নির্দিষ্ট যোগজীকরণ (Definite Integration)

অনুশীলনী \(10.G / Q.2\)-এর প্রশ্নসমুহ

নিচের যোগজগুলির মান নির্ণয় করঃ
\(\int{f\{g(x)\}g^\prime(x)dx}\) আকার।
\(Q.2.(i)\) \(\int_{1}^{3}{\frac{1}{x}\cos{(\ln{|x|})}dx}\)
উত্তরঃ \(\sin{(\ln{3})}\)
[ ঢাঃ২০১২,২০০৮; দিঃ২০১১; বুয়েটঃ২০০৯; চঃ২০১৩; কুঃ২০১৪,২০০৮; বঃ২০১২ ]

\(Q.2.(ii)\) \(\int_{1}^{2}{\frac{1}{z}\cos{(\ln{|z|})}dz}\)
উত্তরঃ \(\sin{(\ln{2})}\)
[ দিঃ২০১৭ ]

\(\int{\{f(x)\}^nf^\prime(x)dx}\) আকার।
\(Q.2.(iii)\) \(\int_{0}^{1}{x^3\sqrt{1+3x^4}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{7}{18}\)
[ রাঃ২০৯,২০০৭,২০০৫; কুঃ২০১০,২০০৭; চঃ২০০৮,২০০৫; সিঃ২০০৮,২০১২; যঃ২০১২; বঃ২০০৯,২০০৪; মাঃ ২০১১ ]

\(Q.2.(iv)\) \(\int_{0}^{\pi}{3\sqrt{1-\cos{x}}\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(4\sqrt{2}\)
[ কুঃ২০৪]

\(Q.2.(v)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{\theta}}{(1+\sin{\theta})^3}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{8}\)

\(Q.2.(vi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\tan^2{x}\sec^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\)
[ ঢাঃ২০১৩,২০০৫,২০০৩; চঃ২০১১,২০০৪; রাঃ২০০৫; কুঃ২০০৬,২০০৪ ]

\(Q.2.(vii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\tan^3{x}\sec^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\)
[ সিঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(viii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{4\tan^3{x}\sec^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(1\)
[ ঢাঃ২০১১; কুঃ২০০৯; দিঃ২০০৯; যঃ২০০৬; সিঃ২০১৩,২০০৯; বঃ২০১১ ]

\(Q.2.(ix)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(\tan^3{x}+\tan{x})dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ কুঃ২০০৮; যঃ২০০৫ ]

\(Q.2.(x)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(1+\cos{x})^2\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{7}{3}\)
[ চঃ২০১১; সিঃ২০০৫; বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]

\(Q.2.(xi)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{\sin^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^2}{8}\)
[ দিঃ২০০৯; সিঃ২০০৭; যঃ ২০০৪; বঃ২০০৮; মাঃ২০১২ ]

\(Q.2.(xii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{(\cos^{-1}{x})^3}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^4}{64}\)
[ রাঃ,যঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(xiii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{(\sin^{-1}{x})^2}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^3}{24}\)
[ রাঃ২০১১; কুঃ২০০৬,২০০৩; ঢাঃ২০০৪ ]

\(Q.2.(xiv)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{(\tan^{-1}{x})^2}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^3}{192}\)
[ ঢাঃ২০১১,২০০৫; কুঃ২০১১,২০০৮; রাঃ২০০৭; সিঃ২০১০,২০০৬; চঃ,যঃ২০১৩,২০১০; বঃ২০১২,২০০৬,২০০৩ ]

\(Q.2.(xv)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{\tan^{-1}{x}}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^2}{32}\)
[ মাঃ২০১২; দিঃ২০৯; বঃ২০০৮; সিঃ২০০৭; যঃ২০০৪ ]

\(Q.2.(xvi)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{2x(\tan^{-1}{x^2})^3}{1+x^4}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^4}{1024}\)

\(Q.2.(xvii)\) \(\int_{1}^{e^{2}}{\frac{\ln{|x|}}{x}dx}+\int_{1}^{2}{e^xdx}\)
উত্তরঃ \(2+e^2-e\)
[ দিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(xviii)\) \(\int_{1}^{e^{2}}{\frac{dx}{x(1+\ln{|x|})^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\)
[ ঢাঃ২০১৪,২০০৮,২০০৬; রাঃ২০১৩,২০০৯; কুঃ২০০৯; যঃ২০১২,২০১০,২০০৬; চঃ২০১৩,২০০৭,২০০৫; দিঃ২০১৪; সিঃ২০১০,২০০৪; মাঃ২০১৪,২০১০ ]

\(\int{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}dx}\) আকার।
\(Q.2.(xix)\) \(\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos^5{x}}{\sin^7{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{162}\)
[ ঢাঃ২০১২; রাঃ২০০৭; যঃ২০০৫; চঃ২০০৮; দিঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xx)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sin^3{\theta}\cos{\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}\)
[ ঢাঃ২০১১; কুঃ,দিঃ২০০৯; যঃ২০০৬; সিঃ২০১৩,২০০৯; বঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xxi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^6{x}\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{7}\)
[ সিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(xxii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^5{x}\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\)
[ দিঃ২০১০; যঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xxiii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2{\theta}\sin{\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\)
[ দিঃ২০১০; যঃ২০১১; ঢাঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(xxiv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^5{\theta}\cos^4{\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{8}{315}\)

