গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান (Maximum and Minimum value)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • ফাংশনের অন্তরীকরণ যোগ্যতা
  • রোলের উপপাদ্য
  • টেলরের ধারা
  • গড়মান উপপাদ্য
  • মধ্যবর্তী মাণ উপপাদ্য
  • ক্রমবর্ধমান ও ক্রমহ্রাসমান ফাংশন
  • ফাংশনের চরম মাণ
  • ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান
  • গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান বিদ্যমান থাকার প্রয়োজনীয় শর্ত
  • গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়ের পদ্ধতি
  • গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়
  • খোলা ও বদ্ধ ব্যবধি
ফাংশনের অন্তরীকরণ যোগ্যতাঃ
ধরি, \(f(x)\) ফাংশন \([a, b]\) ব্যবধিতে সংজ্ঞায়িত \(a>c>b\) হলে ফাংশনটি \(x=c\) বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হয় যদি \[f^{\prime}(c)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] বিদ্যমান থাকে এবং \[\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] ও \[\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] এর মাণ সসীম ও পরস্পর সমান হয়।
স্বরনীয় বিষয়ঃ
\(x=c\) বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন \(x=c\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন \(x=c\)বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য নাও হতে পারে।
ফাংশন \(f(x)\)-কে \((a, b)\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হবে যদি সকল \(x\in(a, b)\) বিন্দুতে \(f(x)\) অন্তরীকরণযোগ্য হয়।

রোলের উপপাদ্যঃ
যদি \(f(x)\) ফাংশন
\([a, b]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন হয়।
\((a, b)\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য এবং
\(f(a)=f(b)\) হয়, তবে \(a\) ও \( b\) এর মধ্যে অন্ততঃপক্ষে \(x\)এর এমন একটি মান \(c\) পাওয়া যাবে যেখানে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
অর্থাৎ \(a>c>b\) খোলা ব্যবধিতে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
টেলরের ধারাঃ
যদি \(f(x)\) ফাংশন এবং \(f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), f^{\prime\prime\prime}(x), …….f^{n-1}(x)\) ফাংশনগুলি \([a, a+h]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন হয় এবং \(f^{n}(x)\) ফাংশনটি \((a, a+h)\) খোলা ব্যবধিতে বিদ্যমান থাকে, তবে,
\(f(a+h)=f(a)+hf^{\prime}(a)+\frac{h^2}{l^2}f^{\prime\prime}(a)+\frac{h^3}{l^3}f^{\prime\prime\prime}(a)+ ……..\)
গড়মান উপপাদ্য ( Mean value theorem, Lagrange’s form )
যদি \(f(x)\) ফাংশন \([a, b]\) ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \((a, b)\) ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য হয় তবে \(a\) ও \( b\) এর মধ্যে অন্ততঃপক্ষে \(x\)এর এমন একটি মান \(c\) পাওয়া যাবে যাতে \(f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime}(c)\) হয়।


উদাহরণঃ
\((1, 3)\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^2-2x+3\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যটির সত্যতা নিরূপণ কর।
geo1

মধ্যবর্তী মান উপপাদ্যঃ

যদি \([a, b]\) বদ্ধ ব্যবধিতে \(f(x)\) অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয় এবং \(k\) যে কোনো একটি সংখ্যা \(f(a)\) ও \(f(b)\) এর মধ্যে অবস্থিত হয় তাহলে \([a, b]\) ব্যবধির মধ্যে কমপক্ষে একটি সংখ্যা থাকবে যেখানে \(f(x)=l\).
geo1

প্রতিজ্ঞাঃ

যদি কোনো ফাংশন \(f(x), [a, b]\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয় এবং \(f(a)\) ও \(f(b)\) শূন্য না হয় এবং বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হয় তবে \(f(x)=0\) সমীকরণের \((a, b)\) ব্যবধিতে কমপক্ষে একটি সমাধান বিদ্যমান।

উদাহরণঃ
মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([-1, 0]\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^3+x+1\) সমীকরণের সমাধান আছে।
ক্রমবর্ধমান ও ক্রমহ্রাসমান ফাংশন ( Increasing and Decreasing function )
geo1

