(Q.3.(xxiii) (b)\) \(f(x)=e^{-x}\) হলে \(f(x), f(x\pm 2)\) এবং \(f(x)\pm 2\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=e^{-x}\)hyperbola
\(\therefore f(x+2)=e^{-x-2}\)
আবার,
\(f(x-2)=e^{-x+2}\)
আবার,
\(f(x)+2=e^{-x}+2\)
আবার,
\(f(x)-2=e^{-x}-2\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(x+2)=e^{-x-2},f(x-2)=e^{-x+2}\); \(f(x)+2=e^{-x}+2\) এবং \( f(x)-2=e^{-x}-2\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশনগুলির স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।

\(Q.3.(xxiii) (c)\) \(f(x)=x^2\) হলে \(f(x), f(x\pm 1), f(-x), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 2\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=x^2\)hyperbola
\(\therefore f(x+1)=(x+1)^2\)
\(=x^2+2x+1\)
আবার,
\(f(x-1)=(x-1)^2\)
\(=x^2-2x+1\)
আবার,
\(f(-x)=(-x)^2\)
\(=x^2\)
আবার,
\(-f(x)=-x^2\)
আবার,
\(f(x)+2=x^2+2\)
আবার,
\(f(x)-2=x^2-2\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(x+1)=x^2+2x+1, f(x-1)=x^2-2x+1; f(-x)=x^2; -f(x)=-x^2; f(x)+2=x^2+2\) এবং \( f(x)-2=x^2-2\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশনগুলির স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।

\(Q.3.(xxiii) (d)\) \(f(x)=\sin x\) হলে \(f(x), f(2x), f(x\pm 2), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 2\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=\sin x\)hyperbola
\(\therefore f(2x)=\sin (2x)\)
আবার,
\(f(x+2)=\sin (x+2)\)
আবার,
\(f(x-2)=\sin (x-2)\)
আবার,
\(-f(x)=-\sin x\)
আবার,
\(f(x)+2=\sin x+2\)
আবার,
\(f(x)-2=\sin x-2\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(2x)=\sin (2x), f(x+2)=\sin (x+2); f(x-2)=\sin (x-2); -f(x)=-\sin x; f(x)+2=\sin x+2\) এবং \( f(x)-2=\sin x-2\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \(f(2x)=\sin (2x)\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=\sin x\)hyperbola
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \( f(x+2)=\sin (x+2); f(x-2)=\sin (x-2)\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=\sin x\)hyperbola
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \( -f(x)=-\sin x\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=\sin x\)hyperbola
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \( f(x)+2=\sin x+2; f(x)-2=\sin x-2\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।

\(Q.3.(xxiii) (e)\) \(f(x)=\log_{10}x\) হলে \(f(x), f(x\pm 1), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 1\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত লগারিদমিক ফাংশন \(f(x)=\log_{10}x\)hyperbola
\(\therefore f(x+1)=\log_{10}(x+1)\)
আবার,
\(f(x-1)=\log_{10}(x-1)\)
আবার,
\(-f(x)=-\log_{10}x\)
আবার,
\(f(x)+1=\log_{10}x+1\)
আবার,
\(f(x)-1=\log_{10}x-1\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(x+1)=\log_{10}(x+1), f(x-1)=\log_{10}(x-1); -f(x)=-\log_{10}x; f(x)+1=\log_{10}x+1\) এবং \( f(x)-1=\log_{10}x-1\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \(f(x)+1=\log_{10}x+1; f(x)-1=\log_{10}x-1\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।

প্রদত্ত লগারিদমিক ফাংশন \(f(x)=\log_{10}x\)hyperbola
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \(-f(x)=-\log_{10}x\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।

প্রদত্ত লগারিদমিক ফাংশন \(f(x)=\log_{10}x\)hyperbola
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \(f(x+1)=\log_{10}(x+1), f(x-1)=\log_{10}(x-1)\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।

\(Q.3.(xxiv)\) নিচের ফাংশনগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করঃ

\(Q.3.(xxiv)(a)\) \(y=f(x)=|x+2|\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|x+2|\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-5\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(y=|x+2|\) \(3\) \(2\) \(1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)

hyperbola
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=|x+2|\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।

\(Q.3.(xxiv)(b)\) \(y=f(x)=x^2\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=x^2\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(y=x^2\) \(16\) \(9\) \(4\) \(1\) \(0\) \(1\) \(4\) \(9\) \(16\)

hyperbola
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(\therefore y=x^2\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন কর হলো।

\(Q.3.(xxv)\) \(f(x)=x^2+3x, g(x)=2x-3\) হলে, \(gof(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন\(f(x)=x^2+3x, g(x)=2x-3\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(=2(f(x))-3\) | \(\because g(x)=2x-3\)
\(=2(x^2+3x)-3\) | \(\because f(x)=x^2+3x\)
\(\therefore gof(x)=2x^2+6x-3\)
\(\therefore y=gof(x)=2x^2+6x-3\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\)
\(y=2x^2+6x-3\) \(5\) \(-3\) \(-7\) \(-7\) \(-3\) \(5\)

hyperbola
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(\therefore y=2x^2+6x-3\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন কর হলো।

