বৃত্ত-৩ (Circle-Three)



mybarcode

অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q.4.(i)\) কোন বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((1, 5)\) \((7, -3)\) ।
\((a)\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ এটা প্রয়োগ করে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) অপর একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, উল্লেখিত ব্যাসের উপর লম্ব।
\((c)\) মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) x^2+y^2-8x-2y-8=0 ;\) \((b) \ 3x-4y-8=0;\) \((c) \ x^2+y^2-3x-5y=0 \) ।

You need to login to view the rest of the content. Please . Not a Member? Join Us

পরাবৃত্ত (Parabola)



mybarcode

এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।

  • কনিকের উৎস।
  • কনিক কি এবং এর ব্যাখ্যা।
  • অক্ষ, উপকেন্দ্র(ফোকাস), উৎকেন্দ্রিকতা ও নিয়ামকরেখা এর ধারণা।
  • বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত এবং অধিবৃত্ত চিহ্নিত করণের উপায়।
  • চিত্রের সাহায্যে কনিক উপস্থাপন।
  • কোনকের ও তলের ছেদ হিসাবে কনিকের ব্যাখ্যা।
  • মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের সনাক্তকরণ।
  • পরাবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন এবং শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিতকরণ।
  • পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয়।
  • বিভিন্ন শর্তসাপেক্ষে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়।
  • পরাবৃত্ত বিষয়ক সমস্যা ও তার সমাধান।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

কনিক

Conics

straight3

Manaechmus
(৩৮০-৩২০ খৃষ্টপুর্ব)

কোণক দ্বারা সমতলে বক্ররেখার ছেদাংশের বিভিন্ন অংশকে পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত ও অধিবৃত্ত নামকরণ করেন।

