পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ (Successive Differentiation)

অনুশীলনী \(9.G / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ

\(Q.3.(i)\) \(y=e^x\cos{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{2}-2y_{1}+2y=0\)
[ যঃ২০১৩;দিঃ২০১০;মাঃ২০০৮;সিঃ২০০৫,২০০৩;রাঃ২০০৩;ঢাঃ২০০২]

\(Q.3.(ii)\) \(y=e^{x}\cos{x}\) হলে, দেখাও যে, \(y_{4}+4y=0\)

\(Q.3.(iii)\) \(y=e^{ax}\sin{bx}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{2}-2ay_{1}+(a^2+b^2)y=0\)
[ কুয়েটঃ২০০৩-২০০৪]

\(Q.3.(iv)\) \(y=(e^{x}+e^{-x})\sin{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{d^4y}{dx^4}+4y=0\)
[ দিঃ২০১২;ঢাঃ২০১০,২০০৪;রাঃ২০০৬]

\(Q.3.(v)\) \(\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=\ln{\left(\frac{x}{n}\right)^n}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+n^2y=0\)
[ বুয়েটঃ২০১০-২০১১]

\(Q.3.(vi)\) \(y=\frac{\sin{x}}{\sqrt{x}}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+\left(x^2-\frac{1}{4}\right)y=0\)
[ বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫]

\(Q.3.(vii)\) \(y=A\sin{mx}+B\cos{mx}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{2}+m^2y=0\) এবং \(y_{4}-m^4y=0\)
[ বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫]

\(Q.3.(viii)\) \(y=x^m\log_{e}x\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(xy_{1}=my+x^m\)
[ বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫]
\(Q.3.(ix)\) \(y=(a+bx)e^{2x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{2}-2y_{1}-2be^{2x}=0\)

\(Q.3.(x)\) \(y=(a+bx)e^{-2x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}+4y=0\)

\(Q.3.(xi)\) \(y=(p+qx)e^{-2x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{2}+4y_{1}+4y=0\)

\(Q.3.(xii)\) \(y=e^{a\sin{t}}\) হলে, দেখাও যে, \((1-t^2)y_{2}-ty_{1}=a^2y\)
[ ঢাঃ ২০১১ ]

\(Q.3.(xiii)\) \(x=a(\theta+\sin{\theta})\) ও \(y=a(1-\cos{\theta})\) হলে, \(\frac{\theta}{2}\) এর মাধ্যমে \(\frac{dy}{dx}\) ও \(\frac{d^2y}{dx^2}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\tan{\frac{\theta}{2}}; \frac{1}{4a}\sec^4{\frac{\theta}{2}}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(2x=t+t^{-1}\) এবং \(2y=t-t^{-1} \) হলে, দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{t^2+1}{t^2-1}\)এবং \(\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{8t^3}{(t^2-1)^3}\)

\(Q.3.(xv)\) \(y=\sqrt{\cos{2x}}\) হলে, দেখাও যে, \((yy_{1})^2=1-y^4\)

\(Q.3.(xvi)\) \(y=\tan{\sqrt{1-x}}\) হলে, দেখাও যে, \(2y_{1}\sqrt{1-x}+(1+y^2)=0\)

\(Q.3.(xvii)\) \(y=\frac{4}{\sqrt{\sec{x}}}\) হলে, দেখাও যে, \(2\cot{x}\frac{dy}{dx}+y=0\)
নিচের ফাংশনগুলির \(n\)তম অন্তরজ \(y_{n}\) নির্ণয় কর।
\(Q.3.(xviii)\) \(\frac{1}{a-x}\)
উত্তরঃ \(\frac{n!}{(a-x)^{n+1}}\)

\(Q.3.(xix)\) \(y=\ln{\left(\frac{a-x}{a+x}\right)}\)
উত্তরঃ \((n-1)!\left[\frac{(-1)^n}{(a+x)^{n}}-\frac{1}{(a-x)^{n}}\right]\)

\(Q.3.(xx)\) \(y=\ln{(ax+x^2)}\)
উত্তরঃ \((-1)^{n-1}(n-1)!\left[\frac{1}{(x)^{n}}+\frac{1}{(a+x)^{n}}\right]\)

\(Q.3.(xxi)\) \(y=\cos{2x}\cos{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\left[3^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+3x\right)}+\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\right]\)

\(Q.3.(xxii)\) \(y=\cos^3{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\left[3\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}+3^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+3x\right)}\right]\)

\(Q.3.(xxiii)\) \(y=\sin{x}\sin{3x}\)
উত্তরঃ \(2^{n-1}\cos{\left(2x+\frac{n\pi}{2}\right)}-2^{2n-1}\cos{\left(4x+\frac{n\pi}{2}\right)}\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(y=\ln{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{x^n}\)
\(Q.3.(xxv)\) \(y=\frac{1}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{(-1){n}(n)!}{x^{n+1}}\)

\(Q.3.(xxvi)\) \(y=\frac{x^2+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
উত্তরঃ \((-1)^nn!\left[\frac{1}{(x-1)^{n+1}}-\frac{5}{(x-2)^{n+1}}+\frac{5}{(x-3)^{n+1}}\right]\)

\(Q.3.(xxvii)\) \(y=\cos{(ax)}\)
উত্তরঃ \(a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)

\(Q.3.(xxviii)\) \(y=2\sin{3x}\cos{2x}\)
উত্তরঃ \(5^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+5x\right)}+\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)

\(Q.3.(xxix)\) \(y=4\sin^3{x}\)
উত্তরঃ \(3\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}-3^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+3x\right)}\)

\(Q.3.(xxx)\) \(y=(ax+b)^{-m}\)
উত্তরঃ \(\frac{(-1)^n(m+n-1)!a^n}{(m-1)!(ax+b)^{m+n}}\)

\(Q.3.(xxxi)\) \(y=e^{3x}\sin^2{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^{3x}\left[3^{n}-(\sqrt{13})^n\cos{(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}})}\right]\)
\(Q.3.(xxxii)\) \(y=\cos{x}\) হলে, \(y_{n}\) নির্ণয় কর এবং \((y_{n})_{0}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
1 2 3 4 5

Leave a Reply