অন্তরীকরণের জ্যামিতিক ব্যখ্যা (Geometric Interpretation Of Derivative)

অনুশীলনী \(9.H / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ
\(Q.3.(i)\) দেখাও যে, \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) বক্ররেখার যে কোনো স্পর্শক কতৃক অক্ষ দুইটি থেকে কর্তিত অংশের যোগফল একটি ধ্রুবক।
[ কুঃ২০০৯; বঃ২০০২]

\(Q.3.(ii)\) দেখাও যে, \(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\) বক্ররেখার যে কোনো স্পর্শক কতৃক অক্ষ দুইটি থেকে কর্তিত অংশের বর্গের যোগফল একটি ধ্রুবক।

\(Q.3.(iii)\) \(y=ax^2+bx+c\) বক্ররেখাটি মূলবিন্দু এবং \((2, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়। যদি মূলবিন্দুতে বক্ররেখাটির ঢাল \(2\) হয় তবে \(a, b, c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=-\frac{1}{2}, b=2, c=0\)
[ ঢাঃ ২০০১ ]

\(Q.3.(iv)\) একটি পাথরের টুকরা \(112\) ফুট/সেকেন্ড বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলো। \(t\) সময়ে এর গতি সমীকরণ \(s=112t-16t^2\) রূপে প্রকাশিত হলে, যে সময়ে
\((a)\) এর বেগ \(80\) ফুট/সেকেন্ড হয়,
\((b)\) পাথরটি তার উচ্চতম বিন্দুতে পৌঁছে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1\) সেকেন্ড। \((b) \ 3\frac{1}{2}\) সেকেন্ড।

\(Q.3.(v)\) একটি গতিশীল কণার কোনো সরলরেখায় \(t\) সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s=63t-6t^2-t^3\) দ্বারা প্রকাশিত হয়। \(2\) সেকেন্ড শেষে তার বেগ এবং কণাটি থামার পূর্বে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(27\) একক /সেকেন্ড; \(108\) একক।
[ সিঃ২০০৪; ঢাঃ২০০২ ]

\(Q.3.(vi)\) যদি কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমহারে বৃদ্ধি পায়, তবে দেখাও যে তার ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধির হার তার ব্যসার্ধের সাথে সমানুপাতিক হবে।
[ চঃ২০১২, ২০০৮; দিঃ২০১১; বঃ২০০৬; কুঃ২০০৪; যঃ২০০২ ]

\(Q.3.(vii)\) দেখাও যে একটি গোলাকার সাবানের বুদবুদের আয়তনের বৃদ্ধির হার তার ব্যাসার্ধের বৃদ্ধির হারের \(4\pi r^2\) গুণ।

\(Q.3.(viii)\) যদি কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু প্রতি সেকেন্ডে \(\sqrt{3}\) সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে \(12\) বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায় তবে সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]
\(Q.3.(ix)\) একটি ট্রেন \(t\) সেকেন্ডে \(3t+\frac{1}{8}t^2\) মিটার অতিক্রম করে। \(5\) মিনিট পর তার বেগ কত হবে?
উত্তরঃ \(78\) মিটার /সেকেন্ড।
[ কুঃ ২০১১,২০৫; রাঃ২০০৯; বঃ,চঃ২০০৭; ঢাঃ২০০৬ ]

\(Q.3.(x)\) একটি বস্তুর গতির সমীকরণ \(s=t^3+\frac{1}{t^3}\) হলে দেখাও যে, এর ত্বরণ সর্বদাই ধনাত্মক এবং \(t=10\) হলে, এর গতিবেগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(299.9997\) একক /সেকেন্ড।
[ চঃ২০০১ ]

\(Q.3.(xi)\) একটি কণা সরল পথে এমনভাবে চলে যেন \(t\) সময়ে তার অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s=\sqrt{(2t)}\) হয়। দেখাও যে, কণাটির ত্বরণ বেগের ঘনফলের সাথে সমানুপাতিক।
[ ঢাঃ২০০১ ]

\(Q.3.(xii)\) একটি বিন্দু সরলরেখায় এমনভাবে চলে যেন \(s=\sqrt{t}\) হয়। দেখাও যে বিন্দুটির ত্বরণ ঋণাত্মক এবং বেগের ঘনফলের সাথে সমানুপাতিক।
[ সিঃ২০০২]

\(Q.3.(xiii)\) কোন সরলরেখায় একটি কণা এমনভাবে চলে যেন তা \(s=3.8t+1.5t^2\) শর্তানুসারে \(t\) সেকেন্ডে \(s\) সে.মি. অতিক্রম করে। প্রমাণ কর যে, এর ত্বরণ ধ্রুবক রাশি। ত্বরণের মাণও বাহির কর।
উত্তরঃ \(3\) সে.মি./বর্গ সে.

\(Q.3.(xiv)\) একটি পাথর খন্ড \(98\) মি./সে. বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হল। \(t\) সময়ে এর গতি সমীকরণ \(s=98t-4.9t^2\) রূপে প্রকাশিত হলে, যে সময়ে
\((a)\) এর বেগ \(49\) মি./সে. হয়,
\((b)\) পাথর খন্ডটি তার উচ্চতম বিন্দুতে পৌঁছে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 5\) সে. \((b) \ 10\) সে.

\(Q.3.(xv)\) সরলরেখায় চলন্ত কোনো কণা \(t\) সময়ে \(s\) মি. দূরত্ব অতিক্রম করে। \(s=\frac{1}{2}t^3+t^2+4t\) হলে, গতি শুরু হওয়ার \(5\) সেকেন্ড পরে কণাটির বেগ ও ত্বরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 51.5\) মি./ সে., \(17 \) মি./বর্গ সে.
1 2 3 4 5

Leave a Reply