অন্বয় ও ফাংশন-২

অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q.4.(i)\) \(A=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}, f:A\rightarrow A\) এবং \(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\)
\((a)\) \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর বিপরীতকরণ যোগ্যতা যাচাই কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\).
উত্তরঃ \((a)\) \(f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\)


\(Q.4.(ii)\) \(f(x)=|x|\) এবং \(g(x)=e^x\)
\((a)\) \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\phi(x)=g(2x)+g(-2x)\) হলে, দেখাও যে, \(\phi(x+y)\phi(x-y)=\phi(2x)+\phi(2y)\).
\((c)\) \(f(x)\) হতে এর রূপান্তরিত ফাংশন \(f(x+2)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন \(=[0, \infty)\)

\(Q.4.(iii)\) \(f(x)=e^x\)
\((a)\) \(g(x)=\sqrt{x-3}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(h(x)=\cos(f^{-1}(x))\) হলে, দেখাও যে, \(h(x)h(y)-\frac{1}{2}\left[h(\frac{x}{y})+h(xy)\right]=0\).
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র হতে \(f(-x)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(g(x)\)-এর ডোমেন \(=[3, \infty)\)

\(Q.4.(iv)\) \(f(x)=\sqrt{x}\) ও \(g(x)=x^2-1\)
\((a)\) \(gof(14)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(x)\)-এর \(fog:R\rightarrow R\)-এর জন্য \(1\le x\le 4\) ব্যবধিতে লেখচিত্র অঙ্কন করে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)\)ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(13; (b) D_{fog}=\{1, 2, 3, 4\}\); \(R_{fog}=\{0, \sqrt{3}, 2\sqrt{2}, \sqrt{15}\}\) \((c)\) এক-এক নয়, সার্বিক নয়।

\(Q.4.(v)\)
দৃশ্যকল্প-১ \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\)
দৃশ্যকল্প-২ \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{25-x^2}\)
\((a)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, \(f(x)=f^{-1}(x)\).
\((b)\) দৃশ্যকল্প-২ হতে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-১ থেকে \(\phi(x)=\frac{1}{f(x)}\)-এর জন্য \(\frac{\phi(x)-\phi(y)}{1+\phi(x)\phi(y)}\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) D_f=[-5, 5], R_f=[0, 5]\); \((c) \frac{x-y}{1+xy}\)

\(Q.4.(vi)\) \(g(x)=\begin{cases}3x-1, & x > 3\\f(x)-3, & -2\le x \le3\\2x+3, & -2>x \end{cases}\) এবং \(f(x)=x^2+1\)
\((a)\) দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক নয়।
\((b)\) \(g(2), g(4), g(-1), g(-3)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f^{-1}(10), f^{-1}(0), f^{-1}[10, 26]\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) g(2)=2, g(4)=11, g(-1)=-1, g(-3)=-3\); \((c) f^{-1}(10)=\{-3, 3\}, f^{-1}(0)=\phi, f^{-1}[10, 26]=\{x: x\in R 3\le x\le 5\) অথবা, \(-5\le x\le -3\}\)

\(Q.4.(vii)\) \(f(x)=2x+1\) এবং \(fog(x)=x^2\)
\((a)\) \(g(x)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(g(x)\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(g(x)\) ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a) g(x)=\frac{x^2-1}{2}\); \((b)\) এক-এক নয়, সার্বিক নয়।

\(Q.4.(viii)\) \(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\((a)\) \(f(0)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
\((c)\) \(f^{-1}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) f(0)=-3\); \((c) f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2x-1}\).

\(Q.4.(ix)\) \(f(x)=x^2-4x+3\) এবং \(g(x)=2x-3\)
\((a)\) দেখাও যে, \(g(x)\) একটি এক-এক ফাংশন।
\((b)\) \(h(x)=\sqrt{f(x)}\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(fog\) ও \(gof\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) D_h=(-\infty, 1]\cup [3, \infty), R_h=[0, \infty)\); \((c) fog(x)=4x^2-20x+12, gof(x)=2x^2-8x+3\).

\(Q.4.(x)\) \(f(x)=-x^2+3x+2\) একটি দ্বিঘাত ফাংশন।
\((a)\) \(f(f(x))\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)=x^2\)-এর স্কেচ থেকে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a) f(f(x))=-x^4+6x^3-8x^2-3x+4\); \((b) D_f=\mathbb{R}, R_f=(-\infty, \frac{17}{4}]\).

\(Q.4.(xi)\) \(f(x)=4-x^2\) এবং \(g(x)=2|x|+3\) দ্বারা দুইটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হলো।
\((a)\) \(g(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(gof(x)\) ও \(fog(x)\) নির্ণয় কর এবং এর জন্য দেখাও যে, \(gof\ne fog\)
\((c)\) \(f(x)\)-এর স্কেচ অঙ্কন করে তা থেকে \(f(x+2)\)-এর স্কেচ দেখাও।
উত্তরঃ \((a) R_g=[0, \infty]\); \((b) gof(x)= 2|4-x^2|+3, fog(x)=-4x^2-12|x|-5\).

\(Q.4.(xii)\) \(f(x)=x^2+1\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(f(x)\) এক-এক ফাংশন কিনা ব্যাখ্যা কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর ডোমেনসহ রেঞ্জ নির্ণয় কর। ফাংশনটি সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন করে এর বৈশিষ্ট উল্লেখ কর।
উত্তরঃ \((a)\) এক-এক নয়; \((b) D_f=\mathbb{R}, R_f=[1, \infty)\) সার্বিক নয়।

\(Q.4.(xiii)\) \(f(x)=e^{\frac{x}{2}}, g(x)=\frac{3x+1}{2x-1}\).
\((a)\) \(\sin 6x\) পর্যায়বৃত্ত ফাংশন হলে, তার পর্যায় নির্ণয় কর।
\((b)\) \(g(x)\)-এর ডোমেন, রেঞ্জ নির্ণয় করে দেখাও যে, উহা এক-এক ফাংশন।
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন করে অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{3}\); \((b) D_g=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, R_g=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\); \((c) y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে এবং ঋনাত্মক \(x\) অক্ষকে অসীমে ছেদ করে।

\(Q.4.(xiv)\) \(f(x)=2x^2+1\) যেখানে, \(f:[0, 4]\rightarrow \mathbb{R}\) এবং \(\cot(g(x))=1+x+x^2\)
\((a)\) \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f_{-1}[1, 3]\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(g(0)+2g(1)+g(2)=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ \((a) \ R_f=[1, 33]\); \((b) f^{-1}[1, 3]=[-1, 1]\).

\(Q.4.(xv)\) \(f(x)=\frac{x^4-49}{x^2+7}, g(x)=\sqrt{x+3}\) এবং \(p(x)=\sqrt{\frac{3x^2+2x+3}{1+x^2}}\) তিনটি ফাংশন।
\((a)\) \(r(x)=\begin{cases}\lambda x-6, & x \le 0\\\lambda x+6, & x>0 \end{cases}\) এবং \(r(2)=0\) হলে, \(\lambda\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(p(x)\) এক-এক ফাংশন নয়।
উত্তরঃ \((a) \ -3\); \((b) D_{gof}=[-3, \infty) \).

\(Q.4.(xvi)\) \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট। \(A, B\subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\), যেখানে, \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\((a)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
\((c)\) \(f(x)\)-এর বিপরীত ফাংশন আছে কিনা কারণসহ উল্লেখ কর। যদি থাকে তবে \(f_{-1}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ D_f= , R_f= \); \((c) f^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-2x} \).

\(Q.4.(xvii)\) \(f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}, g(x)=a\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\) দুইটি ফাংশন।
\((a)\)\(f(x)\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f^{-1}(x)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(g(a)+g(b)=g(a+b)\)
উত্তরঃ \((a) \ D_f=\mathbb{R}-\{2\}\); \((b) f^{-1}(x)=\frac{4x-7}{2x-4} \).

\(Q.4.(xviii)\) \(f(\theta)=2\theta+2, fog(\theta)=\theta^2\).
\((a)\)\(h(\theta)=\begin{cases}\theta^2-5\theta, & \theta \ge 2\\\theta+2, & 2>\theta \end{cases}\) হলে, \(h(-4)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(\theta)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f(\theta)\) ফাংশনটি এক-এক কিনা ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ \((a) \ f(-4)=-2\); \((b) R_f=\mathbb{R} \); \((c)\)ফাংশনটি এক-এক।

\(Q.4.(xix)\) \(A=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}, f:A\rightarrow A\) এবং \(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\).
\((a)\) \(g(x)=x^2-4x+5\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর বিপরীত যোগ্যতা যাচাই কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\).
উত্তরঃ \((a) \ R_g=[1, \infty)\)

\(Q.4.(xx)\) \(f(x)=x^2-6, g(x)=x^2-2|x|\).
\((a)\) \(p(x)=\frac{1}{2x-1}\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f(x)\)-এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, প্রদত্ত ফাংশনটি এক-এক নয়।
উত্তরঃ \((a) \ D_p=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, R_p=\mathbb{R}-\{0\}\); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \ f^{-1}(x)=\) বিপরীত যোগ্য নয়।

\(Q.4.(xxi)\) \(f(x)=x^2-17, g(x)=\sqrt{x+8}, p(x)=\frac{f^{-1}(x)}{g(x)}\).
\((a)\) \(\sqrt{f(x)}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(x\)-এর কোন মানগুলির জন্য \(gof(x)=-fog(x)\) হবে।
\((c)\) \(p(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ D_{f}=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge \sqrt{17}\) অথবা, \(x\le -\sqrt{17} \); \((b) x=5\); \((c) R_{p}=\mathbb{R}-\{-1, 1\}\)

\(Q.4.(xxii)\) \(f(x)=\sqrt{x-16}, g(x)=x^2+7, fop(x)=\sqrt{\frac{61-31x}{2x-4}}\).
\((a)\) \(f(x)=\begin{cases}\lambda x+6, & x \le -2\\\lambda x-6, & x>2 \end{cases}\) এবং \(f(3)=0\) হলে, \(\lambda\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(x)\)-এর ডোমেন ও \(gof(9)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(p(x)\)একটি এক-এক ফাংশন।
উত্তরঃ \((a) \lambda=2 \); \((b) D_{fog}=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge 3\) অথবা, \(x\le -3\), \(gof(9)=0\)

\(Q.4.(xxiii)\) \(f:x\rightarrow 2x-3, g:x\rightarrow \frac{1}{x+5}, x\ne -5\).
\((a)\) \(g(g(x))\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(g(x))\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f^{-1}(x)=g^{-1}(2)\) হলে, \(x\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) gog(x)=\frac{x+5}{5x+26}\); \((b) D_{f(g(x))}=\mathbb{R}-\{-5\}; R_{f(g(x))}=\mathbb{R}-\{-3\}\); \((c) x=-12\)

\(Q.4.(xxiv)\) \(g(x)=\frac{1+x}{1-x}, f(x)=\ln x\).
\((a)\) \(f(x)\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(\frac{g(x)-g(y)}{1+g(x)g(y)}=\frac{x-y}{1+xy}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(fog\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2fog(x)\)
উত্তরঃ \((a) D_{f}=(0, \infty)\)

