সীমা বা লিমিট (limit)

অনুশীলনী \(9.A\) উদাহরণ সমুহ

উদাহরণ \(1.(a)-(y)\) মাণ নির্ণয় করঃ
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 3}\frac{x^3-27}{x^2-9}\]
উত্তরঃ \[\frac{9}{2}\]

\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3x-7}{9x+7}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{3}\]

\((c)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}\]
উত্তরঃ \[1\]

\((d)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})\]
উত্তরঃ \[1\]

\((e)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{\cos x}\]
[ বুয়েট ১১-১২; রাঃ ২০১৪; ঢাঃ ২০১৩; বঃ ২০০৫;যঃ২০০৪]
উত্তরঃ \[0\]

\((f)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x(\cos x+\cos 2x)}{\sin x}\]
[ রুয়েট ১৩-১৪; কুয়েট ০৩-০৪; চঃ২০১৩; রাঃ ২০১১; যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \[2\]

\((g)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\]
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১৫,২০১১,২০০৪; চঃ২০১৪, ২০১১; বঃ ২০১৪,২০১১,২০০৭,২০০৪; মাঃ ২০১৩,২০০৭; সিঃ ২০১১, ২০০৯, ২০০৭; রাঃ ২০০৯, ২০০২ ; যঃ ২০১১, ২০০২ কুঃ ২০১০, ২০০৬; বিয়াইটি ৯৬-৯৭ ]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]

\((h)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\]
[ যঃ ২০১0, ২০০6; কুঃ ২০০৮; রুয়েট ১২-১৩ ]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]

\((i)\) \[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^3-3x+2}{(x-1)^2}\]
উত্তরঃ \[3\]

\((j)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2+3x+2}{3x^2+8x+4}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{3}\]

\((k)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}\]
[ ঢঃ ২০০৮; চঃ ২০০৪; কুঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৬; বঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \[-\frac{1}{2}\]

\((l)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
[ ঢঃ ২০০৮; চঃ ২০০৪; কুঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৬; বঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \[5a^2\]

\((m)\) \[\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin^{-1}\theta}{\theta}\]
উত্তরঃ \[1\]
\((n)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)\]
উত্তরঃ \[0\]

\((O)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{5x^2-1}{x^2}\right)\]
উত্তরঃ \[5\]

\((p)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3 x}\right)\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]

\((q)\) \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sec^3 \theta-\tan^3 \theta}{\tan \theta}\right)\]
উত্তরঃ \[\frac{3}{2}\]

\((r)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}(1+5x)^{\frac{3x+2}{x}}\]
উত্তরঃ \[e^{10}\]

\((s)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{x^2}\]
উত্তরঃ \[1\]

\((t)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^{2}(\sin x+\cos^3 x)}{(x^2+1)(x-3)}\]
উত্তরঃ \[0\]

\((u)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos 2x-\cos 3x}{x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{5}{2}\]

\((v)\) \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}}{h}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\((w)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\tan x\]
উত্তরঃ \[1\]

\((x)\) \[\lim_{y \rightarrow 0}\left(\frac{1-e^{-2y}}{ln(1+y)}\right)\] যখন, \[1>y>0\]
উত্তরঃ \[2\]

\((y)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos 7x-\cos 9x}{\cos 3x-\cos 5x}\right)\] যখন, \[1>y>0\]
উত্তরঃ \[2\]
উদাহরণ \(2.\) \[x=0\] এবং \[x=1\] মানের জন্য \[f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\] ফাংশনটির অবিচ্ছিন্নতা আলোচনা কর; যেখানে
\[f(x)=\begin{cases}x^2+1 & যখন \ \ 0>x\\x & যখন\ \ 0\leq x\leq 1\\\frac{1}{x} & যখন\ \ x>0\end{cases}\]

উদাহরণ \(3.\) \[x^5-2x^3-2=0\]-এর একটি সমাধান কি \(x=0\) ও \(x=2\)-এর মধ্যে অবস্থিত?

উদাহরণ \(4.\) নিম্নলিখিত ফাংশনটির অবিচ্ছিন্নতা আলোচনা কর; যেখানে
\[f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-25}{x-5} & যখন \ \ x\ne 5\\10 & যখন\ \ x=5\end{cases}\]

উদাহরণ \(5.\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য অনুযায়ী প্রমাণ কর যে,
\[\lim_{x \rightarrow 0}x\cos \left(\frac{1}{x}\right)=0\]

উদাহরণ \(6.\) \[f(x)=\begin{cases}1+2x & যখন \ \ 0>x\ge -\frac{1}{2}\\1-2x & যখন\ \ 0\leq x\leq \frac{1}{2}\\-1+2x & যখন\ \ x>\frac{1}{2}\end{cases}\] হলে,
\[\lim_{x \rightarrow 0}f(x)\] এবং \[\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}}f(x)\]-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \[1; 0\]

উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \[x=0\] বিন্দুতে \[f(x)=\begin{cases}3+2x & যখন \ \ 0\ge x > -\frac{3}{2}\\3-2x & যখন \ \ \frac{3}{2}> x > 0 \end{cases}\] ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন।

উদাহরণ \(8.\) \[f(x)=x(x-2)\] ফাংশনের জন্য \[1\le x\le 2\] ব্যবধিতে একটি বিন্দু \[x=c\] হলে, \[c\]-এর মাণ নির্ণয় কর।
1 2 3 4 5