গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান (Maximum and Minimum value)

অনুশীলনী \(9.I / Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q.4.(i)\) \(f(x)=x+\frac{1}{x}\) এবং \(g(x)=x^2\)
\((a)\) \(f(x)=x^{\cos^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
[ কুঃ২০১৩; যঃ২০১০,২০১৪; সিঃ২০০৮; ঢাঃ২০১৩; রাঃ২০১০,২০১৪; বঃ২০১০; চঃ২০১৪ ]
\((b)\) দেখাও যে, \(f(x)\) এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রুতর।
[ কুঃ২০০৮; বঃ২০০৯; যঃ২০১০,২০১২; সিঃ ২০১০,২০১৪ ]
\((c)\) \(g(x)\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর।

\(Q.4.(ii)\) \(y(x-2)(x-3)-x+7=0 …..(1)\) এবং \(y=\sqrt{(4+3\sin{x})} ….(2)\)
\((a)\) \(x=1\) ও \(\delta{x}=dy=1\) হলে, \(f(x)=x+\frac{1}{x}\)এর জন্য \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\delta{y}=\frac{1}{2}, dy=0\)
\((b)\) \((2)\) এর সাহায্যে দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
[ যঃ২০১৩; কুঃ২০১১,২০১৪; চঃ২০১০; ঢাঃ২০০৮; রাঃ,সিঃ২০১২; দিঃ২০১১ ]
\((c)\) \((1)\) যে সমস্ত বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুগুলোতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-20y-7=0, 20x+y-140=0\)
[ ঢাঃ ২০০৯; যঃ,চঃ২০১০; দিঃ২০১১; কুঃ২০১৪ ]

\(Q.4.(iii)\) \[L_{1}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}, \ L_{2}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2{x})}{x+100}\]
\((a)\) \(x^{2}\sin^{-1}{(1-x)}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
[ বঃ২০০৮; ঢাঃ২০১৪; দিঃ২০১২ ]
\((b)\) \(L_{1}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রাঃ২০০৯; বঃ২০১১,২০১৪; কুঃ২০১০; সিঃ২০০৯; মাঃ ২০১৩ ]
\((c)\) স্যান্ডউইস উপপাদ্যের সাহায্যে \(L_{2}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বিদ্যমান নেই।

\(Q.4.(iv)\) \(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(x=1\) বিন্দুর সন্নিকটে \(g(x)=x+\frac{1}{x}\) এর যোগাশ্রয়ী আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\)
\((b)\) \(f(x)\) কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1>x>-\infty\) ব্যবধিতে হ্রাস পায় , \(5>x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\((c)\) \(f(x)\) এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=42\), সর্বনিম্ন মান \(=10\),

\(Q.4.(v)\) নিচের রাশি দুইটি লক্ষ কর।
\((1)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\), \((2)\) \(\frac{x}{\ln{x}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{2x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{4}\)
\((b)\) \((1)\) এর ক্ষেত্রে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\).
\((c)\) দেখাও যে, \((2)\) রাশির সর্বনিম্ন মান \(e\).

\(Q.4.(vi)\) নিচের ফাংশন দুইটি লক্ষ কর।
\[f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{2x}-\cos{3x}}{x^2}\]
\[g(x)=\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}\] এর মান কত?
উত্তরঃ \(1\)
\((b)\) \(f(x)\) এর সীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(g(x)=5a^2\)

\(Q.4.(vii)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নগুলির উত্তর দাও।
\((1)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\]
\((2)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}\]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}=\] কত?
উত্তরঃ \(2\)
\((b)\) \((1)\) এর সীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{6}\)
\((c)\) দেখাও যে, \((2)\) এর মান \(\frac{1}{2}\).

\(Q.4.(viii)\) নিচের ফাংশন দুইটি লক্ষ করঃ
\(f(x)=\frac{\tan{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}}\)
\(g(\theta)=\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(2x)^2}}{x}\] সমান কত?
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}f(x)\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}g(\theta)=\frac{3}{2}\].

\(Q.4.(ix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\]
\((a)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্যটি লিখ।
\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}2^{x}\sin{\left(\frac{b}{2^{x}}\right)}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(b\)
\((c)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য অনুসারে
দেখাও যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\].