\(Q.4.(xxv)\) ঝড়ে \(h\) উচ্চতায় একটি সুপারি গাছ শীর্ষ হতে \(10\) মিটার নিচে এমনভাবে ভাঙল যেন ভাঙ্গা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে \(\theta\) এবং ভূমির সাথে \(2\theta\) কোণ উৎপন্ন করল। উচ্চতা \(h\) কে \(\theta\)-এর ফাংশন রূপে প্রকাশ করলে \(h(\theta)\) হবে।
\((a)\) \(\theta=\frac{\pi}{3}\) হলে, \(h\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ বের কর।
\((c)\) ফাংশনটির লেখ এঁকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটির পর্যায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)

\(Q.4.(xxvi)\) \(f(x)=\frac{ax+b}{cx-d}\).
\((a)\) দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক ।
\((b)\) \(a=1, b=-3, c=3\) ও \(d=-1\) হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=d\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\)
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)

\(Q.4.(xxvii)\) \(f(x)=e^x, g(x)=\sqrt{x}\) ও \(h(x)=25-x^2\)তিনটি ফাংশন।
\((a)\) \(f(x)\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \([0, 5]\) ব্যবধির মধ্যে \(goh\)ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(f(x)\) ও তার বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করে তাদের প্রকৃতি কেমন তা মন্তব্য কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)

\(Q.4.(xxviii)\) \(g(x,y)=x^2+y^2-2x-4y-4\)এবং \(y=f(x)=\frac{3x+5}{4}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত দুইটি ফাংশন।
\((a)\) ফাংশন ও অন্বয়ের পার্থক্য দেখাও।
\((b)\) দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক ।
\((c)\) \(g(x,y)=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক \(f(x)\) রেখার উপর লম্ব হলে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)

\(Q.4.(xxix)\) দৃশ্যকল্প-১: \(3x-4y+5=0\) দৃশকল্প-২ :\(g(x)=b\frac{x-a}{b-a}+a\frac{x-b}{a-b}\)
\((a)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{\sqrt{7-x}}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(g(a)+g(b)=g(a+b)\).
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে দৃশ্যকল্প-১ -এ বর্ণিত রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)

\(Q.4.(xxx)\) \(f(x)=\frac{3x-5}{4x+7}\) \(g(x)=2x-9\)
\((a)\) \(f(x)\) ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fop(x)=g(x)\) হলে, \(gop(4)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\vec{R}=g(4)\hat{i}-g(5)\hat{j}-g(3)\hat{k}\) ও \(\vec{M}=-g(10)\hat{i}+g(0)\hat{j}+g\left(\frac{1}{2}\right)\hat{k}\) ভেক্টর দ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ \); \((c) \)

বিভিন্ন বোর্ড পরীক্ষায় আসা সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q.4.(xxxi)\) \(f(x)=x^2+3x, g(x)=2x-3\) এবং \(A=\begin{bmatrix}\ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1 \ -1 \\ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ 4\\-4 \ \ \ \ 5\ \ \ \ \ 6\end{bmatrix}\)
\((a)\) নির্নায়কের সাহায্যে সমাধান করঃ \(x+3y+2=0, 2x+y+3=0\)
\((b)\) \(f(A)+1\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(gof(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \)

\(Q.4.(xxxii)\) \(A=\begin{bmatrix}2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1\\2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 4\\4 \ \ \ \ 5\ \ \ \ 6\end{bmatrix}, B=A^{t}, f(x)=x^2-4x\)
\((a)\) \(g(x)=\frac{1}{2x-3}\) ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(B)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\)-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \),\((c) \)

\(Q.4.(xxxiii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(g(x)=(x+5)^n, f(x)=x^2-6\)
দৃশ্যকল্প-২: রহিম স্যার ছাত্রছাত্রীদেরকে \(“TESTICLE”\) শব্দটি নিয়ে আলোচনা করলেন।
\((a)\) \(y=|x-3|\)-এর স্কেচ অঙ্কন কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ অনুসসারে \(n=\frac{1}{2}\) হলে, \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যাবে যাতে প্রথমে ও শেষে \(E\) থাকবে না।
[ সিঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \),\((c) \)

\(Q.4.(xxxiv)\) \(SYLHET\) থেকে \(BANDARBAN\)এ \(10\) জন শিক্ষার্থীর একটি দল শিক্ষাসফরে আসল। তাদেরকে দুইটি গাড়িতে ভ্রমণ করতে হবে, যার একটিতে \(7\) জনের বেশি ও অন্যটিতে \(4\) জনের বেশি শিক্ষার্থী ধরে না।
\((a)\) \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\) হলে, \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, প্রথম স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যা দ্বিতীয় স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যার \(21\) গুণ।
\((c)\) দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে?
[ যঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \),\((c) \)

\(Q.4.(xxxv)\) দৃশ্যকল্প-১: \(MUJIBNAGAR\)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\frac{2x+7}{3x-2}; x\in \mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\)
\((a)\) \(^nC_3=\frac{4}{5}\times ^nC_2\) হলে, \(n\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ -এর আলোকে শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে না থাকে।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: হতে দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\)
[ বঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \),\((c) \)

অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q.4.(i)\) \(A=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}, f:A\rightarrow A\) এবং \(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\)
\((a)\) \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর বিপরীতকরণ যোগ্যতা যাচাই কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\).
উত্তরঃ \((a)\) \(f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(i).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}, f:A\rightarrow A\)
এবং \(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\)
ধরি,
\(y=\frac{2x+5}{3x-2}\)
\(\Rightarrow 3xy-2y=2x+5\)
\(\Rightarrow 3xy-2x=2y+5\)
\(\Rightarrow x(3y-2)=2y+5\)
\(\therefore x=\frac{2y+5}{3y-2}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(3y-2\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 3y\ne 2\)
\(\Rightarrow y\ne \frac{2}{3}\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\)
\(Q.4.(i).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}, f:A\rightarrow A\)
এবং \(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2} …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=\frac{2a+5}{3a-2} ……(2)\)
\(f(b)=\frac{2b+5}{3b-2} ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(\frac{2a+5}{3a-2}=\frac{2b+5}{3b-2}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 6ab-4a+15b-10=6ab+15a-4b-10\)
\(\Rightarrow -4a+15b=15a-4b\)
\(\Rightarrow -4a-15a=-15b-4b\)
\(\Rightarrow -19a=-19b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
আবার,
\((a)\) হতে প্রাপ্ত,
\(f\)-এর রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\)
\(\therefore R_f=\) কো-ডোমেন \(A\)
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক।
যেহেতু ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক ফলে, \(f^{-1}\) বিদ্যমান অর্থাৎ বিপরীত যোগ্য।
\(Q.4.(i).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}, f:A\rightarrow A\)
এবং \(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\)
ধরি,
\(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2} ………(1)\)
এবং
\(y=f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2x+5}{3x-2}; f(x)=y\)
\(\Rightarrow 3xy-2y=2x+5; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow 3xy-2x=2y+5; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x(3y-2)=2y+5; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{2y+5}{3y-2}; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{2y+5}{3y-2}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=f(x)\) | \((1)\)-এর সাহায্যে।
(showed)

\(Q.4.(ii)\) \(f(x)=|x|\) এবং \(g(x)=e^x\)
\((a)\) \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\phi(x)=g(2x)+g(-2x)\) হলে, দেখাও যে, \(\phi(x+y)\phi(x-y)=\phi(2x)+\phi(2y)\).
\((c)\) \(f(x)\) হতে এর রূপান্তরিত ফাংশন \(f(x+2)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন \(=[0, \infty)\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(ii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=|x|\)
এবং \(g(x)=e^x\)
এখন,
\(g(\sqrt{x})=e^{\sqrt{x}}\) | \(\because g(x)=e^x\)
\(g(\sqrt{x})\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x\ge 0\) হয়।
অতএব, \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন \(=[0, \infty)\)
\(Q.4.(ii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=e^x\)
এবং \(\phi(x)=g(2x)+g(-2x)\)
ধরি,
\(g(x)=e^x ………(1)\)
\(\phi(x)=g(2x)+g(-2x) ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\phi(x)=e^{2x}+e^{-2x} ………(3)\)
আবার,
\((3)\) হতে,
\(\phi(2x)=e^{4x}+e^{-4x} ………(4)\)
\(\phi(2y)=e^{4y}+e^{-4y} ………(5)\)
\(\phi(x+y)=e^{2x+2y}+e^{-2x-2y} ………(6)\)
\(\phi(x-y)=e^{2x-2y}+e^{-2x+2y} ………(7)\)
এখন,
\(L.S=\phi(x+y)\phi(x-y)\)
\(=(e^{2x+2y}+e^{-2x-2y})(e^{2x-2y}+e^{-2x+2y})\) | \((6)\) ও \((7)\) -এর সাহায্যে।
\(=e^{2x+2y+2x-2y}+e^{2x+2y-2x+2y}+e^{-2x-2y+2x-2y}+e^{-2x-2y-2x+2y}\)
\(=e^{4x}+e^{4y}+e^{-4y}+e^{-4x}\)
\(=e^{4x}+e^{-4x}+e^{4y}+e^{-4y}\)
\(=\phi(2x)+\phi(2y)\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(proved)
\(Q.4.(ii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=|x|\)
\(\therefore f(x+2)=|x+2|\)
\(\therefore \) রূপান্তরিত ফাংশন,
\(f(x+2)=y=|x+2|\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-5\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(y=|x+2|\) \(3\) \(2\) \(1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)

hyperbola
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=|x+2|\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।

\(Q.4.(iii)\) \(f(x)=e^x\)
\((a)\) \(g(x)=\sqrt{x-3}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(h(x)=\cos(f^{-1}(x))\) হলে, দেখাও যে, \(h(x)h(y)-\frac{1}{2}\left[h(\frac{x}{y})+h(xy)\right]=0\).
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র হতে \(f(-x)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(g(x)\)-এর ডোমেন \(=[3, \infty)\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(iii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\sqrt{x-3}\)
এখন,
\(g(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x-3\ge 0\) হয়।
\(\therefore x\ge 3\)
অতএব, \(g(x)\)-এর ডোমেন \(=[3, \infty)\)
\(Q.4.(iii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=e^x\)
\(h(x)=\cos(f^{-1}(x))\)
ধরি,
\(y=f(x)=e^x\)
\(\Rightarrow y=e^x; f(x)=y\)
\(\Rightarrow e^x=y; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\ln y; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\ln y\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\ln x\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\ln x ….(1)\)
এবং
\(h(x)=\cos(f^{-1}(x)) ………(2)\)
\((1)\) ও \( (2)\) হতে,
\(h(x)=\cos(\ln x) ………(3)\)
আবার,
\((3)\) হতে,
\(h(y)=\cos(\ln y) ………(4)\)
\(h(xy)=\cos(\ln xy) ………(5)\)
\(h(\frac{x}{y})=\cos(\ln \frac{x}{y}) ………(6)\)
এখন,
\(L.S=h(x)h(y)-\frac{1}{2}\left[h(\frac{x}{y})+h(xy)\right]\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}\left[\cos(\ln xy)+\cos(\ln \frac{x}{y})\right]\) | \((3)\) ,\((4)\) ,\((5)\) ও \((6)\) -এর সাহায্যে।
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}\left[\cos(\ln x+\ln y)+\cos(\ln x-\ln y)\right]\) | \(\because \ln xy=\ln x+\ln y; \ln \frac{x}{y}=\ln x-\ln y\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}[2\cos(\ln x)\cos(\ln y)]\) | \(\because \cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\cos(\ln x)\cos(\ln y)\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(proved)
\(Q.4.(iii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=e^x\)
\(\therefore f(-x)=e^{-x}\)
\(f(x)\) ও \(f(-x)\) উভয়েই \(y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) ও \(f(-x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-2\) \(-1.5\) \(-1\) \(-0.5\) \(0\) \(0.5\)
\(y=e^{x}\) \(0.14\) \(0.22\) \(0.37\) \(0.6\) \(1\) \(1.65\)
\(y=e^{-x}\) \(7.4\) \(4.5\) \(2.72\) \(1.65\) \(1\) \(0.6\)

hyperbola
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(f(x)\) ও \(f(-x)\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।

