নির্দিষ্ট যোগজীকরণ (Definite Integration)

অনুশীলনী \(10.G / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ

নিচের যোগজগুলির মান নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\int_{0}^{4}{\sqrt{16-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(4\pi\)
[ সিঃ২০১৩,২০১১,২০০৯,২০০৬,২০০৩; কুঃ২০১১,২০০৩; রাঃ২০০৯,২০০৬,২০০৩; যঃ২০০৮; বঃ২০০৭; চঃ২০০৬ ]

\(Q.3.(ii)\) \(\int_{0}^{5}{\sqrt{25-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{25\pi}{4}\)
[ রাঃ২০০১১,২০০৩ ]

\(Q.3.(iii)\) \(\int_{-a}^{a}{\sqrt{a^2-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^2\pi}{2}\)
[ রাঃ২০০১১,২০০৩ ]

\(Q.3.(iv)\) \(\int_{-1}^{1}{x^2\sqrt{4-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
[ ঢাঃ২০০৮; চঃ২০০৩; যঃ২০০৯,২০০৫;বঃ২০০৮ ]

\(Q.3.(v)\) \(\int_{0}^{2a}{\sqrt{2ax-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^2\pi}{2}\)
[ রাঃ২০০১১,২০০৩ ]

\(Q.3.(vi)\) \(\int_{-1}^{1}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\pi\)

\(Q.3.(vii)\) \(\int_{0}^{a}{\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{a(\pi+2)}{2}\)

\(Q.3.(viii)\) \(\int_{1}^{4}{\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(8\ln{(2)}-3\)
[ কুঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(ix)\) \(\int_{0}^{1}{\ln{(x^2+1)}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{2}+\frac{\pi}{2}-2\)
[ ঢাঃ২০০৭ ]

\(Q.3.(x)\) \(\int_{1}^{4}{\frac{\ln{|x|}}{\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{2}-4\)
[ ঢাঃ২০১২ ]

\(Q.3.(xi)\) \(\int_{1}^{e}{\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(1\)
[ বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.3.(xii)\) \(\int_{1}^{\sqrt{e}}{x\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\)
[ রাঃ২০১৪; যঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(xiii)\) \(\int_{2}^{4}{\ln{|2x|}dx}\)
উত্তরঃ \(8\ln{2}-2\)
[ বঃ২০০৯ ]

\(Q.3.(xiv)\) \(\int_{0}^{1}{\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(-1\)
[ রাঃ২০১৭ ]

\(Q.3.(xv)\) \(\int_{0}^{3}{\frac{xe^x}{3(x+1)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\left(\frac{e^2}{4}-1\right)\)
[ রাঃ২০১৭ ]

\(Q.3.(xvi)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{xe^x}{(x+1)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{e}{2}-1\)
[ যঃ২০১৭ ]

\(Q.3.(xvii)\) \(\int_{0}^{1}{2x^3e^{-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(1-\frac{2}{e}\)

\(Q.3.(xviii)\) \(\int_{0}^{1}{xe^{-3x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{9}(1-4e^{-3})\)
[ দিঃ২০১০; সিঃ২০০৩]

\(Q.3.(xix)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x^2\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^2}{4}-2\)
[ চঃ২০০৭; ঢাঃ২০০৬; কুঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(xx)\) \(\int_{0}^{\pi}{x^2\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\pi^2+4\)

\(Q.3.(xxi)\) \(\int_{0}^{1}{\sin^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}-1\)

\(Q.3.(xxii)\) \(\int_{1}^{\sqrt{3}}{x\tan^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}(5\pi-6\sqrt{3}+6)\)
[ বঃ২০১৩; রাঃ,চঃ২০১২,২০০৮; দিঃ২০১২; যঃ২০১১ ]

\(Q.3.(xxiii)\) \(\int_{0}^{2}{(x-2)\tan^{-1}{(x-2)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\tan^{-1}{(2)}-1\)
[ সিঃ২০১৭ ]

\(Q.3.(xxiv)\) \(\int_{1}^{\sqrt{3}}{x\cot^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}(\pi+6\sqrt{3}-6)\)
[ বুয়েটঃ২০০৯ ]

\(Q.3.(xxv)\) \(\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{1+\sin{x}-\cos{x}}}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)}\)
[ বুয়েটঃ২০১১-২০১২ ]

\(Q.3.(xxvi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{\sin{x}+\cos{x}}}\)
উত্তরঃ \(-\sqrt{2}\ln{(\sqrt{2}-1)}\)
[ কুয়েটঃ২০১৩-২০১৪; বুটেক্সঃ২০০১-২০০২ ]

\(Q.3.(xxvii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^3{x}\sqrt{\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{8}{21}\)
[ চঃ২০১৩,২০০৯; বঃ,সিঃ২০১৩; যঃ২০১০; রাঃ২০০৮ ]

\(Q.3.(xxviii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^3{x}\sqrt{\sin{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{8}{21}\)
[ ঢাঃ২০১৪,২০০৬,২০০৪; রাঃ২০১৪; কুঃ২০১৩,২০১১,২০০৭; দিঃ২০১১; চঃ২০০৭,২০০৩; সিঃ২০১১,২০০৮,২০০৪; যঃ২০১২; বঃ২০১১,২০০৯,২০০৭,২০০৫ ]

\(Q.3.(xxix)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^3{\theta}\sqrt[3]{\sin{\theta}}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{9}{20}\)
[ বঃ২০১৭ ]

\(Q.3.(xxx)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos^3{\theta}}{\sqrt{\sin{\theta}}}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{8}{5}\)
[ রাঃ২০১২; চঃ,বঃ২০১০ ]
\(Q.3.(xxxi)\) \(\int_{0}^{\pi}{\frac{xdx}{1+\sin{x}}}\)
উত্তরঃ \(\pi\)

