পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ (Successive Differentiation)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ।
  • অন্তরজের প্রতীক।
  • ফাংশনের \(n\) তম অন্তরীকরণ।
  • ম্যাকলরিনের উপপাদ্য।
পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ।
Successive Differentiation.

\(x\) এর সাপেক্ষে \(y=f(x)\) এর প্রথম অন্তরজকে \(\frac{dy}{dx}, \ f^{\prime}(x), \ y_{1}\) বা \(y^{\prime}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যদি প্রথম অন্তরজও সাধারণত \(x\) এর একটি ফাংশন হয়। তবে \(x\) এর এই নতুন ফাংশনের \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরজকে \(f(x)\) এর দ্বিতীয় অন্তরজ বলা হয়। \(f(x)\) এর দ্বিতীয় অন্তরজকে \(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\) বা সংক্ষেপে \(\frac{d^2y}{dx^2}, \ f^{\prime\prime}(x), \ y_{2}\) বা \(y^{\prime\prime}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অনুরূপভাবে, \(x\) এর সাপেক্ষে \(\frac{d^2y}{dx^2}\) এর অন্তরজকে \(f(x)\) এর তৃতীয় অন্তরজ বলা হয় এবং একে \(\frac{d^3y}{dx^3}, \ f^{\prime\prime\prime}(x), \ y_{3}\) বা \(y^{\prime\prime\prime}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং এরূপভাবে \(f(x)\) এর \(n\) তম অন্তরজ \(\frac{d^ny}{dx^n}, \ f^{n}(x), \ y_{n}\) বা \(y^{n}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
এভাবে কোনো ফাংশনকে ধারাবাহিকভাবে অন্তরীকরণ করার প্রক্রিয়াকে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ বলা হয়।
অন্তরজের প্রতীক।
\(\frac{dy}{dx}=y_{1}, \ \frac{dy_{1}}{dx}=y_{2}, \ \frac{dy_{2}}{dx}=y_{3}, \ …\frac{dy_{n-1}}{dx}=y_{n}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=y_{2}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)=y_{3}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)=y_{4}\)
……….
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right)=y_{n}\)
কতকগুলি বিশেষ ফাংশনের \(n\) তম অন্তরজ। যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
The \(n^{th}\) derivative of some of spesial function.Where n is positive integer.
\((1)\) \(y=x^n\) হলে,
\(y_{n}=n!\)

\((2)\) \(y=e^x\) হলে,
\(y_{n}=e^x\)

\((3)\) \(y=e^{ax}\) হলে,
\(y_{n}=a^ne^{ax}\)

\((4)\) \(y=a^{x}\) হলে,
\(y_{n}=(\ln{a})^na^x\)

\((5)\) \(y=\ln{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{x^n}\)

\((6)\) \(y=\frac{1}{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n}(n)!}{x^{n+1}}\)

\((7)\) \(y=\ln{(x+a)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)

\((8)\) \(y=\frac{1}{x+a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)

\((9)\) \(y=\frac{1}{x-a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)

\((10)\) \(y=\ln{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax)^{n}}\)

\((11)\) \(y=\ln{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax+b)^{n}}\)
\((12)\) \(y=\sin{x}\) হলে,
\(y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)

\((13)\) \(y=\sin{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)

\((14)\) \(y=\sin{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)

\((15)\) \(y=\cos{x}\) হলে,
\(y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)

\((16)\) \(y=\cos{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)

\((17)\) \(y=\cos{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)

\((18)\) \(y=e^{ax}\sin{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

\((19)\) \(y=e^{ax}\cos{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

\((20)\) \(y=e^{ax}\sin{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

\((21)\) \(y=e^{ax}\cos{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
ম্যাকলরিনের উপপাদ্য।
Maclaurins theorem.
\(f(x)\) যদি \(x\) এর এমন একটি ফাংশন হয়, যাকে \(x\) এর ধনাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক, ক্রমবর্ধমান শক্তির একটি অসীম ধারায় বিস্তৃত করা যায় এবং ঐ বিস্তৃতির প্রতিটি পদ যে কোনো সংখ্যক বার অন্তরীকরণযোগ্য হয়, তাহলে,
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{\prime\prime}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(0)+ …….+\frac{x^n}{n!}f^{n}(0)+ …\infty\)
1 2 3 4 5

Please comment on the Article