ক্রমবর্ধমান ফাংশনঃ

যদি \(x\) এর মাণ বৃদ্ধির জন্য কোনো ফাংশন \(y=f(x)\) এর মাণ বৃদ্ধি পায় অর্থাৎ \(y=f(x)\) ফাংশনের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল ধনাত্মক হয়, তবে \(y=f(x)\) কে ক্রমবর্ধমান ফাংশন বলা হয়। ক্রমবর্ধমান ফাংশনের ক্ষেত্রে স্পর্শকের ঢাল ধনাত্মক।
অর্থাৎ, \(\frac{dy}{dx}>0\) এখানে \(\frac{dy}{dx}=\tan{\theta}\) এবং \(90^{o}>\theta\).
geo1

ক্রমহ্রাসমান ফাংশনঃ

যদি \(x\) এর মাণ বৃদ্ধির জন্য কোনো ফাংশন \(y=f(x)\) এর মাণ হ্রাস পায় অর্থাৎ \(y=f(x)\) ফাংশনের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল ঋনাত্মক হয়, তবে \(y=f(x)\) কে ক্রমহ্রাসমান ফাংশন বলা হয়। ক্রমহ্রাসমান ফাংশনের ক্ষেত্রে স্পর্শকের ঢাল ঋনাত্মক।
অর্থাৎ, \(0>\frac{dy}{dx}\) এখানে \(\frac{dy}{dx}=\tan{\theta}\) এবং \(\theta>90^{o}\).

মন্তব্যঃ

\(b>x>a\) এর সকল \(x\) এর জন্য \(f^{\prime}(x)>0\) হয়, তবে \(y=f(x)\) ফাংশন \((a, b)\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান হবে।
\(b>x>a\) এর সকল \(x\) এর জন্য \(0>f^{\prime}(x)\) হয়, তবে \(y=f(x)\) ফাংশন \((a, b)\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান হবে।
ফাংশনের চরম মাণ ( Extreme values of function )
geo1

ফাংশনের চরম মাণঃ

\(y=f(x)\) অবিচ্ছিন্ন ফাংশনটির লেখচিত্র থেকে আমরা দেখতে পাই যে, \(P_{1}\) বিন্দুর ডান ও বাম দিকে একটি ক্ষুদ্র ব্যবধি \(L_{1}L_{2}\) এর অন্তর্গত \(x\) এর সকল মানের মধ্যে \(x=OC_{1}=c\) এর জন্য \(f(x)=f(c)\) এর মাণ বৃহত্তম।
অনুরূপভাবে, \(P_{2}, P_{3}, P_{4}\) বিন্দুগুলিতেও বিন্দুগুলির উভয় দিকে \(x\) এর মাণসমূহের একটি ক্ষুদ্র ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য \(f(x)\) এর মাণ বৃহত্তম।
অতএব, কোনো বিন্দুতে \(f(x)\) এর মাণ বৃহত্তমের অর্থ এই নয় যে, ফাংশনটির মাণ সে বিন্দুতে চুড়ান্তভাবে বৃহত্তম। ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মানও একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কোনো বিন্দুতে একটি ফাংশনের মাণ ক্ষুদ্রতম-এর অর্থ এই নয় যে, বিন্দুটিতে ফাংশনটির মাণ চুড়ান্তভাবে ক্ষুদ্রতম। লক্ষ করলে আরও দেখা যায় যে, কোনো বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মাণ আর একটি বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তম মানের চেয়ে বৃহত্তম। সুতরাং একটি ফাংশনের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানগুলি প্রকৃতপক্ষে আপেক্ষিকভাবে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ। ফাংশনের আপেক্ষিক বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানগুলিকে ফাংশনের গুরুমান ও লঘুমান এবং এদের একত্রে ফাংশনের চরম মাণ বলা হয়। অর্থাৎ আপেক্ষিক বৃহত্তম মাণ ও আপেক্ষিক ক্ষুদ্রতম মাণ বুঝাতে আমরা ‘গুরুমান’ ও ‘লঘুমান’ ব্যবহার করব।

