অনির্দিষ্ট যোগজীকরণ ( Indefinite integration )

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • যোগজীকরণের ধারণা
  • অনির্দিষ্ট যোগজ
  • যোগজীকরণ ধ্রুবক
  • প্রতিঅন্তরজ কি এবং তার ব্যাখ্যা
  • অনির্দিষ্ট যোগজরূপে প্রতিঅন্তরজ
  • অন্তরজের সূত্রাবলী
  • যোগজীকরণের সূত্রাবলী
  • \(0\) এর যোগজ নির্ণয়
যোগজীকরণ।
Integration.
straight3

গটফ্রেড উইলহেম লিবনিজ
Gottfried Wilhelm Leibniz
( ১৬৪৬-১৭১৬ )
ক্যালকুলাসে ঐতিহাসিকভাবে যোগজীকরণের মৌলিক ধারণা অন্তরীকরণ সৃষ্টির অনেক পূর্বে প্রকাশিত হয়। গ্রিক বিজ্ঞানী আর্কিমিডিস straight3 আর্কিমিডিস (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) একজন গ্রিক গণিতবিদ, পদার্থবিজ্ঞানী, প্রকৌশলী, জ্যোতির্বিদ ও দার্শনিক। তাঁকে গণিতের জনক বলা হয়। এর সময় হতে যোগজীকরণের মৌলিক ধারণার সূত্রপাত হয়। অন্তরীকরণের বিপরীত প্রক্রিয়া এবং সমষ্টিকরণ ধারণার সম্প্রসারণই যোগজীকরণ। এটি ক্যালকুলাসের অন্যতম প্রধান অংশ।
সর্বপ্রথম যোগজীকরণের কলাকৌশল সম্পর্কিত আলোচনা করেন প্রাচীন গ্রিক জ্যোতির্বিদ ইউডেক্সেস। অপর দিকে প্রাচীন গ্রিক বিজ্ঞানী এক্সেডাস জানা বস্তুর ক্ষেত্রফল ও আয়তনকে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অসংখ্য খন্ডে বিভক্ত করে যোগজীকরণের মাধ্যমে ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করেন। পরবর্তিতে আর্কিমিডিস straight3 আর্কিমিডিস (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) একজন গ্রিক গণিতবিদ, পদার্থবিজ্ঞানী, প্রকৌশলী, জ্যোতির্বিদ ও দার্শনিক। তাঁকে গণিতের জনক বলা হয়। তা সংস্কার করে উপবৃত্ত ও বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করেন। সপ্তদশ শতাব্দীতে স্যার আইজ্যাক নিউটন straight3 ১৬৮৭ সালে স্যার আইজ্যাক নিউটনের বিশ্ব নন্দিত গ্রন্থ প্রকাশিত হয়, যেখানে তিনি সর্বজনীন মহাকর্ষ সূত্র সহ গতির তিনটি সূত্র প্রদান করেন। তিনি বলবিজ্ঞানের ভিত্তি স্থাপন করেন। আলোকবিজ্ঞান, শব্দবিজ্ঞান, তাপবিজ্ঞানসহ পদার্থবিজ্ঞানের সকল মৌলিক শাখায় তাঁর অবদান অনস্বীকার্য। বৈজ্ঞানিক পর্যবেক্ষন ও পরীক্ষণের তিনি উদ্ভাবিত তত্ত্বকে যাচাই ও পরীক্ষা নিরীক্ষার জন্য পরীক্ষণের ব্যবস্থা করতেন। ১৬৬৯ সালে নিউটন ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের লুকাসিয়ান প্রফেসর হিসাবে যোগদান করেন। গটফ্রেড উইলহেম লিবনিজ straight3 নিউটনের জন্মের চার বছর পরে ১৬৪৬ খ্রিস্টাব্দে ১লা জুলাই জার্মানির Leipzig শহরে এক সম্ভ্রান্ত পরিবারে গটফ্রেড উইলহেম লিবনিজ জন্ম গ্রহণ করেন। তিনি একজন জার্মান দার্শনিক ও গণিতবিদ যাকে ক্যালকুলাসের আবিস্কার কর্তা হিসেবে সম্মান দেওয়া হয়। তার ব্যবহৃত ক্যালকুলাসের অংকপাতন পদ্ধতি বা নোটেশনগুলি বর্তমানে অনুসরণ করা হয়। আধুনিক কম্পিউটারের মূল ভিত্তি বাইনারি পদ্ধতি তাঁর উদ্ভাবন। পদার্থবিজ্ঞান, জীববিজ্ঞান, সম্ভাবনা তত্ত্ব, তথ্য বিজ্ঞানে তাঁর ব্যাপক অবদান রয়েছে। সতন্ত্রভাবে যোগজীকরণের মূলনিতী লিপিবদ্ধ করেন। গটফ্রেড উইলহেম লিবনিজই সর্বপ্রথম Summation শব্দের প্রথম অক্ষর ‘S’ কে সম্প্রসারণ করে \(\int\) চিহ্নটিকে যোগজীকরণের প্রতীকরূপে ব্যবহার করেন। অসীম ধারার সমষ্টি নির্ণয় প্রকৃতপক্ষে যোগজীকরণের মূল উদ্দেশ্য। বক্ররেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় প্রক্রিয়ায় উক্ত অসীম ধারার উদ্ভব হয়। ফাংশনের গড় মান, দুইটি বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, আবর্তনজনিত ঘনবস্তুর আয়তন, বস্তুর সরণ প্রক্রিয়ায় কৃতকাজের পরীক্ষা ইত্যাদি নির্ণয়ে যোগজীকরণ ব্যবহৃত হয়। গণিত ও পদার্থবিদ্যায় যোগজীকরণের ভূমিকা অনস্বীকার্য।

