রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Co-ordinates of the line Division point)

অনুশীলনী \(3.B\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ
নিম্নলিখিত বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \((-3, 4)\) এবং \((7, 6)\)
উত্তরঃ \(R(2, 5)\).

\(Q.1.(i).(c)\) \((t+2, -t+4)\) এবং \((t, 3t)\)
উত্তরঃ \(R(t+1, t+2)\).
\(Q.1.(i).(b)\) \((-2, -8)\) এবং \((2, 8)\)
উত্তরঃ \(R(0, 0)\).

\(Q.1.(i).(d)\) \((a+b, -a-b)\) এবং \((a-b, a+b)\)
উত্তরঃ \(R(a, 0)\).
\(Q.1.(ii)\) \((3, 1)\) বিন্দুটি \((1, -3)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3\)

\(Q.1.(iii)\) \((7, -8)\) বিন্দুটি \((3, -2)\) ও \((-3, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:5\)

\(Q.1.(iv)\) \((1, 4)\) ও \((9, -12)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((6, -6)\) বিন্দুতে যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 5:3 \)

\(Q.1.(v)\) \((-1, 2)\) ও \((4, -5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((-11, 16)\) বিন্দুতে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3 \)

\(Q.1.(vi)\) \((1, 2)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখাংশকে \((3, 4)\) বিন্দুটি যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3 \)

\(Q.1.(vii)\) \((3, 4)\) ও \((5, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((2:3)\) অনুপাতে যে বিন্দুতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ অন্তবিভক্তকারী বিন্দু \((\frac{19}{5}, 6)\); বহিবিভক্তকারী বিন্দু \((-1, -6)\)।

\(Q.1.(viii)\) \((2, 0)\) ও \((7, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশকে যে বিন্দু \((2:3)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাংক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, 2) \)

\(Q.1.(ix)\) একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যা \((-2, 3)\) ও \((6, -8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \((1:2)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
উত্তরঃ \( (-10, 14) \)

\(Q.1.(x)\) একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যা \((-3, 4)\) ও \((7, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \((3:2)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে।
উত্তরঃ \( (3, 7), (27, 19) \)

\(Q.1.(xi)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((7, 3)\) এবং \((-1, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \(AC=2AB\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( C(-9, -13)\)

\(Q.1.(xii)\) \((7, 5)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা।
উত্তরঃ \( (4, 3); (1, 1) \)
[রাঃ ২০১১,২০০৯, বঃ ২০০৫]

\(Q.1.(xiii)\) \(AB\) সরলরেখাটি \(P(3, 3)\) ও \(Q(8, 5)\) বিন্দু দুটি দ্বারা সমত্রিখন্ডিত করা হয়; \(A\) ও \(B\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
উত্তরঃ \( A(-2, 1); B(13, 7)\)
[বঃ২০১১,২০০৯]

\(Q.1.(xiv)\) \(PQ\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু \((2, 3)\) এবং \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 6)\) হলে, \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( p(5, 0)\)

\(Q.1.(xv)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) এবং \((4, -5)\)। \(AB\) রেখাংশকে \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \((a)\) \(AB=2BC\), \(Q.1.(b)\) \(AB=3BC\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \((7, -\frac{19}{2})\), \((b)\) \((6, -8)\)
[কুঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩, ঢাঃ ২০১৪ দিঃ ২০১২, ২০১৫]

\(Q.1.(xvi)\) দেখাও যে, \((2, -2)\) এবং \((-1, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশ অক্ষ দ্বয় দ্বারা সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়। বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(1, 0); D(0, 2)\)
[কুঃ ২০১৫,সিঃ ২০১৩,২০০৫, বঃ ২০০৭]

\(Q.1.(xvii)\) দেখাও যে, মূলবিন্দু \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার একটি সমত্রিখন্ডন বিন্দু, অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 2)\)
[ ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, যঃ ২০১৩, ২০০৯]

\(Q.1.(xviii)\) \((2, -4)\) এবং \((-3, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে অক্ষ দ্বয় যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 2:3; 2:3 \)
[ঢাঃ ২০০৯, রাঃ ২০০৮, যঃ ২০০২]

\(Q.1.(xix)\) \((2, -5)\) এবং \((2, 3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5:3; (2, 0)\)

\(Q.1.(xx)\) \((7, 7)\) এবং \((-5, 10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(7:10; \ \frac{35}{17}\)

\(Q.1.(xxi)\) \((2, -4)\) এবং \((-4, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) এবং \(Y\) অক্ষরেখা যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3; \ 1:2\)

\(Q.1.(xxii)\) \((-1, 2)\) এবং \((3, -4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) এবং \(Y\) অক্ষরেখা যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1:2; \ 1:3\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(A(8, 10)\) এবং \(B(18, 20)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(Q\) এবং \(R\) বিন্দু দুইটি \(2:3\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে। \(Q\) এবং \(R\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে দেখাও যে,\(PQ.PR=PB^{2}\)
উত্তরঃ \(Q(12, 14)\); \(R(-12, -10)\)
[ কুঃ ২০১৪ ]

\(Q.1.(xxiv)\) \((8, 3)\) এবং \((2, -9)\) বিন্দু দুইটি যে বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু তার কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ কেন্দ্র \((5, -3)\) ; ব্যসার্ধ \(=3\sqrt{5}\)

\(Q.1.(xxv)\) মূলবিন্দুটি \((x, y)\) এবং \((r\cos\theta, r\sin\theta)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু। প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)।

\(Q.1.(xxvi)\) \((-6, 8)\) এবং \((8, -6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে সমান চারভাগে বিভক্ত করা হয়। বিভাজন বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2})\), \(D(1, 1)\) এবং \(E(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})\).
1 2 3 4 5 6

Leave a Reply