\(Q.4.(x)\) \(f(x)=\cos{2x}\), \(g(x)=\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}\) এবং \(y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\((a)\) মূলনিয়মের সাহায্যে দেখাও যে, \(f^{\prime}(x)=-2\sin{2x}\).
\((b)\) \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-2\sin x\)
\((c)\) দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)

\(Q.4.(xi)\) নিচের ফাংশনগুলি লক্ষ করঃ
\((1) \ y=\log_a{x}\)
\((2) \ f(x)=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
\((3) \ g(x)=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\)
\((4) \ y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\((a)\) মূলনিয়মের সাহায্যে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\log_{a}e\).
\((b)\) \(f^{\prime}(x)\) ও \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\); \(\frac{1}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)

\(Q.4.(xii)\) নিচের ফাংশনগুলি লক্ষ করঃ
\((1) \ f(x)=x\cos^{-1}{x}\)
\((2) \ x^y=y^x\)
\((3) \ y=x^2+\sqrt{1-x^2}\)
\((a)\) \(y=3x^2+2x-1\) বক্ররেখার \((-1, 0)\) বিন্দুতে ঢাল কত?
উত্তরঃ \(8\)
\((b)\) \(f^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর এবং \((2) \) ব্যবহার করে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\).
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{x}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((c)\) \((3)\) নং এ উল্লেখিত বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)

\(Q.4.(xiii)\) নিচের ফাংশন তিনটি লক্ষ করঃ
\((1) \ f(x)=4e^x+9e^{-x}\)
\((2) \ y=\sqrt{4+3\sin{x}}\)
\((3) \ g(x)=\sin^2{(\ln{x^2})}\)
\((a)\) \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\sin 4\ln (x)\)
\((b)\) দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4 \).
\((c)\) \(f(x)\) এর লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(12\)

\(Q.4.(xiv)\) \(f(x)=e^x\) এবং \(g(x)=\cos{x}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) \(y=\{f(x)+f(-x)\}g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{4}+4y=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(4f(x)+9f(-x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(12\).

\(Q.4.(xv)\) \(\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) এবং \(\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) ফাংশন দুইটি \(\phi(x)=\sin{x}\) এবং \(\psi(x)=\cos{x}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\psi(x)}{x}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(\psi(2x)\) এর অন্তরীকরণ কর।
উত্তরঃ \(-2\sin 2x\)
\((c)\) \(y=1+2\phi(x)+3\{\psi(x)\}^2, \ \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\) ফাংশনটির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম মান \(=0\), বৃহত্তমমান \(=4\frac{1}{3}\).
\(Q.4.(xvi)\) \(f(x)=3x^3-6x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=b\cos{\ln{x}}+d\sin{\ln{x}}\).
\((a)\) \(y=x^2+\sqrt{1-x^2}\) বক্ররেখাটির উপর যে সকল বিন্দুতে স্পর্শক \(x\)অক্ষের উপর লম্ব, তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)+g(x)=0\).
\((c)\) \(f(x)\) এর চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম মান \(=1\), বৃহত্তমমান \(=\frac{13}{9}\).

\(Q.4.(xvii)\) \(f(x)=\cos{x}\) এবং \(g(x)=\sin{x}\).
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{g(x)-g(y)}{x-y}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos y\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\sin x\)
\((c)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(\{f(x)\}^{g(x)}\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\cos{x})^{\sin{x}}\left(\cos{x}\ln{\cos{x}}-\sin^2{x} \sec{x}\right)\)

\(Q.4.(xviii)\) \(g(x)=9e^{x}+16e^{-x}\) এবং \(y=\sqrt{2+5\sin{x}}\).
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \((1+x)^x\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}+\ln{(1+x)}\right)\).
\((b)\) প্রমান কর যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=2 \).
\((c)\) প্রমান কর যে, \(g(x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(24\).

\(Q.4.(xix)\) \(f(x)=\ln{x}\)
\((a)\) \(2x^{o}\cos{3x^{o}}\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\) মূল নিয়মে দেখাও যে, \(\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{1}{x}\).
\((c)\) \(y=a\cos{\{f(x)\}}+b\sin{\{f(x)\}}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\).