\(Q.4.(iv)\) \(f(x)=\sqrt{x}\) ও \(g(x)=x^2-1\)
\((a)\) \(gof(14)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(x)\)-এর \(fog:R\rightarrow R\)-এর জন্য \(1\le x\le 4\) ব্যবধিতে লেখচিত্র অঙ্কন করে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)\)ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(13; (b) D_{fog}=\{1, 2, 3, 4\}\); \(R_{fog}=\{0, \sqrt{3}, 2\sqrt{2}, \sqrt{15}\}\) \((c)\) এক-এক নয়, সার্বিক নয়।

সমাধানঃ

\(Q.4.(iv).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x}\) ও \(g(x)=x^2-1\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(=(f(x))^{2}-1\) | \(\because g(x)=x^2-1\)
\(=(\sqrt{x})^{2}-1\) | \(\because f(x)=\sqrt{x}\)
\(=x-1\)
\(\therefore gof(x)=x-1\)
\(\therefore gof(14)=14-1\)
\(=13\)
\(Q.4.(iv).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x}\) ও \(g(x)=x^2-1\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(=\sqrt{(g(x))}\) | \(\because f(x)=\sqrt{x}\)
\(=\sqrt{x^2-1}\) | \(\because g(x)=x^2-1\)
\(\therefore fog(x)=\sqrt{x^2-1}\)
\(\therefore fog(x)=y=\sqrt{x^2-1}\)
\(1\le x\le 4\) ব্যবধিতে \(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(y=\sqrt{x^2-1}\) \(0\) \(\sqrt{3}\) \(2\sqrt{2}\) \(\sqrt{15}\)

hyperbola
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=\sqrt{x^2-1}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।
আবার,
\(fog(x)=y=\sqrt{x^2-1}\)
এখানে,
\(g(x)\) ফাংশনটি \(f(x)\)-এর সহিত সংযোজিত হয়ে \(fog(x)\) সংযোজিত ফাংশন সৃষ্টি করে।
\(g(x)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_g=\{1, 2, 3, 4\}\)
\(f(x)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=\{0, \sqrt{3}, 2\sqrt{2}, \sqrt{15}\}\)
ফলে,
\(fog(x)\)-এর ডোমেন \(D_{fog}=\{1, 2, 3, 4\} \subseteq D_g\)
\(fog(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{fog}=\{0, \sqrt{3}, 2\sqrt{2}, \sqrt{15}\} \subseteq R_f\)
\(Q.4.(iv).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=x^2-1\)
ধরি,
\((a, b)\in D_g\)
\(g(x)=x^2-1 …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(a)=a^2-1 ……(2)\)
\(g(b)=b^2-1 ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(g(a)=g(b)\)
\(a^2-1=b^2-1\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow a^2=b^2\)
\(\therefore a=\pm b\)
\(\therefore g\) এক-এক ফাংশন নয়।
আবার,
ধরি,
\(y=g(x)=x^2-1\)
\(\Rightarrow x^2-1=y\)
\(\Rightarrow x^2=y+1\)
\(\therefore x=\pm \sqrt{y+1}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(y+1\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow y\ge -1\)
\(g\)-এর রেঞ্জ \(R_g=[-1, \infty)\ne \) কো-ডোমেন \(\mathbb{R}\)
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক নয়।

\(Q.4.(v)\)
দৃশ্যকল্প-১ \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\)
দৃশ্যকল্প-২ \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{25-x^2}\)
\((a)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, \(f(x)=f^{-1}(x)\).
\((b)\) দৃশ্যকল্প-২ হতে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-১ থেকে \(\phi(x)=\frac{1}{f(x)}\)-এর জন্য \(\frac{\phi(x)-\phi(y)}{1+\phi(x)\phi(y)}\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) D_f=[-5, 5], R_f=[0, 5]\); \((c) \frac{x-y}{1+xy}\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(v).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\)
ধরি,
\(y=f(x)=\frac{x+1}{x-1} ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(y=\frac{x+1}{x-1}; f(x)=y\)
\(\Rightarrow xy-y=x+1; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow xy-x=y+1; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x(y-1)=y+1; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{y+1}{y-1}; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y+1}{y-1}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{x+1}{x-1} …..(2)\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(f(x)=f^{-1}(x)\)
(showed)
\(Q.4.(v).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
এবং \(f(x)=\sqrt{25-x^2}\)
ধরি,
\(y=f(x)=\sqrt{25-x^2} ……(1)\)
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(25-x^2\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow 25\ge x^2\)
\(\Rightarrow x^2\le 25\)
\(\Rightarrow |x|^2\le 25\)
\(\Rightarrow |x|\le 5\)
\(\therefore -5\le |x|\le 5\)
\(\therefore f\)-এর ডোমেন \( D_{f}=[-5,5]\)
আবার,
\(x=\pm 5\)-এর জন্য \(f(x)=0\) যা ক্ষুদ্রতম মাণ।
\(x=0\)-এর জন্য \(f(x)=5\) যা বৃহত্তম মাণ।
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=[0,5]\)
\(Q.4.(v).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\)
এবং \(\phi(x)=\frac{1}{f(x)}\)
ধরি,
\(f(x)=\frac{x+1}{x-1} …….(1)\)
এবং \(\phi(x)=\frac{1}{f(x)} …..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\phi(x)=\frac{1}{\frac{x+1}{x-1}}\)
\(\therefore \phi(x)=\frac{x-1}{x+1} …….(3)\)
\((3)\) হতে,
\(\phi(y)=\frac{y-1}{y+1} …….(4)\)
প্রদত্ত রাশি,
\(=\frac{\phi(x)-\phi(y)}{1+\phi(x)\phi(y)}\)
\(=\frac{\frac{x-1}{x+1}-\frac{y-1}{y+1}}{1+\frac{x-1}{x+1}\times \frac{y-1}{y+1}}\) | \((3)\) ও \((4)\) -এর সাহায্যে।
\(=\frac{\frac{(x-1)(y+1)-(x+1)(y-1)}{(x+1)(y+1)}}{1+\frac{(x-1)(y-1)}{(x+1)(y+1)}}\)
\(=\frac{\frac{(x-1)(y+1)-(x+1)(y-1)}{(x+1)(y+1)}}{\frac{(x+1)(y+1)+(x-1)(y-1)}{(x+1)(y+1)}}\)
\(=\frac{(x-1)(y+1)-(x+1)(y-1)}{(x+1)(y+1)}\times \frac{(x+1)(y+1)}{(x+1)(y+1)+(x-1)(y-1)}\)
\(=\frac{(x-1)(y+1)-(x+1)(y-1)}{(x+1)(y+1)+(x-1)(y-1)}\)
\(=\frac{xy+x-y-1-xy+x-y+1}{xy+x+y+1+xy-x-y+1}\)
\(=\frac{2x-2y}{2xy+2}\)
\(=\frac{2(x-y)}{2(xy+1)}\)
\(=\frac{x-y}{1+xy}\)

\(Q.4.(vi)\) \(g(x)=\begin{cases}3x-1, & x > 3\\f(x)-3, & -2\le x \le3\\2x+3, & -2>x \end{cases}\) এবং \(f(x)=x^2+1\)
\((a)\) দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক নয়।
\((b)\) \(g(2), g(4), g(-1), g(-3)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f^{-1}(10), f^{-1}(0), f^{-1}[10, 26]\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) g(2)=2, g(4)=11, g(-1)=-1, g(-3)=-3\); \((c) f^{-1}(10)=\{-3, 3\}, f^{-1}(0)=\phi, f^{-1}[10, 26]=\{x: x\in R 3\le x\le 5\) অথবা, \(-5\le x\le -3\}\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(vi).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+1\)
ধরি,
\((a, b)\in D_g\)
\(f(x)=x^2+1 …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a^2+1 ……(2)\)
\(f(b)=b^2+1 ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(a^2+1=b^2+1\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow a^2=b^2\)
\(\therefore a=\pm b\)
\(\therefore f\) এক-এক ফাংশন নয়।
\(Q.4.(vi).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\begin{cases}3x-1, & x > 3\\f(x)-3, & -2\le x \le3\\2x+3, & -2>x \end{cases}\)
এবং \(f(x)=x^2+1\)
এখানে,
\(x=2, -2\le x\le 3\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore g(2)=f(2)-3\)
\(=2^2+1-3\) | \(\because f(x)=x^2+1\)
\(=4-2\)
\(=2\)
\(x=4, x>3 \) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore g(4)=3\times 4-1\)
\(=12-1\)
\(=11\)
\(x=-1, -2\le x\le 3\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore g(-1)=f(-1)-3\)
\(=(-1)^2+1-3\) | \(\because f(x)=x^2+1\)
\(=1-2\)
\(=-1\)
\(x=-3, -2>x\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore g(-3)=2\times -3+3\)
\(=-6+3\)
\(=-3\)
\(Q.4.(vi).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+1\)
ধরি,
\(y=f(x)=x^2+1 …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(y=x^2+1; f(x)=y\)
\(\Rightarrow x^2+1=y; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x^2=y-1; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{y-1}; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\pm \sqrt{y-1}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x-1}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x-1} …….(2)\)
এখন,
\(f^{-1}(10)=\pm \sqrt{10-1}\)
\(=\pm \sqrt{9}\)
\(=\pm 3\)
আবার,
\(f^{-1}(0)=\pm \sqrt{0-1}\)
\(=\pm \sqrt{-1}\) যা কাল্পনিক।
\(=\emptyset \)
আবার,
\(f^{-1}[10, 26]=\{x: x\in \mathbb{R}, 10\le f(x)\le 26\}\) সংজ্ঞানুসারে।
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 10\le x^2+1\le 26\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 10-1\le x^2+1-1\le 26-1\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 9\le x^2\le 25\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 9\le |x|^2\le 25\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 3\le |x|\le 5\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 3\le x\le 5 \) অথবা, \( 3\le -x\le 5 \}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 3\le x\le 5 \) অথবা, \( -3\ge x\ge -5 \}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 3\le x\le 5 \) অথবা, \( -5\le x\le -3 \}\)

\(Q.4.(vii)\) \(f(x)=2x+1\) এবং \(fog(x)=x^2\)
\((a)\) \(g(x)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(g(x)\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(g(x)\) ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a) g(x)=\frac{x^2-1}{2}\); \((b)\) এক-এক নয়, সার্বিক নয়।

