অন্তরীকরণ-৩ ( Differentiation-3 )

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • সংযোজিত ফাংশনের অন্তরীকরণ।
  • বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণ।
  • সংযোজিত এবং বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের বিশেষ কৌশল।
সংযোজিত ফাংশনের অন্তরীকরণ।
Differentiation of composite functions.

যখন, \(y=f(z)\) এবং \(z=g(x)\).
\((1)\) \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx}\)
\((2)\) \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
যখন, \(y=f(z)\), \(z=g(t)\) এবং \(t=h(x)\).
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dt}.\frac{dt}{dx}\)
যখন, \(y=f(z)\), \(z=g(t)\), \(t=h(u)\) এবং \(u=\psi(x)\).
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dt}.\frac{dt}{du}.\frac{du}{dx}\)
বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণঃ
The differentiation of inverse circular function:
\((1)\) \(\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\((2)\) \(\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\((3)\) \(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\((4)\) \(\frac{d}{dx}(cosec^{-1} \ x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)

\((5)\) \(\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)

\((6)\) \(\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)=-\frac{1}{1+x^2}\)
বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহঃ
\((1)\) \(\sin(\sin^{-1} x)=x\)
\((2)\) \(\sin^{-1}(\sin x)=x\)
\((3)\) \(\cos(\cos^{-1} x)=x\)
\((4)\) \(\cos^{-1}(\cos x)=x\)
\((5)\) \(\tan(\tan^{-1} x)=x\)
\((6)\) \(\tan^{-1}(\tan x)=x\)
\((7)\) \(\sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\)
\((8)\) \(\tan^{-1} x+\cot^{-1} x=\frac{\pi}{2}\)
\((9)\) \(\sec^{-1} x+ cosec^{-1} \ x=\frac{\pi}{2}\)
\((10)\) \(\tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\)
\((11)\) \(\tan^{-1} x-\tan^{-1} y=\tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)\)
\((12)\) \(2\tan^{-1} x=\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
\((13)\) \(2\tan^{-1} x=\tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
\((14)\) \(2\tan^{-1} x=\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
\(f(x)\) বীজগানিতিক ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনে রূপান্তর করে সরল করণের পদ্ধতিঃ
\(f(x)\)-এর আকার প্রতিস্থাপন
\(\sqrt{a^2-x^2}\) \(x=a\sin \theta\) অথবা \(x=a\cos \theta\)
\(\sqrt{1-x^2}\) \(x=\sin \theta\) অথবা \(x=\cos \theta\)
\(\sqrt{a^2+x^2}\) \(x=a\tan \theta\) অথবা \(x=a\cot \theta\)
\(\sqrt{1+x^2}\) \(x=\tan \theta\) অথবা \(x=\cot \theta\)
\(\sqrt{x^2-a^2}\) \(x=a\sec \theta\) অথবা \(x=a \ cosec \ \theta\)
\(\sqrt{x^2-1}\) \(x=\sec \theta\) অথবা \(x= cosec \ \theta\)
\(\sqrt{a+x}\) অথবা \(\sqrt{a-x}\) \(x=a\cos 2\theta\)
\(\sqrt{a^2+x^2}\) এবং \(\sqrt{a^2-x^2}\) \(x^2=a^2\cos 2\theta\)
\(\frac{2x}{1-x^2}\) অথবা \(\frac{2x}{1+x^2}\) অথবা \(\frac{1-x^2}{1+x^2}\) \(x=\tan \theta\)
\(\frac{1+x}{1-x}\) অথবা \(\frac{1-x}{1+x}\) \(x=\tan \theta\)
\(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\) অথবা \(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\) \(x=\cos \theta\)
কোণ পরিমাপের তিনটি পদ্ধতিঃ
\((i)\) ষাটমূলক পদ্ধতি \((ii)\) শতমূলক পদ্ধতি \((iii)\) বৃত্তীয় পদ্ধতি
এদের মধ্যে সম্পর্কঃ
\(180^{o}=200^{g}=\pi^{c}=2\) সমকোণ।
1 2 3 4 5

Leave a Reply