গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান (Maximum and Minimum value)

অনুশীলনী \(9.I / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ
\(Q.1.(i)\) \(x\) এর কোন মানের জন্য নিচের ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমান পাওয়া যায়।
\((a)\) \(4x^3-15x^2+12x-2\)
উত্তরঃ \(x=2\) লঘুমানের জন্য; \(x=\frac{1}{2}\) গুরুমানের জন্য।

\((b)\) \(\frac{x^2-7x+6}{x-10}\)
উত্তরঃ \(x=4 \) গুরুমানের জন্য ; \( x=16\) লঘুমানের জন্য।
[ যঃ২০০৭ ]

\((c)\) \(x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
উত্তরঃ \(x=1\) লঘুমানের জন্য; \(x=2\) গুরুমানের জন্য; \(x=3\) লঘুমানের জন্য।
[ কুঃ২০০৮ ]

\(Q.1.(ii)\) \(f(x)=x^3-9x^2+24x-12\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =4\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =8\)
[ বঃ২০১৭ ]

\(Q.1.(iii)\) \(h(x)=2x^3-3x^2-12x+1\) ফাংশনের চরমমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-19\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =8\)
[ ঢঃ২০১৭]

\(Q.1.(iv)\) \(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =\frac{43}{2}\) ; লঘুমান \( =\frac{2}{3}\)
[ বঃ২০০৩]

\(Q.1.(v)\) \(x^4+2x^3-3x^2-4x+4\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =\frac{81}{16}\) ; লঘুমান \( =0\)
[ দিঃ২০১০]

\(Q.1.(vi)\) \(x^3-6x^2+9x-8\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বৃহত্তমমান \( =-4\) ; ক্ষুদ্রতমমান \( =-8\)

\(Q.1.(vii)\) \(f(x)=2x^3-21x^2+36x-20\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =-3\) ; লঘুমান \( =-128\)
[ ঢাঃ২০১২, ২০০৯,২০০৮; বঃ২০১২; দিঃ২০১২; যঃ২০০৯,২০০০; রাঃ২০০৭; কুঃ২০০৭ ]

\(Q.1.(viii)\) \(f(x)=x^3-3x^2-45x+13\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =-162\); গুরুমান \( =94\) .
[ ঢাঃ২০০৩; বঃ২০০৮; রাঃ২০১০,২০০৫; কুঃ২০১২; চঃ২০১১,২০০৯; সিঃ২০০৮; মাঃ২০১১,২০০৮ ]

\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}\) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
[ যঃ২০১৭ ]

\(Q.1.(x)\) দেখাও যে, \(x+\frac{1}{x}\) এর গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
[ যঃ২০১২,২০১০; ঢঃ২০১১,২০০৫; চঃ২০১০; সিঃ ২০১০; বঃ২০০৯; কুঃ২০০৮,২০০৩; রাঃ২০০৬,২০০২ ]

\(Q.1.(xi)\) \(h(x)=x\) হলে, দেখাও যে, \(h(x)+\frac{1}{h(x)}\) এর গুরুমান, তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
[ রাঃ২০১৭ ]

\(Q.1.(xii)\) দেখাও যে, \(x^3-3x^2+6x+2\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ নেই।
[ বঃ২০১৪,২০১১; যঃ২০১৪,২০০৬; কুঃ২০১৩; সিঃ২০০৯,২০০৩ ]

\(Q.1.(xiii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2+x\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।
[ বঃ২০১৪,২০১১; যঃ২০১৪,২০০৬; কুঃ২০১৩; সিঃ২০০৯,২০০৩ ]

\(Q.1.(xiv)\) নিম্নের ফাংশনগুলি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((a)\) \(f(x)=3x^2-6x+4, -1\le{x}\le{2}\)
উত্তরঃ \(1>x\ge{-1}\)ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং \(2\ge{x}>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।

\((b)\) \(f(x)=(x-2)^3(x+1)^2, -1\le{x}\le{3}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}>x\ge{-1}\)ব্যবধিতে হ্রাস পায়। \(2>x>\frac{1}{5}\) এবং \(2>x>\frac{1}{5}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।

\(Q.1.(xv)\) \(f(x)=x-x^2-x^3\) এর সন্ধিবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, -1); (\frac{1}{3}, \frac{5}{27})\)

