সীমা বা লিমিট (limit)

অনুশীলনী \(9.A\) / \[Q.3\]-এর প্রশ্নসমুহ
\(Q.3.(i)-(x)\) মাণ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+3}\]
উত্তরঃ \[e\]
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১; বিআইটিঃ২০০০-২০০১ ]

\(Q.3.(ii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{x^2}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬; চুয়েটঃ ২০১১-২০১২; বিআইটিঃ২০০২-২০০৩ ]

\(Q.3.(iii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ বিআইটিঃ২০০১-২০০২ ]

\(Q.3.(iv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a^{x}-a^{-x}}{x}\]
উত্তরঃ \[2\ln a\]
[ রুয়েটঃ২০০৬-২০০৭ ]

\(Q.3.(v)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1+x)^{n}-1}{x}\]
উত্তরঃ \[n\]
[ চুয়েটঃ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.3.(vi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\log(1+x^3)}{\sin^3 x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ চুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.3.(vii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\ln(1+x)}{1+x-e^x}\]
উত্তরঃ \[-1\]
[ রুয়েটঃ২০১০-২০১১ ]

\(Q.3.(viii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-e^{2x}}{\ln(1-x)}\]
উত্তরঃ \[2\]
[ বুয়েটঃ২০১৪-২০১৫ ]

\(Q.3.(ix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}(1+5x)^{\frac{3x+2}{x}}\]
উত্তরঃ \[e^{10}\]
[ বুয়েটঃ২০৮৯-২০৯০ ]

\(Q.3.(x)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ রাঃ২০১২; কুঃ ২০০১; মাঃ ২০০৯ ]

\(Q.3.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \[x=2\] বিন্দুতে \[f(x)=x^2+1\] ফাংশন অবিচ্ছিন্ন।

\(Q.3.(xii)\) দেখাও যে, \[f(x)=|x|\] ফাংশনটি \[x=0\] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন।

\(Q.3.(xiii)\) যদি, \[f(x)=\begin{cases}\frac{\sin^2 ax}{x^2} & যখন \ \ x\ne 0\\1 & যখন\ \ x=0\end{cases}\] হয় তবে প্রমাণ কর যে, \[a=1\] হলে \[x=0\] মানের জন্য \[f(x)\] ফাংশন অবিচ্ছিন্ন হবে।

\(Q.3.(xiv)\) শুন্য ব্যতিত \[k\]-এর এমন একটি মাণ নির্ণয় কর যা নিচের ফাংশনকে \[x=0\] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন করবে।
\[f(x)=\begin{cases}\frac{\tan kx}{x} & যখন \ \ 0>x \\3x+2k^2 & যখন\ \ x\ge 0\end{cases}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫]

\(Q.3.(xv)\) যদি, \[f(x)=\begin{cases}x^2 & যখন \ \ x\ne 1 \\2 & যখন\ \ x=1 \end{cases}\] হয় তবে দেখাও যে, \[x=1\] বিন্দুতে \[f(x)\] অবিচ্ছিন্ন নয়।

\(Q.3.(xvi)\) যদি, \[f(x)=\begin{cases}\frac{|x|}{x} & যখন \ \ x\ne 0 \\2 & যখন\ \ x=0\end{cases}\] হয় তবে দেখাও যে, \[x=0\] বিন্দুতে \[f(x)\] অবিচ্ছিন্ন নয়।
\(Q.3.(xvii)\) যদি, \[f(x)=\begin{cases}-x & যখন \ \ x\le 0 \\x & যখন\ \ 1 > x > 0 \\1-x & যখন\ \ x\ge 1\end{cases}\] হয় তবে দেখাও যে, \[x=0\] বিন্দুতে \[f(x)\] অবিচ্ছিন্ন এবং \[x=1\] বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন।

\(Q.3.(xviii)\) \[f\] ফাংশনটি \[f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-4}{x-2} & যখন \ \ x\ne 2 \\3 & যখন\ \ x=2\end{cases}\] দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে দেখাও যে, তা \[x=2\] বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন। \[f\] ফাংশনটিকে এরূপ সংজ্ঞায়িত কর যেন তা \[x=2\] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয়।

\(Q.3.(xix)\) যদি \[f(x)=\sin x\] হয় তবে \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{h}\] এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \[ n\cos x\]
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]

\(Q.3.(xx)\) যদি \[f(x)=\begin{cases}3x-2 & যখন \ \ 1 > x \\4x^3-3x & যখন\ \ x > 1\end{cases}\] হয় তবে, \[\lim_{x \rightarrow 1}f(x)\]-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \[ 1\]

\(Q.3.(xxi)\) যদি \[f(x)=\begin{cases}\frac{x-|x|}{x} & যখন \ \ x\ne 0 \\1 & যখন\ \ x = 0\end{cases}\] হয় তবে, \[x=0\] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন কী না পরীক্ষা কর।

\(Q.3.(xxii)\) যদি \[f(x)=\begin{cases}1+\sin x & যখন \ \ \frac{\pi}{2}> x \ge 0 \\2+\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2 & যখন\ \ x\ge \frac{\pi}{2}\end{cases}\] হয় তবে, \[x=\frac{\pi}{2}\] বিন্দুতে ফাংশনটির অবিচ্ছিন্নতা পরীক্ষা কর।

\(Q.3.(xxiii)-(xxx)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রমাণ করঃ

\(Q.3.(xxiii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x\cos \left(\frac{1}{x}\right)=0\]

\(Q.3.(xxiv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos \left(\frac{1}{x^2}\right)=0\]

\(Q.3.(xxv)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(\cos x+\sin^3 x)}{(x^2+1)(x-5)}=0\]

\(Q.3.(xxvi)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3x^2-\sin 2x}{x^2+5}=3\]

\(Q.3.(xxvii)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\cos^2 2x}{3-2x}=0\]

\(Q.3.(xxviii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)=0\]

\(Q.3.(xxix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=0\]

\(Q.3.(xxx)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5x^2-\sin 3x}{x^2+10}=5\]

\(Q.3.(xxxi)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=1\]

\(Q.3.(xxxii)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=e^{-\frac{1}{6}}\]

\(Q.3.(xxxiii)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^3}}=0\]

\(Q.3.(xxxiv)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=1\]

\(Q.3.(xxxv)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=e^{\frac{1}{3}}\]

\(Q.3.(xxxvi)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য ব্যবহার করে মান নির্ণয় করঃ
\[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2{x})}{x+100}\]

1 2 3 4 5

Leave a Reply