সমাধানঃ

\(Q.4.(vii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x+1\)
এবং \(fog(x)=x^2\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))=x^2\)
\(\Rightarrow f(g(x))=x^2\)
\(\Rightarrow 2g(x)+1=x^2\) | \(\because f(x)=2x+1\)
\(\Rightarrow 2g(x)=x^2-1\)
\(\therefore g(x)=\frac{x^2-1}{2}\)
\(Q.4.(vii).(b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত।
\(g(x)=\frac{x^2-1}{2}\)
ধরি,
\((a, b)\in D_g\)
\(g(x)=\frac{x^2-1}{2} …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(a)=\frac{a^2-1}{2} ……(2)\)
\(g(b)=\frac{b^2-1}{2} ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(g(a)=g(b)\)
\(\frac{a^2-1}{2}=\frac{b^2-1}{2}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow a^2-1=b^2-1\)
\(\Rightarrow a^2=b^2\)
\(\therefore a=\pm b\)
\(\therefore f\) এক-এক ফাংশন নয়।
আবার,
ধরি,
\(g(x)=y=\frac{x^2-1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x^2-1}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=x^2-1\)
\(\Rightarrow x^2-1=2y\)
\(\Rightarrow x^2=2y+1\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{2y+1}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2y+1\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow 2y\ge -1\)
\(\therefore y\ge -\frac{1}{2}\)
\(\therefore g\)-এর রেঞ্জ \(R_{g}=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}\ne\) কো-ডোমেন \(\mathbb{R}\)
\(\therefore g\) সার্বিক ফাংশন নয়।
\(Q.4.(vii).(c)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত।
\(g(x)=\frac{x^2-1}{2}\)
ধরি,
\(y=\frac{x^2-1}{2} …….(1)\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-7\) \(-5\) \(-3\) \(0\) \(3\) \(5\)
\(y=\frac{x^2-1}{2}\) \(24\) \(12\) \(4\) \(-\frac{1}{2}\) \(4\) \(12\)

hyperbola
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=\frac{x^2-1}{2}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।

\(Q.4.(viii)\) \(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\((a)\) \(f(0)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
\((c)\) \(f^{-1}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) f(0)=-3\); \((c) f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2x-1}\).

সমাধানঃ

\(Q.4.(viii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
এখন,
\(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(\therefore f(0)=\frac{0-3}{2.0+1}\)
\(=\frac{-3}{0+1}\)
\(=\frac{-3}{1}\)
\(=-3\)
\(Q.4.(viii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
ধরি,
\((a, b)\in D_g\)
\(f(x)=\frac{x-3}{2x+1} …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=\frac{a-3}{2a+1}……(2)\)
\(f(b)=\frac{b-3}{2b+1} ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(\frac{a-3}{2a+1}=\frac{b-3}{2b+1}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 2ab+a-6b-3=2ab+b-6a-3 \)
\(\Rightarrow a-6b=b-6a\)
\(\therefore a+6a=b+6b\)
\(\therefore 7a=7b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন ।
আবার,
ধরি,
\(f(x)=y=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(\Rightarrow 2xy+y=x-3\)
\(\Rightarrow 2xy-x=-y-3\)
\(\Rightarrow -x(1-2y)=-(y+3)\)
\(\Rightarrow x(1-2y)=(y+3)\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{y+3}{1-2y}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(1-2y\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow 1\ge 2y\)
\(\Rightarrow 2y\le 1\)
\(\therefore y\le \frac{1}{2}\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}=\) কো-ডোমেন \(B\)
\(\therefore f\) একটি সার্বিক ফাংশন।
\(Q.4.(viii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
ধরি,
\(f(x)=y=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-3}{2x+1}; f(x)=y\)
\(\Rightarrow 2xy+y=x-3; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow 2xy-x=-y-3; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow -x(1-2y)=-(y+3); x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x(1-2y)=(y+3); x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{y+3}{1-2y}; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\pm \frac{y+3}{1-2y}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\pm \frac{x+3}{1-2x}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\pm \frac{x+3}{1-2x}\)

\(Q.4.(ix)\) \(f(x)=x^2-4x+3\) এবং \(g(x)=2x-3\)
\((a)\) দেখাও যে, \(g(x)\) একটি এক-এক ফাংশন।
\((b)\) \(h(x)=\sqrt{f(x)}\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(fog\) ও \(gof\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) D_h=(-\infty, 1]\cup [3, \infty), R_h=[0, \infty)\); \((c) fog(x)=4x^2-20x+12, gof(x)=2x^2-8x+3\).

সমাধানঃ

\(Q.4.(ix).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=2x-3\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(g(x)=2x-3 …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(a)=2a-3……(2)\)
\(g(b)=2b-3 ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(g(a)=g(b)\)
\(2a-3=2b-3\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 2a=2b \)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore g\) একটি এক-এক ফাংশন ।
\(Q.4.(ix).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2-4x+3\)
এবং \(h(x)=\sqrt{f(x)}\)
ধরি,
\(f(x)=x^2-4x+3 ……(1)\)
\(h(x)=\sqrt{f(x)}…….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(h(x)=\sqrt{x^2-4x+3}……(3)\)
\(h(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x^2-4x+3\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow x^2-3x-x+3\ge 0\)
\(\Rightarrow x(x-3)-1(x-3)\ge 0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x-3)\ge 0\)
\(\Rightarrow x-1\ge 0, x-3\ge 0\) অথবা, \(x-1\le 0, x-3\le 0\)
\(\Rightarrow x\ge 1, x\ge 3\) অথবা, \(x\le 1, x\le 3\)
\(\Rightarrow x\ge 3\) অথবা, \(x\le 1\)
\(\therefore h\)-এর ডোমেন \(D_{h}=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge 3\) অথবা, \(x\le 1\}\)
\(\therefore D_{h}=(-\infty, 1]\cup [3, \infty)\)
আবার,
\(D_{h}\)-এর সকল মানের জন্য \(h(x)\ge 0\) হয়।
\(\therefore h\)-এর রেঞ্জ \(R_{h}=[0, \infty)\)
\(Q.4.(ix).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2-4x+3\) এবং \(g(x)=2x-3\)
আমরা জানি,
\(fog=f(g(x))\)
\(=(g(x))^2-4g(x)+3\) | \(\because f(x)=x^2-4x+3\)
\(=(2x-3)^2-4(2x-3)+3\) | \(\because g(x)=2x-3\)
\(=4x^2-12x+9-8x+12+3\)
\(=4x^2-20x+24\)
আবার,
\(gof=g(f(x))\)
\(=2f(x)-3\) | \(\because g(x)=2x-3\)
\(=2(x^2-4x+3)-3\) | \(\because f(x)=x^2-4x+3\)
\(=2x^2-8x+6-3\)
\(=2x^2-8x+3\)

\(Q.4.(x)\) \(f(x)=e^x, g(x)=\sqrt{x}\) একটি দ্বিঘাত ফাংশন।
\((a)\) \(f(f(x))\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)=x^2\)-এর স্কেচ থেকে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a) f(f(x))=-x^4+6x^3-8x^2-3x+4\); \((b) D_f=\mathbb{R}, R_f=(-\infty, \frac{17}{4}]\).

সমাধানঃ

\(Q.4.(x).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=-x^2+3x+2\)
প্রদত্ত রাশি \(=f(f(x))\)
\(=-(f(x))^2+3f(x)+2\) | \(\because f(x)=-x^2+3x+2\)
\(=-(-x^2+3x+2)^2+3(-x^2+3x+2)+2\) | \(\because f(x)=-x^2+3x+2\)
\(=-(x^4+9x^2+4-6x^3+12x-4x^2)-3x^2+9x+6+2\)
\(=-x^4-9x^2-4+6x^3-12x+4x^2-3x^2+9x+6+2\)
\(=-x^4+6x^3-8x^2-3x+4\)
\(Q.4.(x).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=-x^2+3x+2\)
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f\)-এর ডোমেন \(D_{f}=\mathbb{R}\)
আবার,
ধরি,
\(f(x)=y=-x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow -y=x^2-3x-2\)
\(\Rightarrow x^2-3x-2=-y\)
\(\Rightarrow x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-2=-y\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}-2=-y\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}+2-y\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9+8-4y}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right))^2=\frac{17-4y}{4}\)
\(\Rightarrow x-\frac{3}{2}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{17-4y}\)
\(\therefore x=\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{17-4y}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(17-4y\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow 17-4y\ge 0\)
\(\Rightarrow 4y-17\le 0\)
\(\Rightarrow 4y\le 17\)
\(\Rightarrow y\le \frac{17}{4}\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=(-\infty, \frac{17}{4}]\)
\(Q.4.(x).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=-x^2+3x+2\)
এবং \(g(x)=x^2\)
ধরি,
\(f(x)=y=-x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow y=-(x^2-3x)+2\)
\(\Rightarrow y=-\left(x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}\right)+2\)
\(\Rightarrow y=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}+2\)
\(\Rightarrow y=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9+8}{4}\)
\(\Rightarrow y=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{17}{4}\)
\(\therefore y-\frac{17}{4}=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 …….(1)\)
আবার,
\(g(x)=y=x^2\)
\(\therefore y=x^2 ………(2)\)
\(\therefore y=x^2\) ফাংশনে \(x=0\) হলে, \(y=0\) হয়। অর্থাৎ ফাংশনটি \((0, 0)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
\((1)\) ও \((2)\) তুলুনা করে পাই।
\(x=\frac{3}{2}\) \(y=\frac{17}{4}\)
অর্থাৎ \(f(x)\) ফাংশনটি \(\left(\frac{3}{2}, \frac{17}{4}\right)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
hyperbola
পার্শে লেখচিত্র অঙ্গকন করা হলো।

\(Q.4.(xi)\) \(f(x)=4-x^2\) এবং \(g(x)=2|x|+3\) দ্বারা দুইটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হলো।
\((a)\) \(g(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(gof(x)\) ও \(fog(x)\) নির্ণয় কর এবং এর জন্য দেখাও যে, \(gof\ne fog\)
\((c)\) \(f(x)\)-এর স্কেচ অঙ্কন করে তা থেকে \(f(x+2)\)-এর স্কেচ দেখাও।
উত্তরঃ \((a) R_g=[0, \infty]\); \((b) gof(x)= 2|4-x^2|+3, fog(x)=-4x^2-12|x|-5\).