একটি স্থির বিন্দু ও একটি সরলরেখা হতে যে সব বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি, তাদের সেটকে কনিক বলা হয়। স্থির বিন্দুটিকে উপকেন্দ্র বা ফোকাস, নির্দিষ্ট সরলরেখাকে নিয়ামক বা দিকাক্ষ এবং স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলা হয়। স্থির রাশিটিকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়। এই স্থির রাশির মানের উপর কনিকের আকৃতি নির্ভশীল।
কনিক পরস্পরছেদী এমন একটি বক্রতা, যা একটি সমতলের কৌণিকতা সৃষ্টি করে এবং যার আকৃতি মোচাকৃতি। সৃষ্টি জগতের অতি কৌতূহলী, আকর্ষণীয় ও দুর্বোধ্য ক্ষেত্র থেকেই মানুষ কনিকের ধারণা লাভ করে আসছে। বাস্তব ও জটিল সংখ্যার স্থানাঙ্ক এবং ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ে কনিক ব্যবহৃত হয়। প্রাচীন জ্যামিতিক পদ্ধতিতে এর তিনটি গঠন প্রয়োগ করা হত। যেমনঃ পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত এবং অধিবৃত্ত ।
প্রাচীন গণিতবিদ ম্যানাকমাস straight3ম্যানাকমাস (Manaechmus) (৩৮০-৩২০ খৃষ্টপুর্ব) । ইউডক্সাস straight3 ইউডক্সাস (Eudoxus) (৩৯০-৩৩৭ খৃষ্টপুর্ব) গ্রীক গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ । (Manaechmus & Eudoxus) \(4^{th}\) century-তে প্লেটোর straight3 প্লেটো (Plato) (খ্রিষ্টপূর্ব ৪২৭ – খ্রিষ্টপূর্ব ৩৪৭) বিশ্ববিখ্যাত গ্রিক দার্শনিক। তিনি দার্শনিক সক্রেটিসের ছাত্র ছিলেন এবং দার্শনিক এরিস্টটল তার ছাত্র ছিলেন। (Plato) স্কুলে কনিকের এ ত্রিগঠন সংযোজন করেন। Elements গ্রন্থে ইউক্লিড straight3 ইউক্লিড (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) বিখ্যাত গ্রিক গণিতজ্ঞ। তার লেখা গ্রন্থগুলির মধ্যে মাত্র তিনটির সন্ধান পাওয়া গিয়েছে এগুলো, ডাটা, অপটিক্স ও এলিমেন্টস। এলিমেন্টস বইটি মোট ১৩ খণ্ডে প্রকাশিত হয়েছিল। (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) কনিক সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করেন।এবং পরবর্তীতে “Quadrature of Parabola” গ্রন্থে আর্কিমিডিস straight3 আর্কিমিডিস (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) একজন গ্রিক গণিতবিদ, পদার্থবিজ্ঞানী, প্রকৌশলী, জ্যোতির্বিদ ও দার্শনিক। তাঁকে গণিতের জনক বলা হয়। (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) এবং অ্যাপোলোনিয়াস কনিকের প্রথম সিরিজ আকারে আটটি গ্রন্থে কনিক সম্পর্কে মৌলিক ও মূল্যবান তত্ত্ব ও তথ্যাবলির উপস্থাপন করেন। গ্রিক বিজ্ঞানীদের উদ্ভাবিত এসব তথ্য ও উপাত্তকে সপ্তদশ শতাব্দীতে জোহান ক্যাপলার straight3 জোহান কেপলার (Johannes Kepler) (১৫৭১-১৬৩০) ছিলেন দক্ষিণ পশ্চিম জার্মানির গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ। কেপলারের প্রিয় বিষয়গুলি ছিল গণিত ও জ্যোতির্বিদ্যা। কেপলারের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য পুস্তকটির নাম ‘নিউ অ্যাসট্রোনমি’, যা প্রকাশের পর বিজ্ঞানীরা জানতে পারলেন, সূর্যের চারদিকে গ্রহরা একটি উপবৃত্তাকার পথে পরিভ্রমণ করছে। (Johannes Kepler) (১৫৭১-১৬৩০) এবং রেনে দেকার্তে straight3প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । (Rene Descartes) (১৫৯৬-১৬৫০) বৈজ্ঞানিকরূপে প্রতিষ্ঠিত করেন। আধুনিক বিজ্ঞানে কনিকের বিস্তার ও প্রয়োগ ব্যপকভাবে বৃদ্ধি পায়। গ্রহ, উপগ্রহ, ধূমকেতু, নৌকা চালনায়, শিল্পকারখানায় যন্ত্রপাতি ( গিয়ার), অ্যান্টেনা, আলোকবিজ্ঞান, দূরবিক্ষণ যন্ত্র ইত্যাদিতে কনিকের ব্যবহার পরিলক্ষিত হয়।

You need to login to view the rest of the content. Please . Not a Member? Join Us

বৃত্ত-১ (Circle-One)



mybarcode

এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।

  • বৃত্ত সম্পর্কে ধারণা।
  • গনিত জগতে বৃত্তের আবির্ভাব।
  • বৃত্তের সঙ্গা।
  • বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য।
  • নির্দিষ্ট কেন্দ এবং ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ ।
  • পোলার স্থানাংকে বৃত্তের সমীকরণ।
  • বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।
  • বিভিন্ন শর্ত সাপেক্ষে বৃত্তের সমীকরণ।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

বৃত্ত

The Circle

straight3

ইউক্লিড

৩০০ খ্রিষ্টপূর্বাব্দে ইউক্লিড তাঁর এলিমেন্ট গ্রন্থের ত্রিতীয় খন্ডে বৃত্তের বইশিষ্ট্যসমূহের উপর আলোচনা করেন।

বক্ররেখার মধ্যে বৃত্ত সর্বাধীক পরিচিত এবং গুরুত্বপূর্ণ। স্কুল গণিতে বৃত্ত সম্পর্কিত বিভিন্ন বিষয় আলোচিত হয়েছে। কোনো সমতলে একটি চলমান বিন্দু এমনভাবে পরিভ্রমণ করে যে, চলমান বিন্দু হতে ঐ সমতলস্থ কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর দূরত্ব সর্বদা সমান হয়, তবে উক্ত চলমান বিন্দুর সঞ্চারপথটিই বৃত্ত। নির্দিষ্ট দূরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং নির্দিষ্ট বিন্দুকে বৃত্তের কেন্দ্র বলে। গ্রীক শব্দ ‘Kirkos’ থেকে বৃত্ত (Circle) শব্দটি এসেছে। ‘Kirkos’ শব্দটির অর্থ আংটা।

