গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান (Maximum and Minimum value)

ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নাবলী।

\(Q.5.(i)\) একটি নলাকার আবদ্ধ টিনের তৈরি পাত্রের তরল পদার্থ ধারন ক্ষমতা \(1 litre (1000 cm^3)\) পাত্রটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ কত হলে ইহা তৈরি করতে ন্যূনতম টিনের প্রয়োজন হবে।
উত্তরঃ \(r=5.42\) সে.মি., \(h=10.84\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]

\(Q.5.(ii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-e^{2x}}{\ln{(1-x)}}\] এর মান বের কর।
উত্তরঃ \(2\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]

\(Q.5.(iii)\) শুন্য ব্যতীত \(k\) এর এমন একটি মান নির্ণয় কর যা উল্লেখিত ফাংশনকে \(x=0\) বিন্দুতে অবিছিন্ন করবে। তোমার উত্তরের যৌক্তিকতা ব্যখ্যা কর।
\(f(x)=\begin{cases}\frac{\tan{kx}}{x}, & 0>x\\3x+2k^2, & x \ge 0\end{cases}\)
উত্তরঃ \(k=\frac{1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]

\(Q.5.(iv)\) \((\cos{x})^{y}=(\sin{y})^{x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.5.(v)\) যদি \(y=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.5.(vi)\) যদি \(y=a\cos{\ln{x}}+b\sin{\ln{x}}\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)
[ চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.5.(vii)\) \(f(x)=2x^3+3\) এবং \(g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\) হলে দেখাও যে, \(fog(x)=gof(x)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(viii)\) যদি \(f(x)=\sin{x}\) হয় তবে \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{h}\] নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n\cos x\)
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]

\(Q.5.(ix)\) সীমাস্থ মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2(b-\sqrt{b^2+x^2})}{x^2}\].
উত্তরঃ \(-\frac{1}{b}\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]

\(Q.5.(x)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+3}\].
উত্তরঃ \(e\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]

\(Q.5.(xi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\ln{(1+x)}}{1+x-e^x}\].
উত্তরঃ \(-1\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]

\(Q.5.(xii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}{x}}{x}\].
উত্তরঃ \(1\)
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]

\(Q.5.(xiii)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\].
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০, কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]

\(Q.5.(xiv)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\].
উত্তরঃ \(4\)
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০, কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]

\(Q.5.(xv)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}=0\].
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]

\(Q.5.(xvi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{7x}-\cos{9x}}{\cos{4x}-\cos{5x}}\].
উত্তরঃ \(\frac{32}{9}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]

\(Q.5.(xvii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a^{x}-a^{-x}}{x}\].
উত্তরঃ \(2\ln a\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]

\(Q.5.(xviii)\) যদি \(x^2=5y^2+\sin{y}\) হয়, তাহলে \(\frac{dy}{dx}\) কত হবে?
উত্তরঃ \(\frac{2x}{10y+\cos{y}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]

\(Q.5.(xix)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\].
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.5.(xx)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\].
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.5.(xxi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\].
উত্তরঃ \(0\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(xxii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\sec{x}(\sec{x}-\tan{x})\}\].
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(xxiii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\{\ln{(2x-1)}-\ln{(x+5)}\}\].
উত্তরঃ \(\ln 2\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.5.(xxiv)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin{x}-\sin{y}}{x-y}\].
উত্তরঃ \(\cos y\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.5.(xxv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\sin^4\left(\cot^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{x-1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]

\(Q.5.(xxvi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\left(\sqrt{x}\right)^{\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \((\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.5.(xxvii)\) \(\log_{e}(xy)=x^2+y^2\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(2x^2-1)y}{(1-2y^2)x}\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]

\(Q.5.(xxviii)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\) হলে, দেখাও যে \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
[ বুটেক্সঃ ২০১০-২০১১ ]

\(Q.5.(xxix)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(e^{x^2}+x^{x^2}\)
উত্তরঃ \(2xe^{x^2}+x^{x^2+1}(1+\ln{x^2})\)
[ বুটেক্সঃ ২০০০-২০০১ ]

\(Q.5.(xxx)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(y=\cot^{-1}(\sqrt{1+x^2}-x)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩, ২০০৮-২০০৯ ]

\(Q.5.(xxxi)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(x^ay^b=(x-y)^{a+b}\)
উত্তরঃ \(\frac{y}{x}\)
[ রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]

\(Q.5.(xxxii)\) \(f(x)=\sin{x}\) হলে, মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{nh}\].
উত্তরঃ \(n\cos x\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]

\(Q.5.(xxxiii)\) \(e^x+e^y=e^{x+y}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-e^{y-x}\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]

\(Q.5.(xxxiv)\) \(y^3=x^2(2a-x)\) বক্ররেখার যেসব বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল, সেগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0) ; (2a, 0)\)
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]

\(Q.5.(xxxv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\tan^{-1}\frac{a+bx}{b-ax}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭, কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]

\(Q.5.(xxxvi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\cot^{-1}\left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1}\left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(0\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.5.(xxxvii)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\ln{(\sin^{-1}{x})}\cos^{-1}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos^{-1}{x}}{\sin^{-1}{x}\sqrt{1-x^2}}-\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.5.(xxxviii)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(x^y=y^x\)
উত্তরঃ \(\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
\(Q.5.(xxxix)\) যদি \(y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(2xy_{1}+y=2\sqrt{x}\).
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.5.(xL)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(y=\frac{(x-1)^2}{\sqrt[3]{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\left(5\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{4}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}\right)\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(xLi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(a^{\sin^{-1}{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(xLii)\) দেখাও যে একটি গোলাকার সাবানের বুদবুদের আয়তনের বৃদ্ধির হার তার ব্যাসার্ধের বৃদ্ধির হারের \(4\pi{r^2}\) গুণ।
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(xLiii)\) \(y=3\) সরলরেখার সমান্তরাল যে রেখা \(y=(x-3)^2(x-2)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক সেই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((3, 0); \left(\frac{7}{3}, \frac{4}{27}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]

