নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল (Area by using definite integral)

অনুশীলনী \(10.A-10.H /\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \(f(x)=x^2\) একটি কণিকের সমীকরণ।
ক. সমাকলন করঃ \(\int{\ln{x}dx}\).
খ. যোগজ নির্ণয় করঃ \(\int{\frac{dx}{f(x)\left(\sqrt{f(x)}+1\right)}}\).
গ. দেখাও যে, \(f(x)\) এবং \(x-y=0\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{6}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ ক. \(x\ln{x}-x+c\)
খ. \(\ln{|x+1|}-\ln{|x|}-\frac{1}{x}+c\)
[ সকল বঃ ২০১৮ ]

\(Q.4.(ii)\) দৃশ্যকল্প-I: \(f(x)=\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\).
দৃশ্যকল্প-II: \(2x^2+2y^2=64\).

ক. \(\int{\ln{x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. দৃশ্যকল্প-I হতে \(\int{f(x)dx}\) নির্ণয় কর।
গ. দৃশ্যকল্প-II দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগের আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x\ln{|x|}-x+c\)
খ. \(\ln{|x-1|}-\frac{1}{4}\ln{|1+x^2|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\)
গ. \(8\pi\) বর্গ একক।
[ ঢাঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(iii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(f(\theta)=\cos^3{\theta}, g(\theta)=\sin{\theta}\).
দৃশ্যকল্প-২: \(x^2+y^2=36\).

ক. \(\int{\frac{dx}{1+e^x}}\) নির্ণয় কর।
খ. দৃশ্যকল্প-I হতে নির্ণয় করঃ \((i)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+g(\theta)}d\theta}\)
\((ii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\theta)\sqrt[3]{g(\theta)}d\theta}\)
গ. দৃশ্যকল্প-II এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-\ln{|1+e^x|}+c\)
খ. \((i)\) 2. \((ii)\) \(\frac{9}{20}\)
গ. \(36\pi\) বর্গ একক।
[ বঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(iv)\) \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x},\) \(H(x)=\frac{xe^x}{(x+1)^2}\).
ক. \(y=(x-2)(x+1)\) বক্ররেখার \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ. দেখাও যে, \(F(x)\) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ. \(\int_{0}^{1}{H(x)dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(3\)
গ. \(\frac{e}{2}-1\).
[ যঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(v)\) \(\phi(x,y)=9x^2+16y^2-144;\) \(f(x)=x-2\) এবং \(g(x)=\sin^6{x}\).
ক. \(\int{\frac{xdx}{x-1}}\) নির্ণয় কর।
খ. \((i)\) \(\int_{0}^{2}{f(x)\tan^{-1}{(x-2)}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{g(x)\cos{x}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. \(\phi(x,y)=0\) এবং \(f(x)=0\)দ্বারা আবদ্ধ ক্ষদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x+\ln{|x-1|}+c\)
খ. \((i)\) \(-1+\frac{5}{2}\tan^{-1}{(2)}\).
\((ii) \frac{1}{7}\)
গ. \(4\pi-3\sqrt{3}\) বর্গ একক।
[ সিঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(vi)\) \(u=e^x\) এবং \(4x^2+9y^2=36\).
ক. দেখাও যে, \(\int{\ln{x}dx}=x\ln{|x|}-x+c\).
খ. \(\int_{0}^{\ln{2}}{\frac{u}{1+u}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. যোগজীকরণের সাহায্যে প্রদত্ত উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x\ln{x}-x+c\)
খ. \(\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
গ. \(6\pi\) বর্গ একক।
[ কুঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(vii)\) \(g(z)=mz\sin^{-1}{z}\) একটি ফাংশন এবং \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\) একটি বক্ররেখা।
ক. \(\int_{1}^{2}{\frac{1}{z}\cos{(\ln{z})}dz}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
খ. \(\int{g(x)dx}\) এর যোগজ নির্ণয় কর।
গ. \(b>a\) হলে উদ্দীপকে প্রদত্ত বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\sin{(\ln{2})}\)
খ. \(m\left(\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}-\frac{1}{4}\sin^{-1}{x}+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}\right)+c\)
গ. \(\frac{ab\pi}{2}\) বর্গ একক।
[ দিঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(viii)\) \(f(x)=\frac{\ln{x}}{x^2+1} ……(1);\) \(g(x)=x^2+1 ….(2)\)
ক. \(\int{\left(\sin{\frac{x}{2}}+\cos{\frac{x}{2}}\right)^2dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \((1)\) নং বক্ররেখার \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. \(\int_{0}^{1}{f(x)g(x)dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x-\cos{x}+c\)
খ. \(y-\frac{\ln{2}}{5}=\frac{5-8\ln{2}}{50}(x-2)\)
গ. \(-1\) বর্গ একক।
[ রাঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(ix)\) \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\), \(x=3\); \(f(x)=xe^x\), \(g(x)=(x+1)^3\)
ক. \(\cot{x}=\frac{1}{9}\) হলে, \(\sec{2x}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
খ. \(\int_{0}^{3}{\frac{f(x)}{\frac{d}{dx}\{g(x)\}}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. উদ্দিপকের উপবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-\frac{41}{40}\)
খ. \(\frac{1}{3}\left(\frac{e^3}{4}-1\right)\)
গ. \(5\left(2\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) বর্গ একক।
[ রাঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(x)\) \(f(x)=x^3-6x^2+9x-8\)
ক. \(\int{xe^{2x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{f(\sin{\theta})d\theta}\) নির্ণয় কর।
গ. \(f(x)\) এর চরম মাণ গুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{4}(2xe^{2x}-e^{2x})+c\),
খ. \(\frac{1}{12}\cos{3\theta}-\frac{39}{4}\cos{\theta}+\frac{3}{2}\sin{2\theta}-11\theta+c\)
গ. বৃহত্তমমান \(=-4\).
ক্ষুদ্রতমমান \( =-8\) .

