পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ (Successive Differentiation)

অনুশীলনী \(9.G / Q.2\)-এর প্রশ্নসমুহ
\(Q.2.(i)\) \(y=\tan{x}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}=2y(1+y^2)\)
[ মাঃ২০০২ ]

\(Q.2.(ii)\) \(y=\sin{x}\) হলে, দেখাও যে, \(y_{4}-y=0\)
[ রাঃ২০০৪;বঃ২০০৪ ]

\(Q.2.(iii)\) \(y=x^3\ln{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{4}=\frac{6}{x}\)

\(Q.2.(iv)\) \(y=\frac{\ln{x}}{x}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
[ দিঃ২০০৯;বঃ২০০৭;ঢাঃ২০০৬;চঃ২০০৪,২০০১]

\(Q.2.(v)\) \(y=\tan{x}+\sec{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\cos{x}}{(1-\sin{x})^2}\)
[ রাঃ২০১০,২০০৫,২০০১]

\(Q.2.(vi)\) \(y=\sec{x}\) হলে, দেখাও যে, \(y_{2}=y(2y^2-1)\)
[ যঃ২০১১,২০০৮;কুঃ২০১০,২০০২,২০০০;চঃ২০০৮,২০০৬,২০০৪;রাঃ২০০৭,২০০২; সিঃ২০০৭;বঃ২০০৬;ঢাঃ২০১৭,২০০০;মাঃ২০১২,২০০৫,২০০১ ]

\(Q.2.(vii)\) \(y=a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)
[ ঢাঃ২০০৯ ]

\(Q.2.(viii)\) \(y=x^m\ln{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(xy_{1}=my+x^m\)

\(Q.2.(ix)\) \(y=x^{n-1}\ln{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+(3-2n)xy_{1}+(n-1)^2y=0\)
[ বুয়েটঃ২০০৯-২০১০]

\(Q.2.(x)\) \(y=\sin^{-1}{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=0\)

\(Q.2.(xi)\) \(y=(\sin^{-1}{x})^2\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
[ রাঃ২০১১,২০০১;বঃ২০০৮;কুঃ২০০০;মাঃ২০১০,২০০৩]

\(Q.2.(xii)\) \(f(u)=\sin^{-1}{u}, y=\{f(2x)\}^2\) হলে, দেখাও যে, \((1-4x^2)y_{2}-4xy_{1}-8=0\)
[ সিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(xiii)\) \(x=\sin{\sqrt{y}}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
[ বঃ২০১২,২০০৫,২০০৩;চঃ২০১১;ঢাঃ২০০৮;কুঃ২০০৮,২০০৩ ]

\(Q.2.(xiv)\) \(y=\frac{1}{2}(\sin^{-1}{x})^2\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-1=0\)
[ বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬]

\(Q.2.(xv)\) \(y=\cos^{-1}{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=0\)

\(Q.2.(xvi)\) \(\ln{y}=bz\) এবং \(\cos{z}=x\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=b^2y\)
[ বঃ২০১৭]

\(Q.2.(xvii)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}=2\)
[ ঢাঃ২০১২,২০০৪;দিঃ২০১২;সিঃ২০০৮;বঃ২০০৬;চঃ২০০৩;যঃ২০০৩; কুঃ২০০১;রাঃ২০০৪;মাঃ২০০৮ ]

\(Q.2.(xviii)\) যদি \(\cos{\sqrt{y}}=x\) হয়, তবে দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-2=0\)
[ যঃ২০১২,২০০৪,২০০৬;ঢাঃ২০১১,২০০১;সিঃ২০০১০,২০০৪; রাঃ২০০৯,২০০৭;চঃ২০০৬ ]

\(Q.2.(xix)\) \(y=\tan^{-1}{x}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)y_{2}+2xy_{1}=0\)
[ মাঃ২০০৭,২০০৫;ঢাঃ,কুঃ২০০৫]

\(Q.2.(xx)\) \(y=(\tan^{-1}{x})^2\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)^2y_{2}+2(1+x^2)xy_{1}=2\)

\(Q.2.(xxi)\) \(y=\sqrt{a+b\cos{x}}\) হলে, দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=a\)
[ যঃ২০১৭]

\(Q.2.(xxii)\) \(y=\ln{(x+\sqrt{a^2+x^2})}\) হলে, দেখাও যে, \((a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}=0\)
[ চঃ,মাঃ২০১০;যঃ২০০৩,২০০১]

\(Q.2.(xxiii)\) \(y=(x+\sqrt{1+x^2})^m\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)y_{2}+xy_{1}-m^2y=0\)
[সিঃ২০১১;যঃ,বঃ২০০১০;চঃ২০০৯]
\(Q.2.(xxiv)\) \(y=e^{a\sin^{-1}{x}}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=a^2y\)
[কুঃ২০১২,২০০১;ঢাঃ২০১১,২০০৩;বঃ২০১১;যঃ২০০৯,২০০২ সিঃ২০০৯,২০০৭,২০০৪;চঃ২০০৫;রাঃ২০০০;মাঃ২০১২,২০০৯,২০০৬]

