অন্তরীকরণ-২ ( Differentiation-2 )

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
  • দুইটি ফাংশনের গুনফলের অন্তরীকরণ।
  • দুইটি ফাংশনের ভাগফলের অন্তরীকরণ।
  • ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, সূচক ফাংশন ও লগারিদমিক ফাংশনের অন্তরীকরণ।
ফাংশনের গুণফল ও ভাগফলের অন্তরীকরণ।
Differentiation of multiplication and division of two functions.

যখন, \(u=u(x)\) এবং \(v=v(x)\) অর্থাৎ উভয়ে \(x\)-এর ফাংশন।
\((a)\) \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\((b)\) \(\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\frac{d}{dx}(uvw)=vw\frac{d}{dx}(u)+uw\frac{d}{dx}(v)+uv\frac{d}{dx}(w)\)
অনুশীলনী \(9.C\) উদাহরণ সমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((1)\) \(x^3\sin x\)
উত্তরঃ \( x^2(x\cos x+3\sin x)\)

\((2)\) \((x^2+1)(\frac{1}{2}x+1)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}x^2+2x+\frac{1}{2}\)

\((3)\) \(5e^x\ln x\)
উত্তরঃ \( 5e^x(\frac{1}{x}+\ln x)\)

\((4)\) \(\frac{x^2}{x^2-4}\)
উত্তরঃ \(-\frac{8x}{(x^2-4)^2}\)

\((5)\) \(\frac{\cos x}{\ln x}\)
\(-\frac{x\sin x\ln x+\cos x}{x(\ln x)^2}\)

\((6)\) \(\log_ax\times \ln x\)
\(\frac{1}{x\ln a}(\log_ax\ln a+\ln x)\)

\((7)\) \(a^xx^a\)
উত্তরঃ \(a^xx^{a-1}(a+x\ln a)\)
\((8)\) \(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\)
উত্তরঃ \(\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}\)

\((9)\) \(3\sqrt{x}\cos x-7\)
\(3\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\sin x\right)\)

\((10)\) \(\log_ax\ln x\log x\)
\(\frac{1}{x}\left(\frac{\ln x\log x}{\ln a}+\log_ax\log x+\frac{\log_ax\ln x}{\ln 10}\right)\)

\((11)\) \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
[ যঃ ২০১২; কুঃ ২০১২; রাঃ ২০০৮,২০১৪; চঃ ২০১৩; ঢাঃ ২০১৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2}\)

\((12)\) \(\frac{e^x+\ln x}{\log_ax}\)
[ দিঃ ২০১১]
\(\frac{\ln a\log_ax(xe^x+1)-(e^x+\ln x)}{x\ln a(\log_ax)^2}\)

\((13)\) \(\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1-\sqrt{x}\ln x}{x^{\frac{3}{2}}}\)

\((14)\) \(x^2\ln x-8e^x\cos x+7\)
\(x(1+2\ln x)+8e^x(\sin x-\cos x)\)
1 2 3 4

Leave a Reply