অনির্দিষ্ট যোগজ ( Indefinite integral )

কোনো একটি ফাংশনের অন্তরীকরণ করে যে অন্তরজ পাওয়া যায় তাকে পুনরায় যোগজীকরণ করলে ফাংশনের প্রতিঅন্তরজ অর্থাৎ মূল ফাংশন পাওয়া যায়। অন্তরীকরণ ও যোগজীকরণ একটি অপরটির বিপরীত প্রক্রিয়া। কোনো ফাংশন \(f(x)\) এর যোগজ নির্ণয়ের পদ্ধতিকে যোগজীকরণ বলা হয়। এটিকে সাধারণত \(\int\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং ফাংশন \(f(x)\) এর পরে \(dx\) ব্যবহৃত হয়। \(dx\) দ্বারা যোগজীকরণের চলক \(x\) বুঝানো হয়।
যেমনঃ \(\int{f(x)}dx\) এর \(f(x)\) কে যোজ্যরাশি বলে এবং \(dx\) দ্বারা যোগজীকরণের চলক \(x\) বুঝানো হয়।

যোগজীকরণ ধ্রুবক ( Integrating Constant )

যদি \(c\) একটি ধ্রুবক হয়, তবে \(\frac{d}{dx}\{F(x)+c\}dx=\frac{d}{dx}\{F(x)\}dx=f(x)\)
সুতরাং, \(\int{f(x)}dx=F(x)\) হলে \(\int{f(x)}dx=F(x)+c\) লেখা যায়।
প্রথম ক্ষেত্রে \(F(x)\) কেবল একটি বিশেষ মান যাতে \(c=0\) অর্থাৎ যোজীত ফল \(F(x)+c\) আকারের হয়, যেখানে \(c\) একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক। এটিকে সাধারণ যোজীত ফল বলা হয় এবং \(c\) কে যোজীতকরণ ধ্রুবক বা সমাকলন ধ্রুবক বলা হয়।

মন্তব্যঃ

যোগজীকরণ ধ্রুবক \(c\) অপরিহার্য কারণ কোনো ফাংশনকে অন্তরীকরণ করলে যে ফল পাওয়া যায়, প্রাপ্তফলকে যোগজীকরণ করলে ফাংশনটি পাওয়ার কথা কিন্তু তা সর্বদা পাওয়া যায় না বলে যোগজীকরণ ধ্রুবক যোগ করতে হয়।

অনির্দিষ্ট যোগজরূপে প্রতিঅন্তরজ

যদি \(F(x)\) ফাংশনের অন্তরজ \(f(x)\) হয় অর্থাৎ \(\frac{d}{dx}\{F(x)\}dx=f(x)\) হয়, তবে \(F(x)\) ফাংশনকে \(f(x)\) এর প্রতিঅন্তরজ বা অনির্দিষ্ট যোগজ বলা হয়। এটিকে \(\int{f(x)}dx\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়, অর্থাৎ \(\int{f(x)}dx=F(x)+c\) যেখানে, \(c\) কে যোগজীকরণ ধ্রুবক বলা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(\sin{x}+c)=\cos{x}\) হলে, \(\int{\cos{x}}dx=\sin{x}+c\) এখানে, \(c\) একটি যোগজীকরণ ধ্রুবক।

