ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

অনুশীলনী \(3.C\) / \(Q.4\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) \((a^{2}, bc)\), \((b^{2}, ca)\) এবং \((c^{2}, ab)\) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। যদি \(a+b+c=0\) হয় তবে দেখাও যে, তারা সমরেখ।
Ans: \(\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\) বর্গ একক।

\(Q.4.(ii)\) প্রমাণ কর যে, \((p, p-2)\), \((p+3, p)\) এবং \((p+2, p+2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(p\) বর্জিত হবে।

\(Q.4.(iii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \(A(5, 6)\), \(B(-9, 1)\) এবং \(C(-3, -1)\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে \(A\) হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
Ans: \(29\) বর্গ একক; \(\frac{29}{10}\sqrt{10}\) একক।
[ ঢাঃ ২০১২, কুঃ ২০০৮, চঃ ২০১০,২০০৫, যঃ ২০০৭, দিঃ ২০১০,২০০৯। ]

\(Q.4.(iv)\) কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A(2, -1)\), \(B(a+1, a-3)\) এবং \(C(a+2, a)\) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং \(a\) এর মান কত হলে বিন্দুগুলি সমরেখ হবে?
Ans: \(\frac{1}{2}(2a-1)\) বর্গ একক; \(a=\frac{1}{2}\)
। [রাঃ ২০১২, যঃ ২০১২, দিঃ ২০১৪।]

\(Q.4.(v)\) কোন ত্রিভুজের কৌনিকবিন্দুগুলি \(A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক \((6, 3)\), \((-3, 5)\) এবং \((4, 2)\) এবং \(D, E, F\) যথাক্রমে \(BC, CA, AB\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\triangle ABC\) ও \(\triangle DEF\) এর অনুপাত নির্ণয় কর।
Ans: \(16:7\)

\(Q.4.(vi)\) \(ABC\) ত্রিভুজের কৌনিকবিন্দুগুলি \(A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক \((3, 5)\), \((-3, 3)\) এবং \((-1, -1)\) এবং \(D, E, F\) যথাক্রমে \(BC, CA, AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু। \(ABC\) ও \(DEF\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(\triangle ABC=4\triangle DEF\) ।
Ans: \(14\) বর্গ একক; \(3.5\) বর্গ একক ।

\(Q.4.(vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(A, B, C\) শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \((4, -3)\), \((13, 0)\), \((-2, 9)\) এবং \(D, E, F\) ত্রিভুজের বাহুগুলির উপর এমনভাবে অবস্থিত যেন \(\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=2\), \(ABC\) ও \(DEF\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে,\(\triangle ABC:\triangle DEF=3:1\) ।
Ans: \(63\) বর্গ একক; \(21\) বর্গ একক ।
\(Q.4.(viii)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(A(2, 5)\), \(B(-3, -1)\) এবং \(C(11, 9)\); \(AD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। আরও দেখাও যে, \(\triangle ABD=\frac{1}{2}\triangle ABC\)
Ans: \(\sqrt{5}\) একক।

\(Q.4.(ix)\) \(\triangle OPQ\) এর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(O(0, 0)\), \(P(A\cos\beta, -A\sin\beta)\) এবং \(Q(A\sin\alpha, A\cos\alpha)\) দেখাও যে, \(\alpha=\beta\) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের মান বৃহত্তম হবে এবং উক্ত বৃহত্তম মানটি নির্ণয় কর।
Ans: \(\frac{1}{2}A^{2}\) বর্গ একক। [চঃ২০১২, যঃ ২০০৭]

\(Q.4.(x)\) \((t+1, 1)\), \((2t+1, 3)\) এবং \((2t+2, 2t)\) বিন্দুগুলি যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু; এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(t=2\) বা \(t=-\frac{1}{2}\) হলে বিন্দুগুলি সমরেখ হবে।
Ans: \(\frac{1}{2}(2t^{2}-3t-2)\) বর্গ একক।
[ঢাঃ ২০০৬,রাঃ ২০১০,২০০৮, চঃ ২০১৬,২০১৫, কুঃ ২০১০, সিঃ ২০০৭, বঃ ২০১০]

\(Q.4.(xi)\) দেখাও যে, \((3, 90^{o})\) এবং \((3, 30^{o})\) শীর্ষবিশিষ্ট বিন্দু দুইটি মূলবিন্দুর সহিত একটি সমবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(\frac{9}{4}\sqrt{3}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xii)\) \(A(2, 6)\),\(B(-7, -3)\), \(C(5,-6)\) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G\) নির্ণয় কর এবং দেখাও যে,\(\triangle ABC=3\triangle ABG=3\triangle BCG=3\triangle CAG\)
Ans: \((0, -1)\)।

\(Q.4.(xiii)\) দেখাও যে, \(A(2, 6)\) এবং \(B(-7, -3)\) বিন্দু দুইটি মূলবিন্দুর সঙ্গে একটি ত্রিভুজ গঠন করে। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(4\frac{1}{2}\) বর্গ একক।
1 2 3 4 5 6 7

Leave a Reply