সমাধানঃ

\(Q.4.(xi).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=2|x|+3\)
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(\) সংজ্ঞায়িত।
অর্থাৎ \(x\)-এর সকল বাস্তব মানের \(g(x)\ge 3\) হবে।
\(\therefore g\)-এর রেঞ্জ \(R_{g}=[3, \infty)\)
\(Q.4.(xi).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=4-x^2\)
এবং \(g(x)=2|x|+3\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(=2|f(x)|+3\) | \(\because g(x)=2|x|+3\)
\(=2|4-x^2|+3\) | \(\because f(x)=4-x^2\)
\(\therefore gof(x)=2|4-x^2|+3 …..(1)\)
আবার,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(=4-(g(x))^2\) | \(\because f(x)=4-x^2\)
\(=4-(2|x|+3)^2\) | \(\because g(x)=2|x|+3\)
\(=4-4|x|^2-12|x|-9\)
\(\therefore fog(x)=-4x^2-12|x|-5 …….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(gof\ne fog\)
(showed)
\(Q.4.(xi).(c)\)
ধরি,
\(f(x)=y=4-x^2\)
\(\therefore y=4-x^2\)
\(x=0\) হলে, \(y=4\) হয়।
\(\therefore f(x)\) ফাংশনটি \((0, 4)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(0\) \(1\) \(2\) \(-1\) \(-2\)
\(y=4-x^2\) \(4\) \(3\) \(0\) \(3\) \(0\)

hyperbola
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=4-x^2\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।
আবার,
\(f(x+2)=y=4-(x+2)^2\)
ধরি,
\(X=x+2\)
\(\therefore y=4-X^2 ………(1)\)
\(X=0\) হলে, \(y=4\) হয়।
\(\Rightarrow x+2=0\)
\(\therefore x=-2\)
\(\therefore f(x+2)\) ফাংশনটি \((-2, 4)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
অর্থাৎ \(f(x)\)-এর লেখচিত্রের প্রতিসম বিন্দু \((0, 4)\) কে বামপাশে \(2\) একক সরালেই \((-2, 4)\) বিন্দুতে প্রতিসম \(f(x+2)\)-এর লেখচিত্র পাওয়া যায়।

\(Q.4.(xii)\) \(f(x)=x^2+1\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(f(x)\) এক-এক ফাংশন কিনা ব্যাখ্যা কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর ডোমেনসহ রেঞ্জ নির্ণয় কর। ফাংশনটি সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন করে এর বৈশিষ্ট উল্লেখ কর।
উত্তরঃ \((a)\) এক-এক নয়; \((b) D_f=\mathbb{R}, R_f=[1, \infty)\) সার্বিক নয়।

সমাধানঃ

\(Q.4.(xii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+1\)
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\)সংজ্ঞায়িত ।
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=\mathbb{R}\)
আবার,
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=x^2+1 …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a^2+1……(2)\)
\(f(b)=b^2+1 ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(a^2+1=b^2+1\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow a^2=b^2 \)
\(\therefore a=\pm b\)
\(\therefore f\) এক-এক ফাংশন নয়।
\(Q.4.(xii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+1\)
ধরি,
\(f(x)=y=x^2+1\)
\(\Rightarrow y=x^2+1\)
\(\Rightarrow x^2+1=y\)
\(\Rightarrow x^2=y-1\)
\(\therefore x=\pm \sqrt{y-1}\)
এখন,
\(x\)সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(y-1\ge 0\) হয়।
\(\therefore y\ge 1\)
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=[1, \infty)\)
আবার,
\(\because f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=[1, \infty)\ne \) কো-ডোমেন \(\mathbb{R}\)
\(\therefore f(x)\)সার্বিক ফাংশন নয়।
\(Q.4.(xii).(c)\)
ধরি,
\(f(x)=y=x^2+1\)
\(\therefore y=x^2+1\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(y=x^2+1\) \(5\) \(2\) \(1\) \(2\) \(5\)

hyperbola
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=x^2+1\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((1)\) \(y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((2)\) ফাংশনটি \((0, 1)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
\((3)\) ফাংশনটি \(x\) অক্ষকে ছেদ করে না।

\(Q.4.(xiii)\) \(f(x)=e^{\frac{x}{2}}, g(x)=\frac{3x+1}{2x-1}\).
\((a)\) \(\sin 6x\) পর্যায়বৃত্ত ফাংশন হলে, তার পর্যায় নির্ণয় কর।
\((b)\) \(g(x)\)-এর ডোমেন, রেঞ্জ নির্ণয় করে দেখাও যে, উহা এক-এক ফাংশন।
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন করে অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{3}\); \((b) D_g=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, R_g=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\); \((c) y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে এবং ঋনাত্মক \(x\) অক্ষকে অসীমে ছেদ করে।

সমাধানঃ

\(Q.4.(xiii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(\sin 6x\)
ধরি,
\(f(x)=\sin 6x ……..(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(x+\frac{\pi}{3})=\sin \{6\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\} \)
\(=\sin \{6x+2\pi\} \)
\(=\sin \{2\pi+6x\} \)
\(=\sin 6x \) | যা প্রথম চৌকোণে অবস্থিত।
\(=f(x) \)
\(\therefore f(x)=f(x+\frac{\pi}{3})\)
\(\therefore f(x)\)-এর পর্যায় \(\frac{\pi}{3}\)
\(Q.4.(xiii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\frac{3x+1}{2x-1}\)
এখন,
\(g(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2x-1\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 2x\ne 1\)
\(\therefore x\ne \frac{1}{2}\)
\(\therefore g(x)\)-এর ডোমেন \(D_{g}=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{3x+1}{2x-1}\)
\(\Rightarrow 2xy-y=3x+1\)
\(\Rightarrow 2xy-3x=y+1\)
\(\Rightarrow x(2y-3)=y+1\)
\(\therefore x=\frac{y+1}{2y-3}\)
এখন,
\(x\)সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2y-3\ne 0\) হয়।
\(\therefore 2y\ne 3\)
\(\therefore y\ne \frac{3}{2}\)
\(\therefore g(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{g}=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\)
আবার,
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(g(x)=\frac{3x+1}{2x-1}…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(a)=\frac{3a+1}{2a-1}……(2)\)
\(g(b)=\frac{3b+1}{2b-1} ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(g(a)=g(b)\)
\(\frac{3a+1}{2a-1}=\frac{3b+1}{2b-1}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 6ab-3a+2b-1=6ab+2a-3b-1 \)
\(\Rightarrow -3a+2b=2a-3b\)
\(\Rightarrow -3a-2a=-2b-3b\)
\(\Rightarrow -5a=-5b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore g\) একটি এক-এক ফাংশন।
\(Q.4.(xiii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=e^{\frac{x}{2}}\)
\(\therefore y=e^{\frac{x}{2}}\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।

\(x\) \(0\) \(2\) \(-2\) \(1\) \(-1\)
\(y=e^{\frac{x}{2}}\) \(1\) \(2.71\) \(0.37\) \(1.65\) \(0.6\)

hyperbola
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=e^{\frac{x}{2}}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।
অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ঃ
\(y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে এবং ঋনাত্মক \(x\) অক্ষকে অসীমে ছেদ করে।

\(Q.4.(xiv)\) \(f(x)=2x^2+1\) যেখানে, \(f:[0, 4]\rightarrow \mathbb{R}\) এবং \(\cot(g(x))=1+x+x^2\)
\((a)\) \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f_{-1}[1, 3]\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(g(0)+2g(1)+g(2)=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ \((a) \ R_f=[1, 33]\); \((b) f^{-1}[1, 3]=[-1, 1]\).

সমাধানঃ

\(Q.4.(xiv).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x^2+1\) যেখানে, \(f:[0, 4]\rightarrow \mathbb{R}\)
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=[0, 4]\)
ধরি,
\(f(x)=2x^2+1 ……..(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(0)=2.0^2+1 \)
\(=0+1 \)
\(=1 \)
আবার,
\(f(4)=2.4^2+1 \)
\(=2.16+1 \)
\(=32+1 \)
\(=33 \)
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=[1, 33]\)
\(Q.4.(xiv).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x^2+1\)
প্রদত্ত রাশি,
\(f_{-1}[1, 3]\)
\(\Rightarrow f_{-1}[1, 3]=\{x: x\in \mathbb{R}, 1\le f(x)\le 3\}\) সংজ্ঞানুসারে।
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 1\le f(x)\le 3\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 1\le 2x^2+1\le 3\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 1-1\le 2x^2+1-1\le 3-1\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 0\le 2x^2\le 2\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, \frac{0}{2}\le \frac{2x^2}{2}\le \frac{2}{2}\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 0\le x^2\le 1\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 0\le |x|^2\le 1\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 0\le |x|\le 1\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 0\le x\le 1\) অথবা, \(0\le -x\le 1\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 0\le x\le 1\) অথবা, \(0\ge x\ge -1\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, 0\le x\le 1\) অথবা, \(-1\le x\le 0\}\)
\(=\{x: x\in \mathbb{R}, -1\le x\le 1\}\)
\(\therefore f_{-1}[1, 3]=\{x: x\in \mathbb{R}, -1\le x\le 1\}\)
\(\therefore f_{-1}[1, 3]=[-1, 1]\)
\(Q.4.(xiv).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(\cot(g(x))=1+x+x^2\)
\(\therefore g(x)=\cot^{-1}(1+x+x^2) ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(0)=\cot^{-1}(1+0+0^2)\)
\(=\cot^{-1}(1+0+0)\)
\(=\cot^{-1}(1)\)
\(=\cot^{-1}\cot \left(\frac{\pi}{4}\right)\) | \(\because \cot \left(\frac{\pi}{4}\right)=1\)
\(=\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore g(0)=\frac{\pi}{4} …….(2)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(g(1)=\cot^{-1}(1+1+1^2)\)
\(=\cot^{-1}(1+1+1)\)
\(=\cot^{-1}(3)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\)
\(\therefore g(1)=\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)…….(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(g(2)=\cot^{-1}(1+2+2^2)\)
\(=\cot^{-1}(1+2+4)\)
\(=\cot^{-1}(7)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\)
\(\therefore g(2)=\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)…….(4)\)
\(L.S=g(0)+2g(1)+g(2)\)
\(=\frac{\pi}{4}+2\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{2\frac{1}{3}}{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\) | \(\because 2\tan^{-1}x=\tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{9-1}{9}}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\times \frac{9}{8}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4}\times \frac{1}{7}}\right)\) | \(\because \tan^{-1}x+\tan^{-1}y=\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{21+4}{28}}{1-\frac{3}{28}}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{25}{28}}{\frac{28-3}{28}}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}(1)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)\) | \(\because \tan \left(\frac{\pi}{4}\right)=1\)
\(=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{\pi+\pi}{4}\)
\(=\frac{2\pi}{4}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(proved)

\(Q.4.(xv)\) \(f(x)=\frac{x^4-49}{x^2+7}, g(x)=\sqrt{x+3}\) এবং \(p(x)=\sqrt{\frac{3x^2+2x+3}{1+x^2}}\) তিনটি ফাংশন।
\((a)\) \(r(x)=\begin{cases}\lambda x-6, & x \le 0\\\lambda x+6, & x>0 \end{cases}\) এবং \(r(2)=0\) হলে, \(\lambda\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(p(x)\) এক-এক ফাংশন নয়।
উত্তরঃ \((a) \ -3\); \((b) D_{gof}=[-3, \infty) \).