\(Q.4.(xx)\) বক্ররেখা – \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0 ….(1)\) এবং \(g(x)=\ln{(2x)}\).
\((a)\) \(\ln{(xy)}=x+y \) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{y(x-1)}{x(1-y)}\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(g(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}\)
\((c)\) \((1)\) নং বক্ররেখার \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(2x+3y+1=0\), অভিলম্বের সমীকরণ \(3x-2y-5=0\)

\(Q.4.(xxi)\) \(A=2x^{o}\cos{3x^{o}}, y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\) এবং \(f(x)=\ln{x}\).
\((a)\) \(\frac{d}{dx}A\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\) প্রমান কর যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0 \).
\((c)\) দেখাও যে, \(\frac{f(2x)}{x}\) এর বৃহত্তম মান \(\frac{2}{e}\).

\(Q.4.(xxii)\) \(f(u)=\ln{u}\) একটি লগারিদমিক ফাংশন এবং \(g(v)=p\sin^{-1}{v}\) একটি বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5a^2\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}\)
\((c)\) \(f(y)=g(x)\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-p^2y=0\).

\(Q.4.(xxiii)\) \(f(x)=x+\sqrt{a^2+x^2}\), \(\phi(x)=\ln{x}\) দুইটি ফাংশন।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{1-\cos{(a+b)x}}{mx^2}=\] কত?
উত্তরঃ \(\frac{(a+b)^2}{2m}\)
\((b)\) \(y=\ln{\{f(x)\}}\) হলে, প্রমাণ যে, \((a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(\frac{\phi(x)}{x}\) এর সর্বোচ্চ মান \(\frac{1}{e}\).

\(Q.4.(xxiv)\) \(f(x)=\ln{x}\) এবং \(g(x)=\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}\).
\((a)\) \(x^2-2xy+y^2=5\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
\((b)\) \(y=e^{g(x)}\) হলে, প্রমাণ যে, \((1+x^2)y_{2}+2(x-1)y_{1}=0\).
\((c)\) \(\frac{f(x)}{x}\) এর বৃহত্তম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{e}\)

\(Q.4.(xxv)\) \(f(x)=x^3-5x^2+3x+2\) একটি বক্ররেখা।
\((a)\) \(y=x^{x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})\)
\((b)\) প্রদত্ত বক্ররেখার \((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=11x-41\)
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ফাংশনের গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \(=-7\) ; গুরুমান \(\frac{67}{27}\)

\(Q.4.(xxvi)\) \(f(x)=3x^3-6x^2-5x+2\) এবং \(g(x, y)=x^2+y^2-4x-6y+11\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{2x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\)
\((b)\) \(x\) এর কোন মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ?
উত্তরঃ \(x=-\frac{1}{3}\)
\((c)\) \((1, 2)\) বিন্দুতে \(g(x, y)\) এর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-3=0\)

\(Q.4.(xxvii)\)
\((1) \ f(x)=\cot{x}\)
\((2) \ y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\) এবং
\((3) \ g(x)=x^3-3x^2+6x+3\)
\((a)\) মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-cosec^2{x}\)
\((b)\) দেখাও যে, \(x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(g(x)\) এর সর্বোচ্চ অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।

\(Q.4.(xxviii)\) \(y=\sqrt{4+3\sin{x}}\) একটি ফাংশন এবং \(y=x^3-3x^2-2x+1\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(2x^{o}\cos^3{x^{o}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{360}\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{180}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{60}}\right)\)
\((b)\) প্রথম ফাংশন থেকে প্রমাণ কর যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\).
\((c)\) বক্ররেখার যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলি অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে, তাদের ভুজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ভুজদ্বয় \(1\pm \sqrt{2}; 1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(Q.4.(xxix)\) \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\) \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((b)\) \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y+1=0\)
\((c)\) \((0, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y-1=0\)

\(Q.4.(xxx)\) \(x=\cos{\sqrt{y}}\) এবং \(x^2+2ax+y^2=0\)
\((a)\) \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\)
\((b)\) ১ম উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \((1-x^x)y_{2}-xy_{1}-2=0\).
\((c)\) দ্বিতীয় উদ্দীপকের যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলো \(x\) অক্ষের উপর লম্ব তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)

\(Q.4.(xxxi)\) \(f(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{6}\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(f(2x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\cos 2x\)
\((c)\) \(y=f(m\sin^{-1}{x})\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\).
1 2 3 4 5 6 7