অন্বয় ও ফাংশন (Relation and Function)

অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.3.(i)\) যদি, \(f(x)=x^2+ax+b\) এবং \(f(1)=1, f(2)=2\) হয়, তাহলে \(f(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(f(3)=5\)

\(Q.3.(ii)\) যদি, \(f(x)=\frac{2x+1}{2x-1}\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{f(x)+1}{f(x)-1}=2x\).
[ চঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; বঃ ২০১৩ ]

\(Q.3.(iii)\) যদি, \(f(x)=\frac{3x+5}{3x-5}\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{f(x)+1}{f(x)-1}=\frac{3x}{5}\).

\(Q.3.(iv)\) \(f(t)=\frac{1}{t}\) হলে, দেখাও যে, \(f(y)-f(x)=f\left(\frac{xy}{x-y}\right)\).

\(Q.3.(v)\) \(f(x)=\frac{x-1}{x+1}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{f(x)-f(y)}{1+f(x)f(y)}=\frac{x-y}{1+xy}\).
[ যঃ ২০০২; সিঃ ২০০৫]

\(Q.3.(vi)\) \(f(x)=\frac{x^3-3x^2+1}{x(1-x)}\) হলে, দেখাও যে, \(f\left(\frac{1}{x}\right)=f(1-x)\).

\(Q.3.(vii)\) যদি, \(f(x)=a\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(a)+f(b)=f(a+b)\).
[ রুয়েট ২০০৪-২০০৫; রাঃ ২০১৩, ২০০৮; দিঃ ২০১২; কুঃ, বঃ ২০০৮; ঢাঃ, মাঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪ ]

\(Q.3.(viii)\) যদি, \(f(x)=\frac{1}{2}(3^x+3^{-x}), g(x)=\frac{1}{2}(3^x-3^{-x})\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)\).
[ চঃ ২০১৬, ২০১৪ ]

\(Q.3.(ix)\) যদি, \(f(x)=\ln x\) এবং \(g(x)=x^n\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(g(x))=nf(x)\).
[ রাঃ ২০০৭, ২০০৩; সিঃ ২০০৬ ]

\(Q.3.(x)\) যদি, \(\phi(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(\phi(y)+\phi(z)=\phi \left(\frac{y+z}{1+yz}\right)\).
[বঃ ২০১২; কুঃ ২০১১, ২০০৩;চঃ ২০১০; যঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৪ ]

\(Q.3.(xi)\) যদি, \(f(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2f(x)\).
[ কুয়েট ২০০৪-২০০৫; কুঃ ২০১৬; যঃ ২০১১ ]

\(Q.3.(xii)\) যদি, \(f(x)=e^x+e^{-x}\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(f(x+y)f(x-y)=f(2x)+f(2y)\).
[ কুঃ২০১০,২০০৪;সিঃ ২০০৭,২০০৪; চঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬.২০০৩; রাঃ২০১৫,২০১৪,২০১০,২০০৫; বঃ ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০১২; যঃ ২০১২,২০০৮;মাঃ২০১২ ]

\(Q.3.(xiii)\) \(f(x)=\ln \sin x\), \(\phi(x)=\ln \cos x\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(e^{2\phi(a)}-e^{2f(a)}=e^{\phi(2a)}\).
[ কুঃ২০১২,২০০৫;সিঃ ২০১৪,২০১০,২০০৮; বঃ ২০১৬,২০১৪,২০১০, ২০০৬; রাঃ২০০৯; ঢাঃ ২০১০,২০০৬; যঃ ২০১৬,২০০১৫,২০১০,২০০৩ ]

\(Q.3.(xiv)\) \(f(x)=\ln \sin x\), \(\phi(x)=\ln \cos x\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\(Q.3.(xiv)(a)\) \(e^{2\phi(x)}+e^{2f(x)}=1\).
[ কুঃ২০০২; বঃ ২০১০ ]

\(Q.3.(xiv)(b)\) \(e^{2f(x)}=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\).
[ যঃ ২০১৬ ]

\(Q.3.(xv)\) যদি, \(f(x)=\cos x\)হয়, তবে দেখাও যে,
\(Q.3.(xv)(a)\) \(f(2x)=2\{f(x)\}^2-1\)
[ ঢাঃ ২০০১; যঃ ২০১৩ ]

\(Q.3.(xv)(b)\) \(f(3x)=4\{f(x)\}^3-3f(x)\)
[ ঢাঃ ২০০১; যঃ ২০১৩ ]

\(Q.3.(xvi)\) যদি, \(f(x)=\frac{1-x}{1+x}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(\cos\theta)=\tan^2\frac{\theta}{2}\).
[ কুঃ ২০০৭; বঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৩,২০১০ ]

\(Q.3.(xvii)\) যদি, \(f(x)=\tan x\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\).
[ ঢাঃ ২০০৫ ]

\(Q.3.(xviii)\) \(f(x)=\tan^{-1}x\) হলে, দেখাও যে, \(f(a)+f(b)=f\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\).

