অংশায়ন পদ্ধতিতে যোগজীকরণ (Integration by parts)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • অংশায়ন পদ্ধতিতে যোগজীকরণ
  • দুইটি ফাংশনের গুণ ফলের যোগজ নির্ণয়
  • অংশায়ন সূত্রের প্রমাণ
  • \(LIATE\) শব্দের অক্ষরগুলির ক্রমানুযায়ী সাজিয়ে \(u\) এবং \(v\) নির্ণয়
  • \(u\) এবং \(v\) নির্ণয়ের বিশেষ কৌশল
  • কতিপয় স্মরণীয় সূত্র
অংশায়ন পদ্ধতিতে যোগজীকরণঃ
যখন প্রতিস্থাপন সহ আর সকল কৌশল যোগজফল নির্ণয়ে ব্যার্থ ঠিক সেই ক্ষেত্রে এটি একটি বিশেষ পদ্ধতি। ইহার সাহায্যে দুইটি ফাংশন-এর গুনফলের যোগজীকরণ করা হয়।
অংশায়ন সূত্রঃ
যোজ্যরাশিকে দুইটি ফাংশনে বিভক্ত করে যোগজ নির্ণয় করা হয় বলে এ পদ্ধতিকে যোগজীকরণের অংশায়ন সূত্র বলে।
\(1.\) যদি \(u\) এবং \(v\) উভয়েই \(x\) এর ফাংশন হয় তবে, \(\int{(uv)dx}=u\int{vdx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(u)\int{vdx}\right\}dx}\)
দুইটি ফাংশন-এর গুণনের অন্তরীকরণ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে যে কোনো একটিকে \(u\) এবং অপরটিকে \(v\) ধরে অন্তরজ নির্ণয় করা যায়। কিন্তু যোগজীকরণের ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট একটি ফাংশনকে \(u\) এবং অপরটিকে \(v\) বিবেচনা করতে হয়। এ ক্ষেত্রে যোজ্যরাশির ফাংশণ দুইটিকে \(LIATE\) শব্দের অক্ষরগুলির ক্রমানুযায়ী সাজিয়ে প্রথমটিকে \(u\) এবং দ্বিতীয়টিকে \(v\) বিবেচনা করা সহজ হয়।

\(LIATE\) শব্দের অক্ষরগুলির বিশ্লেষণ নিম্নরূপঃ
\(L\rightarrow Logarithm \ function \ \ ( \ \ln{|x|},\ \log{|x|} … )\)
\(I\rightarrow Inverse \ trigonometric \ function \ \ ( \ \sin^{-1}{x}, \ \cos^{-1}{x} \ … )\)
\(A\rightarrow Algebric \ function \ \ ( \ x^3, \ x^2+3x \ … )\)
\(T\rightarrow trigonometric \ function \ \ ( \ \sin{x}, \ \cos{x} \ … )\)
\(E\rightarrow Exponential \ function \ \ ( \ e^{x}, \ a^{x} \ … )\)

\(2.\) \(\int{\ln{|x|}dx}\), \(\int{\sin^{-1}{x}dx}\) … ইত্যাদি আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(1\) কে দ্বিতীয় ফাংশন অর্থাৎ \(v\) ধরে যোগজীকরণ করতে হয়।

যেমনঃ
\(2.(i)\) \(\int{\ln{|x|}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
যেমনঃ
\(2.(ii)\) \(\int{\tan^{-1}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(3.\) \(\int{(uv)dx}\) সূত্র প্রয়োগ করে যোগজীকরণ করতে গিয়ে যদি প্রদত্ত যোজ্যরাশির পুনরাবৃত্তি ঘটে, সে ক্ষেত্রে যোগজটিকে \(I\) ধরে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(3.\) \(\int{e^x\sin{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
কতিপয় স্মরণীয় সূত্র
\(4.\) \(\int{e^{ax}\sin{bx}dx}=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin{bx}-b\cos{bx})+c\)
\(5.\) \(\int{e^{ax}\cos{bx}dx}=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos{bx}+b\sin{bx})+c\)
\(6.\) \(\int{\sqrt{x^2-a^2}dx}=\frac{x\sqrt{x^2-a^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\ln{|x+\sqrt{x^2-a^2}|}+c\)
\(7.\) \(\int{\sqrt{x^2+a^2}dx}=\frac{x\sqrt{x^2+a^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\ln{|x+\sqrt{x^2+a^2}|}+c\)
\(8.\) \(\int{e^x\{f(x)+f^{\prime}(x)\}dx}=e^xf(x)+c\)
\(9.\) \(\int{e^{ax}\{af(x)+f^{\prime}(x)\}dx}=e^{ax}f(x)+c\)
1 2 3 4 5