বৃত্ত সম্পর্কে মানুষের ধারণা আক্রিতিক। গ্রিক দার্শনিক ইউক্লিড straight3 ইউক্লিড (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) বিখ্যাত গ্রিক গণিতজ্ঞ। তার লেখা গ্রন্থগুলির মধ্যে মাত্র তিনটির সন্ধান পাওয়া গিয়েছে এগুলো, ডাটা, অপটিক্স ও এলিমেন্টস। এলিমেন্টস বইটি মোট ১৩ খণ্ডে প্রকাশিত হয়েছিল। , প্লেটোর straight3 প্লেটো (Plato) (খ্রিষ্টপূর্ব ৪২৭ – খ্রিষ্টপূর্ব ৩৪৭) বিশ্ববিখ্যাত গ্রিক দার্শনিক। তিনি দার্শনিক সক্রেটিসের ছাত্র ছিলেন এবং দার্শনিক এরিস্টটল তার ছাত্র ছিলেন। এবং আর্কিমিডিস straight3 আর্কিমিডিস (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) একজন গ্রিক গণিতবিদ, পদার্থবিজ্ঞানী, প্রকৌশলী, জ্যোতির্বিদ ও দার্শনিক। তাঁকে গণিতের জনক বলা হয়। বৃত্তের পরিমার্জন করেন। ১৭০০ খ্রিস্টাব্দে রাইন্ড প্যাপিরাস straight3The late Alexander Henry Rhind was the only surviving son of Josiah Rhind of Sibster, banker in Wick. He was born on the 26th July 1833, and during his earlier years pursued his studies at the Pulteneytown Academy, under the tuition of Mr Andrew Scott, now Professor of Oriental Languages in the University of Aberdeen. He then proceeded to the University of Edinburgh, where he became a student in the class of Natural History in the session of 1848-49, and in the class of Natural Philosophy in the session of 1849-50; but even when at College, his early taste for historical pursuits displayed itself, and, as he wrote to me many years afterwards, he then attended the lectures of Professor Cosmo Innes on Scottish history and antiquities, delivered in the University in the winter of 1849-50; “and they appealed” (he writes) “so naturally to my then growing old-world tastes, that I was an unfailingly regular attendant.” ( Rhind Papyrus) বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের একটি পদ্ধতি উদ্ভাবন করেন। গাড়ীর চাকা, চন্দ্র, সূর্য এবং গাছের প্রস্তছেদ প্রভৃতি বস্তু বৃত্তাকার দেখায়। স্থানাংক জ্যামিতিতে, ক্যালকুলাসে, জ্যোতির্বিদ্যায় এবং কম্পিউটার গ্রাফিক্স ডিজাইনে বৃত্ত সম্পর্কিত অধ্যয়ন গুরুত্বপূর্ণ। প্রাচীন সভ্যতায় যোগাযোগের মাধ্যম চাকাবৃত্তের ধারণা থেকে সৃষ্ট, যা এই উত্তর আধুনিক সভ্যতায় বিস্ময় এনেছে।

উচ্চমাধ্যমিক গণিতে বৃত্তকে সমীকরণের মাধ্যমে উপস্থাপন ও সংশ্লিষ্ট কতিপয় বিষয়ের উপর আলোকপাত করা হয়েছে।

বৃত্তের সঙ্গাঃ

সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে সমান দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুসমুহের সেট দ্বারা উৎপন্ন জ্যামিতিক চিত্রকে বৃত্ত (Circle) বলা হয়। নির্দিষ্ট বিন্দুকে বৃত্তের কেন্দ্র (Center) এবং স্থির দূরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ (Radius) বলে।

You need to login to view the rest of the content. Please . Not a Member? Join Us