সমাধানঃ

\(Q.4.(xv).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(r(x)=\begin{cases}\lambda x-6, & x \le 0\\\lambda x+6, & x>0 \end{cases}\)
এবং \(r(2)=0\)
এখন,
\(x=2, x>0\) ব্যবধির মধ্যে অবস্থিত।
\(r(2)=\lambda .2+6\)
\(=2\lambda+6\)
দেওয়া আছে,
\(r(2)=0\)
\(\Rightarrow 2\lambda+6=0\)
\(\Rightarrow 2\lambda=-6\)
\(\therefore \lambda=-3\)
\(Q.4.(xv).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{x^4-49}{x^2+7}\)
এবং \(g(x)=\sqrt{x+3}\)
আমরা জানি,
\(gof=g(f(x))\)
\(=\sqrt{(f(x))+3}\) | \(\because g(x)=\sqrt{x+3}\)
\(=\sqrt{\frac{x^4-49}{x^2+7}+3}\) | \(\because f(x)=\frac{x^4-49}{x^2+7}\)
\(=\sqrt{\frac{x^4-49+3x^2+21}{x^2+7}}\)
\(=\sqrt{\frac{x^4+3x^2-28}{x^2+7}}\)
\(\therefore gof(x)=\sqrt{\frac{x^4+3x^2-28}{x^2+7}}\)
এখন,
\(f(x)\) ফাংশনের সহিত \(g(x)\) ফাংশন সংযোজিত হয়ে \(gof(x)\) গঠিত হয়।
\(f(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=[-3, \infty)\)
\(\therefore gof(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=[-3, \infty)\)
\(Q.4.(xv).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(p(x)=\sqrt{\frac{3x^2+2x+3}{1+x^2}}\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(p(x)=\sqrt{\frac{3x^2+2x+3}{1+x^2}}…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(p(a)=\sqrt{\frac{3a^2+2a+3}{1+a^2}}……(2)\)
\(p(b)=\sqrt{\frac{3b^2+2b+3}{1+b^2}} ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(p(a)=p(b)\)
\(\sqrt{\frac{3a^2+2a+3}{1+a^2}}=\sqrt{\frac{3b^2+2b+3}{1+b^2}}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow \frac{3a^2+2a+3}{1+a^2}=\frac{3b^2+2b+3}{1+b^2} \)
\(\Rightarrow 3a^2+2a+3+3a^2b^2+2ab^2+3b^2=3b^2+2b+3+3a^2b^2+2a^2b+3a^2\)
\(\Rightarrow 2a+2ab^2=2b+2a^2b\)
\(\Rightarrow a+ab^2=b+a^2b\)
\(\Rightarrow a+ab^2-b-a^2b=0\)
\(\Rightarrow a-b-a^2b+ab^2=0\)
\(\Rightarrow (a-b)-ab(a-b)=0\)
\(\Rightarrow (a-b)(1-ab)=0\)
\(\Rightarrow a-b=0, 1-ab=0\)
\(\Rightarrow a=b, -ab=-1\)
\(\Rightarrow a=b, ab=1\)
\(\Rightarrow a=b, a=\frac{1}{b}\)
\(\because a=b,\frac{1}{b}\)
\(\therefore p(x)\) এক-এক ফাংশন নয়।

\(Q.4.(xvi)\) \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট। \(A, B\subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\), যেখানে, \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\((a)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
\((c)\) \(f(x)\)-এর বিপরীত ফাংশন আছে কিনা কারণসহ উল্লেখ কর। যদি থাকে তবে \(f_{-1}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ D_f= , R_f= \); \((c) f^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-2x} \).

সমাধানঃ

\(Q.4.(xvi).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট। \(A, B\subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
এবং \(f:A\rightarrow B\), যেখানে, \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(f(x)\)সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2x+1\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 2x\ne -1\)
\(\therefore x\ne -\frac{1}{2}\)
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(\Rightarrow 2xy+y=x-3\)
\(\Rightarrow 2xy-x=-y-3\)
\(\Rightarrow -x(1-2y)=-(y+3)\)
\(\Rightarrow x(1-2y)=(y+3)\)
\(\therefore x=\frac{y+3}{1-2y}\)
\(x\)সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(1-2y\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow -2y\ne -1\)
\(\Rightarrow 2y\ne 1\)
\(\therefore y\ne \frac{1}{2}\)
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
\(Q.4.(xvi).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=\frac{a-3}{2a+1}……(2)\)
\(f(b)=\frac{b-3}{2b+1} ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(\frac{a-3}{2a+1}=\frac{b-3}{2b+1}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 2ab+a-6b-3=2ab+b-6a-3\)
\(\Rightarrow a-6b=b-6a\)
\(\Rightarrow a+6a=b+6b\)
\(\Rightarrow 7a=7b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore f(x)\) একটি এক-এক ফাংশন।
আবার,
\((a)\) হতে প্রাপ্ত।
\(f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}=\) কো-ডোমেন \(B\)
\(\therefore f(x)\) একটি সার্বিক ফাংশন।
\(\therefore \) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
\(Q.4.(xvi).(c)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত।
ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
ফলে, এর বিপরীত ফাংশন বিদ্যমান।
ধরি,
\(y=f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-3}{2x+1}; y=f(x)\)
\(\Rightarrow 2xy+y=x-3; f(x)=y\)
\(\Rightarrow 2xy-x=-y-3; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow -x(1-2y)=-(y+3); x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x(1-2y)=(y+3); x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{y+3}{1-2y}; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y+3}{1-2y}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-2x}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।

\(Q.4.(xvii)\) \(f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}, g(x)=a\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\) দুইটি ফাংশন।
\((a)\)\(f(x)\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f^{-1}(x)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(g(a)+g(b)=g(a+b)\)
উত্তরঃ \((a) \ D_f=\mathbb{R}-\{2\}\); \((b) f^{-1}(x)=\frac{4x-7}{2x-4} \).

সমাধানঃ

\(Q.4.(xvii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}\)
\(f(x)\)সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2x-4\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 2x\ne 4\)
\(\Rightarrow x\ne \frac{4}{2}\)
\(\therefore x\ne 2\)
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=\mathbb{R}-\{2\}\)
\(Q.4.(xvii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}\)
ধরি,
\(y=f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}\)
\(\Rightarrow y=\frac{4x-7}{2x-4}; y=f(x)\)
\(\Rightarrow 2xy-4y=4x-7; f(x)=y\)
\(\Rightarrow 2xy-4x=4y-7; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x(2y-4)=4y-7; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{4y-7}{2y-4}; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{4y-7}{2y-4}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{4x-7}{2x-4}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(Q.4.(xvii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=a\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\)
ধরি,
\(g(x)=a\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{x-a}{b-a}\right) …..(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(a)=a\left(\frac{a-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{a-a}{b-a}\right)\)
\(\Rightarrow g(a)=a+b\left(\frac{0}{b-a}\right)\)
\(\Rightarrow g(a)=a+b.0\)
\(\therefore g(a)=a ……..(2)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(g(b)=a\left(\frac{b-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{b-a}{b-a}\right)\)
\(\Rightarrow g(b)=a\left(\frac{0}{a-b}\right)+b\)
\(\Rightarrow g(a)=a.0+b\)
\(\therefore g(b)=b ……..(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(g(a+b)=a\left(\frac{a+b-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{a+b-a}{b-a}\right)\)
\(\Rightarrow g(a+b)=a\left(\frac{a+b-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{a+b-a}{b-a}\right)\)
\(\Rightarrow g(a+b)=\left(\frac{a^2}{a-b}\right)-\left(\frac{b^2}{a-b}\right)\)
\(\Rightarrow g(a+b)=\left(\frac{a^2-b^2}{a-b}\right)\)
\(\Rightarrow g(a+b)=\left(\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}\right)\)
\(\Rightarrow g(a+b)=\left(\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}\right)\)
\(\Rightarrow g(a+b)=a+b\)
\(\Rightarrow g(a+b)=g(a)+g(b)\) | \((2)\) ও \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\therefore g(a)+g(b)=g(a+b)\)
(proved)

\(Q.4.(xviii)\) \(f(\theta)=2\theta+2, fog(\theta)=\theta^2\).
\((a)\)\(h(\theta)=\begin{cases}\theta^2-5\theta, & \theta \ge 2\\\theta+2, & 2>\theta \end{cases}\) হলে, \(h(-4)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(\theta)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f(\theta)\) ফাংশনটি এক-এক কিনা ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ \((a) \ f(-4)=-2\); \((b) R_f=\mathbb{R} \); \((c)\)ফাংশনটি এক-এক।

সমাধানঃ

\(Q.4.(xviii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(h(\theta)=\begin{cases}\theta^2-5\theta, & \theta \ge 2\\\theta+2, & 2>\theta \end{cases}\)
\(\theta=-4, 2>\theta\) ব্যবধির মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore h(-4)=-4+2\)
\(=-2\)
\(Q.4.(xviii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(\theta)=2\theta+2\)
ধরি,
\(y=2\theta+2\)
\(\Rightarrow 2\theta+2=y\)
\(\Rightarrow 2\theta=y-2\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{y-2}{2}\)
\(y\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(\theta\) সংজ্ঞায়িত
\(\therefore f(\theta)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=\mathbb{R}\)
\(Q.4.(xviii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(\theta)=2\theta+2\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(\theta)=2\theta+2…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=2a+2……(2)\)
\(f(b)=2b+2 ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(2a+2=2b+2\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 2a=2b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore f(\theta)\) একটি এক-এক ফাংশন।

\(Q.4.(xix)\) \(A=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}, f:A\rightarrow A\) এবং \(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\).
\((a)\) \(g(x)=x^2-4x+5\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর বিপরীত যোগ্যতা যাচাই কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\).
উত্তরঃ \((a) \ R_g=[1, \infty)\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(xix).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=x^2-4x+5\)
ধরি,
\(y=x^2-4x+5\)
\(\Rightarrow x^2-4x+5=y\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+1=y\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+1=y\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=y-1\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{y-1}\)
\(\therefore x=2\pm \sqrt{y-1}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(y-1\ge 0\) হয়।
\(\therefore y\ge 1\)
\(\therefore g(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{g}=[1, \infty)\)
\(Q.4.(xix).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\)
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=\frac{2a+5}{3a-2}……(2)\)
\(f(b)=\frac{2b+5}{3b-2} ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(\frac{2a+5}{3a-2}=\frac{2b+5}{3b-2}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 6ab-4a+15b-10=6ab+15a-4b-10\)
\(\Rightarrow -4a+15b=15a-4b\)
\(\Rightarrow -4a-15a=-15b-4b\)
\(\Rightarrow -19a=-19b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore f(x)\) একটি এক-এক ফাংশন।
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{2x+5}{3x-2}\)
\(\Rightarrow 3xy-2y=2x+5\)
\(\Rightarrow 3xy-2x=2y+5\)
\(\Rightarrow x(3y-2)=2y+5\)
\(\therefore x=\frac{2y+5}{3y-2}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(3y-2\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 3y\ne 2\)
\(\therefore y\ne \frac{2}{3}\)
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}=\) কো-ডোমেন \(A\)
\(\therefore f(x)\) সার্বিক ফাংশন।
\(\therefore f(x)\) এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন।
\(\because f(x)\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক অতএব, ইহা বিপরীত যোগ্য।
\(Q.4.(xix).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\)
ধরি,
\(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2} ……(1)\)
এবং
\(y=f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2x+5}{3x-2}; y=f(x)\)
\(\Rightarrow 3xy-2y=2x+5; f(x)=y\)
\(\Rightarrow x(3y-2)=2y+5; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{2y+5}{3y-2}; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{2y+5}{3y-2}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{2x+5}{3x-2} …..(2)\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\((1)\) ও \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(f^{-1}(x)=f(x)\)
(showed)

\(Q.4.(xx)\) \(f(x)=x^2-6, g(x)=x^2-2|x|\).
\((a)\) \(p(x)=\frac{1}{2x-1}\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f(x)\)-এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, প্রদত্ত ফাংশনটি এক-এক নয়।
উত্তরঃ \((a) \ D_p=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, R_p=\mathbb{R}-\{0\}\); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \ f^{-1}(x)=\) বিপরীত যোগ্য নয়।