কতিপয় স্মরণীয় প্রমিত ফাংশনের যোগজ ( Some memorable Integrals of standard functions )
ক্রমিক নং অন্তরজের সূত্রাবলী যোগজীকরণের সূত্রাবলী
1 \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\int{x^n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c, \ (n\ne{-1}) \)
2 \(\frac{d}{dx}(x)=1\) \(\int{dx}=x+c\)
3 \(\frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) \(\int{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}=2\sqrt{x}+c\)
4 \(\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2}\) \(\int{\frac{dx}{x^2}}=\int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}+c\)
5 \(\frac{d}{dx}(c)=0\) \(\int{0dx}=c\)
6 \(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\) \(\int{e^xdx}=e^x+c\)
7 \(\frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln{a}\) \(\int{a^xdx}=\frac{a^x}{\ln{a}}+c, \ a>0, a\ne{1}\)
8 \(\frac{d}{dx}(\ln{|x|})=\frac{1}{x}\) \(\int{\frac{dx}{x}}=\int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}+c, x\ne{0}\)
9 \(\frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\) \(\int{\cos{x}dx}=\sin{x}+c\)
10 \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\) \(\int{\sin{x}dx}=-\cos{x}+c\)
11 \(\frac{d}{dx}(\tan{x})=\sec^2{x}\) \(\int{\sec^2{x}dx}=\tan{x}+c\)
12 \(\frac{d}{dx}(\cot{x})=-cosec^2{x}\) \(\int{cosec^2{x}dx}=-\cot{x}+c\)
13 \(\frac{d}{dx}(\sec{x})=\sec{x}\tan{x}\) \(\int{\sec{x}\tan{x}dx}=\sec{x}+c\)
14 \(\frac{d}{dx}(cosec{x})=-cosec{x}\cot{x}\) \(\int{cosec{x}\cot{x}dx}=-cosec{x}+c\)
15 \(\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}=\sin^{-1}{x}+c\)
16 \(\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\int{\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx}=\cos^{-1}{x}+c\)
17 \(\frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})=\frac{1}{1+x^2}\) \(\int{\frac{1}{1+x^2}dx}=\tan^{-1}{x}+c\)
18 \(\frac{d}{dx}(\cot^{-1}{x})=-\frac{1}{1+x^2}\) \(\int{\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)dx}=\cot^{-1}{x}+c\)
19 \(\frac{d}{dx}(\sec^{-1}{x})=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\) \(\int{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx}=\sec^{-1}{x}+c\)
20 \(\frac{d}{dx}(cosec^{-1}{x})=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\) \(\int{\left(-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\right)dx}=cosec^{-1}{x}+c\)
21 \(\frac{d}{dx}(e^{ax})=ae^{ax}\) \(\int{e^{ax}dx}=\frac{1}{a}e^{ax}+c\)
22 \(\frac{d}{dx}(\cos{ax})=-a\sin{ax}\) \(\int{\sin{ax}dx}=-\frac{1}{a}\cos{ax}+c\)
23 \(\frac{d}{dx}(\sin{ax})=a\cos{ax}\) \(\int{\cos{ax}dx}=\frac{1}{a}\sin{ax}+c\)
24 \(\frac{d}{dx}(\tan{ax})=a\sec^2{ax}\) \(\int{\sec^2{ax}dx}=\frac{1}{a}\tan{ax}+c\)
25 \(\frac{d}{dx}(a^{mx})=m\ln{a}a^{mx}\) \(\int{a^{mx}dx}=\frac{1}{m}.\frac{a^{mx}}{\ln{a}}+c\)
26 \(\frac{d}{dx}(x+a)^{n+1}=(n+1)(x+a)^{n}\) \(\int{(x+a)^ndx}=\frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}+c\)
বিশেষভাবে লক্ষণীয়

\(\sin^2{x}, \cos^2{x}, \tan^2{x},\) এবং \(\cot^2{x}\) এর সরাসরি যোগজীকরণের কোনো সূত্র নেই তাই,
\((1) \sin^2{x}=\frac{1}{2}(1-\cos{2x}) \)
\((2) \cos^2{x}=\frac{1}{2}(1+\cos{2x}) \)
\((3) \tan^2{x}=\sec^2{x}-1 \)
\((4) \cot^2{x}=cosec^2{x}-1 \)
সূত্র ব্যবহার করে যোগজীকরণ করতে হবে।

\(0\) এর যোগজ নির্ণয়

\(\int{0dx}=0\int{1 \ dx}\)
\(=0.\int{x^{0}dx}\)
\(=0.\frac{x^{0+1}}{0+1}+c\) ➜ \(\because \int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=0.\frac{x^{1}}{1}+c\)
\(=0.x+c\)
\(=0+c\)
\(=c\)
\(\therefore 0\) এর যোগজ \(c\) ( ধ্রুবক )।

1 2 3 4 5

Leave a Reply