অন্তরীকরণ-৫ ( Differentiation-5 )

অনুশীলনী \(9.F / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ

নিচের অব্যক্ত ফাংশনগুলি হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i)\) \(x^y+y^x=1\)
উত্তরঃ \(-\frac{y^x\ln{y}+yx^{y-1}}{x^y\ln{x}+xy^{x-1}}\)

\(Q.1.(ii)\) \(x^y=y^x\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)

\(Q.1.(iii)\) \(e^{xy}-4xy=2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(iv)\) \(x^2-xy+y^2=3\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x-2y}\)

\(Q.1.(v)\) \(x^3y+xy^3=2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y(3x^2+y^2)}{x(x^2+3y^2)}\)

\(Q.1.(vi)\) \(x^3+y^3=3axy\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}\)

\(Q.1.(vii)\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\)

\(Q.1.(viii)\) \(y+x=x^{-y}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{x+y(x+y)}{x\{(x+y)\ln{x}+1\}}\)

\(Q.1.(ix)\) \(x+y=xy^2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-1}{1-2xy}\)

\(Q.1.(x)\) \(x^ay^b=(x-y)^{a+b}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xi)\) \(x^yy^x=1\)
উত্তরঃ \(-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)

\(Q.1.(xii)\) \(xy+x^2y^2=c\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=c\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xiv)\) \(x^3-3xy+y^3=1\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{x^2-y}{x-y^2}\)
\(Q.1.(xv)\) \(y=x^{y}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x(1-y\ln{x})}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(x^4+x^2y^2+y^4=0\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{x(2x^2+y^2)}{y(x^2+2y^2)}\)

\(Q.1.(xvii)\) \(x^4+y^4=3axy\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y(y^4-3x^4)}{x(3y^4-x^4)}\)

\(Q.1.(xviii)\) \(x^my^n=(x-y)^{m+n}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xix)\) \(x^y+y^x=a^b\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{yx^{y-1}+y^x\ln{y}}{x^y\ln{x}+xy^{x-1}}\)

\(Q.1.(xx)\) \(1+xy^2+x^2y=0\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y(y+2x)}{x(x+2y)}\)

\(Q.1.(xxi)\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{ax+hy+g}{hx+by+f}\)

\(Q.1.(xxii)\) \(xy+x^2y^2=3\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(3x^4-x^2y+2y^3=1\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{2x(6x^2-y)}{x^2-6y^2}\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xxv)\) \(x^py^q=(x-y)^{p+q}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xxvi)\) \(y=x^{y^x}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y\ln{y}(x\ln{x}\ln{y}+1)}{x\ln{x}(1-x\ln{y})}\)

\(Q.1.(xxvii)\) \(y=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x ……\infty}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=1\)
\(Q.1.(xxviii)\) যদি \(x^{y^n}=y^{x^n}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\left(\frac{y}{x}\right)^{n+1}.\frac{nln{x}-1}{n\ln{y}-1}\)

\(Q.1.(xxix)\) প্রমাণ কর যে, বক্ররেখা \(x^3y+x^2y^2+xy^3=3\) এর \((1, 1)\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}=-1\)

\(Q.1.(xxx)\) \(f(x)=\left(\frac{a+x}{b+x}\right)^{a+b+2x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(f^{‘}(0)=\left(2\ln{\frac{a}{b}}+\frac{b^2-a^2}{ab}\right)\left(\frac{a}{b}\right)^{a+b}\)

\(Q.1.(xxxi)\) \(x\sqrt{(1+y)}+y\sqrt{(1+x)}=0\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
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