কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্ক (Cartesian and Polar Co-ordinates)

( ENGLISH VERSION )

# উদাহরণ

উদাহরণ \(1.\) P বিন্দুর ভূজ 4. X-অক্ষ হতে P বিন্দুর দূরত্ব Y-অক্ষ হতে এর দূরত্বের দ্বিগুণ হলে, P বন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(2.\) \((-1, -\sqrt{3})\) কার্তেসীয় স্থানাঙ্ককে পোলার স্থানাঙ্কে এবং \((4, \frac{\pi}{4})\) পোলার স্থানাঙ্ককে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে প্রকাশ কর।

সমাধান

উদাহরণ \(3.\) \(r(1+\cos\theta) = 2\) পোলার সমীকরণকে কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর।

সমাধান

উদাহরণ \(4.\) কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((-1, \sqrt{3})\) হলে , বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(5.\) কোন বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((3, 90^{o})\) হলে , বিন্দুটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(6.\) \(x^{2}+y^{2}-2ax=0\) কার্তেসীয় সমীকরণকে পোলার সমীকরণে প্রকাশ কর।

সমাধান

উদাহরণ \(7.\) \(r=2a\cos\theta\) পোলার সমীকরণকে কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর।

সমাধান

উদাহরণ \(1.\) P বিন্দুর ভূজ 4. X-অক্ষ হতে P বিন্দুর দূরত্ব Y-অক্ষ হতে এর দূরত্বের দ্বিগুণ হলে, P বন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

carte

সমাধানঃ

মনে করি, বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \((4, k)\).
\(X\)-অক্ষ হতে P বিন্দুর দূরত্ব \(= | k |\) এবং Y-অক্ষ হতে এর দূরত্বের \(= | 4 |\)
শর্তমতে,\(| k | = 2|4|\)
\(\Rightarrow |k|= 8\)
\(\Rightarrow \pm k= 8\)
\(\therefore k= \pm 8\)
\(\therefore\) \(p\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4, 8)\) অথবা \((4, -8)\)

উদাহরণ \(2.\) \((-1, -\sqrt{3})\) কার্তেসীয় স্থানাঙ্ককে পোলার স্থানাঙ্কে এবং \((4, \frac{\pi}{4})\) পোলার স্থানাঙ্ককে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

এখানে, \((x, y)\) \(\Rightarrow (-1, -\sqrt{3})\)
\(\therefore x=-1 \) এবং \( y=-\sqrt{3}\)
মনে করি,
\((-1, -\sqrt{3})\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta\pm2n\pi)\) অথবা \((-r, \theta\pm(2n+1)\pi)\), \(n\in Z\);
যেখানে,
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}\) \([\because x=-1 \ এবং \ y=-\sqrt{3}]\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+3}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}\) carte
\(\therefore r=2\)
আবার,
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\frac{-\sqrt{3}}{-1}\) \([\because x=-1 \ এবং \ y=-\sqrt{3}]\)
\(\Rightarrow \theta=\pi+tan^{-1}\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi+\frac{\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{4\pi}{3}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((2, \frac{4\pi}{3}\pm2n\pi)\) অথবা \((-2, \frac{4\pi}{3}\pm(2n+1)\pi)\), \(n\in Z\);
এখানে, \((r, \theta)\) \(\Rightarrow (4, \frac{\pi}{4})\)
\(\therefore r=4 \) এবং \( \theta=\frac{\pi}{4}\)
আবার, মনে করি,carte
\((4, \frac{\pi}{4})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)
আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) \(= 4\cos\frac{\pi}{4}\) \(= 4\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(= 2\sqrt{2}\)
\(\therefore x = 2\sqrt{2}\)
আবার,
\(y = r\sin\theta\) \(= 4\sin\frac{\pi}{4}\) \(= 4\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(= 2\sqrt{2}\)
\(\therefore y = 2\sqrt{2}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\)

উদাহরণ \(3.\) \(r(1+\cos\theta) = 2\) পোলার সমীকরণকে কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

\(r(1+\cos\theta)=2\)
\(\Rightarrow r+r\cos\theta=2\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x=2\) \([\because r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x=r\cos\theta]\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^{2}+y^{2}}=2-x\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=(2-x)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=2^{2}-2.2.x+x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4-4x+x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x^{2}=4-4x\)
\(\therefore y^{2}=4-4x\)
\(\therefore\) নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ \(y^{2}=4-4x\).

উদাহরণ \(4.\) কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((-1, \sqrt{3})\) হলে , বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে, \((x, y)\) \(\Rightarrow (-1, \sqrt{3})\)
\(\therefore x=-1 \) এবং \( y=\sqrt{3}\)
মনে করি,
\((-1, \sqrt{3})\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta\pm2n\pi)\) অথবা \((-r, \theta\pm(2n+1)\pi)\), \(n\in Z\);
যেখানে,
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{1+3}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}\) carte
\(\therefore r=2\)
আবার,
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\frac{\sqrt{3}}{-1}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}(-\sqrt{3})\)
\(\Rightarrow \theta=\pi-tan^{-1}\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{2\pi}{3}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((2, \frac{2\pi}{3}\pm2n\pi)\) অথবা \((-2, \frac{2\pi}{3}\pm(2n+1)\pi)\), \(n\in Z\);

উদাহরণ \(5.\) কোন বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((3, 90^{o})\) হলে , বিন্দুটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে, \((r, \theta)\) \(\Rightarrow (3, 90^{o})\)carte
\(\therefore r=3 \) এবং \( \theta=90^{o}\)
মনে করি,
\((3, 90^{o})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)
আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) \(= 3\cos90^{o}\) \(= 3\times0\) \(= 0\)
\(\therefore x = 0\)
আবার,
\(y = r\sin\theta\) \(= 3\sin90^{o}\) \(= 3\times1\) \(= 3\)
\(\therefore y = 3\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((0, 3)\)

উদাহরণ \(6.\) \(x^{2}+y^{2}-2ax=0\) কার্তেসীয় সমীকরণকে পোলার সমীকরণে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}-2ax=0\) \(\Rightarrow r^{2}-2ar\cos\theta=0\) \([\because r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x=r\cos\theta ]\)
\(\Rightarrow r(r-2a\cos\theta)=0\)
\(\Rightarrow (r-2a\cos\theta)=0\) \([\because r\neq0]\)
\(\therefore r=2a\cos\theta\)
\(\therefore\) নির্ণেয় পোলার সমীকরণ \(r=2a\cos\theta\).

উদাহরণ \(7.\) \(r=2a\cos\theta\) পোলার সমীকরণকে কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(r=2a\cos\theta\)
\(\Rightarrow r^{2}=2ar\cos\theta\) [ উভয়পার্শে \(r\) গুন করে ]
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=2ax\) \([\because r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x=r\cos\theta ]\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2ax=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ \(x^{2}+y^{2}-2ax=0\).

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.