\(Q.2.(xxv)\) \(\ln{y}=a\sin^{-1}{x}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-a^2y=0\)
[ ঢাঃ২০০৭ ]

\(Q.2.(xxvi)\) যদি \(y=e^{\tan^{-1}{x}}\) অথবা \(\ln{y}=\tan^{-1}{x}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)y_{2}+(2x-1)y_{1}=0\)
[ ঢাঃ,বঃ২০১২;কুঃ২০১৭,২০১১;রাঃ২০১০,২০০৮,২০০৫,২০০২;যঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xxvii)\) \(y=e^{4\sin^{-1}{x}}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=16y\)
[ চঃ২০০২ ]

\(Q.2.(xxviii)\) \(y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\)
[ বঃ২০১১,২০০৩,২০০১;ঢাঃ২০১০,২০০৫;রাঃ২০০৯; চঃ২০০৮;সিঃ২০০৩;মাঃ২০০৪ ]

\(Q.2.(xxix)\) \(y=\cos{(m\sin^{-1}{p})}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-p^2)y_{2}-py_{1}+m^2y=0\)
[ চঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(xxx)\) \(y=\cos{(2\sin^{-1}{x})}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+4y=0\)
[ বুয়েটঃ২০০৬-২০০৭ ]

\(Q.2.(xxxi)\) \(y=\tan{(m\tan^{-1}{x})}\) হলে, দেখাও যে, \((1+x^2)y_{1}=m(1+y^2)\)
[ চঃ২০১২;কুঃ২০০৭,২০০৪]

\(Q.2.(xxxii)\) \(y=\tan{(m\tan^{-1}{x})}\) হলে, দেখাও যে, \((1+x^2)y_{2}-2(my-x)y_{1}=0\)
[ ঢাঃ২০১৩,২০০০;কুঃ২০১২;যঃ২০১১;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৬,২০০৪]

\(Q.2.(xxxiii)\) \(y=x^2\ln{x}\) হলে, \(y_{3}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\)

\(Q.2.(xxxiv)\) \(y=\ln{(\sin{x})}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{2\cos{x}}{\sin^3{x}}\)

\(Q.2.(xxxv)\) \(y=a\cos{\{\ln{(1+x)}\}}\) হলে, দেখাও যে, \((1+x)^2y_{2}+(1+x)y_{1}+y=0\)

\(Q.2.(xxxvi)\) \(y=Ae^{mx}+Be^{-mx}\) হলে, দেখাও যে, \(y_{2}-m^2y=0\)
[ যঃ২০০৭;দিঃ২০১০;বঃ২০১৩,২০০৮;সিঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xxxvii)\) \(y=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})\) হলে, দেখাও যে, \(\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=y^2-1\)
[ চঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(xxxviii)\) \(y=a\sin^{-1}{x}+b\cos^{-1}{x}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=0\)
[ ঢাঃ২০০৮;রাঃ২০১১,২০০৩;কুঃ২০১৩,২০০৮,২০০৩; বঃ২০১২,২০০৮,২০০৫;চঃ২০১১;মাঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xxxix)\) \(x=\cos{\sqrt{y}} \) অথবা, \(y=(\cos^{-1}{x})^2 \) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
[ বুয়েটঃ২০০৮-২০০৯; কুয়েটঃ২০১৩-২০১৪;ঢাঃ২০১২,২০১১,২০০৪; রাঃ২০০৯,২০০৭,২০০৪;কুঃ২০১০; দিঃ২০১২,২০১৩;যঃ২০১২,২০০৮,২০০৬,২০০; চঃ২০১৩,২০০৬,২০০৩; সিঃ২০১৪,২০১০,২০০৮,২০০৪; বঃ২০১০,২০০৬]

\(Q.2.(xL)\) \(2y=(\tan^{-1}{x})^2\) হলে, দেখাও যে, \((1+x^2)^2y_{2}+2(1+x^2)xy_{1}=1\)

\(Q.2.(xLi)\) \(y=e^{m\cos^{-1}{x}}\) অথবা, \(\ln{y}=m\cos^{-1}{x}\) অথবা, \(x=\cos\left(\frac{1}{m}\ln{y}\right)\)হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=m^2y\)

\(Q.2.(xLii)\) \(y=\cos{(m\sin^{-1}{x})}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\)

\(Q.2.(xLiii)\) \(y=a\sin{(\ln{x})}+b\cos{(\ln{x})}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)

\(Q.2.(xLiv)\) \(y=\sec{2x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{2}+y=3y^5\)

\(Q.2.(xLv)\) \(y=\cot{x}+cosec{x}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\sin{x}}{(1-\cos{x})^2}\)
1 2 3 4 5

Leave a Reply