কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্ক (Cartesian and Polar Co-ordinates)

( ENGLISH VERSION )

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ

carttopol
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
Proof
poltocart
\(x=r\cos\theta\)
\(y=r\sin\theta\)
Proof

# সূত্র সমুহের প্রমানঃ

কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক

carttopol
মনেকরি কোন সমতলে \(X^{\prime}OX\) ও \(Y^{\prime}OY\) সরলরেখা দুইটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে। P বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) এবং পোলার স্থানাঙ্ক (r, \(\theta\)) যখন O মেরু ( মূলবিন্দু ) এবং \(OX\) মেরু অক্ষ (অক্ষের ধনাত্মক দিক )। O, P যোগ করি এবং \(OX\) এর উপর \(PN\) লম্ব টানি। তাহলে,
\(ON = x\), \(PN = y\), \(OP = r\) এবং \(\angle PON=\theta\).
এখন,
\(x = ON\) cartesian
\(\Rightarrow x = OP\times\frac{ON}{OP}\)
\(\Rightarrow x = r\cos\theta\)
\(\therefore x = r\cos\theta\)
আবার,
\(y = PN\)
\(\Rightarrow y = OP\times\frac{PN}{OP}\)
\(\Rightarrow y = r\sin\theta\)
\(\therefore y = r\sin\theta\)

\(x = r\cos\theta\)
\(y = r\sin\theta\)

কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক

poltocart
আমরা জানি,
\(x = r\cos\theta……..(i)\)
\(y = r\sin\theta……..(ii)\)
এখন, \((i)\) ও \((ii)\) বর্গ করে যোগ করি,
\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta\)\(=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)\)\(=r^{2}\times1\)\(=r^{2}\) cartesian
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}= x^{2}+y^{2}\)
\(\therefore r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
আবার, \((ii) \div (i)\) এর সাহায্যে,
\(\frac{y}{x}=\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}\)\(=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)\(=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y}{x}\)
\(\therefore \theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)

\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.