গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান (Maximum and Minimum value)

অনুশীলনী \(9.I / Q.2\)-এর প্রশ্নসমুহ
\(Q.2.(i)\) দেখাও যে, \(\frac{x}{\ln{x}}\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(e\).
[ কুঃ২০০৯; ঢাঃ২০০৭ ]

\(Q.2.(ii)\) \(f(x)=\ln{x}\) হলে, \(\frac{f(2x)}{x}\) এর গুরুমান এবং লঘুমান বিদ্যমান থাকলে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \(=\frac{2}{e}\)
[ দিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(iii)\) \(g(u)=\ln{u}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{g(2x)}{x}\) ফাংশনের সর্বোচ্চ মান \(\frac{2}{e}\).
[ সিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(iv)\) দেখাও যে, \(4e^{x}+9e^{-x}\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(12\).
[ রাঃ২০১২,২০০৮,২০০৩; সিঃ২০১২; কুঃ২০১০; বঃ ২০১০,২০০৫ ]

\(Q.2.(v)\) \(f(p)=e^{-2p}\) হলে, \(4f(p)+\frac{9}{f(p)}\) এর চরমমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \(=12\)
[ চঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(vi)\) দেখাও যে, \(\sqrt{3}\sin{x}+3\cos{x}\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=\frac{\pi}{6}\) হয়।

\(Q.2.(vii)\) দেখাও যে, \(x\sin{x}+4\cos{x}\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=0\) হয়।

\(Q.2.(viii)\) দেখাও যে, \(\sin{x}(1+\cos{x})\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=\frac{\pi}{3}\) হয়।

\(Q.2.(ix)\) দেখাও যে, \(\frac{\ln{x}}{x}\) এর গুরুমান \(\frac{1}{e}\).

\(Q.2.(x)\) দেখাও যে, \(x^{\frac{1}{x}}\) এর গুরুমান \(e^{\frac{1}{e}}\).
\(Q.2.(xi)\) \(1+2\sin{x}+3\cos^2{x}, \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =3\); গুরুমান \( =4\frac{1}{3}\) .
[ যঃ২০০৫ ]

\(Q.2.(xii)\) দেখাও যে, \(f(x)=\frac{\sin{(x+a)}}{\sin{(x+b)}}\) এর কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।

\(Q.2.(xiii)\) \((0, \pi)\) ব্যবধিতে \(f(x)=\sin{x}+\cos{2x}\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =0\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{9}{8}\) .
[ দিঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xiv)\) \(f(\theta)=\sin{2\theta}-\cos{2\theta}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান কত?
উত্তরঃ সর্বচ্চমান বিদ্যমান।

\(Q.2.(xv)\) \(x^{x}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}\) .

\(Q.2.(xvi)\) \(100\) কে এমন দুইভাগে ভাগ কর যেন তাদের গুনফল সর্বোচ্চ হয়।
উত্তরঃ \( 50, 50\) .

\(Q.2.(xvii)\) একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা \(200\) সে.মি. । এর ক্ষেত্রফলের মান সর্বোচ্চ হলে বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 50\) সে.মি. , \(50\) সে.মি.

\(Q.2.(xviii)\) দেখাও যে, \(\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\) এর সর্বোচ্চ মান \(e^{\frac{1}{e}}\).
1 2 3 4 5 6 7