\(Q.3.(xxvi)\) নিম্নের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মৌলিক পর্যায় নির্ণয় করঃ

\(Q.3.(xxvi) (a)\) \(\sec\frac{\theta}{4}\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন\(f(x)=\sec\frac{\theta}{4}\)
যেহেতু, \(\sec x\)-এর পর্যায়কাল \(=2\pi\)
\(\therefore \sec\frac{\theta}{4}\)-এর মৌলিক পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{\frac{1}{4}}\)
\(=2\pi\times \frac{4}{1}\)
\(=8\pi\)

\(Q.3.(xxvi) (b)\) \(\cot\frac{3x}{4}\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন\(f(x)=\cot\frac{3x}{4}\)
যেহেতু, \(\cot x\)-এর পর্যায়কাল \(=\pi\)
\(\therefore \cot\frac{3x}{4}\)-এর মৌলিক পর্যায়কাল \(=\frac{\pi}{\frac{3}{4}}\)
\(=\pi\times \frac{4}{3}\)
\(=\frac{4\pi}{3}\)

\(Q.3.(xxvi) (c)\) \(2\cos\frac{x}{4}\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন\(f(x)=2\cos\frac{x}{4}\)
যেহেতু, \(\cos x\)-এর পর্যায়কাল \(=2\pi\)
\(\therefore 2\cos\frac{x}{4}\)-এর মৌলিক পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{\frac{1}{4}}\)
\(=2\pi\times \frac{4}{1}\)
\(=8\pi\)

\(Q.3.(xxvi) (d)\) \(\frac{1}{2}\cot\frac{3x}{4}\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন\(f(x)=\frac{1}{2}\cot\frac{3x}{4}\)
যেহেতু, \(\cot x\)-এর পর্যায়কাল \(=\pi\)
\(\therefore \frac{1}{2}\cot\frac{3x}{4}\)-এর মৌলিক পর্যায়কাল \(=\frac{\pi}{\frac{3}{4}}\)
\(=\pi\times \frac{4}{3}\)
\(=\frac{4\pi}{3}\)

\(Q.3.(xxvi) (e)\) \(2\sec\frac{\theta}{4}\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন\(f(x)=2\sec\frac{\theta}{4}\)
যেহেতু, \(\sec x\)-এর পর্যায়কাল \(=2\pi\)
\(\therefore 2\sec\frac{\theta}{4}\)-এর মৌলিক পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{\frac{1}{4}}\)
\(=2\pi\times \frac{4}{1}\)
\(=8\pi\)

\(Q.3.(xxvi) (f)\) \(\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন\(f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\)
যেহেতু, \(\cos x\)-এর পর্যায়কাল \(=2\pi\)
\(\therefore \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\)-এর মৌলিক পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}\)
\(=2\pi\times \frac{2}{1}\)
\(=4\pi\)

\(Q.3.(xxvi) (g)\) \(\sin\left(3\theta+\frac{\pi}{4}\right)\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন\(f(x)=\sin\left(3\theta+\frac{\pi}{4}\right)\)
যেহেতু, \(\sin x\)-এর পর্যায়কাল \(=2\pi\)
\(\therefore \sin\left(3\theta+\frac{\pi}{4}\right)\)-এর মৌলিক পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{3}\)

\(Q.3.(xxvi) (h)\) \(\frac{1}{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন\(f(x)=\frac{1}{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)\)
যেহেতু, \(\sin x\)-এর পর্যায়কাল \(=2\pi\)
\(\therefore \frac{1}{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)\)-এর মৌলিক পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{\frac{1}{3}}\)
\(=2\pi\times \frac{3}{1}\)
\(=6\pi\)

\(Q.3.(xxvi) (i)\) \(2\cos\left(\frac{x}{3}\right)\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন\(f(x)=2\cos\left(\frac{x}{3}\right)\)
যেহেতু, \(\cos x\)-এর পর্যায়কাল \(=2\pi\)
\(\therefore 2\cos\left(\frac{x}{3}\right)\)-এর মৌলিক পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{\frac{1}{3}}\)
\(=2\pi\times \frac{3}{1}\)
\(=6\pi\)

\(Q.3.(xxvi) (j)\) \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন\(f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\)
যেহেতু, \(\sin x\)-এর পর্যায়কাল \(=2\pi\)
\(\therefore \sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\)-এর মৌলিক পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{2}\)
\(=\pi\)

\(Q.3.(xxvi) (k)\) \(5\sec\frac{\theta}{8}\)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন\(f(x)=5\sec\frac{\theta}{8}\)
যেহেতু, \(\sec x\)-এর পর্যায়কাল \(=2\pi\)
\(\therefore 5\sec\frac{\theta}{8}\)-এর মৌলিক পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{\frac{1}{8}}\)
\(=2\pi\times \frac{8}{1}\)
\(=16\pi\)

1 2 3 4 5