সীমা বা লিমিট (limit)

অনুশীলনী \(9.A\) / \[Q.1\]-এর প্রশ্নসমুহ

\(Q.1\) মাণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i)\) \[\lim_{x \rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x-3}\]
উত্তরঃ \[6\]

\(Q.1.(ii)\) \[\lim_{x \rightarrow 4}\frac{x-4}{x^2-x-12}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{7}\]

\(Q.1.(iii)\) \[\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x^2-5x+6}\]
উত্তরঃ \[-4\]

\(Q.1.(iv)\) \[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{1}{x-1}\left(\frac{1}{x+3}-\frac{2}{3x+5}\right)\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{32}\]

\(Q.1.(v)\) \[\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2+2x-8}{x-2}\]
উত্তরঃ \[6\]

\(Q.1.(vi)\) \[\lim_{x \rightarrow -2}\frac{x^3+8}{x+2}\]
উত্তরঃ \[12\]

\(Q.1.(vii)\) \[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{2x^2+x-3}{3x^2-4x+1}\]
উত্তরঃ \[\frac{5}{2}\]

\(Q.1.(viii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(x+4)^3-(x-8)^2}{x(x-3)}\]
উত্তরঃ \[-21\frac{1}{3}\]

\(Q.1.(ix)\) \[\lim_{x \rightarrow 2}\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}\]
উত্তরঃ \[6\]
[ রাঃ ২০১৭]

\(Q.1.(x)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{4}\]

\(Q.1.(xi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}\]
উত্তরঃ \[-\frac{1}{2}\]
[ কুঃ ২০১৩; ঢাঃ ২০০৮; সিঃ ২০০৬; চঃ ২০০৪; রাঃ ২০০৩ ]

\(Q.1.(xii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ বঃ ২০১৩ ]

\(Q.1.(xiii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{1-4x}}{x}\]
উত্তরঃ \[\frac{7}{2}\]
[ সিঃ ২০০৩ ]

\(Q.1.(xiv)\) \[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}}\]
উত্তরঃ \[0\]
[ দিঃ ২০১০ ]

\(Q.1.(xv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2a}\]
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]

\(Q.1.(xvi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-3x}}{x}\]
উত্তরঃ \[\frac{5}{2}\]
[ বঃ ২০০৯; রাঃ, সিঃ ২০০৩ ]

\(Q.1.(xvii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{1+x}-1}\]
উত্তরঃ \[2\]

\(Q.1.(xviii)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
উত্তরঃ \[5a^2\]
[ ঢাঃ ২০০৯; কুঃ ২০০২; চঃ ২০০৭; যঃ ২০০০ ]

\(Q.1.(xix)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{7}{2}}-a^{\frac{7}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
উত্তরঃ \[7a^3\]
[ ঢাঃ ২০০৩ ]
\(Q.1.(xx)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{3}{5}}-a^{\frac{3}{5}}}\]
উত্তরঃ \[\frac{25}{6}a^{\frac{19}{10}}\]

\(Q.1.(xxi)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x}{x+1}\]
উত্তরঃ \[2\]

\(Q.1.(xxii)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2+3x}{2x^2-5}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]

\(Q.1.(xxiii)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x+3}{x^2+5x+6}\]
উত্তরঃ \[0\]

\(Q.1.(xxiv)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^4-3x^2+1}{6x^4+x^3-3x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{3}\]

\(Q.1.(xxv)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^4+3x^2-1}{3x^4+x^3-2x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{3}\]
[ কুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]

\(Q.1.(xxvi)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^2+1}{6+x-3x^2}\]
উত্তরঃ \[-\frac{2}{3}\]

\(Q.1.(xxvii)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3^x-3^{-x}}{3^x+3^{-x}}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ চঃ ২০০০ ]

\(Q.1.(xxviii)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{5x^2-1}{x^2}\right)\]
উত্তরঃ \[5\]

\(Q.1.(xxix)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}2^x\sin \left(\frac{b}{2^x}\right)\]
উত্তরঃ \[b\]
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০; সিঃ ২০০৫ ]

\(Q.1.(xxx)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\{\ln(2x-1)-\ln(x+5)\}\]
উত্তরঃ \[\ln2\]
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.1.(xxxi)\) \[\lim_{x \rightarrow 3}\frac{3-x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{7-x}}\]
উত্তরঃ \[-2 \]

\(Q.1.(xxxii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x^3}-\sqrt{1+x}}\]
উত্তরঃ \[1\]

\(Q.1.(xxxiii)\) \[\lim_{x \rightarrow 3}\frac{x^3+2x^2-12x-9}{x^2-x-6}\]
উত্তরঃ \[\frac{27}{5} \]

\(Q.1.(xxxiv)\) \[\lim_{b \rightarrow 0}\frac{1}{b}\left[\frac{1}{\sqrt{x+b}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right]\]
উত্তরঃ \[-\frac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}}\]

\(Q.1.(xxxv)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{b}{x}\right)^{\frac{x}{a}}\] যখন \[a>0\] এবং \[b>0\]
উত্তরঃ \[e^{\frac{b}{a}} \]

\(Q.1.(xxxvi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\log\left(1-\frac{x}{4}\right)-(1-x)^{\frac{1}{4}}+1}{x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{16}\]

\(Q.1.(xxxvii)\) \[\lim_{k \rightarrow 0}\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\] যখন \[f(x)=\frac{1+x}{1-x}\]
উত্তরঃ \[\frac{2}{(1-x)^2} \]
1 2 3 4 5