\(Q.1.(xvi)\) \(f(x)=2x^3-9x^2+12x+5\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =9\); গুরুমান \( =10\) .
[ চঃ২০০৪; রাঃ২০১১ ]

\(Q.1.(xvii)\) \(f(x)=x(12-2x)^2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =128\) .
[ যঃ২০০৫ ]

\(Q.1.(xviii)\) \(u=\frac{4}{x}+\frac{36}{y}\), যখন \(x+y=2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =32\); গুরুমান \( =5\) .
[ যঃ২০০৫ ]

\(Q.1.(xix)\) \(f(x)=x^3-6x^2+9x+5\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =5\); গুরুমান \( =9\) .
[ চঃ২০০৪; সিঃ২০১৩ ]

\(Q.1.(xx)\) \(f(x)=x^3-5x^2+3x+2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =-7\); গুরুমান \( =\frac{67}{27}\) .
[ মাঃ২০১২ ]
\(Q.1.(xxi)\) \((0, 2)\) ব্যবধিতে \(f(x)=3x^4-2x^3-6x^2+6x+1\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =2\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{39}{16}\) .
[ দিঃ২০১০ ]

\(Q.1.(xxii)\) \((0, 3)\) ব্যবধিতে \(x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =\frac{1}{3}\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{23}{48}\) .
[ দিঃ২০১০ ]

\(Q.1.(xxiii)\) দেখাও যে, \(f(x)=1-x-x^3\) একটি \(x\) এর ক্রমহ্রাসমান ফাংশন।

\(Q.1.(xxiv)\) যে সকল ব্যবধিতে \(f(x)=x^3-3x+5\) ফাংশনটি বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়, সেই সকল ব্যবধি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ও \(x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(1>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।

\(Q.1.(xxv)\) \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+30\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ও \(x>2\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(2>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।

\(Q.1.(xxvi)\) \(f(x)=3x^2-2x+4, -1\le{x}\le{2}\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং \(2\ge{x}>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।

\(Q.1.(xxvii)\) \(f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-4\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =-3\)

\(Q.1.(xxviii)\) \(x^5-5x^4+5x^3-1\) ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-28\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =0\)

\(Q.1.(xxix)\) প্রমাণ কর যে, \(f(x)=x^3-6x^2+27x+5\) এর কোনো চরমমান থাকবে না।

\(Q.1.(xxx)\) মুনাফা ফাংশন \(P=300+1200x-x^2\) কি পরিমাণ উৎপাদন করা হলে, মুনাফা সর্বাধিক হবে? \(x=\)উৎপাদিত দ্রব্য।
উত্তরঃ \(600\) একক।

\(Q.1.(xxxi)\) একটি খামারের মোট ব্যয় ফাংশন \(C=\frac{x^3}{3}-3x^2+12x\), যখন \(x\)উৎপাদিত এককের সংখ্যা নির্দেশ করে। আয় ফাংশন \(R=12x-x^2\) হলে সর্বাধিক মুনাফার জন্য উৎপাদন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x=4\).

\(Q.1.(xxxii)\) \(5-8x-2x^2\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং \(x>-2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।

\(Q.1.(xxxiii)\) \(2x^3-15x^2+36x\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x>3\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(3>x>2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।

\(Q.1.(xxxiv)\) \(x^3-3x^2+3x+3\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x>1\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(1>x\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।

\(Q.1.(xxxv)\) \(2x^3-3x^2-12x\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(2>x>-1\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(x>2\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।

\(Q.1.(xxxvi)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+4x\) ফাংশনটি \(x\) এর একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন।

\(Q.1.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=3x^2-2x+4\) ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।

\(Q.1.(xxxviii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-x^2-2x\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।

\(Q.1.(xxxix)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2-9x+27\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।

\(Q.1.(xL)\) \(f(x)=x^3-3x^2-9x+27\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=32\), সর্বনিম্ন মান \(=0\)

\(Q.1.(xLi)\) \(f(x)=x^3-3x^2-9x\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=5\), সর্বনিম্ন মান \(=-27\)

\(Q.1.(xLii)\) \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-3\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=2\), সর্বনিম্ন মান \(=1\)

\(Q.1.(xLiii)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+6x+5\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।

\(Q.1.(xLiv)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-6x^2+12x-3\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।
1 2 3 4 5 6 7