\(Q.4.(xi)\) \(8x^2+9y^2=72\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(\int{\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. উপবৃত্তটি \(x=1\) রেখাকে যে সকল বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দু গুলিতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. যোগজীকরণের সাহায্যে উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\sqrt{2x+1}+c\);
খ. \(x+3y-9=0, x-3y-9=0\);
গ. \(6\sqrt{2}\pi\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xii)\) \(\phi(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
ক. \(\int_{0}^{1}{\frac{1}{3+x^2}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{\phi(\cos{x})dx}\) নির্ণয় কর।
গ. \(\phi(x)\) এর চরম মাণ গুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{\pi}{6\sqrt{3}}\)
খ. \(\frac{1}{32}\sin{4x}-\frac{2}{3}\sin{3x}+\frac{23}{4}\sin{2x}-30\sin{x}+\frac{131}{8}x+c\)
গ. গরিষ্ঠমান \(=-3\).
লঘিষ্ঠমান \( =-4\) .

\(Q.4.(xiii)\) \(y=(x-4)^2(x-3)\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
ক. \(\int{\frac{1}{1+\cos{2x}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{\frac{x}{y}dx}\) নির্ণয় কর।
গ. বক্ররেখাটির যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল ঐ সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{\tan{x}}{2}+c\)
খ. \(3\ln{\left|\frac{x-3}{x-4}\right|}-\frac{4}{x-4}+c\)
গ. \((4,0); \left(\frac{10}{3}, \frac{4}{27}\right)\)
\(Q.4.(xiv)\) \(x^2+y^2=36\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(\int{\frac{1}{4x^2-9}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. বৃত্তটির উপরস্থ \((2\sqrt{5}, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. যোগজীকরণের সাহায্যে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{12}\ln{\left|\frac{2x-3}{2x+3}\right|}+c\)
খ. \(2x-\sqrt{5}y=0\)
গ. \(36\pi\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xv)\) \(f(x)=e^x\) এবং \(g(x,y)=x^2+y^2\)
ক. \(\int{\frac{(\sec^{-1}{x})^3}{x\sqrt{x^2-1}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{\frac{f(x)(x^2+1)}{(x+1)^2}dx}\) নির্ণয় কর।
গ. \(g(x,y)=100\) বক্ররেখা ও \(x=6\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{4}(\sec^{-1}{x})^4+c\)
খ. \(\frac{e^x(x-1)}{x+1}+c\),
গ. \(100\left(\frac{\pi}{2}-\frac{12}{25}-\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\right)\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xvi)\) \(f(x)=\sin^{-1}{x}\)
ক. \(\int{\ln{|2x|}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(y=e^{mf(x)}\) হলে দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}=m^2y\).
গ. \(\int{yf(y^2)dy}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x\ln{|2x|}-x+c\)
গ. \(\frac{1}{2}\left\{y^2\sin^{-1}{(y^2)}+\sqrt{1-y^4}\right\}+c\)

