অন্তরীকরণ-৫ ( Differentiation-5 )

অনুশীলনী \(9.F / Q.2\)-এর প্রশ্নসমুহ

নিচের অব্যক্ত ফাংশনগুলি হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \(x=y\ln{(xy)}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x-y)}{x(x+y)}\)

\(Q.2.(ii)\) \(e^{x-y}=x^y\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}}{(1+\ln{x})^2}\)

\(Q.2.(iii)\) \(\tan{(x+y)}=a\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-1\)

\(Q.2.(iv)\) \(\sin^{-1}{(x+y)}=a\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-1\)

\(Q.2.(v)\) \(y=\sin{(x+y)^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{2(x+y)}{\sec{(x+y)^2}}-2(x+y)\)

\(Q.2.(vi)\) \(e^x+e^y=e^a\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-e^{x-y}\)

\(Q.2.(vii)\) \(x^2+y^2=\sin{(xy)}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y\cos{(xy)}-2x}{2y-x\cos{(xy)}}\)

\(Q.2.(viii)\) \(\ln{(x^ny^n)}=x^n+y^n\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x^n-1)}{x(1-y^n)}\)

\(Q.2.(ix)\) \((\cos{x})^y=(\sin{y})^x\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)

\(Q.2.(x)\) \((\sec{x})^y=(\tan{y})^x\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\ln{(\tan{y})}-y\tan{x}}{\ln{(\sec{x})}-x\sec^2{y}\cot{y}}\)
\(Q.2.(xi)\) \(y=\tan{(x+y)}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1+y^2}{y^2}\)

\(Q.2.(xii)\) \(\ln{xy}=x+y\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x-1)}{x(1-y)}\)

\(Q.2.(xiii)\) \(x\cos{y}=\sin{(x+y)}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\cos{y}-\cos{(x+y)}}{\cos{(x+y)}+x\sin{y}}\)

\(Q.2.(xiv)\) \((\sin{x})^y=(\cos{y})^x\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\ln{(\cos{y})}-y\cot{x}}{\ln{(\sin{x})}+x\tan{y}}\)

\(Q.2.(xv)\) \(\ln{xy}=x^2+y^2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(2x^2-1)}{x(1-2y^2)}\)

\(Q.2.(xvi)\) \(e^{xy}-4xy=c\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\)

\(Q.2.(xvii)\) \(x+y=\sin^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y+x^2\cos{(x+y)}}{x-x^2\cos{(x+y)}}\)

\(Q.2.(xviii)\) \(x^y=e^{x+y}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x(\ln{x}-1)}\)

\(Q.2.(xix)\) \(y=\cot{(x+y)}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1+y^2}{2+y^2}\)

\(Q.2.(xx)\) \(x^2=5y^2+\sin{y}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{10y+\cos{y}}\)
\(Q.2.(xxi)\) \(\tan{y}=\sin{x}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)

\(Q.2.(xxii)\) \(y=\sqrt{\cos{x}+\sqrt{\cos{x}+\sqrt{\cos{x} ……\infty}}}\) হলে, দেখাও যে, \((2y-1)\frac{dy}{dx}+\sin{x}=0\)
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