সমাধানঃ

\(Q.4.(xx).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(p(x)=\frac{1}{2x-1}\)
\(p(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2x-1\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 2x\ne 1\)
\(\Rightarrow x\ne \frac{1}{2}\)
\(\therefore p(x)\)-এর ডোমেন \(D_{p}=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
ধরি,
\(y=\frac{1}{2x-1}\)
\(\Rightarrow 2xy-y=1\)
\(\Rightarrow 2xy=y+1\)
\(\therefore x=\frac{y+1}{2y}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2y\ne 0\) হয়।
\(\therefore y\ne 0\)
\(\therefore p(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{p}=\mathbb{R}-\{0\}\)
\(Q.4.(xx).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2-6\)
এবং \( g(x)=x^2-2|x|\).
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(=(g(x))^2-6\) | \(\because f(x)=x^2-6\)
\(=(x^2-2|x|)^2-6\) | \(\because g(x)=x^2-2|x|\)
\(\therefore fog(x)=(x^2-2|x|)^2-6\)
\(\therefore fog(3)=(3^2-2|3|)^2-6\)
\(=(9-2.3)^2-6\)
\(=(9-6)^2-6\)
\(=(3)^2-6\)
\(=9-6\)
\(=3\)
\(Q.4.(xx).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2-6\).
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=x^2-6…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a^2-6……(2)\)
\(f(b)=b^2-6 ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(a^2-6=b^2-6\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow a^2=a^2\)
\(\therefore a=\pm b\)
\(\therefore f(x)\) এক-এক ফাংশন নয়।
\(\because f(x)\) এক-এক ফাংশন নয় অতএব ইহা বিপরীত যোগ্য নয়।

\(Q.4.(xxi)\) \(f(x)=x^2-17, g(x)=\sqrt{x+8}, p(x)=\frac{f^{-1}(x)}{g(x)}\).
\((a)\) \(\sqrt{f(x)}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(x\)-এর কোন মানগুলির জন্য \(gof(x)=-fog(x)\) হবে।
\((c)\) \(p(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ D_{f}=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge \sqrt{17}\) অথবা, \(x\le -\sqrt{17} \); \((b) x=5\); \((c) R_{p}=\mathbb{R}-\{-1, 1\}\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(xxi).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2-17\)
\(\therefore \sqrt{f(x)}=\sqrt{x^2-17}\) | \(\because f(x)=x^2-17\)
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x^2-17\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow x^2\ge 17\)
\(\Rightarrow |x|^2\ge 17\)
\(\Rightarrow |x|\ge \pm \sqrt{17}\)
\(\Rightarrow |x|\ge \sqrt{17}\)
\(\Rightarrow x\ge \sqrt{17}\) অথবা, \(-x\ge \sqrt{17} \)
\(\Rightarrow x\ge \sqrt{17}\) অথবা, \(x\le -\sqrt{17} \)
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge \sqrt{17}\) অথবা, \(x\le -\sqrt{17} \)
\(Q.4.(xxi).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2-17, g(x)=\sqrt{x+8}\).
এবং \(gof(x)=-fog(x)\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(=(g(x))^2-17\) | \(\because f(x)=x^2-17\)
\(=(\sqrt{x+8})^2-17\) | \(\because g(x)=\sqrt{x+8}\)
\(=x+8-17\)
\(=x-9\)
\(\therefore fog(x)=x-9\)
আবার,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(=\sqrt{f(x)+8}\) | \(\because g(x)=\sqrt{x+8}\)
\(=\sqrt{x^2-17+8}\) | \(\because f(x)=x^2-17\)
\(=\sqrt{x^2-9}\)
\(\therefore gof(x)=\sqrt{x^2-9}\)
এখন,
\(gof(x)=-fog(x)\)
\(\therefore \sqrt{x^2-9}=-(x-9)\) | \(\because gof(x)=\sqrt{x^2-9}, fog(x)=x-9\)
\(\Rightarrow x^2-9=(x-9)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-9=x^2-18x+81\)
\(\Rightarrow x^2-x^2+18x=81+9\)
\(\Rightarrow 18x=90\)
\(\Rightarrow 18x=\frac{90}{18}\)
\(\therefore x=5\)
\(Q.4.(xxi).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2-17, g(x)=\sqrt{x+8}, p(x)=\frac{f^{-1}(x)}{g(x)}\).
ধরি,
\(y=f(x)=x^2-17 ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(x^2-17=y, f(x)=y\)
\(\Rightarrow x^2=y+17, x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{y+17}, x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\pm \sqrt{y+17}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x+17}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x+17}\)
এখন,
\(p(x)=\frac{f^{-1}(x)}{g(x)}\)
\(\Rightarrow p(x)=\frac{\pm \sqrt{x+17}}{\sqrt{x+8}}\)
\(\therefore p(x)=\pm \sqrt{\frac{x+17}{x+8}}\)
ধরি,
\(\pm \sqrt{\frac{x+17}{x+8}}=y\)
\(\Rightarrow \frac{x+17}{x+8}=y^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x+17=xy^2+8y\)
\(\Rightarrow x-xy^2=8y-17\)
\(\Rightarrow x(1-y^2)=8y-17\)
\(\therefore x=\frac{8y-17}{1-y^2}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(1-y^2\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow -y^2\ne -1\)
\(\Rightarrow y^2\ne 1\)
\(\therefore y\ne \pm 1\)
\(\therefore p(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{p}=\mathbb{R}-\{-1, 1\}\)

\(Q.4.(xxii)\) \(f(x)=\sqrt{x-16}, g(x)=x^2+7, fop(x)=\sqrt{\frac{61-31x}{2x-4}}\).
\((a)\) \(f(x)=\begin{cases}\lambda x+6, & x \le -2\\\lambda x-6, & x>2 \end{cases}\) এবং \(f(3)=0\) হলে, \(\lambda\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(x)\)-এর ডোমেন ও \(gof(9)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(p(x)\)একটি এক-এক ফাংশন।
উত্তরঃ \((a) \lambda=2 \); \((b) D_{fog}=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge 3\) অথবা, \(x\le -3\), \(gof(9)=0\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(xxii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\begin{cases}\lambda x+6, & x \le -2\\\lambda x-6, & x>2 \end{cases}\)
এবং \(f(3)=0\)
এখন,
\(x=3\) ব্যাবধির মধ্যে \(f(x)=\lambda x-6\)
\(\Rightarrow f(3)=\lambda .3-6\)
\(\therefore f(3)=3\lambda-6\)
আবার,
\(f(3)=0\)
\(\Rightarrow 3\lambda-6=0\)
\(\Rightarrow 3\lambda=6\)
\(\therefore \lambda=2\)
\(Q.4.(xxii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x-16}, g(x)=x^2+7\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(=\sqrt{g(x)-16}\) | \(\because f(x)=\sqrt{x-16}\)
\(=\sqrt{x^2+7-16}\) | \(\because g(x)=x^2+7\)
\(\therefore fog(x)=\sqrt{x^2-9}\)
\(fog(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x^2-9\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow x^2\ge 9\)
\(\Rightarrow |x|^2\ge 9\)
\(\Rightarrow |x|\ge 3\)
\(\Rightarrow x\ge 3\) অথবা, \(-x\ge 3\)
\(\Rightarrow x\ge 3\) অথবা, \(x\le -3\)
\(\therefore fog(x)\)-এর ডোমেন \(D_{fog}=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge 3\) অথবা, \(x\le -3\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(=(f(x))^2+7\) | \(\because g(x)=x^2+7\)
\(=(\sqrt{x-16})^2+7\) | \(\because f(x)=\sqrt{x-16}\)
\(=x-16+7\)
\(\therefore gof(x)=x-9\)
\(\therefore gof(9)=9-9\)
\(=0\)
\(Q.4.(xxii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x-16}, fop(x)=\sqrt{\frac{61-31x}{2x-4}}\).
আমরা জানি,
\(fop(x)=f(p(x))\)
\(\Rightarrow fop(x)=\sqrt{p(x)-16}\) | \(\because f(x)=\sqrt{x-16}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{61-31x}{2x-4}}=\sqrt{p(x)-16}\) | \(\because fop(x)=\sqrt{\frac{61-31x}{2x-4}}\)
\(\Rightarrow \frac{61-31x}{2x-4}=p(x)-16\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow p(x)-16=\frac{61-31x}{2x-4}\)
\(\Rightarrow p(x)=\frac{61-31x}{2x-4}+16\)
\(\Rightarrow p(x)=\frac{61-31x+32x-64}{2x-4}\)
\(\therefore p(x)=\frac{x-3}{2x-4}\)
ধরি,
\((a, b)\in D_p\)
\(p(x)=\frac{x-3}{2x-4}…….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(p(a)=\frac{a-3}{2a-4}……(2)\)
\(p(b)=\frac{b-3}{2b-4} ……(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(p(a)=p(b)\)
\(\frac{a-3}{2a-4}=\frac{b-3}{2b-4}\) | \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 2ab-4a-6b+12=2ab-6a-4b+12\)
\(\Rightarrow -4a-6b=-6a-4b\)
\(\Rightarrow -4a+6a=-4b+6b\)
\(\Rightarrow 2a=2b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore p(x)\) একটি এক-এক ফাংশন।
(showed)

\(Q.4.(xxiii)\) \(f:x\rightarrow 2x-3, g:x\rightarrow \frac{1}{x+5}, x\ne -5\).
\((a)\) \(g(g(x))\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(g(x))\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f^{-1}(x)=g^{-1}(2)\) হলে, \(x\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) gog(x)=\frac{x+5}{5x+26}\); \((b) D_{f(g(x))}=\mathbb{R}-\{-5\}; R_{f(g(x))}=\mathbb{R}-\{-3\}\); \((c) x=-12\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(xxiii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(g:x\rightarrow \frac{1}{x+5}, x\ne -5\).
\(\Rightarrow g(x)=\frac{1}{x+5}\).
আমরা জানি,
\(gog(x)=g(g(x))\)
\(=\frac{1}{g(x)+5}\) | \(\because g(x)=\frac{1}{x+5}\)
\(=\frac{1}{\frac{1}{x+5}+5}\) | \(\because g(x)=\frac{1}{x+5}\)
\(=\frac{1}{\frac{1+5x+25}{x+5}}\)
\(=\frac{1}{\frac{5x+26}{x+5}}\)
\(\therefore gog(x)=\frac{x+5}{5x+26}\)
\(Q.4.(xxiii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f:x\rightarrow 2x-3, g:x\rightarrow \frac{1}{x+5}, x\ne -5\)
\(\Rightarrow f(x)=2x-3, g(x)=\frac{1}{x+5}\)
এখন,
\(f(g(x))\)
\(=2g(x)-3\) | \(\because f(x)=2x-3\)
\(=2\times \frac{1}{x+5}-3\) | \(\because g(x)=\frac{1}{x+5}\)
\(=\frac{2}{x+5}-3\)
\(=\frac{2-3x-15}{x+5}\)
\(\therefore f(g(x))=\frac{-3x-13}{x+5}\)
\(f(g(x))\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x+5\ne 0\) হয়।
\(\therefore x\ne -5\)
\(\therefore f(g(x))\)-এর ডোমেন \(D_{f(g(x))}=\mathbb{R}-\{-5\}\)
ধরি,
\(\frac{-3x-13}{x+5}=y\)
\(\Rightarrow xy+5y=-3x-13\)
\(\Rightarrow xy+3x=-5y-13\)
\(\Rightarrow x(y+3)=-5y-13\)
\(\therefore x=\frac{-5y-13}{y+3}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(y+3\ne 0\) হয়।
\(\therefore y\ne -3\)
\(\therefore f(g(x))\)-এর রেঞ্জ \(R_{f(g(x))}=\mathbb{R}-\{-3\}\)
\(Q.4.(xxiii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f:x\rightarrow 2x-3, g:x\rightarrow \frac{1}{x+5}, x\ne -5\)
\(\Rightarrow f(x)=2x-3, g(x)=\frac{1}{x+5}\)
ধরি,
\(y=f(x)=2x-3 ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(2x-3=y, f(x)=y\)
\(\Rightarrow 2x=y+3, x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{y+3}{2}, x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y+3}{2}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}\)
আবার,
ধরি,
\(y=g(x)=\frac{1}{x+5} ……(1)\)
\((1)\) হতে,
\(\frac{1}{x+5}=y, g(x)=y\)
\(\Rightarrow xy+5y=1, x=g^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow xy=1-5y, x=g^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-5y}{y}, x=g^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow g^{-1}(y)=\frac{1-5y}{y}\) | \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow g^{-1}(x)=\frac{1-5x}{x}\) | \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore g^{-1}(x)=\frac{1-5x}{x}\)
\(\therefore g^{-1}(2)=\frac{1-5.2}{2}\)
\(=\frac{1-10}{2}\)
\(=\frac{-9}{2}\)
\(=-\frac{9}{2}\)
দেওয়া আছে,
\(f^{-1}(x)=g^{-1}(2)\)
\(\Rightarrow \frac{x+3}{2}=-\frac{9}{2}\) | \(\because f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}, g^{-1}(2)=-\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow x+3=-9\)
\(\Rightarrow x=-9-3\)
\(\therefore x=-12\)