\(Q.3.(xix)\) যদি, \(f(x)=\cos(\ln x)\) হয়, তবে \(f(x)f(y)-\frac{1}{2}\{f\left(\frac{x}{y}\right)+f(xy)\}\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
[ সিঃ ২০১৬,২০১৫,২০১১; দিঃ ২০১৬,২০১১; কুঃ ২০১৪ ]

\(Q.3.(xx)\) \(\phi(x)=\cot^{-1}(1+x+x^2)\) হলে, দেখাও যে, \(\phi(0)+2\phi(1)+\phi(2)=\frac{\pi}{2}\).
[ কুঃ ২০১৫; ঢাঃ ২০০৯ ]
\(Q.3.(xxi)\) নিচের ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(a)\) \(y=|x-3|\)
[ সিঃ ২০১৭ ]

\(Q.3.(xxi)(b)\) \(y=\frac{|x|}{x}\)

\(Q.3.(xxi)(c)\) \(y=-5^x\)

\(Q.3.(xxi)(d)\) \(y=\ln(2+x)\)

\(Q.3.(xxi)(e)\) \(y=\sin 3x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)

\(Q.3.(xxi)(f)\) \(y=8+4x+x^2\)

\(Q.3.(xxi)(g)\) \(y=4+3x-x^2\)

\(Q.3.(xxi)(h)\) \(y=x^2+3x-4\)

\(Q.3.(xxi)(i)\) \(y=8+2x-x^2\)

\(Q.3.(xxi)(j)\) \(y=-x^2+3x+2\)

\(Q.3.(xxi)(k)\) \(y=2^{x}\)

\(Q.3.(xxi)(l)\) \(y=-2^{x}\)

\(Q.3.(xxi)(m)\) \(y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(n)\) \(y=2^{-x}\)

\(Q.3.(xxi)(o)\) \(y=4^{x}\)

\(Q.3.(xxi)(p)\) \(y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\)

\(Q.3.(xxi)(q)\) \(y=\sin \frac{3}{2}x\)

\(Q.3.(xxi)(r)\) \(y=2\sin \frac{x}{3}\)

\(Q.3.(xxi)(s)\) \(y=\sec x\)

\(Q.3.(xxi)(t)\) \(y=\cos 3x\)

\(Q.3.(xxi)(u)\) \(y=\tan 2x\)

\(Q.3.(xxi)(v)\) \(y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)

\(Q.3.(xxi)(w)\) \(y=|x-2|\)

\(Q.3.(xxi)(x)\) \(y=(5-x)\)

\(Q.3.(xxi)(y)\) \(y=|3x-2|\)
\(Q.3.(xxii)\) নিচের ফাংশনগুলির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(a)\) \(y=5x+1\)

\(Q.3.(xxii)(b)\) \(y=e^x\)

\(Q.3.(xxii)(c)\) \(y=\sin x, (-90^{o}\le x\le 90^{o})\)

\(Q.3.(xxii)(d)\) \(y=\cos x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)

\(Q.3.(xxii)(e)\) \(y=\sin x, 0\le x\le 2\pi\)

\(Q.3.(xxii)(f)\) \(y=x^2, -3\le x\le 3\)

\(Q.3.(xxii)(g)\) \(y=|x|\)

\(Q.3.(xxii)(h)\) \(y=3, -3\le x\le 3\)
\(Q.3.(xxii)(i)\) \(y=log_{e}(1+x)\)

\(Q.3.(xxii)(j)\) \(y=log_{10}x\)

\(Q.3.(xxii)(k)\) \(y=log_{0.5}x\)

\(Q.3.(xxii)(l)\) \(y=0.2\ln (x-1)\)

\(Q.3.(xxii)(m)\) \(y=5^x\)

\(Q.3.(xxii)(n)\) \(y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\)

\(Q.3.(xxii)(o)\) \(y=e^{-2x}\)

\(Q.3.(xxii)(p)\) \(y=\ln (x+2)\)
\(Q.3.(xxiii)\) নিম্নের ফাংশনের এবং এদের রূপান্তরির ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন কর।
\(Q.3.(xxiii) (a)\) \(f(x)=x^2+2\) হলে \(f(x), f(x\pm 1)\) এবং \(f(x)\pm 1\)

\(Q.3.(xxiii) (b)\) \(f(x)=e^{-x}\) হলে \(f(x), f(x\pm 2)\) এবং \(f(x)\pm 2\)

\(Q.3.(xxiii) (c)\) \(f(x)=x^2\) হলে \(f(x), f(x\pm 1), f(-x), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 2\)
\(Q.3.(xxiii) (d)\) \(f(x)=\sin x\) হলে \(f(x), f(2x), f(x\pm 2), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 2\)

\(Q.3.(xxiii) (e)\) \(f(x)=\log_{10}x\) হলে \(f(x), f(x\pm 1), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 1\)
\(Q.3.(xxiv)\) নিচের ফাংশনগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxiv)(a)\) \(y=f(x)=|x+2|\)
\(Q.3.(xxiv)(b)\) \(y=f(x)=x^2\)
\(Q.3.(xxv)\) \(f(x)=x^2+3x, g(x)=2x-3\) হলে, \(gof(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
\(Q.3.(xxvi)\) নিম্নের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মৌলিক পর্যায় নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxvi) (a)\) \(\sec\frac{\theta}{4}\)

\(Q.3.(xxvi) (b)\) \(\cot\frac{3x}{4}\)

\(Q.3.(xxvi) (c)\) \(2\cos\frac{x}{4}\)

\(Q.3.(xxvi) (d)\) \(\frac{1}{2}\cot\frac{3x}{4}\)

\(Q.3.(xxvi) (e)\) \(2\sec\frac{\theta}{4}\)

\(Q.3.(xxvi) (f)\) \(\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(Q.3.(xxvi) (g)\) \(\sin\left(3\theta+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(Q.3.(xxvi) (h)\) \(\frac{1}{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)\)

\(Q.3.(xxvi) (i)\) \(2\cos\left(\frac{x}{3}\right)\)

\(Q.3.(xxvi) (j)\) \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(Q.3.(xxvi) (k)\) \(5\sec\frac{\theta}{8}\)
1 2 3 4 5 6