মন্তব্যঃ

একটি ফাংশনের একাধিক গুরুমান ও লঘুমাণ থাকতে পারে।
কোনো বিন্দুতে ফাংশনের লঘুমান অন্য একটি বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমানের চেয়ে বড় হতে পারে।
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান ( Maximum and Minimum Values of a function )
geo1

ফাংশনের গরিষ্ঠমানঃ

\(f(c)\) কে \(f(x)\) ফাংশনের গরিষ্ঠমান বলা হবে যদি অতি ক্ষুদ্র \(h>0\) এর জন্য \((c-h, c+h)\) ব্যবধিতে \(x\)এর সকল মানের জন্য \(f(c)\) সর্বদাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা বৃহৎ থাকে।
অর্থাৎ \(f(c)>f(x)\) যেখানে \(x\in{(c-h, c+h)}\) কিন্তু \(x\ne{c}\)
তাহলে, \(0>f(c+h)-f(c)\)
অন্যভাবে, যদি \(x=c\) বিন্দুর নিকট প্রতিবেশীতে \(f(c)\) এর মাণ সর্দাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা বৃহৎ থাকে তবে, \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমান আছে এবং উহা \(f(c)\)
geo1

ফাংশনের লঘিষ্ঠমানঃ

\(f(d)\) কে \(f(x)\) ফাংশনের লঘিষ্ঠমান বলা হবে যদি অতি ক্ষুদ্র \(h>0\) এর জন্য \((d-h, d+h)\) ব্যবধিতে \(x\)এর সকল মানের জন্য \(f(d)\) সর্বদাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা ক্ষুদ্র থাকে।
অর্থাৎ \(f(d)>f(x)\) যেখানে \(x\in{(d-h, d+h)}\) কিন্তু \(x\ne{d}\)
তাহলে, \(f(d+h)-f(d)>0\)
অন্যভাবে, যদি \(x=d\) বিন্দুর নিকট প্রতিবেশীতে \(f(d)\) এর মাণ সর্দাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা ক্ষুদ্র থাকে তবে, \(x=d\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান আছে এবং উহা \(f(d)\)

ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান বিদ্যমান থাকার প্রয়োজনীয় শর্তঃ

যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান থাকে এবং \(f^{\prime}(c)\) এর মাণ বিদ্যমান থাকে তবে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।

ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়ঃ

\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশন অবিচ্ছিন্ন এবং \(f^{\prime}(c)=0\) ও \(f^{\prime\prime}(c)\ne{0}\) হলে,
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমাণ থাকবে যদি \(0>f^{\prime\prime}(c)\) হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)>0\) হয়।

ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়ের পদ্ধতিঃ

প্রদত্ত ফাংশনটিকে \(f(x)\) ধরতে হবে।
\(f^{\prime}(x)\) নির্ণয় করতে হবে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ ও লঘিষ্ঠমানের জন্য \(f^{\prime}(x)=0\) ধরে \(x\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, \(x=a, b, c\)
\(f^{\prime\prime}(x)\) নির্ণয় করতে হবে।
\((1) \ x=a\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)>0\) হলে, বুঝতে হবে \(x=a\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে এবং ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=f(a)\)
\((2) \ x=b\) মানের জন্য \(0>f^{\prime\prime}(x)\) হলে, বুঝতে হবে \(x=b\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ আছে এবং ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ \(=f(b)\)
\((3) \ x=c\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)=0\) হলে, বুঝতে হবে \(x=c\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান ও গরিষ্ঠমাণ থাকতেও পারে আবার নাও থাকতে পারে। যা উচ্চতর পর্যায়ে শেখানো হবে।
খোলা ও বদ্ধ ব্যবধি ( Open and Close Interval )
খোলা ব্যবধি \((a, b)\Rightarrow ]a, b[ \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b>x>a\}\)
বদ্ধ খোলা ব্যবধি \([a, b)\Rightarrow [a, b[ \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b\ge{x}>a\}\)
খোলা বদ্ধ ব্যবধি \((a, b]\Rightarrow ]a, b] \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b>x\ge{a}\}\)
বদ্ধ ব্যবধি \([a, b]\Rightarrow [a, b] \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b\ge{x}\ge{a}\}\)
1 2 3 4 5 6 7