\(Q.4.(xxiv)\) \(g(x)=\frac{1+x}{1-x}, f(x)=\ln x\).
\((a)\) \(f(x)\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(\frac{g(x)-g(y)}{1+g(x)g(y)}=\frac{x-y}{1+xy}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(fog\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2fog(x)\)
উত্তরঃ \((a) D_{f}=(0, \infty)\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(xxiv).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\ln x\)
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x>0\) হয়।
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=(0, \infty)\)
\(Q.4.(xxiv).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\frac{1+x}{1-x}\)
ধরি,
\(g(x)=\frac{1+x}{1-x} …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(y)=\frac{1+y}{1-y} …….(2)\)
\(L.S=\frac{g(x)-g(y)}{1+g(x)g(y)}\)
\(=\frac{\frac{1+x}{1-x}-\frac{1+y}{1-y}}{1+\frac{1+x}{1-x}\times \frac{1+y}{1-y}}\) | \(\because g(x)=\frac{1+x}{1-x}, g(y)=\frac{1+y}{1-y}\)
\(=\frac{\frac{(1+x)(1-y)-(1+y)(1-x)}{(1-x)(1-y)}}{1+\frac{(1+x)(1+y)}{(1-x)(1-y)}}\)
\(=\frac{\frac{1+x-y-xy-1+x-y+xy}{(1-x)(1-y)}}{\frac{(1-x)(1-y)+(1+x)(1+y)}{(1-x)(1-y)}}\)
\(=\frac{\frac{2x-2y}{(1-x)(1-y)}}{\frac{1-x-y+xy+1+x+y+xy}{(1-x)(1-y)}}\)
\(=\frac{\frac{2x-2y}{(1-x)(1-y)}}{\frac{2+2xy}{(1-x)(1-y)}}\)
\(=\frac{\frac{2(x-y)}{(1-x)(1-y)}}{\frac{2(1+xy)}{(1-x)(1-y)}}\)
\(=\frac{2(x-y)}{(1-x)(1-y)}\times \frac{(1-x)(1-y)}{2(1+xy)}\)
\(=\frac{2(x-y)}{2(1+xy)}\)
\(=\frac{x-y}{1+xy}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(proved)
\(Q.4.(xxiv).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\frac{1+x}{1-x}, f(x)=\ln x\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(=\ln g(x)\) | \(\because f(x)=\ln x\)
\(=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\) | \(\because g(x)=\frac{1+x}{1-x}\)
\(\therefore fog(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) ……(1)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(fog\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=\ln \left(\frac{1+\frac{2x}{1+x^2}}{1-\frac{2x}{1+x^2}}\right)\)
\(=\ln \left(\frac{\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2-2x}{1+x^2}}\right)\)
\(=\ln \left(\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}\times \frac{1+x^2}{1+x^2-2x}\right)\)
\(=\ln \left(\frac{1+x^2+2x}{1+x^2-2x}\right)\)
\(=\ln \left(\frac{(1+x)^2}{(1-x)^2}\right)\)
\(=\ln \left(\frac{(1+x)}{(1-x)}\right)^2\)
\(=2\ln \left(\frac{(1+x)}{(1-x)}\right)\) | \(\because \ln x^2=2\ln x\)
\(=2fog(x)\) | \(\because fog(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
(proved)

\(Q.4.(xxv)\) ঝড়ে \(h\) উচ্চতায় একটি সুপারি গাছ শীর্ষ হতে \(10\) মিটার নিচে এমনভাবে ভাঙল যেন ভাঙ্গা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে \(\theta\) এবং ভূমির সাথে \(2\theta\) কোণ উৎপন্ন করল। উচ্চতা \(h\) কে \(\theta\)-এর ফাংশন রূপে প্রকাশ করলে \(h(\theta)=10+10\sin 2\theta\) হবে।
\((a)\) \(\theta=\frac{\pi}{6}\) হলে, \(h\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ বের কর।
\((c)\) ফাংশনটির লেখ এঁকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটির পর্যায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 18.66\) মিটার। \((b)D_{h}=\mathbb{R}, R_{h}=[0, 20]\); \((c) \pi\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(xxv).(a)\)
দেওয়া আছে,hyperbola
\(h(\theta)=10+10\sin 2\theta\)
এবং \(\theta=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore h(\frac{\pi}{6})=10+10\sin 2\times \frac{\pi}{6}\)
\(=10+10\sin \frac{\pi}{3}\)
\(=10+10\times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=10+5\sqrt{3}\)
\(=10+8.66\)
\(=18.66\) মিটার।
\(Q.4.(xxv).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(h(\theta)=10+10\sin 2\theta\)
ধরি,
\(\theta\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(h(\theta)\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore h(\theta)\)-এর ডোমেন \(D_{h}=\mathbb{R}\)
আবার,
আমরা জানি,
\(\sin \theta\)-এর সর্বোচ্চ ও সর্ব নিম্ন মাণ যথাক্রমে \(1\) ও \(-1\)
ফলে, \(h\)-এর সর্বোচ্চ ও সর্ব নিম্ন মাণ যথাক্রমে \(20\) ও \(0\) হবে।
\(\therefore h(\theta)\)-এর রেঞ্জ \(R_{h}=[0, 20]\)
\(Q.4.(xxv).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(h(\theta)=10+10\sin 2\theta\)
ফাংশনটির লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
আমরা জানি,
\(\sin x\)-এর মৌলিক পর্যায় \(2\pi\)
\(\therefore \) ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটির \((\sin 2\theta)\) পর্যায় হবে \(=\frac{2\pi}{2}\)।
\(=\pi\)

\(Q.4.(xxvi)\) \(f(x)=\frac{ax+b}{cx-d}\).
\((a)\) দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক ।
\((b)\) \(a=1, b=-3, c=3\) ও \(d=-1\) হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=d\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxvii)\) \(f(x)=e^x, g(x)=\sqrt{x}\) ও \(h(x)=25-x^2\)তিনটি ফাংশন।
\((a)\) \(f(x)\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \([0, 5]\) ব্যবধির মধ্যে \(goh\)ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(f(x)\) ও তার বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করে তাদের প্রকৃতি কেমন তা মন্তব্য কর।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxviii)\) \(g(x,y)=x^2+y^2-2x-4y-4\)এবং \(y=f(x)=\frac{3x+5}{4}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত দুইটি ফাংশন।
\((a)\) ফাংশন ও অন্বয়ের পার্থক্য দেখাও।
\((b)\) দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক ।
\((c)\) \(g(x,y)=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক \(f(x)\) রেখার উপর লম্ব হলে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxix)\) দৃশ্যকল্প-১: \(3x-4y+5=0\) দৃশকল্প-২ :\(g(x)=b\frac{x-a}{b-a}+a\frac{x-b}{a-b}\)
\((a)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{\sqrt{7-x}}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(g(a)+g(b)=g(a+b)\).
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে দৃশ্যকল্প-১ -এ বর্ণিত রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxx)\) \(f(x)=\frac{3x-5}{4x+7}\) \(g(x)=2x-9\)
\((a)\) \(f(x)\) ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fop(x)=g(x)\) হলে, \(gop(4)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\vec{R}=g(4)\hat{i}-g(5)\hat{j}-g(3)\hat{k}\) ও \(\vec{M}=-g(10)\hat{i}+g(0)\hat{j}+g\left(\frac{1}{2}\right)\hat{k}\) ভেক্টর দ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxi)\) \(f(x)=x^2+3x, g(x)=2x-3\) এবং \(A=\begin{bmatrix}\ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1 \ -1 \\ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ 4\\-4 \ \ \ \ 5\ \ \ \ \ 6\end{bmatrix}\)
\((a)\) নির্নায়কের সাহায্যে সমাধান করঃ \(x+3y+2=0, 2x+y+3=0\)
\((b)\) \(f(A)+1\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(gof(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxii)\) \(A=\begin{bmatrix}2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1\\2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 4\\4 \ \ \ \ 5\ \ \ \ 6\end{bmatrix}, B=A^{t}, f(x)=x^2-4x\)
\((a)\) \(g(x)=\frac{1}{2x-3}\) ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(B)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\)-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৭ ]

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxiii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(g(x)=(x+5)^n, f(x)=x^2-6\)
দৃশ্যকল্প-২: রহিম স্যার ছাত্রছাত্রীদেরকে \(“TESTICLE”\) শব্দটি নিয়ে আলোচনা করলেন।
\((a)\) \(y=|x-3|\)-এর স্কেচ অঙ্কন কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ অনুসসারে \(n=\frac{1}{2}\) হলে, \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যাবে যাতে প্রথমে ও শেষে \(E\) থাকবে না।
[ সিঃ ২০১৭ ]

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxiv)\) \(SYLHET\) থেকে \(BANDARBAN\)এ \(10\) জন শিক্ষার্থীর একটি দল শিক্ষাসফরে আসল। তাদেরকে দুইটি গাড়িতে ভ্রমণ করতে হবে, যার একটিতে \(7\) জনের বেশি ও অন্যটিতে \(4\) জনের বেশি শিক্ষার্থী ধরে না।
\((a)\) \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\) হলে, \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, প্রথম স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যা দ্বিতীয় স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যার \(21\) গুণ।
\((c)\) দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে?
[ যঃ ২০১৭ ]

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxv)\) দৃশ্যকল্প-১: \(MUJIBNAGAR\)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\frac{2x+7}{3x-2}; x\in \mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\)
\((a)\) \(^nC_3=\frac{4}{5}\times ^nC_2\) হলে, \(n\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ -এর আলোকে শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে না থাকে।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: হতে দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\)
[ বঃ ২০১৭ ]

নিজে করঃ

Please comment on the Article