বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণ (Differentiation of inverse circular function)

অনুশীলনী \(9.D\) উদাহরণ সমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((1)\) \(\sin x^3\)
উত্তরঃ \( 3x^2\cos x^3\)

\((2)\) \(\sqrt[3]{5x^2-4}\)
উত্তরঃ \(\frac{10x}{3\sqrt[3]{(5x^2-4)^2}}\)

\((3)\) \(\sqrt{x^2+a^2}\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)

\((4)\) \((ax+b)^n\)
উত্তরঃ \(na(ax+b)^{n-1}\)

\((5)\) \(\sin^{-1} ax\)
উত্তরঃ \( \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)

\((6)\) \(\tan^{-1} \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)

\((7)\) \(x\tan^{-1} x\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1} x\)

\((8)\) \(\sin(\ln \tan x)\)
উত্তরঃ \(\cos(\ln \tan x)\sec^2 x\cot x\)

\((9)\) \(\log_x2x\)
উত্তরঃ \( -\frac{\ln 2}{x(\ln x)^2}\)

\((10)\) \((2-3x)^{-\frac{2}{5}}\)
উত্তরঃ \(\frac{6}{5}(2-3x)^{-\frac{7}{5}}\)

\((11)\) \(\ln (e^x+e^{-x})\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \( \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)

\((12)\) \(\sin \sqrt{x}\)
[ সিঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪,২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)

\((13)\) \(\sqrt{\sin x}\)
উত্তরঃ \( \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)

\((14)\) \(\sqrt{\sin \sqrt{x}}\)
[ ঢাঃ ২০০৭, ২০০৫; চঃ ২০১৫; সিঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x\sin \sqrt{x}}}\)

\((15)\) \(2x^{o}\cos 3x^{o}\)
[ রাঃ ২০১৪, ২০০৭; চঃ ২০০৩; কুঃ ২০১৩, ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৫, ২০১২; সিঃ২০১১, ২০০৮, ২০০৬;দিঃ ২০১১, ২০০৯; বঃ ২০১৪, ২০০৭ ]
\(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)

\((16)\) \(\tan^{-1} (e^x)\)
[ ঢাঃ ২০০৮; যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৪; বঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)
\((17)\) \(\tan (\sin^{-1} x)\)
[ ঢাঃ ২০১০, ২০১২; সিঃ ২০১৩; যঃ ২০১০; রাঃ ২০০৮; কুঃ ২০১১, ২০০৮; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০১০; বঃ ২০০৯, ২০১২; মাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)

\((18)\) \(x^2\sin^{-1} (1-x)\)
[ ঢাঃ ২০১৪; রাঃ ২০০৬; দিঃ ২০১২; বঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)

\((19)\) \(\sqrt{\sin^{-1} x^5}\)
[ ঢাঃ ২০১৫; বঃ ২০০৬, ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{5x^4}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}\sqrt{1-x^{10}}}\)

\((20)\) \(\tan^{-1} \frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\)
[ রাঃ ২০০৬, ২০০৪; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)

\((21)\) \(\cos^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
[ ঢাঃ,কুঃ,যঃ ২০১০; বঃ ২০১৬ ]
উত্তরঃ \(-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)

\((22)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
[ ঢাঃ২০০৬; রাঃ ২০১৪, ২০০৭; যঃ ২০০৭, ২০০৫; সিঃ ২০০৮, ২০০৪; কুঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৪, ২০১১; বঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1+x^2}\)

\((23)\) \(\cos \sqrt{x}\)
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)

\((24)\) \(\sin^2 (\ln x)^2\)
[ যঃ,বঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{2\ln x}{x}\sin 2(\ln x)^2\)

\((25)\) \((\sin x)^2\)
উত্তরঃ \(\sin 2x\)

\((26)\) \(\ln (\tan 5x)\)
উত্তরঃ \(\frac{5\sec^2 5x}{\tan 5x}\)

\((27)\) \(\sin (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\cos (ax+b)\)

\((28)\) \(\cos (ax+b)\)
উত্তরঃ \(-a\sin (ax+b)\)

\((29)\) \(\tan (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\sec^2 (ax+b)\)

\((30)\) \(e^{ax+b}\)
উত্তরঃ \(ae^{ax+b}\)

\((31)\) \(\ln (ax+b)\)
উত্তরঃ \(\frac{a}{ax+b}\)
1 2 3 4 5

Leave a Reply