পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ (Successive Differentiation)

অনুশীলনী \(9.G / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ

\(Q.1.(i)\) \(y=x(x^2-5)\) হলে, \(\frac{d^3y}{dx^3}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\)

\(Q.1.(ii)\) \(y=x^2-2+\frac{1}{x^2}\) হলে, \(\frac{d^2y}{dx^2}\) এবং \(\frac{d^3y}{dx^3}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2+\frac{6}{x^4}; -\frac{24}{x^5}\)

\(Q.1.(iii)\) \(y=x^2+\frac{1}{x^2}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-4y=0\)

\(Q.1.(iv)\) \(y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\) হলে, দেখাও যে, \(2x\frac{dy}{dx}+y=2\sqrt{x}\)
[ কুঃ ২০০৮;ঢাঃ২০০৭,২০০৩;যঃ২০০৭;মাঃ২০০১ ]

\(Q.1.(v)\) \(y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\) হলে, দেখাও যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
[ কুঃ ২০০৯;চঃ২০১২;ঢাঃ২০০৬ ]

\(Q.1.(vi)\) \(y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(2x^2\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}=2y\)
[ যঃ ২০১২,২০০৫;চঃ২০১১;দিঃ২০১১;সিঃ২০১০,২০০৮; কুঃ২০০৬,রাঃ২০০৬,২০০০;বঃ২০০৩;মাঃ২০০৯ ]

\(Q.1.(vii)\) \(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=0\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
[বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.1.(viii)\) \(y=5x^4-3x^3+5x+2\) হলে, \(x=2\) বিন্দুতে \(y_{2}\) ও \(y_{3}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(204; 222 \)
\(Q.1.(ix)\) \(y=px+\frac{q}{x}\) হলে, দেখাও যে, \(x\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}=2p\)
[ ঢাঃ২০০৯;যঃ২০০৯;চঃ২০০৫]

\(Q.1.(x)\) \(y=\sqrt{(1-x)(1+x)}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{dy}{dx}+xy=0\)
[ যঃ২০০৪ ]

\(Q.1.(xi)\) \(y=(x^2-1)^n\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((x^2-1)y_{2}-2(n-1)xy_{1}-2ny=0\)

\(Q.1.(xii)\) \(y=\frac{x^2}{1-x}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((1-x)y_{2}-2y_{1}=2\)

\(Q.1.(xiii)\) \(y=x^{\frac{2}{3}}+x^{-\frac{2}{3}}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(3x\frac{dy}{dx}+2y=4x^{\frac{2}{3}}\)

\(Q.1.(xiv)\) \(y=4x^{\frac{3}{2}}-3+2x^{\frac{1}{2}}\) হলে, \(y_{2}\) নির্ণয় কর এবং \(x=4\) হলে, \(y_{2}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}}; \frac{23}{16}\)

\(Q.1.(xv)\) \(y=\frac{x}{x+2}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(xy_{1}=y(1-y)\)

\(Q.1.(xvi)\) \(y=ax^{n+1}+bx^{-n}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2y_{2}=n(n+1)y\)

\(Q.1.(xvii)\) \(y=\sqrt{ax^2+bx+c}\) হলে, দেখাও যে, \(4y^3y_{2}=4ac-b^2\)
1 2 3 4 5