অন্তরীকরণের জ্যামিতিক ব্যখ্যা (Geometric Interpretation Of Derivative)

অনুশীলনী \(9.H / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ

\(Q.1.(i)\) \(y=4x^3+3x^2-6x+1\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শকগুলি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, 6); \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)\)
[ ঢঃ২০০০; মাঃ২০০০]

\(Q.1.(ii)\) \(x^2+y^2-2x-3=0\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শকগুলি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 2); (1, -2)\)
[ রাঃ২০০০; মাঃ২০০৯; বঃ২০১৩]

\(Q.1.(iii)\) \(y^3=x^2(2a-x)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল সে সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{4}{3}a, -\frac{2\sqrt[3]{4}}{3}a\right); (0, 0)\)
[ বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮; চঃ২০০৯ ]

\(Q.1.(iv)\) \(y=(x-3)^2(x-2)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 0); \left(\frac{7}{3}, \frac{4}{27}\right)\)
[ ঢাঃ২০০৫ ]

\(Q.1.(v)\) \(x^2+4xy+16y^2=27 \) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক স্থানাঙ্কের অক্ষদুইটির সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(3, -\frac{3}{2}\right); \left(-3, \frac{3}{2}\right)\), \(\left(6, -\frac{3}{4}\right); \left(-6, \frac{3}{4}\right)\)

\(Q.1.(vi)\) \(y=x^3-3x+2 \) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শকগুলি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 0); (-1, 4)\)
[ দিঃ২০১২; রাঃ২০১০,২০০৫; যঃ২০০৯; ঢাঃ২০০২ ]

\(Q.1.(vii)\) \(x^2+2ax+y^2=0 \) বক্ররেখাটির উপর এমন বিন্দুগুলি নির্ণয় কর যেখানে স্পর্শকসমূহ \(x\) অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \((0, 0); (-2a, 0)\)
[ বঃ২০১০,২০০৭,২০০৪,২০০২; যঃ২০০৮,২০০৩; চঃ,কুঃ২০০৬; সিঃ২০০২; মাঃ২০১১,২০০৭ ]

\(Q.1.(viii)\) \(y=x^2+\sqrt{1-x^2}\) বক্ররেখাটির উপর যেসব বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব, তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)
[ সিঃ২০১২; চঃ২০১১, ২০০৭; ঢাঃ২০১০,২০০৬,২০০৩; বঃ২০০৯; মাঃ২০০১ ]

\(Q.1.(ix)\) \(x^2+4y=8\) উপবৃত্তের যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব, তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2\sqrt{2}, 0); (-2\sqrt{2}, 0)\)
\(Q.1.(x)\) \(y=\frac{1}{3}x^3+2\) বক্ররেখাটির উপর এমন সকল বিন্দু নির্ণয় কর যেখানে স্পর্শকগুলি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\frac{\pi}{4}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(\left(1, \frac{7}{3}\right); \left(1, \frac{5}{3}\right)\)

\(Q.1.(xi)\) \(a\) এর মান কত হলে, \(y=ax(1-x)\) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে স্পর্শকটি \(x\) অক্ষের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}\)
[ কুঃ২০১২,২০০১; বঃ২০১২,২০০৪; যঃ২০১১,২০০৮,২০০৪; সিঃ২০১০,২০০৬,২০০১; রাঃ২০০৯,২০০৭; ঢাঃ২০০৮; চঃ২০০৬,২০০৪; মাঃ ২০১২,২০১০,২০০৮,২০০০ ]

\(Q.1.(xii)\) \(c\) এর মান কত হলে, \(y=cx(1+x)\) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে তার স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করবে।
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
[ চঃ২০১২; বঃ ২০০৮,২০০৬; যঃ২০০৭; কুঃ২০০৬,২০০২]

\(Q.1.(xiii)\) \(y=x^3-3x^2-2x+1\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শকগুলি অক্ষদুইটির সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে তাদের ভুজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\pm \sqrt{2}; 1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\)
[ রাঃ২০১২,২০০৮; যঃ ২০১২,২০০৩,২০০১; ঢাঃ২০১১; দিঃ২০০১০; সিঃ২০০৮,২০০৪; কুঃ২০০৭; চঃ২০০২; মাঃ২০০৫]

\(Q.1.(xiv)\) \(y=x^3-x^2-7x+6\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(1\) তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, -4); (-\frac{4}{3}, \frac{302}{27})\)
[ রাঃ২০১২,২০০৮; যঃ ২০১২,২০০৩,২০০১; ঢাঃ২০১১; দিঃ২০০১০; সিঃ২০০৮,২০০৪; কুঃ২০০৭; চঃ২০০২; মাঃ২০০৫]

\(Q.1.(xv)\) \(x^2+4x+y^2=0\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব বা, ( \(y\) অক্ষের সমান্তরাল ), তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-4, 0); (0, 0)\)
[ কুঃ২০০৩ ]

\(Q.1.(xvi)\) \(y=\sqrt{x}\) বক্ররেখার উপর কোন বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \((\frac{1}{4}, \frac{1}{2})\)

\(Q.1.(xvii)\) \(y^3=x^2(2a-x)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, ( \(x\) অক্ষের উপর লম্ব ) সে সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0) ; (2a, 0)\)
[ চঃ২০০৫ ]

\(Q.1.(xviii)\) \(y^3=x^2(a-x)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, ( \(x\) অক্ষের উপর লম্ব ) সে সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0); (a, 0)\)
[ যঃ২০১৪ ]
1 2 3 4 5