\(Q.3.(xxxii)\) \(\int_{8}^{15}{\frac{dx}{(x-3)\sqrt{x+1}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{\left(\frac{5}{3}\right)}\)

\(Q.3.(xxxiii)\) \(\int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{dx}{x\sqrt{4x^2-1}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}\)
[ বুয়েটঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(xxxiv)\) \(\int_{1}^{2}{\frac{dx}{x^2\sqrt{4-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
[ বুয়েটঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(xxxv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{dx}{1-\tan^2{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{12}+\frac{1}{4}\ln{(2+\sqrt{3})}\)
[ বুয়েটঃ২০০৮; বঃ২০১৫ ]

\(Q.3.(xxxvi)\) \(\int_{0}^{\infty}{e^{-2x}\cos{4x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{10}\)
[ কুয়েটঃ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.3.(xxxvii)\) \(\int_{2}^{3}{\frac{dx}{2(x-1)\sqrt{x^2-2x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}\)
[ বুয়েটঃ২০০১-২০০২,২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.3.(xxxviii)\) \(\int_{2}^{e}{\left\{\frac{1}{\ln{|x|}}-\frac{1}{(\ln{|x|})^2}\right\}}\)
উত্তরঃ \(e-\frac{2}{\ln{2}}\)
[ বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪; বিআইটিঃ১৯৯৮-১৯৯৫ ]

\(Q.3.(xxxix)\) \(\int_{0}^{a}{\frac{a^2-x^2}{(a^2+x^2)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2a}\)
[ বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ]

\(Q.3.(xL)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}}{(1+\sin{x})(2+\sin{x})}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left(\frac{4}{3}\right)}\)
[ কুয়েটঃ২০০৯-২০১০; বিআইটিঃ১৯৯৭-১৯৯৮ ]

\(Q.3.(xLi)\) \(\int_{0}^{\pi}{x\sin^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^2}{4}\)
[ বুয়েটঃ২০০৫ ]

\(Q.3.(xLii)\) \(\int_{0}^{a}{\sqrt{a^2-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\pi{a^2}\)
[ ঢাঃ২০১১; চঃ২০১২ ]

\(Q.3.(xLiii)\) \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin{x}+\cos{x})^2dx}\)
উত্তরঃ \(\pi\)

\(Q.3.(xLiv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin{\theta}+\cos{\theta})d\theta}\)
উত্তরঃ \(2\)
[ চঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(xLv)\) \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{(1+\sin{2\theta})d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}-1\)

\(Q.3.(xLvi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}}{(1+\sin{x})^3}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{8}\)
[ দিঃ২০১৪ ]

\(Q.3.(xLvii)\) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{dx}{(1-2x^2)\sqrt{1-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{(2+\sqrt{3})}\)

\(Q.3.(xLviii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sec{x}\sqrt{\frac{1-\sin{x}}{1+\sin{x}}}dx}\)
উত্তরঃ \(2-\sqrt{2}\)

\(Q.3.(iL)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\sqrt{\sin{x}}+\sqrt{\cos{x}}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)

\(Q.3.(L)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{1+\tan{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)

\(Q.3.(Li)\) \(\int_{8}^{27}{\frac{dx}{x-x^{\frac{1}{3}}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\ln{\left(\frac{8}{3}\right)}\)
[ যঃ২০১৪ ]

\(Q.3.(Lii)\) \(\int_{0}^{4}{f(x)dx}=5\) হয় তবে \(\int_{1}^{5}{f(x-1)dx}\) এর মাণ কত?
উত্তরঃ \(5\)
[ ঢাঃবিঃ২০০৭-২০০৮ ]

\(Q.3.(Liii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{1-x}{1+x}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left(\frac{4}{e}\right)}\)
[ যঃ২০০৪; বঃ২০০৪,২০০৩; মাঃ২০১০ ]

\(Q.3.(Liv)\) \(\int_{0}^{16}{\frac{x^{\frac{1}{4}}}{1+x^{\frac{1}{2}}}dx}\)
উত্তরঃ \(4\left(\frac{2}{3}+\tan^{-1}{(2)}\right)\)

\(Q.3.(Lv)\) \(\int_{1}^{3}{\frac{x-3}{x^3+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(4\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}-2\)

\(Q.3.(Lvi)\) \(\int_{0}^{2}{\frac{x^4+1}{x^2+1}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}+2\tan^{-1}{(2)}\)

\(Q.3.(Lvii)\) \(\int_{0}^{3}{\frac{dx}{(2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{3\sqrt{11}}{22}\)

\(Q.3.(Lviii)\) দেখাও যে, \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{d\theta}{a^2\sin^2{\theta}+b^2\cos^2{\theta}}}=\frac{\pi}{2ab}\)
[ রাঃ ২০১১ ]

\(Q.3.(Lix)\) দেখাও যে, \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(a\cos^2{\theta}+b\sin^2{\theta})d\theta}=\frac{1}{4}(a+b)\pi\)
[ চঃ ২০০৩ ]

\(Q.3.(Lx)\) \(\int_{0}^{\sqrt{2}}{\frac{x^2}{(4-x^2)^{\frac{3}{2}}}dx}\)
উত্তরঃ \(1-\frac{\pi}{4}\)

\(Q.3.(Lxi)\) \(\int_{1}^{15}{\frac{x+2}{(x+1)(x+3)}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{(6)}\)

\(Q.3.(Lxii)\) \(\int_{0}^{\frac{a}{2}}{\frac{1}{a^2-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2a}\ln{3}\)
1 2 3 4 5

Leave a Reply