অন্তরীকরণের জ্যামিতিক ব্যখ্যা (Geometric Interpretation Of Derivative)

অনুশীলনী \(9.H\) উদাহরণ সমুহ
\((1.)\) \(y=x^3-3x^2-9x+15\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, -12); (-1, 20)\)

\((2.)\) \(y^2=x^2(a-x)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0); (a, 0)\)

\((3.)\) \(y=x^3-2x^2+4\) বক্ররেখার \((2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-y-4=0; x+4y-18=0\)
[ সিঃ২০১১; চঃ২০০৮; বঃ২০০৩ ]

\((4.)\) \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\) বক্ররেখার \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y+1=0; 3x-2y-5=0\)
[ বঃ ২০১১; কুঃ২০০৮; সিঃ২০০৭; যঃ২০০২; ঢাঃ ২০০০; মাঃ ২০১০, ২০০৫ ]

\( (5.) \) কোনো গতিশীল কণার \(t\) সময়ে একটি সরলরেখার উপর দূরত্ব \(s\) কে \(s=at^2+bt+c\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেখানে \(a, b, c\) ধ্রুবক । যদি \(t\) সময় পরে কণাটির বেগ \(v\) হয়, তবে দেখাও যে, \(4a(s-c)=v^2-b^2\).
[ দিঃ ২০০৯; যঃ২০০৫; চঃ২০০৫,২০০০ ]
\((6.)\) যদি একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমহারে বাড়ে, তবে দেখাও যে, তার পরিসীমা ব্যাসার্ধের ব্যস্ত অনুপাতে বাড়ে।

\((7.)\) ধাতুরর তৈরী একটি বৃত্তাকৃতি থালার ব্যাসার্ধ তাপ প্রয়োগের ফলে প্রতি সেকেন্ডে \(0.25\) সে.মি. বাড়ে। যখন থালাটির ব্যাসার্ধ \(7\) সে.মি. তখন তার তলের বৃদ্ধির হার নির্ণয় কর।
উত্তরঃ প্রতি সেকেন্ডে \(11\) বর্গ সে.মি. (প্রায় )

\((8.)\) \(a\) এর মান কত হলে, \(y=ax(1+x)\) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে তার স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করবে।
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
[ বুয়েটঃ২০১১-২০১২; চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪; ঢাঃ২০০৪; দিঃ২০১৬; যঃ২০০৭; কুঃ২০০৬; চঃ২০১২; বঃ২০০৬,২০০৮ ]

\((9.)\) \(x^2y+xy^2-2x-3y-17=0\) বক্ররেখার \((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(19x+13y-77=0; 13x-19y-31=0\)
1 2 3 4 5