সীমা বা লিমিট (limit)

অনুশীলনী \(9.A\) / \[Q.2\]-এর প্রশ্নসমুহ

\(Q.2\) মাণ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1+\sin x}{\cos x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ রাঃ ২০০৮ ]

\(Q.2.(ii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 5x}{\sin 3x}\]
উত্তরঃ \[\frac{5}{3}\]

\(Q.2.(iii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan ax}{\sin bx}\]
উত্তরঃ \[\frac{a}{b}\]
[ ঢাঃ ২০০৬]

\(Q.2.(iv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos 7x-\cos 9x}{\cos 3x-\cos 5x}\]
উত্তরঃ \[2\]
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; সিঃ ২০১০; কুঃ ২০০৭; ঢাঃ ২০০৫; যঃ ২০০৩ ]

\(Q.2.(v)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 7x-\sin x}{\sin 6x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ ঢাবিঃ ২০১৫-২০১৬; দিঃ ২০১২; চঃ ২০০৩; মাঃ ২০১১ ]

\(Q.2.(vi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos ax}{1-\cos bx}\]
উত্তরঃ \[\frac{a^2}{b^2}\]
[ চঃ ২০০১ ]

\(Q.2.(vii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[মাঃ ২০১২, ২০০০ ]

\(Q.2.(viii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 7x}{3x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{49}{6}\]
[যঃ , সিঃ ২০১২, ২০০৮; কুঃ ২০১১, ২০০৪; দিঃ ২০১১; রাঃ ২০১০,২০০৭,২০০৫; ঢাঃ ২০১০; চঃ ২০০৬; বঃ ২০০৮ ]

\(Q.2.(ix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}\]
উত্তরঃ \[0\]
[ বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮;মাঃ ২০১২, ২০০০ ]

\(Q.2.(x)\) \[\lim_{y \rightarrow 0}\frac{1-\cos y}{y}\]
উত্তরঃ \[0\]
[ যঃ ২০১৭ ]

\(Q.2.(xi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 2x}{x}\]
উত্তরঃ \[0\]
[ কুঃ ২০১৭ ]

\(Q.2.(xii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos 2x-\cos 3x}{x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{5}{2}\]
[ সিঃ ২০০৪ কুঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৫; বঃ ২০০১ ]

\(Q.2.(xiii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos 2x-\cos 4x}{x^2}\]
উত্তরঃ \[6\]
[ কুঃ ২০০৩ ]

\(Q.2.(xiv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos ax-\cos bx}{x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}(b^2-a^2)\]
[ যঃ ২০১৩; বঃ২০১২ ]

\(Q.2.(xv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-2\cos x+\cos 2x}{x^2}\]
উত্তরঃ \[-1\]
[ যঃ ২০০৫; কুঃ২০১৪ ]

\(Q.2.(xvi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{2x^2+x}\]
উত্তরঃ \[2\]
[ চঃ২০০২ ]

\(Q.2.(xvii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)\]
উত্তরঃ \[0\]
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; বঃ ২০১০; চঃ২০০৯ ]

\(Q.2.(xviii)\) \[\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{1}{\theta}\left(\frac{1}{\sin \theta}-\frac{1}{\tan \theta}\right)\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ সিঃ ২০১৪; রাঃ ২০১৩;ঢাঃ ২০০১]

\(Q.2.(xix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}(\csc x-\cot x)\]
উত্তরঃ \[0\]
[ বঃ ২০১৭]

\(Q.2.(xx)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\csc x-\cot x}{x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ ঢাঃ ২০০৯]

\(Q.2.(xxi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{\sin^2 2x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{8}\]

\(Q.2.(xxii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3 x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ ঢাঃ২০১২, ২০১১, ২০০৪; রাঃ ২০০৯, ২০০৬; কুঃ২০১০, ২০০৬; চঃ ২০১৪,২০১১,২০০৮; বঃ ২০১৪, ২০১১, ২০০৭, ২০০৪; দিঃ ২০১৪; যঃ২০১১; মাঃ২০১৩ ]
\(Q.2.(xxiii)\) \[\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2}\]
উত্তরঃ \[0\]
[ সিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(xxiv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan 2x-\sin 2x}{x^3}\]
উত্তরঃ \[4\]
[ বিআইটিঃ২০৯৮-২০৯৯ ]

\(Q.2.(xxv)\) \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\sec^3 \theta-\tan^3 \theta}{\tan \theta}\]
উত্তরঃ \[\frac{3}{2}\]
[দিঃ২০১৩,২০০৯; কুঃ, চঃ ২০১৬, ২০১২; যঃ ২০০৭; বঃ ২০১৬, ২০০৫; মাঃ২০১৪ ]

\(Q.2.(xxvi)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\sec x(\sec x-\tan x)\}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ ঢাঃ ২০০৭; মাঃ২০০৬]

\(Q.2.(xxvii)\) \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin x-\sin y}{x-y}\]
উত্তরঃ \[\cos y\]
[ কুঃ২০০৫]

\(Q.2.(xxviii)\) \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{\tan x-\tan y}{x-y}\]
উত্তরঃ \[\sec^2 y\]

\(Q.2.(xxix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}(1+3x)^{\frac{5}{x}}\]
উত্তরঃ \[e^{15}\]
[ চঃ ২০১৭]

\(Q.2.(xxx)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{2x}-1}{ax}\]
উত্তরঃ \[\frac{2}{a}\]
[ দিঃ ২০১৭]

\(Q.2.(xxxi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^{-1}x}{x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ মাঃ ২০০১ ]

\(Q.2.(xxxii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}x}{x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]

\(Q.2.(xxxiii)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\tan x\]
উত্তরঃ \[1\]
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; চঃ ২০১০ ]

\(Q.2.(xxxiv)\) \[\lim_{x \rightarrow \pi}\frac{\sin x}{\pi-x}\]
উত্তরঃ \[1\]

\(Q.2.(xxxv)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\sec x-\tan x}{\frac{\pi}{2}-x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ যঃ ২০০২; রাঃ ২০০০ ]

\(Q.2.(xxxvi)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩, ২০০৫-২০০৬; চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.2.(xxxvii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x^{o}}{x}\]
উত্তরঃ \[\frac{\pi}{180}\]

\(Q.2.(xxxviii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 3x}{3x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{3}{2}\]

\(Q.2.(xxxix)\) \[\lim_{x \rightarrow \alpha}\frac{\tan x-tan \alpha}{x-\alpha}\]
উত্তরঃ \[\sec^2 \alpha\]

\(Q.2.(xL)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^{-1} 3x}{4x}\]
উত্তরঃ \[\frac{3}{4}\]

\(Q.2.(xLi)\) \[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1^2+2^2+3^2+……+n^2}{n^3}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{3}\]

\(Q.2.(xLii)\) \[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^4}\sum_{r=1}^nr^3\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{4}\]

\(Q.2.(xLiii)\) \[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1.3+2.4+……+n(n+2)}{n^3}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{6}\]

\(Q.2.(xLiv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x^2}{x}\]
উত্তরঃ \[0\]
1 2 3 4 5