\(\int{e^{f(x)}f^{\prime}{x}dx}\) আকার।
\(Q.2.(xxv)\) \(\int_{0}^{1}{xe^{x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(e-1)\)
[ ঢাঃ২০১৩,২০০৯,২০০৫; কুঃ২০১৩,২০১২; যঃ২০১৩,২০০৮,২০০৬; চঃ২০১২,২০০৬,২০০৪,২০০৩; সিঃ২০১০,২০০৭,২০০৩; বঃ২০০৫; দিঃ২০১২ ]

\(Q.2.(xxvi)\) \(\int_{1}^{2}{x^2e^{x^3}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}e(e^7-1)\)
[ ঢাঃ২০০৯ বঃ২০১০; রাঃ২০০৬,২০০৪ ]

\(Q.2.(xxvii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(2(e-1)\)

\(\int{\frac{f^{\prime}{x}}{\sqrt{f(x)}}dx}\) আকার।
\(Q.2.(xxviii)\) \(\int_{4}^{8}{\frac{xdx}{\sqrt{x^2-15}}}\)
উত্তরঃ \(6\)
\(Q.2.(xxix)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(1\)
[ ঢাঃ২০০৭; রাঃ২০১২; যঃ২০০৭ ]

\(Q.2.(xxx)\) \(\int_{0}^{2}{\frac{xdx}{\sqrt{9-2x^2}}}\)
উত্তরঃ \(1\)
[ ঢাঃ২০১৫; রাঃ২০১২; সিঃ,চঃ২০১৪; দিঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(xxxi)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{xdx}{\sqrt{4-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(2-\sqrt{3}\)
[ ঢাঃ, রাঃ২০১০; কুঃ২০১০,২০০৫; দিঃ২০১৩ ]

\(\int{\frac{f^{\prime}{x}}{f(x)}dx}\) আকার।
\(Q.2.(xxxii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{1+e^x}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{(\frac{3}{2})}\)
[ ঢাঃ২০১০,২০০৭; রাঃ২০১০,২০০৬,২০০৪; কুঃ২০১৭,২০১৩,২০১০,২০০৭,২০০৫; যঃ২০১৪,২০১১,২০০৯,২০০৭; দিঃ২০০৯; চঃ২০১১,২০০৯,২০০৫; সিঃ২০১২,২০০৮; বঃ২০১৪,২০১১,২০০৬; মাঃ২০১৪,২০১১ ]

\(Q.2.(xxxiii)\) \(\int_{1}^{e^{2}}{\frac{dx}{x(1+\ln{|x|})}}\)
উত্তরঃ \(\ln{3}\)
[ দিঃ২০১১; বঃ২০৭,২০০৪ ]

\(Q.2.(xxxiv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{1+\cot{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)

\(Q.2.(xxxv)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)

\(Q.2.(xxxvi)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}\)

\(Q.2.(xxxvii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{4-3x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\)
[ ঢাঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(xxxviii)\) \(\int_{3}^{4}{\frac{dx}{25-x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
[ বঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(xxxix)\) \(\int_{0}^{3}{\frac{dx}{\sqrt{3x-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\pi\)
[ চঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xL)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{1+x}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\ln{2}\)
[ সিঃ২০১২,২০০৫; কুঃ২০১২; রাঃ২০০৯,২০০৬,২০০৪; ঢাঃ২০০৯; বঃ২০০৭; দিঃ,চঃ,যঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xLi)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{xdx}{1+x^4}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{8}\)
[ রাঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xLii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{e^x+e^{-x}}}\)
উত্তরঃ \(\tan^{-1}{e}-\frac{\pi}{4}\)
[ রাঃ২০১২,২০০৩; কুঃ২০০৮; বঃ২০১৩; সিঃ২০০৭,২০০৪; মাঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xLiii)\) \(\int_{0}^{\pi}{\frac{\sin{x}}{1+\cos^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}\)
[ ঢাঃ২০০৭ ]

\(Q.2.(xLiv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}}{1+\sin^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
[ রাঃ,সিঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(xLv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{\theta}}{\sqrt{4-\sin^2{\theta}}}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}\)
[ রাঃ,সিঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(xLvi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}}{9-\sin^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\ln{2}\)
[ ঢাঃ২০০৫; কুঃ২০১০; দিঃ২০১৩; চঃ২০০৯; সিঃ২০১৩,২০০৯; বঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xLvii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\sin{2x}}{\cos^4{x}+\sin^4{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
[ বুয়েটঃ২০০৮-২০০৯ ]

\(Q.2.(xLviii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{a^2\cos^2{x}+b^2\sin^2{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2ab}\)
[ রুয়েটঃ২০১১-২০১২ ]

\(Q.2.(iL)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{d\theta}{a\sin^2{\theta}+b\cos^2{\theta}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2\sqrt{ab}}\)
[ রাঃ২০১১ ]

\(Q.2.(L)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{\ln{|x+1|}}{x+1}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(\ln{2})^2\)
[ ঢাঃবিঃ২০১৪-২০১৫ ]

\(Q.2.(Li)\) \(\int_{1}^{e^2}{\frac{1+\ln{|x|}}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(4\)

\(Q.2.(Lii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\pi\)
[ বুয়েটঃ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.2.(Liii)\) \(\int_{2}^{5}{\frac{dx}{x^2-4x+13}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{12}\)

\(Q.2.(Liv)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}\)
[ ঢাঃবিঃ২০০৮-২০০৯ ]

\(Q.2.(Lv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}}{\sqrt{4-\sin^2{x}}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}\)

\(Q.2.(Lvi)\) \(\int_{2}^{3}{\frac{dx}{9x^2-16}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{24}\ln{\left(\frac{25}{13}\right)}\)
1 2 3 4 5

Leave a Reply