\(Q.4.(xvii)\) \(y=x^2\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(\int{\cos{x^{o}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. উদ্দীপকের পরাবৃত্ত ও \(x-y+2=0\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ. \(\int{\frac{dx}{y(x-2)}}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{180}{\pi}\sin{\left(\frac{\pi{x}}{180}\right)}+c\)
খ. \(\frac{9}{2}\) বর্গ একক।
গ. \(\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{x-2}{x}\right|}+\frac{1}{2x}+c\)

\(Q.4.(xviii)\) \(g(x)=cos^{-1}{x}\)
ক. \(\int{\sec{x}(\sec{x}+\tan{x})dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{xg(x^2)dx}\) নির্ণয় কর।
গ. \(y=\cos{\{mg(x)\}}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\)
উত্তরঃ ক. \(\tan{x}+\sec{x}+c\)
খ. \(\frac{1}{2}(x^2\cos^{-1}{x^2}-\sqrt{1-x^4})+c\)

\(Q.4.(xix)\) \(y^2=16x\) এবং \(x^2=16y\) দুইটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(\int{\frac{1}{1-\cos{4x}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. প্রথম পরাবৃত্তের উপরস্থ \((1, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. পরাবৃত্ত দুইটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-\frac{1}{4}\cot{2x}+c\)
খ. \(x+2y=9\)
গ. \(\frac{256}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xx)\) \(f(x)=\frac{5x^2-8x+1}{2x(x-1)^2}\) এবং \(g(x)=e^x\)
ক. \(\int{\frac{\ln{|x|}}{2x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. দেখাও যে, \(\int_{4}^{9}{f(x)dx}=\ln{\left(\frac{32}{3}\right)}-\frac{5}{24}\)
গ. প্রমাণ কর যে, \(\frac{x}{g^{-1}(x)}\) এর ক্ষুদ্রতম মাণ \(e\)
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{4}(\ln{|x|})^2+c\)

\(Q.4.(xxi)\) \((1)\) \(y=x\) একটি সরলরেখা এবং \(y^2=4x\) একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।
\((2)\) \(f(x)=\cot^{-1}{x}\) একটি বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন।

ক. \(\int{\sin{x}\cos{x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int_{1}^{\sqrt{3}}{xf(x)dx}\) নির্ণয় কর।
গ. সরলরেখা এবং পরাবৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-\frac{1}{4}\cos{2x}+c\)
খ. \(\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}+\sqrt{3}-1\right)\)
গ. \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xxii)\)
int-image
ক. \(\int{x\sin{x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(B\) বিন্দুতে বক্ররেখাটির স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\sin{x}-x\cos{x}+c\)
খ. \(2x+y=1\)
গ. \(\frac{32}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xxiii)\)
int-image
ক. \(\int{\sin^2{2x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(A\) বিন্দুতে বক্ররেখাটির অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{4}\sin{4x}\right)+c\)
খ. \(x-4y+22=0\)
গ. \(17\frac{1}{6}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xxiv)\)
int-image
উপরের চিত্রটি একটি উপবৃত্ত যার সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
ক. \(\int{xe^{x^2}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(C\) বিন্দুতে বক্ররেখাটির স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{2}e^{x^2}+c\)
খ. \(4x+3\sqrt{5}y+18=0\)
গ. \(\left(\frac{3\pi}{2}-2\right)\) বর্গ একক।
1 2 3 4 5 6

Leave a Reply