\(Q.5.(xLiv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\frac{x\ln{x}}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.5.(xLv)\) \(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\) এবং \(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]

\(Q.5.(xLvi)\) যদি \(y=e^{ax}\cos{bx}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(y_{2}-2ay_{1}+(a^2+b^2)y=0\).
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]

\(Q.5.(xLvii)\) \(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(5e^x\ln{x}\)
উত্তরঃ \(5e^x\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]

\(Q.5.(xLviii)\) \(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\tan^{-1}\left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{1+x^2}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]

\(Q.5.(xLix)\) যদি \(y=\sin \left(2\tan^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) \) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}=?\).
উত্তরঃ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]

\(Q.5.(L)\) \(x^2+2ax+y^2=0\) বক্ররেখার উপর স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুগুলো নির্ণয় কর, যেখানে স্পর্শকসমুহ \(x\) অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]

\(Q.5.(Li)\) \(y=\frac{1}{3}x^3+2\) বক্ররেখার উপরস্থ এমন কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যেসব বিন্দুগামী স্পর্শকগুলো \(x\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \(\left(1, \frac{7}{3}\right); \left(1, \frac{5}{3}\right)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]

\(Q.5.(Lii)\) \(y=\sec{x}\) হলে, দেখাও যে \(y_{2}=y(2y^2-1)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]

\(Q.5.(Liii)\) \(x^y+y^x=0\) সমীকরণ হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{y^x\ln{y}+yx^{y-1}}{x^y\ln{x}+xy^{x-1}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]

\(Q.5.(Liv)\) দেখাও যে, \(x\) এর সাপেক্ষে \(\ln{\sqrt[3]{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\) এর অন্তরকসহগ \(\frac{2}{3} \ cosec \ x\).
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]

\(Q.5.(Lv)\) \(y=x^3-3x+2\) বক্ররেখার যেসব বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল, সেগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 0); (-1, 4)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]

\(Q.5.(Lvi)\) \(y=kx(1+x)\) বক্ররেখাটির \((3, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(k=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]

\(Q.5.(Lvii)\) যদি \(y=e^{\tan^{-1}{x}}\) হয়, তবে \(\frac{\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)}\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2}{1-2x}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]

\(Q.5.(Lviii)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\) এর মান বৃহত্তম হবে যদি \(x=e\) হয়।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩]

\(Q.5.(Lix)\) যদি কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু প্রতি সেকেন্ডে \(\sqrt{3}\) সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে \(12\) বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায় তবে সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=8\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২]

\(Q.5.(Lx)\) যদি \(\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=\ln{\left(\frac{x}{n}\right)^n}\) হয়, প্রমাণ কর যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+n^2y=0\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১]

\(Q.5.(Lxi)\) \(y=x^{n-1}\ln{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+(3-2n)xy_{1}+(n-1)^2y=0\).
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]

\(Q.5.(Lxii)\) \(x^{y^n}=y^{x^n}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y^{n+1}(n\ln{x}-1)}{x^{n+1}(n\ln{y}-1)}\).
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]

\(Q.5.(Lxiii)\) \(1\) লিটার ( \(1000\) ঘন সে.মি. ) তরল ধারন ক্ষমতা সম্পন্ন দুই প্রান্তে আবদ্ধ একটি খাড়া বৃত্তাকার সিলিন্ডার প্রয়োজন। সিলিন্ডারটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ কিরূপ হলে সর্বাপেক্ষা কম ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট টিন দিয়ে তা তৈরি করা সম্ভব।
উত্তরঃ \(r=5.42\) সে.মি., \(h=10.84\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭]

\(Q.5.(Lxiv)\) যদি \(y=\cos{2\sin^{-1}{x}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+4y=0\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬, বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]

\(Q.5.(Lxv)\) \(y=(x+1)(x-1)(x-3)\) বক্ররেখাটি যেসব বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুগুলিতে অঙ্কিত স্পর্শকসমুহের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8; -4; 8\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(Lxvi)\) \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর। যেখানে \((\cos{x})^y=(\sin{y})^x\)
উত্তরঃ \(\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(Lxvii)\) যদি \(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=0\) এবং \(y\ne{x}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
[ বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩ ]

\(Q.5.(Lxviii)\) যদি \(x^yy^x=a^2\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান বাহির কর।
উত্তরঃ \(-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩ ]

\(Q.5.(Lxix)\) \(e^{3x}\sin^2{x}\) এর \(n\) তম অন্তরীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^{3x}\left\{3^n-(\sqrt{13})^n\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\right\}\)
[ বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ]

\(Q.5.(Lxx)\) ফাংশনটির গুরুমান বা লঘুমানের পরীক্ষা কর এবং সে মান নির্ণয় করঃ \(\frac{x}{\ln{x}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ]

\(Q.5.(Lxxi)\) \(x(12-2x)^2\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =128\) .
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]

\(Q.5.(Lxxii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\].
উত্তরঃ \(4\)
[ রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]

\(Q.5.(Lxxiii)\) দেখাও যে, \(y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\) সমীকরণ \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\) কে সিদ্ধ করে।
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮, ২০০৮-২০০৯,২০০০-২০০১ ]

\(Q.5.(Lxxiv)\) \(x\) ও \(y\) এমন দুইটি সংখ্যা যাদের যোগফল \(100\) । \(x^2+y^2\) এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \(5000\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.5.(Lxxv)\) যদি \(y=\frac{1}{2}(\sin^{-1}{x})^2\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \( (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=1\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
1 2 3 4 5 6 7