বৃত্ত-৩ (Circle-Three)



mybarcode

অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q.4.(i)\) কোন বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((1, 5)\) \((7, -3)\) ।
\((a)\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ এটা প্রয়োগ করে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) অপর একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, উল্লেখিত ব্যাসের উপর লম্ব।
\((c)\) মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) x^2+y^2-8x-2y-8=0 ;\) \((b) \ 3x-4y-8=0;\) \((c) \ x^2+y^2-3x-5y=0 \) ।

\(Q.4.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x-6y-12=0\)
\((a)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-8x-6y+16=0\) এবং \(x^2+y^2=4\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি কি শর্তে একটি বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে?
\((c)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((4, 5)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্রগামী ।
উত্তরঃ \((c) \ x^2+y^2-8x-10y+1=0 \) ।

\(Q.4.(iii)\)
একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2-4x+4y=4\) এবং একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x+4y=9\) ।
\((a)\) দেখাও যে, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(2x-3y-9=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-4y+c=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক হলে, \(c\)এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত বৃত্তের দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত রেখাটির উপর লম্ব ।
উত্তরঃ \((b) 8\) । \((c) \) ।

\(Q.4.(iv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x+6y-12=0\)।
\((a)\) দেখাও যে, \(A(1, 1)\) বিন্দুটি প্রদত্ত বৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((b)\) \(A\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1\) হয় ।
উত্তরঃ \((b) (-5, -7) \)।

\(Q.4.(v)\) \(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।
\((a)\) বৃত্তটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর।
\((b)\) বৃত্তটির \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়কে স্পর্শ করার শর্ত নির্ণয় কর ।
\((c)\) \(x^2+y^2=16\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সহিত \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c) \sqrt{3}y=x\pm 8 \)।

locus4

\(Q.4.(vi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(x^2+y^2-12x-2y+12=0\) বৃত্তে \(AB\)একটি জ্যা যার মধ্যবিন্দু \(D(2, 3)\)।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক এবং \(D(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((c)\) \(AB\) জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (6, 1), 5\) একক। \((b) \ x^2+y^2-12x-2y+17=0\) \((c) \ 2x-y-1=0\)।

locus4

\(Q.4.(vii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(M\) বিন্দুটি \(AB\) জ্যা-এর মধ্যবিন্দু এবং \(PQ\) রেখার সমীকরণ \(x+y-6=0\)।
\((a)\) \(OM\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OACB\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(PQ\) যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x-4y=0 \) ; \((b) \ x^2+y^2-4x-3y=0\) \((c) \ 2x^2+2y^2-13x-11y+30=0\)।

নিজে কর।

\(Q.4.(viii)\)
\(2x-y=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10x\) বৃত্তটির একটি জ্যা।
\((a)\) বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((5, 10)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \ 10 \) একক। \((b) \ x^2+y^2-2x-4y=0\) \((c) \ x^2+y^2-10x-20y+100=0\)।

নিজে কর।

locus4

\(Q.4.(ix)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(C\) কেন্দ্রবিশীষ্ট বৃত্তে \(AB\) একটি ব্যাস।
\((a)\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্তটি দ্বারা \(X\) ও \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(A, B\) এবং মূলবিন্দুগামী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x^2+y^2-8x-2y-51=0 \) ; \((b) \ 2\sqrt{67}, 4\sqrt{13}\) \((c) \ 16x^2+16y^2-230x-440y=0\)।

নিজে কর।

locus4

\(Q.4.(x)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(2x-y=3\) রেখার উপর কেন্দ্রবিশীষ্ট একটি বৃত্ত \((3, -2)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুগামী।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র \(h, k\) হলে, \(h\) ও \(k\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ k=2h-3 \) ; \((b) \ (-2, -7)\) \((c) \ 2\sqrt{45}\) একক।

নিজে কর।

\(Q.4.(xi)\)
\(x^2+y^2+4x+10y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) স্পর্শবিন্দু ও বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর। ।
\((c)\) দেখাও যে, \(A(-6, -2)\) বিন্দুটি বৃত্তটির উপর অবস্থিত। \(A\) বিন্দু দিয়ে বৃত্তটির যে ব্যাস অঙ্কন করা যায় তার অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-2, -5), c=4 \) ; \((b) \ (-2, 0), \sqrt{21}\) একক। \((c) (2, -8)\)।

নিজে কর।

\(Q.4.(xii)\)
\(y=2x\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10x\) বৃত্তটির একটি জ্যা।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((5, 10)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \ (5, 0), 5 \) একক। \((b) \ x^2+y^2-2x-4y=0\) একক। \((c) \ x^2+y^2-10x-20y+100=0\)।

নিজে কর।

\(Q.4.(xiii)\)
\(x^2+y^2-2x+2y=2\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(3x+4y-9=0\)।
\((a)\) দেখাও যে, স্পর্শক থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব বৃত্তটির ব্যাসার্ধের সমান।
\((b)\) এরূপ দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উল্লেখিত রেখার উপর লম্ব হবে।
\((c)\) \((4, -3)\) বিন্দু থেকে বৃত্তটির উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য এবং সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ 4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0\)। \((c) \ 3, 12x+5y-33=0\)।

নিজে কর।

locus4

\(Q.4.(xiv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(OC\) এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OP\) স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) বৃত্তটির যে জ্যা \(\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{3} \) একক। \((b) \ 3x-4y=0\) \((c) \ 2y-3=0\)।

নিজে কর।

\(Q.4.(xv)\)
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0\) এবং \(x^2+y^2+4x+3y+3=0\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে ছেদ করে।
\((a)\) সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((b)\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু ও প্রদত্ত বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যাবে।
উত্তরঃ \((a) \ x+1=0\)। \((b) \ x^2+y^2+3y-1=0\)। \((c) \ x^2+y^2+x+3y=0\)।

নিজে কর।

1 2

Please comment on the Article