নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল (Area by using definite integral)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • নির্দিষ্ট যোগজএর সাহায্যে ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • সমীকরণ দ্বারা সূচিত বৃত্তীয়ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • পরাবৃত্তীয়ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • উপবৃত্তীয়ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • দুইটি নির্দিষ্ট বক্ররেখা ও দুইটি নির্দিষ্ট কোটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • একটি নির্দিষ্ট বৃত্ত ও একটি নির্দিষ্ট পরাবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • দুইটি নির্দিষ্ট পরাবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • একটি নির্দিষ্ট উপবৃত্ত ও একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
নির্দিষ্ট যোগজএর সাহায্যে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ঃ

\(x=a, x=b, y=f(x)\) এবং \(y=0\) এ চারটি রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে \(n\) সমানভাবে বিভক্ত করলে এবং প্রতিটি ভাগের দূরত্ব \(h\) হলে \(nh=b-a\) হবে। এখন \(nh=b-a\) হলে, \[\lim_{a \rightarrow b}h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)+ ……….+f(a+\overline{n-1}.h)\}\] কে নির্দিষ্ট যোগজ বলে। যাকে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(\therefore \int_{a}^{b}{f(x)dx}\) \[=\lim_{a \rightarrow b}h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)+ ……….+f(a+\overline{n-1}.h)\}\]

ক্ষেত্রফল নির্ণয়ঃ

int-image
\(y=f(x)\)বক্ররেখা, \(x\) অক্ষরেখা এবং \(x=a, x=b\) রেখত্রয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(ABCD\) কে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
অর্থাৎ \(ABCD\) এর ক্ষেত্রফল \(=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)

ক্ষেত্রফল নির্ণয়ঃ

int-image
\(x=f(y)\)বক্ররেখা, \(y\) অক্ষরেখা এবং \(y=a, y=b\) রেখত্রয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(EFGH\) কে \(\int_{a}^{b}{f(y)dx}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
অর্থাৎ \(EFGH\) এর ক্ষেত্রফল \(=\int_{a}^{b}{f(y)dx}\)

দুইটি নির্দিষ্ট বক্ররেখা ও দুইটি নির্দিষ্ট কোটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলঃ

int-image
মনে করি, \(y_{1}=f_{1}(x)\) ও \(y_{2}=f_{2}(x)\) বক্ররেখাদ্বয় ও \(x=a, x=b\) দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্র \(Q_{1}Q_{2}P_{2}P_{1}\) তাহলে, \(OM=a, ON=b\)
\(\therefore Q_{1}Q_{2}P_{2}P_{1}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=P_{1}MNP_{2}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল -\(Q_{1}MNQ_{2}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{a}^{b}{f_{1}(x)dx}-\int_{a}^{b}{f_{2}(x)dx}\)
\(=\int_{a}^{b}{\{f_{1}(x)-f_{2}(x)\}dx}\)
\(=\int_{a}^{b}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
এখানে, \(y_{1}\) এবং \(y_{2}\) যথাক্রমে \(P_{1}P_{2}\) ও \(Q_{1}Q_{2}\) বক্ররেখাদ্বয়ের কোটি নির্দেশ করে।

int-image
অনুরূপভাবে,
\(x_{1}=f_{1}(y)\) ও \(x_{2}=f_{2}(y)\) বক্ররেখাদ্বয় ও \(y=c, y=d\) দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্র \(=\int_{c}^{d}{(x_{1}-x_{2})dy}\)

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply